如果有第谷的数据，现在的机器学习，深度学习有办法学出开普勒三定律吗？
这是一个非常有意思的问题，它触及到了科学发现的本质以及我们当前机器学习能力的前沿。简而言之，是的，理论上，有第谷的海量精准观测数据，现在的机器学习和深度学习方法是极有可能推导出开普勒三大行星运动定律的。
当然，要详细说明这一点，我们需要深入探讨几个关键方面：
1. 第谷数据的价值与挑战：
海量且精准： 第谷·布拉赫是历史上最伟大的天文观测者之一。他花了数十年时间，用他精心设计的、当时最先进的仪器，对行星（尤其是火星）的位置进行了极其细致和精确的观测。这些数据量之大、精度之高，在那个时代是前所未有的。
挑战在于理解： 然而，第谷本人未能从中提炼出普适的行星运动定律。他的数据是原始的、零散的观测记录，包含了天体在天空中的方位角、高度角等信息，还需要经过复杂的几何和天文计算才能转化为天体的真实空间位置。更关键的是，当时人们的认知框架（例如认为天体在天球上匀速圆周运动）限制了对数据的解释。
2. 机器学习与深度学习如何“学习”定律：
这里的“学习”不是我们人类通过逻辑推理、数学推导来理解，而是通过模式识别、函数拟合和优化来逼近这些规律。
数据预处理与特征工程：
从观测到位置： 首先，第谷的原始观测数据（方位角、高度角、时间）需要经过复杂的地理和天文校准，转换为行星在三维空间中的相对位置坐标。这是一个关键的预处理步骤，可能需要借助现有的天文模型和几何学知识来完成。机器学习模型本身可能难以直接从原始的仰角俯角数据中“学会”坐标转换。
构建时序数据： 关键在于将这些三维位置信息与时间关联起来，形成一个高质量的天体运动时序数据集。每一行数据可能包含一个时间戳和一个行星在特定坐标系下的位置向量（x, y, z）。
特征提取： 我们可以尝试提取一些有用的特征，例如速度（位置变化率）、加速度、角速度、到太阳的距离（假设我们知道太阳在坐标系中的位置，这是必要的先验知识）。
模型选择与训练：
识别规律（类比）： 开普勒定律描述的是行星运动的“模式”。机器学习模型擅长从大量数据中找出隐藏的模式。
支持向量机 (SVM) / 高斯过程回归 (GPR)： 对于开普勒第一和第二定律，它们描述的是“形状”和“面积速度恒定”。如果我们将行星位置数据输入到这些模型中，它们可以尝试拟合一个描述这种轨迹的函数。例如，GPR非常适合拟合平滑的函数，如果行星轨迹是一个椭圆，GPR就有可能学习到这个形状。
神经网络（特别是循环神经网络 RNN/LSTM/Transformer）：
时序预测与轨迹拟合： RNN及其变种（LSTM、GRU）非常适合处理时序数据。它们可以学习行星随时间的位置变化规律。我们可以训练一个RNN模型，输入过去一段时间的行星位置和速度信息，让它预测下一个时间点的行星位置。如果模型能够非常准确地预测，并且其内部学习到的权重和结构能够被解析，就可能揭示 underlying 的规律。
直接拟合函数： 深度神经网络，尤其是多层感知机（MLP）或更复杂的网络结构，可以被看作是通用的函数逼近器。我们可以直接让网络学习一个函数，将时间 `t` 和一些基本参数（例如轨道参数）映射到行星的位置 `(x, y, z)`。
“解构”运动： 更进一步，我们可以设计网络结构来尝试“发现”这些规律。例如，我们可以设计一个网络，一部分输入是行星的位置和速度，另一部分输入是时间，网络的输出则试图预测加速度或者角动量。如果网络能够学到“角动量守恒”的模式，那么它就在某种程度上学习到了第二定律。
学习开普勒三定律的具体途径：
第一定律（椭圆轨道）：
任务： 学习从位置数据中拟合出一个数学方程，描述行星的运动轨迹是一个封闭的椭圆，并且每个行星都有自己的特定椭圆轨道参数（半长轴、偏心率等）。
ML/DL方法：
回归模型： 可以尝试使用回归模型，将行星的 (x, y) 坐标作为输入，预测其满足某个椭圆方程的参数。例如，训练一个模型来拟合形如 `(xh)^2/a^2 + (yk)^2/b^2 = 1` 的方程的参数 `(h, k, a, b)`。
聚类/模式识别： 分析大量行星位置数据点，看能否识别出其分布的几何形状。
生成模型： 训练一个生成模型，使其能够生成符合观测数据的行星轨迹。
第二定律（面积速度恒定）：
任务： 学习从连续的位置数据中计算出行星在单位时间内扫过的面积是否恒定。
