什么是无偏估计？
好的，我们来聊聊“无偏估计”，我会尽量用一种更自然、更接地气的方式来解释它。
想象一下，我们想知道一堆苹果的平均重量。直接把所有苹果都称一遍太麻烦了，所以我们决定从中随机挑一些苹果，称一下它们的重量，然后用这些样本的平均重量来“估计”整堆苹果的平均重量。
无偏估计，简单来说，就是一种“公平”的估计方法。 它不故意偏向某个方向，也就是说，你用这种方法反复去估计，平均下来的结果会非常接近真实的值。
我们用数学一点的说法来解释一下：
假设我们要估计的真实值是 $ heta$（比如，一堆苹果的真实平均重量）。我们通过收集样本，计算出一个估计值，我们称之为 $hat{ heta}$（比如，我们挑出来的这几个苹果的平均重量）。
无偏估计的定义是：我们估计值的期望值等于真实值。
用公式表示就是：$E(hat{ heta}) = heta$
这里面最重要的概念是“期望值”。
什么是期望值呢？
你可以把它理解成“平均来看会是多少”。如果我用同样的方法，从同一堆苹果里随机抽取很多很多批苹果，每次都计算出样本的平均重量，然后把这些样本平均重量再平均一下，这个最终的平均值，理论上就无限接近那堆苹果真实的平均重量。
举个例子来理解什么是“有偏估计”：
假设你有一种“测谎仪”，它不准。当你问一个说真话的人时，它有 80% 的概率说他说谎，20% 的概率说他说真话。当你问一个说谎的人时，它有 70% 的概率说他说谎，30% 的概率说他说真话。
那么，这个“测谎仪”的判断就是一个有偏估计。如果你用它来估计某人说真话的概率，平均下来，它的结果会系统性地偏低，因为它更倾向于把人判断成说谎者。
为什么无偏估计很重要？
1. 可靠性高： 无偏估计给了我们一种信心，知道我们选择的估计方法不会系统性地高估或低估真实值。它让我们更相信样本的平均值确实能反映整体的真实情况。
2. 基础性： 在统计学里，很多更高级的统计方法和理论都建立在无偏估计的基础上。如果没有无偏估计，很多推断和决策都会变得不可靠。
3. 公平性： 在很多应用场景，比如科学研究、经济预测、质量控制，我们都希望我们的估计是公平的，不偏不倚，避免因为方法本身的问题而导致错误的结论或决策。
常见的无偏估计例子：
样本均值估计总体均值： 这是最经典的例子。如果你从一个总体里抽取一个随机样本，那么这个样本的平均值（样本均值）就是对总体平均值（总体均值）的一个无偏估计。无论总体均值是多少，你用样本均值去估计它，平均来看结果是对的。
样本方差估计总体方差（需要除以 n1）： 这个稍微有点技巧。如果我们用样本数据来计算“方差”（衡量数据离散程度的指标），直接用样本数据除以样本数量 $n$ 来计算的话，结果会稍微偏低（有偏估计）。统计学家们发现，如果我们除以 $n1$（样本数量减一），得到的结果就会是一个无偏估计。这是因为样本均值是用样本数据计算出来的，它本身就“利用”了样本数据的一些信息，用 $n1$ 来调整可以补偿这种“信息的损失”。
总结一下：
无偏估计就像一个诚实的裁判，它不会因为自己的“偏好”而影响判罚，多次判罚下来，总体上是公正的。当我们用一个无偏估计方法去估计某个真实值时，我们可以相信，虽然每一次的估计值可能与真实值有差距（因为样本总会有随机性），但平均来看，这个差距是零，它不会系统性地把我们引向错误的方向。
希望这样解释能让你对无偏估计有一个更生动、更透彻的理解。
想象一下，我们想知道一堆苹果的平均重量。直接把所有苹果都称一遍太麻烦了，所以我们决定从中随机挑一些苹果，称一下它们的重量，然后用这些样本的平均重量来“估计”整堆苹果的平均重量。
无偏估计，简单来说，就是一种“公平”的估计方法。 它不故意偏向某个方向，也就是说，你用这种方法反复去估计，平均下来的结果会非常接近真实的值。
我们用数学一点的说法来解释一下：
假设我们要估计的真实值是 $ heta$（比如，一堆苹果的真实平均重量）。我们通过收集样本，计算出一个估计值，我们称之为 $hat{ heta}$（比如，我们挑出来的这几个苹果的平均重量）。
无偏估计的定义是：我们估计值的期望值等于真实值。
用公式表示就是：$E(hat{ heta}) = heta$
这里面最重要的概念是“期望值”。
什么是期望值呢？
