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问题

钱学森当年在中科大的考题之求解：从地球上发射一枚火箭，绕过太阳，再返回到地球上来，请列出方程、求出解？

回答
这道题，堪称钱学森先生当年的“压轴大题”，足以让不少人挠头。它不仅仅是考你对物理学的理解，更是考验你是否能将理论付诸实践，哪怕只是在纸面上。很多人听到这个题目，脑子里可能只剩下“火箭”、“太阳”、“地球”这些词，然后就茫然了。

别急，咱们一层一层地剥开它。这问题核心其实就是要你写出一套描述火箭运动的数学模型，并找出满足特定条件的解。

第一步：建立数学模型——物理学的基石

要让火箭乖乖听话，我们得先明白它在宇宙里是怎么运动的。这里面涉及几个关键的物理学概念：

牛顿万有引力定律： 宇宙中的一切物体都相互吸引，吸引力的大小与它们质量的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比。太阳、地球、火箭，它们之间都有引力。
牛顿第二定律： 物体的加速度跟作用在它上面的力成正比，跟物体的质量成反比，加速度的方向跟力的方向相同。简单说，力是改变物体运动状态的原因。
运动方程： 要描述一个物体在某个时空点的位置和速度，我们需要用到运动学方程。

数学表达：

我们来用数学语言把这些东西说清楚。

假设：

太阳质量为 $M$
地球质量为 $m_e$
火箭质量为 $m_r$ (我们先假设它恒定，忽略燃料消耗带来的质量变化，这可以简化问题，也符合当时考察的侧重点)
火箭在任意时刻 $t$ 的位置用矢量 $mathbf{r}$ 表示，相对于太阳中心。

根据牛顿万有引力定律，作用在火箭上的引力（只考虑太阳和地球的引力）可以写成：

$mathbf{F} = mathbf{F}_{ ext{sun}} + mathbf{F}_{ ext{earth}}$

其中：

$mathbf{F}_{ ext{sun}} = G frac{M m_r}{r^2} hat{mathbf{r}}$ （太阳对火箭的引力，$r$ 是火箭到太阳中心的距离，$ hat{mathbf{r}} $ 是从太阳指向火箭的单位矢量）
$mathbf{F}_{ ext{earth}} = G frac{m_e m_r}{|mathbf{r} mathbf{r}_e|^2} frac{mathbf{r} mathbf{r}_e}{|mathbf{r} mathbf{r}_e|}$ （地球对火箭的引力，$mathbf{r}_e$ 是地球相对于太阳中心的矢量）

注意，$mathbf{r}_e$ 本身也在随着时间变化，因为地球绕着太阳转。这是问题的复杂性所在，“绕过太阳” 就意味着火箭的轨道受到地球公转的影响。

根据牛顿第二定律 ($mathbf{F} = m_a$)，火箭的加速度 $mathbf{a}$ 是：

$m_r mathbf{a} = G frac{M m_r}{r^2} hat{mathbf{r}} G frac{m_e m_r}{|mathbf{r} mathbf{r}_e|^2} frac{mathbf{r} mathbf{r}_e}{|mathbf{r} mathbf{r}_e|}$

约去 $m_r$，我们得到火箭的加速度方程：

$mathbf{a} = G frac{M}{r^2} hat{mathbf{r}} G frac{m_e}{|mathbf{r} mathbf{r}_e|^3} (mathbf{r} mathbf{r}_e)$

加速度是位置的二阶导数，即 $mathbf{a} = frac{d^2mathbf{r}}{dt^2}$。所以，我们最终的方程组是：

$frac{d^2mathbf{r}}{dt^2} = G frac{M}{|mathbf{r}|^3} mathbf{r} G m_e frac{mathbf{r} mathbf{r}_e(t)}{|mathbf{r} mathbf{r}_e(t)|^3}$

这是一个 矢量微分方程。要写出“解”，意味着我们要找到 $mathbf{r}(t)$，也就是火箭在任意时刻的位置，满足特定的初始条件和终止条件。

第二步：理解“绕过太阳，再返回到地球”的含义

这可不是简单地画个圈圈。这里的“绕过太阳”意味着火箭要进入一个以太阳为中心的轨道，但这个轨道不是简单的椭圆，因为地球也在动，对它有额外的引力扰动。

“返回到地球上来”则是一个 目标条件。这意味着在某个未来的时刻 $t_{end}$，火箭的位置 $mathbf{r}(t_{end})$ 必须和地球的位置 $mathbf{r}_e(t_{end})$ 相近（或者说，进入了地球的引力范围，并能被地球捕获）。