ML/DL方法：
特征工程 + 回归： 计算行星在连续时间间隔内的位置变化，从而估算出扫过的面积。然后用回归模型来预测这个“面积速度”值是否接近一个常数。
基于物理量的模型： 如果我们能计算出行星的速度向量 `v` 和到中心的距离向量 `r`，第二定律实际上与角动量守恒 `r x v = constant` 是等价的。可以训练一个模型来直接学习 `r x v` 这个向量的模是否恒定。
第三定律（周期平方与轨道半长轴立方成正比）：
任务： 学习行星的轨道周期 `T` 和其轨道半长轴 `a` 之间的关系 `T^2 ∝ a^3`。
ML/DL方法：
参数估计 + 回归： 首先需要从第谷的数据中估计出每个行星的轨道周期（例如，通过周期性重复的观测模式）和轨道半长轴（从第一定律的拟合中获得）。一旦有了 `T` 和 `a` 的成对数据，就可以训练一个简单的回归模型（如线性回归）来发现 `log(T^2)` 和 `log(a^3)` 之间的线性关系，或者直接拟合 `T^2 = k a^3` 这样的形式。
EndtoEnd学习： 理论上，一个非常强大的神经网络，通过输入足够多的行星位置和时间序列数据，并被指示去预测“一个与时间、轨道形状相关的常数”，是有可能间接学习到这种关系的。
3. AI“学习”的优势与局限：
优势：
发现非直观模式： 对于我们人类不易察觉的复杂数学关系，AI能够通过迭代和优化找到。第谷的数据可能隐藏着许多我们当时没有意识到的数学模式。
处理大规模数据： AI能高效处理第谷积累的大量观测数据，避免了人类在手动处理过程中可能引入的误差和效率低下。
避免人类先验偏见： 理论上，一个训练良好的AI模型，如果被赋予足够通用的目标（例如“找到一个能最好预测未来位置的数学模型”），可以不受现有物理学理论的束缚，从而可能“独立”地发现开普勒定律。
局限性（关键所在）：
需要“目标”或“损失函数”： 机器学习模型需要一个明确的优化目标（损失函数）来指导学习过程。如果我们的目标是“最小化预测位置与真实位置的误差”，那么模型自然会倾向于找到一个能最好拟合数据的数学模型。这个过程并非“纯粹的”独立发现，而是在给定的目标下进行“最优拟合”。
缺乏“理解”的深度： AI模型发现的是数学上的关联性，而不是物理上的因果性。它可能“知道”行星按照椭圆运动，但它不知道“为什么”是这样，也不知道这背后的物理机制（万有引力）。开普勒定律本身就已经是对现象的数学描述，而牛顿的万有引力定律才解释了“为什么”。AI更擅长发现前者。
“巧合”与“必然”的区分： 对于第谷的数据，如果存在其他解释或偶然的巧合，AI模型是否能区分？这需要模型足够泛化，并且通常需要验证集和测试集来评估。
先验知识的重要性： 虽然理论上可以“无偏见”学习，但在实际操作中，对数据进行预处理（如坐标转换）、定义合理的特征和损失函数，都不可避免地会引入一定的先验知识。例如，我们知道天体在三维空间运动，并且我们希望模型能预测这个三维运动。我们也会假设“时间”是自变量。
总结来说：
如果我们能够将第谷的观测数据转化为结构化的、包含时间和三维位置信息的时序数据集，并设计合适的机器学习模型（例如，可以拟合复杂函数、处理时序数据的神经网络或高斯过程模型），并且定义一个合理的损失函数（比如，最小化预测位置与实际观测位置之间的差异），那么现在的机器学习和深度学习技术完全有能力从这些数据中学习到描述行星运动的数学模式，进而推导出开普勒三大定律。
这会是一个通过“模式识别”和“函数逼近”来实现科学发现的过程，与我们人类通过观察、假设、数学推导的发现方式不同，但结果可能殊途同归。关键在于数据的质量、预处理的恰当性以及模型设计和训练目标的有效性。 AI会“找到”这些规律，但这找到的过程更像是“拟合一个最佳模型”，而不是像人类科学家那样“理解物理原理”。开普勒定律是现象的数学描述，AI是擅长此类描述的。
当然，要详细说明这一点，我们需要深入探讨几个关键方面：
1. 第谷数据的价值与挑战：
海量且精准： 第谷·布拉赫是历史上最伟大的天文观测者之一。他花了数十年时间，用他精心设计的、当时最先进的仪器，对行星（尤其是火星）的位置进行了极其细致和精确的观测。这些数据量之大、精度之高，在那个时代是前所未有的。