你可以把它理解成“平均来看会是多少”。如果我用同样的方法，从同一堆苹果里随机抽取很多很多批苹果，每次都计算出样本的平均重量，然后把这些样本平均重量再平均一下，这个最终的平均值，理论上就无限接近那堆苹果真实的平均重量。
举个例子来理解什么是“有偏估计”：
假设你有一种“测谎仪”，它不准。当你问一个说真话的人时，它有 80% 的概率说他说谎，20% 的概率说他说真话。当你问一个说谎的人时，它有 70% 的概率说他说谎，30% 的概率说他说真话。
那么，这个“测谎仪”的判断就是一个有偏估计。如果你用它来估计某人说真话的概率，平均下来，它的结果会系统性地偏低，因为它更倾向于把人判断成说谎者。
为什么无偏估计很重要？
1. 可靠性高： 无偏估计给了我们一种信心，知道我们选择的估计方法不会系统性地高估或低估真实值。它让我们更相信样本的平均值确实能反映整体的真实情况。
2. 基础性： 在统计学里，很多更高级的统计方法和理论都建立在无偏估计的基础上。如果没有无偏估计，很多推断和决策都会变得不可靠。
3. 公平性： 在很多应用场景，比如科学研究、经济预测、质量控制，我们都希望我们的估计是公平的，不偏不倚，避免因为方法本身的问题而导致错误的结论或决策。
常见的无偏估计例子：
样本均值估计总体均值： 这是最经典的例子。如果你从一个总体里抽取一个随机样本，那么这个样本的平均值（样本均值）就是对总体平均值（总体均值）的一个无偏估计。无论总体均值是多少，你用样本均值去估计它，平均来看结果是对的。
样本方差估计总体方差（需要除以 n1）： 这个稍微有点技巧。如果我们用样本数据来计算“方差”（衡量数据离散程度的指标），直接用样本数据除以样本数量 $n$ 来计算的话，结果会稍微偏低（有偏估计）。统计学家们发现，如果我们除以 $n1$（样本数量减一），得到的结果就会是一个无偏估计。这是因为样本均值是用样本数据计算出来的，它本身就“利用”了样本数据的一些信息，用 $n1$ 来调整可以补偿这种“信息的损失”。
总结一下：
无偏估计就像一个诚实的裁判，它不会因为自己的“偏好”而影响判罚，多次判罚下来，总体上是公正的。当我们用一个无偏估计方法去估计某个真实值时，我们可以相信，虽然每一次的估计值可能与真实值有差距（因为样本总会有随机性），但平均来看，这个差距是零，它不会系统性地把我们引向错误的方向。
希望这样解释能让你对无偏估计有一个更生动、更透彻的理解。
网友意见
现实中常常有这样的问题，比如，想知道全体女性的身高均值 ，但是没有办法把每个女性都进行测量，只有抽样一些女性来估计全体女性的身高：
那么根据抽样数据怎么进行推断？什么样的推断方法可以称为“好”？
1 无偏性
比如说我们采样到的女性身高分别为：
那么：
是对 不错的一个估计，为什么？因为它是无偏估计。
首先，真正的全体女性的身高均值 ，我们是不知道，只有上帝才知道，在图中就画为虚线：
我们通过采样计算出 ：
会发现，不同采样得到的 是围绕 左右波动的：
这有点像打靶，只要命中在靶心周围，还算不错的成绩，这就是无偏的：
如果用以下式子去估计总体方差 ：
根据“为什么样本方差的分母是 n-1？”的解释，会偏离靶心、产生偏差，这就是有偏的：
这个偏差经过计算，就是：
这种偏差就好像瞄准镜歪了，是系统性的：
就此而言，无偏估计要好于有偏估计。
2 有效性
打靶的时候，右边的成绩肯定更优秀：
进行估计的时候也是，估计量越靠近目标，效果越“好”。这个“靠近”可以用方差来衡量。
比如，仍然对 进行估计，方差越小，估计量的分布越接近 ：
有效估计和无偏估计是不相关的：
举个例子，从 中抽出10个样本：
下面两个都是无偏估计量：
但是后者比前者方差小，后者更有效。
并且在现实中不一定非要选无偏估计量，比如：
如果能接受点误差，我倒觉得选择右边这个估计量更好。
3 一致性
之前说了，如果用以下式子去估计方差 ：
会有一个偏差：
可以看到，随着采样个数 的增加，这个偏差会越来越小。那么这个估计就是“一致”的。
如果样本数够多，其实这种“有偏”但是“一致”的估计量也是可以选的。
4 总结
判断一个估计量“好坏”，至少可以从以下三个方面来考虑：
- 无偏
- 有效
- 一致
实际操作中，要找到满足三个方面的量有时候并不容易，可以根据情况进行取舍。
文章最新版本在（有可能会有后续更新）：如何理解无偏估计？
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