请列出一个最难相信但确实有根式解的一元五次方程？
这个问题非常有趣，因为它触及到了一个深刻的数学定理：阿贝尔鲁菲尼定理。这个定理断言，不存在一个通用的代数解法（即只包含加、减、乘、除、开方运算）来求解任意一个一般形式的一元五次方程。
这意味着，如果一个一元五次方程是“一般形式”的，那么我们无法找到一个像一元二次方程那样，用系数表达出来的万能公式来求解它。
然而，你问的是“最难相信但确实有根式解的一元五次方程”。这里的关键在于“确实有根式解”。虽然一般五次方程没有通用公式，但特定的、非一般的五次方程可能存在根式解。这些方程之所以“难相信”其有根式解，是因为它们在形式上可能非常复杂，不直接呈现出易于求解的结构，或者它们的存在本身就与阿贝尔鲁菲尼定理形成了一种有趣的对比。
要找到一个“最难相信”的例子，我们需要满足几个条件：
1. 它是一元五次方程：即形式为 $ax^5 + bx^4 + cx^3 + dx^2 + ex + f = 0$ （其中 $a eq 0$）。
2. 它确实有根式解：这意味着方程的根可以用有限次的加、减、乘、除和有限次的开方运算表示出来，只使用方程的系数。
3. 它“最难相信”：这部分是主观的，但通常意味着方程的系数或形式看起来非常复杂，或者没有明显的模式，让人觉得它不太可能拥有简单的根式解。
一个符合条件的、可以被认为是“最难相信”但有根式解的例子是某些特定的布林方程 (BringJerrard form) 的变形。
让我们先简单介绍一下布林方程：
布林方程（BringJerrard form）：一个一般的五次方程可以经过一系列代数变换（包括变量替换和系数的代数运算）化为一种更简化的形式，即布林方程：
$x^5 + x + k = 0$
或者更一般的形式：
$x^5 + ax + b = 0$
虽然这个形式已经比一般的五次方程简化很多，但一般形式的布林方程 $x^5 + x + k = 0$ 并没有根式解。这意味着，即便是这种“简化”后的五次方程，我们也无法用加减乘除和开方来表达出它的解，除非 $k$ 的取值非常特殊。
那么，什么情况下的布林方程（或类似的方程）会有根式解呢？
当五次方程的根具有某种特殊的对称性或结构时，它才可能拥有根式解。最著名且与根式解紧密相关的一类五次方程是那些可以分解为低次因式或者其根可以表示为特定代数结构（如根式）的组合的方程。
一个具体的例子（稍作修改以展现复杂性）：
考虑以下这个一元五次方程：
$$x^5 5x^3 + 5x^2 1 = 0$$
这个方程本身并不像 $x^5+x+k=0$ 那样看起来“简洁”，它的系数是 1, 0, 5, 5, 0, 1。乍一看，可能看不出它有什么特殊的性质。
为什么这个方程有根式解，以及为什么它可能让人难以置信？
1. 不可约性与分解：虽然一般五次方程是不可约的（不能分解为低次多项式的乘积），但这个方程的根可以通过巧妙的代数技巧找到。
2. 与特定函数的联系：这个方程的结构与三角函数和双曲函数的一些恒等式有关。例如，考虑 $cos(5 heta)$ 的展开式。$cos(5 heta) = 16cos^5( heta) 20cos^3( heta) + 5cos( heta)$。如果我们设 $x = 2cos( heta)$，那么 $x^5 5x^3 + 5x^2 1 = 0$ 并不是直接由这个恒等式推导出来的。
让我们换一个更直接的例子，一个已经知道有根式解的方程，但其复杂性使得相信它有根式解“难”。
考虑一个五次方程，其根可以表示为特定根式的组合。
阿贝尔鲁菲尼定理并非说所有五次方程都无根式解，而是说不存在一个通用的、只涉及系数的代数公式可以解所有的五次方程。也就是说，如果一个五次方程的根可以被分解（例如，它有一个有理根，然后剩余部分可以降阶为四次方程，然后四次方程可以通过根式解等），或者其 Galois 群是可解的，那么它就有根式解。
Galois 群是研究多项式方程根性质的一个强大工具。一个多项式方程有根式解当且仅当其 Galois 群是可解群。
一个被广泛引用的、拥有根式解的“复杂”五次方程例子是：
$$x^5 5x + 1 = 0$$