挑战在于理解： 然而，第谷本人未能从中提炼出普适的行星运动定律。他的数据是原始的、零散的观测记录，包含了天体在天空中的方位角、高度角等信息，还需要经过复杂的几何和天文计算才能转化为天体的真实空间位置。更关键的是，当时人们的认知框架（例如认为天体在天球上匀速圆周运动）限制了对数据的解释。
2. 机器学习与深度学习如何“学习”定律：
这里的“学习”不是我们人类通过逻辑推理、数学推导来理解，而是通过模式识别、函数拟合和优化来逼近这些规律。
数据预处理与特征工程：
从观测到位置： 首先，第谷的原始观测数据（方位角、高度角、时间）需要经过复杂的地理和天文校准，转换为行星在三维空间中的相对位置坐标。这是一个关键的预处理步骤，可能需要借助现有的天文模型和几何学知识来完成。机器学习模型本身可能难以直接从原始的仰角俯角数据中“学会”坐标转换。
构建时序数据： 关键在于将这些三维位置信息与时间关联起来，形成一个高质量的天体运动时序数据集。每一行数据可能包含一个时间戳和一个行星在特定坐标系下的位置向量（x, y, z）。
特征提取： 我们可以尝试提取一些有用的特征，例如速度（位置变化率）、加速度、角速度、到太阳的距离（假设我们知道太阳在坐标系中的位置，这是必要的先验知识）。
模型选择与训练：
识别规律（类比）： 开普勒定律描述的是行星运动的“模式”。机器学习模型擅长从大量数据中找出隐藏的模式。
支持向量机 (SVM) / 高斯过程回归 (GPR)： 对于开普勒第一和第二定律，它们描述的是“形状”和“面积速度恒定”。如果我们将行星位置数据输入到这些模型中，它们可以尝试拟合一个描述这种轨迹的函数。例如，GPR非常适合拟合平滑的函数，如果行星轨迹是一个椭圆，GPR就有可能学习到这个形状。
神经网络（特别是循环神经网络 RNN/LSTM/Transformer）：
时序预测与轨迹拟合： RNN及其变种（LSTM、GRU）非常适合处理时序数据。它们可以学习行星随时间的位置变化规律。我们可以训练一个RNN模型，输入过去一段时间的行星位置和速度信息，让它预测下一个时间点的行星位置。如果模型能够非常准确地预测，并且其内部学习到的权重和结构能够被解析，就可能揭示 underlying 的规律。
直接拟合函数： 深度神经网络，尤其是多层感知机（MLP）或更复杂的网络结构，可以被看作是通用的函数逼近器。我们可以直接让网络学习一个函数，将时间 `t` 和一些基本参数（例如轨道参数）映射到行星的位置 `(x, y, z)`。
“解构”运动： 更进一步，我们可以设计网络结构来尝试“发现”这些规律。例如，我们可以设计一个网络，一部分输入是行星的位置和速度，另一部分输入是时间，网络的输出则试图预测加速度或者角动量。如果网络能够学到“角动量守恒”的模式，那么它就在某种程度上学习到了第二定律。
学习开普勒三定律的具体途径：
第一定律（椭圆轨道）：
任务： 学习从位置数据中拟合出一个数学方程，描述行星的运动轨迹是一个封闭的椭圆，并且每个行星都有自己的特定椭圆轨道参数（半长轴、偏心率等）。
ML/DL方法：
回归模型： 可以尝试使用回归模型，将行星的 (x, y) 坐标作为输入，预测其满足某个椭圆方程的参数。例如，训练一个模型来拟合形如 `(xh)^2/a^2 + (yk)^2/b^2 = 1` 的方程的参数 `(h, k, a, b)`。
聚类/模式识别： 分析大量行星位置数据点，看能否识别出其分布的几何形状。
生成模型： 训练一个生成模型，使其能够生成符合观测数据的行星轨迹。
第二定律（面积速度恒定）：
任务： 学习从连续的位置数据中计算出行星在单位时间内扫过的面积是否恒定。
ML/DL方法：
特征工程 + 回归： 计算行星在连续时间间隔内的位置变化，从而估算出扫过的面积。然后用回归模型来预测这个“面积速度”值是否接近一个常数。
基于物理量的模型： 如果我们能计算出行星的速度向量 `v` 和到中心的距离向量 `r`，第二定律实际上与角动量守恒 `r x v = constant` 是等价的。可以训练一个模型来直接学习 `r x v` 这个向量的模是否恒定。
第三定律（周期平方与轨道半长轴立方成正比）：
任务： 学习行星的轨道周期 `T` 和其轨道半长轴 `a` 之间的关系 `T^2 ∝ a^3`。
ML/DL方法：