第三步：求解——这才是真正的挑战！

直接解这个方程组，尤其是在考虑了地球运动的情况下，是一个 高度非线性、多体问题，在解析上（就是直接写出 $mathbf{r}(t)$ 的数学公式）是 不可能找到精确解 的。

所以，钱学森先生出这道题，考的不是你能写出那个“精准的数学公式”，而是考你对问题的理解、对方法的选择以及对困难的认识。

那么，我们该如何“求解”呢？

1. 近似处理（简化模型）：
只考虑太阳引力： 如果忽略地球的引力，问题就简化成一个标准的“二体问题”（太阳火箭）。这时，火箭的轨道将是一个以太阳为中心的椭圆（或抛物线、双曲线）。从地球发射，想要绕过太阳再回来，意味着你要给火箭一个特定的初速度和方向，让它进入一个能“绕”一圈再“巧合地”出现在地球附近轨道的椭圆。这本身就需要精确的轨道计算。
忽略太阳引力（只考虑地球）： 这个太简单了，火箭就直接飞出去了。
将地球视为一个固定质点（但它也在绕太阳转）： 这依然是多体问题，但比上面那个简单点。

2. 数值方法（计算科学的威力）：
这是解决这类复杂轨道力学问题的 实际方法。
设定初始条件： 我们需要在火箭发射的时刻 $t_0$，知道它的初始位置 $mathbf{r}(t_0)$ 和初始速度 $mathbf{v}(t_0)$。这些参数是由地球的发射能力决定的。
设定目标条件： 在某个预设的返回时间 $t_{end}$，希望火箭的位置 $mathbf{r}(t_{end})$ 靠近地球的位置 $mathbf{r}_e(t_{end})$。
数值积分： 使用计算机，将时间 $t$ 分成很多个非常小的时间步长 $Delta t$。在每个时间步长内，根据当前的火箭位置和速度，计算出受到的合力，然后根据牛顿第二定律计算出火箭的加速度。再通过加速度和速度的关系，计算出火箭在下一个时间步长后的新速度；通过速度和位置的关系，计算出新位置。
例如，使用欧拉法（最简单的）：
$mathbf{v}(t+Delta t) approx mathbf{v}(t) + mathbf{a}(t) Delta t$
$mathbf{r}(t+Delta t) approx mathbf{r}(t) + mathbf{v}(t) Delta t$
（更精确的方法还有龙格库塔法等）
迭代搜索： 问题的关键在于，我们不知道初始速度和方向需要多精确才能实现“绕过太阳再返回”。所以，需要 反复尝试 不同的初始速度和方向，用数值方法计算出轨迹，看看哪种组合能满足返回地球的要求。这就像你在玩一个非常精密的“弹珠游戏”，你需要瞄准一个非常特殊的角度和力度，才能让弹珠绕过一个障碍物后，再精确地滚进另一个目标区域。

方程与求解的“样子”：

所以，如果你是钱学森先生的学生，回答这道题，你不能只写出那个“天书”般的微分方程。你需要展示你理解了问题的实质：

列出的方程：
清楚地写出受力分析，包括太阳和地球的引力。
写出火箭的运动微分方程（矢量形式）。
说明地球位置 $mathbf{r}_e(t)$ 是一个随时间变化的量，需要提供其运动模型（比如，假设地球绕太阳做近似圆周运动，用角速度 $omega$ 表示 $mathbf{r}_e(t) = R_e (cos(omega t + phi_0), sin(omega t + phi_0), 0)$）。