这个方程比 $x^5+x+k=0$ 的形式要复杂一些，但它的结构仍然相对简单。然而，这个方程的根的表达是相当复杂的，涉及到特定的根式组合。它的 Galois 群是 $S_5$（对称群的阶数为 120 的一个子群，具体来说是它的一个不相关的子群），这意味着一般的五次方程（Galois 群为 $S_5$）没有根式解。但是，由于系数的特殊选择，这个方程的 Galois 群是可解的，因此它有根式解。
具体是怎么解的呢？
求解这类方程通常需要借助更高级的数学工具，比如伽罗瓦理论和一些特定的代数结构。一个常用的方法是寻找方程的“解的结构”，或者通过巧妙的变量替换来简化方程，使其可以被分解或与已知有根式解的方程联系起来。
一个更具体的、能展现“难相信”的例子，是那些根可以通过一些特殊的“根式塔”来表达的方程。
例如，方程：
$$(x^2 2)^5 5(x^2 2)^3 + 5(x^2 2) 1 = 0$$
这是一个看起来非常复杂的五次方程。如果我们令 $y = x^2 2$，那么这个方程就变成了：
$$y^5 5y^3 + 5y 1 = 0$$
注意到这个方程的系数，与我们之前提到的 $cos(5 heta)$ 的展开式有些类似。
如果令 $y = u + 1/u$，那么方程可能会发生变化。
更令人信服的“难相信”的例子，是那些其根可以被表示为一些看起来杂乱无章的根式组合，但经过验证确实满足方程的。
例如，考虑这样一个方程（这是一个虚构的例子，用于说明概念）：
$$x^5 + sqrt{2}x^4 pi x^3 + e x^2 sqrt[3]{7}x + log(3) = 0$$
如果这个方程的系数是代数数（即可以通过有限次的加减乘除和开方运算表示的数），并且其 Galois 群是可解的，那么它就有根式解。但要相信这样一个包含 $pi$, $e$, $log(3)$ 等超越数的方程有“根式解”是困难的，因为我们通常认为根式解是指系数为代数数，且解也为代数数，并用根式表示。
回到更严格的数学范畴：
最难相信但确实有根式解的一元五次方程，通常是那些：
1. 其系数是代数数（可以是复杂的代数数）。
2. 其 Galois 群是可解群。
3. 其根的表达形式非常复杂，不像简单的二次方程或三次方程那样直观。
一个稍微“更难相信”的例子是：
$$x^5 + 10x^3 20x^2 + 16x 8 = 0$$
这个方程的 Galois 群是 $A_5$（交错群），它是可解的。它的根可以通过一些复杂的代数运算找到，但找到它们的过程并不直观。
为什么会“难相信”？
违反直觉的复杂性：相比于一元二次方程的求根公式 $frac{b pm sqrt{b^24ac}}{2a}$，五次方程的根式解通常涉及多层嵌套的开方和复杂的系数组合，看起来杂乱无章。
与阿贝尔鲁菲尼定理的对比：定理说的是“一般”情况。当一个特定的方程“碰巧”具备了 Galois 群可解的性质时，它就拥有了根式解，这就像是数学中的一个“例外”，虽然是根据严格的数学规则产生的。
求解过程的难度：即使知道有根式解，找到它们的具体表达式往往需要非常深入的代数知识，比如使用判别式、根的对称函数、或者寻找特定的分解方法。
总结来说，最难相信但确实有根式解的一元五次方程，并不是指一个具体的、公开的“最难”例子，而是泛指那些在形式上非常复杂、不显露根式解的特征，但经过严格的数学分析（特别是 Galois 理论）证明其 Galois 群是可解的方程。
这些方程的存在，恰恰说明了阿贝尔鲁菲尼定理的精确含义：并非所有五次方程都可以用一个统一的、简单的代数公式来求解，但某些特定的、结构特殊的五次方程却可以。它们的根式解的存在，虽然令人惊叹，但却是数学结构内在逻辑的体现。
这意味着，如果一个一元五次方程是“一般形式”的，那么我们无法找到一个像一元二次方程那样，用系数表达出来的万能公式来求解它。
然而，你问的是“最难相信但确实有根式解的一元五次方程”。这里的关键在于“确实有根式解”。虽然一般五次方程没有通用公式，但特定的、非一般的五次方程可能存在根式解。这些方程之所以“难相信”其有根式解，是因为它们在形式上可能非常复杂，不直接呈现出易于求解的结构，或者它们的存在本身就与阿贝尔鲁菲尼定理形成了一种有趣的对比。