参数估计 + 回归： 首先需要从第谷的数据中估计出每个行星的轨道周期（例如，通过周期性重复的观测模式）和轨道半长轴（从第一定律的拟合中获得）。一旦有了 `T` 和 `a` 的成对数据，就可以训练一个简单的回归模型（如线性回归）来发现 `log(T^2)` 和 `log(a^3)` 之间的线性关系，或者直接拟合 `T^2 = k a^3` 这样的形式。
EndtoEnd学习： 理论上，一个非常强大的神经网络，通过输入足够多的行星位置和时间序列数据，并被指示去预测“一个与时间、轨道形状相关的常数”，是有可能间接学习到这种关系的。
3. AI“学习”的优势与局限：
优势：
发现非直观模式： 对于我们人类不易察觉的复杂数学关系，AI能够通过迭代和优化找到。第谷的数据可能隐藏着许多我们当时没有意识到的数学模式。
处理大规模数据： AI能高效处理第谷积累的大量观测数据，避免了人类在手动处理过程中可能引入的误差和效率低下。
避免人类先验偏见： 理论上，一个训练良好的AI模型，如果被赋予足够通用的目标（例如“找到一个能最好预测未来位置的数学模型”），可以不受现有物理学理论的束缚，从而可能“独立”地发现开普勒定律。
局限性（关键所在）：
需要“目标”或“损失函数”： 机器学习模型需要一个明确的优化目标（损失函数）来指导学习过程。如果我们的目标是“最小化预测位置与真实位置的误差”，那么模型自然会倾向于找到一个能最好拟合数据的数学模型。这个过程并非“纯粹的”独立发现，而是在给定的目标下进行“最优拟合”。
缺乏“理解”的深度： AI模型发现的是数学上的关联性，而不是物理上的因果性。它可能“知道”行星按照椭圆运动，但它不知道“为什么”是这样，也不知道这背后的物理机制（万有引力）。开普勒定律本身就已经是对现象的数学描述，而牛顿的万有引力定律才解释了“为什么”。AI更擅长发现前者。
“巧合”与“必然”的区分： 对于第谷的数据，如果存在其他解释或偶然的巧合，AI模型是否能区分？这需要模型足够泛化，并且通常需要验证集和测试集来评估。
先验知识的重要性： 虽然理论上可以“无偏见”学习，但在实际操作中，对数据进行预处理（如坐标转换）、定义合理的特征和损失函数，都不可避免地会引入一定的先验知识。例如，我们知道天体在三维空间运动，并且我们希望模型能预测这个三维运动。我们也会假设“时间”是自变量。
总结来说：
如果我们能够将第谷的观测数据转化为结构化的、包含时间和三维位置信息的时序数据集，并设计合适的机器学习模型（例如，可以拟合复杂函数、处理时序数据的神经网络或高斯过程模型），并且定义一个合理的损失函数（比如，最小化预测位置与实际观测位置之间的差异），那么现在的机器学习和深度学习技术完全有能力从这些数据中学习到描述行星运动的数学模式，进而推导出开普勒三大定律。
这会是一个通过“模式识别”和“函数逼近”来实现科学发现的过程，与我们人类通过观察、假设、数学推导的发现方式不同，但结果可能殊途同归。关键在于数据的质量、预处理的恰当性以及模型设计和训练目标的有效性。 AI会“找到”这些规律，但这找到的过程更像是“拟合一个最佳模型”，而不是像人类科学家那样“理解物理原理”。开普勒定律是现象的数学描述，AI是擅长此类描述的。
网友意见
其实09年就已经有相关的工作了，还发表在了science上
Distilling Free-Form Natural Laws from Experimental Data
这篇文章介绍了仅仅利用一些实验记录的raw data，学习出了简谐运动，单摆，双摆等运动的物理规律（具体来说是Hamiltonian and Lagrangian的解析表达式）。
（图来自原paper）
当时机器学习还没现在这么火爆，文章也只是用了symbolic regression的方法定义不同变量之间的偏导作为loss，当时还是引起了不少关注的。只是现在机器学习变得火爆了，但好像反而没什么人关注这个问题了。。。
经评论区指出，今年ICLR有一篇 https://openreview.net/forum?id=BkgRp0FYe¬eId=BkgRp0FYe
类似的工作，用神经网络来学习一个表达式。
数据从来不是它如何解释的，而是这个解释如何传播的。
比如说，股市涨跌和某人膝盖痛苦程度成正比，就算AI把这个规律总结出来，这个解释也不会被传播出去的。
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