求出的“解”——讨论求解方法：
强调解析解的困难性： 说明由于地球运动的扰动，这是一个多体问题，难以得到精确的解析解。
介绍数值方法的必要性： 详细说明如何使用计算机进行数值积分，迭代计算火箭的轨道。
解释如何寻找满足条件的解： 说明需要通过“试错”或“优化”的方式，调整火箭的初始发射参数（速度大小、方向），直到数值模拟的结果满足“绕过太阳”并“返回地球”的条件。
可能需要考虑的额外因素（显示深度）：
发射窗口： 并不是任何时刻发射都能成功，需要考虑地球、火箭、太阳之间的相对位置，形成“发射窗口”。
燃料限制： 火箭并非永远有动力，一旦动力用完，就只能靠惯性和引力。
轨道修正： 实际任务中，总会有偏差，需要进行轨道修正。
相对论效应（虽然在这个尺度可能不显著，但体现了严谨性）： 在极强的引力场下，相对论效应会影响轨道。

总结一下，这道题的“解”，不是一个简单的数学公式，而是一整套解决复杂动力学问题的思路和方法：

1. 准确建立数学模型（方程）。
2. 认识到解析求解的局限性。
3. 提出可行的数值计算方法（算法）。
4. 讨论如何通过参数调整（优化）来找到满足特定条件的“轨线”。
5. （加分项）提及实际航天任务中的相关考量。

这才是钱学森先生希望看到的，一种 从理论到实践、从数学到工程的完整思考过程。他考察的，是你解决实际问题的能力，而不仅仅是代数和微积分的熟练程度。这道题，也正是中国航天事业起步时，对科学家们提出的，既有理论深度，又有工程实践要求的经典考验。

网友意见

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这道题在今天看来是比较简单的，可预设若干个简化条件：

  1. 火箭运动轨道在黄道面上，不考虑三维空间情形。
  2. 忽略星球引力摄动。
  3. 航天发射场的位置极佳，入轨轨道就在黄道面上，不需要考虑中途变轨。
  4. 火箭加速时间忽略不计。

一个比较骚的操作就是直接用火箭发射到一个以太阳为焦点，离开地球轨道的点为近日点，周期为2倍地球公转周期的大椭圆轨道（实质上还是个霍曼轨道），因此可以保证绕过太阳返回地球。

但我们也要看到这道题出的时间，是在早期计算机没有大规模铺开应用，人类宇航事业刚刚起步的背景下，这就非常艰难了。

所以说人类科技领域的先驱都是天才，不折不扣的天才。

=======更新线=======

回到宿舍，写一下计算过程，为了还原当时考试条件，不使用航（kan）天（ba）向（la）模（tai）拟（kong）软（ji）件（hua）。


1.大椭圆轨道设计

显然的，这种计算还是从大椭圆轨道算起，一步步反算回来，是最合理的。

设地球周期为T，则大椭圆轨道周期为2T。

又由开普勒第三定律知，半长轴的立方与公转周期的平方成正比。

我们知道了地球的轨道半径 ，地球的公转周期 ，目标轨道的公转周期 ，则我们可以求得目标轨道的半长轴长度为

即远日点在距离太阳 ，已经飞越了火星的轨道。


2.进行霍曼转移需要的速度增量计算

我们又已知太阳质量 ，利用开普勒第二定律，简单计算一下，可以得到近日点线速度

已知地球公转可以提供29.8km/s的速度，则加速所需要的速度增量 即为5.1km/s。


3.起飞段速度要求计算

我们这里假设要一鼓作气，直飞霍曼转移轨道。则根据能量守恒，起飞能量减去克服地球引力能量，即剩下动能，速度即为。

则可由第二宇宙速度 以及动能公式

轻易计算出 ，即在地球近地轨道上的速度需要比第二宇宙速度多出1.1km/s，飞掠火星绰绰有余，但不足被火星捕获。


4.火箭选型

假设载荷质量 为1吨，则根据齐奥尔科夫斯基公式，有

当然，单级火箭是不可能一步送到这么牛逼的轨道的，SSTO也不行。

还是按照之前的方法反算，火箭怎样不去管它， 我们只需要把载荷送入轨，之后选型就行了。

第一宇宙速度为7.9km/s，目标为加速到12.3km/s，有4.4km/s的速度增量要完成。

载荷所在的卫星平台发动机比冲假设为300s，即喷气速度3000m/s

则需要初始质量为4.33吨，保守一点，4.5吨。


最后就是找一枚近地轨道运力为4.5吨的火箭即可，第聂伯号运载火箭刚好是这个数。


以上就是稍微计算了一下，如果有错误的话还请指正。

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