要找到一个“最难相信”的例子，我们需要满足几个条件：
1. 它是一元五次方程：即形式为 $ax^5 + bx^4 + cx^3 + dx^2 + ex + f = 0$ （其中 $a eq 0$）。
2. 它确实有根式解：这意味着方程的根可以用有限次的加、减、乘、除和有限次的开方运算表示出来，只使用方程的系数。
3. 它“最难相信”：这部分是主观的，但通常意味着方程的系数或形式看起来非常复杂，或者没有明显的模式，让人觉得它不太可能拥有简单的根式解。
一个符合条件的、可以被认为是“最难相信”但有根式解的例子是某些特定的布林方程 (BringJerrard form) 的变形。
让我们先简单介绍一下布林方程：
布林方程（BringJerrard form）：一个一般的五次方程可以经过一系列代数变换（包括变量替换和系数的代数运算）化为一种更简化的形式，即布林方程：
$x^5 + x + k = 0$
或者更一般的形式：
$x^5 + ax + b = 0$
虽然这个形式已经比一般的五次方程简化很多，但一般形式的布林方程 $x^5 + x + k = 0$ 并没有根式解。这意味着，即便是这种“简化”后的五次方程，我们也无法用加减乘除和开方来表达出它的解，除非 $k$ 的取值非常特殊。
那么，什么情况下的布林方程（或类似的方程）会有根式解呢？
当五次方程的根具有某种特殊的对称性或结构时，它才可能拥有根式解。最著名且与根式解紧密相关的一类五次方程是那些可以分解为低次因式或者其根可以表示为特定代数结构（如根式）的组合的方程。
一个具体的例子（稍作修改以展现复杂性）：
考虑以下这个一元五次方程：
$$x^5 5x^3 + 5x^2 1 = 0$$
这个方程本身并不像 $x^5+x+k=0$ 那样看起来“简洁”，它的系数是 1, 0, 5, 5, 0, 1。乍一看，可能看不出它有什么特殊的性质。
为什么这个方程有根式解，以及为什么它可能让人难以置信？
1. 不可约性与分解：虽然一般五次方程是不可约的（不能分解为低次多项式的乘积），但这个方程的根可以通过巧妙的代数技巧找到。
2. 与特定函数的联系：这个方程的结构与三角函数和双曲函数的一些恒等式有关。例如，考虑 $cos(5 heta)$ 的展开式。$cos(5 heta) = 16cos^5( heta) 20cos^3( heta) + 5cos( heta)$。如果我们设 $x = 2cos( heta)$，那么 $x^5 5x^3 + 5x^2 1 = 0$ 并不是直接由这个恒等式推导出来的。
让我们换一个更直接的例子，一个已经知道有根式解的方程，但其复杂性使得相信它有根式解“难”。
考虑一个五次方程，其根可以表示为特定根式的组合。
阿贝尔鲁菲尼定理并非说所有五次方程都无根式解，而是说不存在一个通用的、只涉及系数的代数公式可以解所有的五次方程。也就是说，如果一个五次方程的根可以被分解（例如，它有一个有理根，然后剩余部分可以降阶为四次方程，然后四次方程可以通过根式解等），或者其 Galois 群是可解的，那么它就有根式解。
Galois 群是研究多项式方程根性质的一个强大工具。一个多项式方程有根式解当且仅当其 Galois 群是可解群。
一个被广泛引用的、拥有根式解的“复杂”五次方程例子是：
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这个方程比 $x^5+x+k=0$ 的形式要复杂一些，但它的结构仍然相对简单。然而，这个方程的根的表达是相当复杂的，涉及到特定的根式组合。它的 Galois 群是 $S_5$（对称群的阶数为 120 的一个子群，具体来说是它的一个不相关的子群），这意味着一般的五次方程（Galois 群为 $S_5$）没有根式解。但是，由于系数的特殊选择，这个方程的 Galois 群是可解的，因此它有根式解。
具体是怎么解的呢？
求解这类方程通常需要借助更高级的数学工具，比如伽罗瓦理论和一些特定的代数结构。一个常用的方法是寻找方程的“解的结构”，或者通过巧妙的变量替换来简化方程，使其可以被分解或与已知有根式解的方程联系起来。
一个更具体的、能展现“难相信”的例子，是那些根可以通过一些特殊的“根式塔”来表达的方程。
例如，方程：
$$(x^2 2)^5 5(x^2 2)^3 + 5(x^2 2) 1 = 0$$
这是一个看起来非常复杂的五次方程。如果我们令 $y = x^2 2$，那么这个方程就变成了：
$$y^5 5y^3 + 5y 1 = 0$$
注意到这个方程的系数，与我们之前提到的 $cos(5 heta)$ 的展开式有些类似。
如果令 $y = u + 1/u$，那么方程可能会发生变化。
更令人信服的“难相信”的例子，是那些其根可以被表示为一些看起来杂乱无章的根式组合，但经过验证确实满足方程的。
例如，考虑这样一个方程（这是一个虚构的例子，用于说明概念）：
$$x^5 + sqrt{2}x^4 pi x^3 + e x^2 sqrt[3]{7}x + log(3) = 0$$
如果这个方程的系数是代数数（即可以通过有限次的加减乘除和开方运算表示的数），并且其 Galois 群是可解的，那么它就有根式解。但要相信这样一个包含 $pi$, $e$, $log(3)$ 等超越数的方程有“根式解”是困难的，因为我们通常认为根式解是指系数为代数数，且解也为代数数，并用根式表示。
回到更严格的数学范畴：
最难相信但确实有根式解的一元五次方程，通常是那些：
1. 其系数是代数数（可以是复杂的代数数）。
2. 其 Galois 群是可解群。
3. 其根的表达形式非常复杂，不像简单的二次方程或三次方程那样直观。
一个稍微“更难相信”的例子是：
$$x^5 + 10x^3 20x^2 + 16x 8 = 0$$
这个方程的 Galois 群是 $A_5$（交错群），它是可解的。它的根可以通过一些复杂的代数运算找到，但找到它们的过程并不直观。
为什么会“难相信”？
违反直觉的复杂性：相比于一元二次方程的求根公式 $frac{b pm sqrt{b^24ac}}{2a}$，五次方程的根式解通常涉及多层嵌套的开方和复杂的系数组合，看起来杂乱无章。
与阿贝尔鲁菲尼定理的对比：定理说的是“一般”情况。当一个特定的方程“碰巧”具备了 Galois 群可解的性质时，它就拥有了根式解，这就像是数学中的一个“例外”，虽然是根据严格的数学规则产生的。
求解过程的难度：即使知道有根式解，找到它们的具体表达式往往需要非常深入的代数知识，比如使用判别式、根的对称函数、或者寻找特定的分解方法。
总结来说，最难相信但确实有根式解的一元五次方程，并不是指一个具体的、公开的“最难”例子，而是泛指那些在形式上非常复杂、不显露根式解的特征，但经过严格的数学分析（特别是 Galois 理论）证明其 Galois 群是可解的方程。
这些方程的存在，恰恰说明了阿贝尔鲁菲尼定理的精确含义：并非所有五次方程都可以用一个统一的、简单的代数公式来求解，但某些特定的、结构特殊的五次方程却可以。它们的根式解的存在，虽然令人惊叹，但却是数学结构内在逻辑的体现。
网友意见
------------------- 21-12-13 更新 -------------------
自己打破自己的“标准”。
有一个系数相对简单，但并不是整数的例子（当然可以化为整数，但系数就太大了些）
方程 的实根是
四个有理数的五次方根之和，形式上比其余一堆根号5的解简洁多了。
------------------- 原答案 --------------------------
给“最难相信”定几个标准：
- 方程在有理域不可约
- 系数是整数，而且尽可能小
- 不能是 这种平凡的形式
有了以上标准，可以给出以下几个例子
- 当方程为 时，解为
这个方程的构造还相对容易，注意到第一个解满足 这种形式。
接下来这类方程的求根公式就没那么容易了。
2. 方程为 时，解为
参考资料
1991,D.S. Dummit, Solving Solvable Quintics
这个不难吧，构造一个（x+a）×（bx^4+cx^3+dx^2+ex+f）=0，其中abcdef均为有理数，那这个方程必然根式可解不管这几个系数多大
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