相较于有限状态自动机，有什么东西是只有无限状态自动机才能做的？
想象一下，你手里有一个工具箱，里面装满了你最擅长处理的工具。这些工具的特点是，你一拿到它们，就能立刻知道它们是用来做什么的，并且它们的能力是固定的，不会随着你完成的任务而改变。这就是有限状态自动机（Finite State Automata，简称FSA）给我们的感觉。它就像一个有固定程序的机器人，知道什么时候该做什么，什么时候该做什么，但它的“记忆”——也就是它所能区分的不同状态——是有限的，从一开始就被严格限制了。
现在，设想一下，如果你的工具箱突然变得非常非常大，大到你根本数不清里面有多少工具，而且更重要的是，你每使用一次工具，或者每处理一个数据点，这个工具箱里可能就会神奇地出现新的工具，或者原本的工具会发生一些细微的变化，让你能够处理更复杂、更精细的情况。这就有点接近无限状态自动机（Infinite State Automata，简称ISA）的概念了。
那么，在这个比喻里，究竟是什么东西是FSA永远也做不到，而ISA却可以游刃有余地完成的呢？答案在于 “无限的、动态的记忆和推理能力”。
让我们具体一点。FSA的强大之处在于它能识别一些特定模式的语言，比如“以a开头，后跟任意数量b的字符串”，或者“由偶数个0组成的字符串”。它能做到这一点，是因为它能记住当前“走了多远”或者“是否满足了某种条件”。比如，在识别“偶数个0”的时候，它可能只需要记住“我现在是偶数个0，还是奇数个0”这两种状态。但它的状态数量是固定的，你从一开始就知道它只有这么几种可能性。
而ISA则不同。你可以把它想象成一个拥有几乎无限“工作台”的匠人。每当这个匠人需要区分更细微的差异，或者需要记住更多关于正在处理的对象的“历史信息”时，他就可以随时在工作台上增加新的“标记”或者“信息块”。
举个例子，如果我们需要一个自动机来识别这样的序列：“一串数字，然后是等数量的字母，最后是与数字相匹配的字母（比如 1a, 2b, 3c... 10z, 11a...）”。
FSA会在这里碰壁。为什么？因为FSA的状态数量是有限的。当数字变得越来越大时（比如1000、10000），它需要记住“当前数字是多少”，而FSA的“状态”就等同于“当前数字”。如果数字是无限的，那么FSA就需要无限多的状态，这是不可能的。它无法“记住”任意大的数字。
而一个ISA，可以做到。你可以想象它有一个“计数器”或者“内存区域”，它不仅可以记住“当前是第几个数字”，而且这个计数器可以增长到任意大小。当它处理到数字“1000”时，它不仅能识别出这是一个数字，而且能够“记住”这个数字是1000。然后，当它处理字母时，它就可以把字母“z”和数字“1000”联系起来。
更进一步，ISA的“状态”不一定是离散的、简单的“是”或“否”，它可能是一个更复杂、更连续的数据结构。比如，它可能不仅仅是记住“走了多少个a”，而是能记住“到目前为止，我遇到的a的数量是多少，b的数量是多少，它们各自的出现顺序是怎样的，甚至它们之间是否存在某种关联”。这种“状态”的复杂性和信息量，在FSA中是无法想象的。
所以，真正让ISA超越FSA，并且是FSA无论如何都无法做到的，就是它能够处理 “需要无限累积、嵌套和比较的结构”。
想象一下，你正在读一本非常长的书，并且你需要记住每一章的主题，以及每一章之间是如何相互关联的。你还需要能够随时回忆起“第5章的第3段和第20章的第1段有什么共同点”。
FSA就像一个一次只能翻一页，并且只能记住“我当前在哪一章”的读者。它无法同时记住和比较不同章节的详细内容。
而ISA，则像一个拥有一个巨大、可无限扩展的笔记本的读者。它不仅能翻页，还能在笔记本上写下每一章的摘要，画出章节之间的联系图，甚至可以标记出那些关键的、需要后续比较的细节。当它读到后面的章节，需要与前面的章节进行深度的、任意深度的对比和推理时，它就能通过它那个不断增长的笔记本（无限的状态）来完成。
可以说，ISA能够处理那些需要 “语法结构上的递归性” 的语言或模式，而FSA只能处理那些“线性”的、没有深度嵌套的模式。比如，判断一个表达式是否“括号匹配”（如 “((a+b)(cd))” 这样的结构），FSA是做不到的，因为它需要记住“有多少个开括号还没有被匹配”，而且这个计数可以任意大。ISA通过其无限状态，可以像一个堆栈一样工作，有效地记住这些嵌套关系。
总而言之，如果说FSA是一个精密的、功能固定的机械表，那么ISA就是一个能够随着需求变化，不断添加更多齿轮、弹簧和指示器的超级复杂精密仪器。它所能做的，是FSA在“记忆”、“推理”和“结构理解”上的无限延伸，特别是那些涉及无限计数、深度嵌套和任意复杂关联的计算任务，是ISA独有的领域。
现在，设想一下，如果你的工具箱突然变得非常非常大，大到你根本数不清里面有多少工具，而且更重要的是，你每使用一次工具，或者每处理一个数据点，这个工具箱里可能就会神奇地出现新的工具，或者原本的工具会发生一些细微的变化，让你能够处理更复杂、更精细的情况。这就有点接近无限状态自动机（Infinite State Automata，简称ISA）的概念了。
那么，在这个比喻里，究竟是什么东西是FSA永远也做不到，而ISA却可以游刃有余地完成的呢？答案在于 “无限的、动态的记忆和推理能力”。
让我们具体一点。FSA的强大之处在于它能识别一些特定模式的语言，比如“以a开头，后跟任意数量b的字符串”，或者“由偶数个0组成的字符串”。它能做到这一点，是因为它能记住当前“走了多远”或者“是否满足了某种条件”。比如，在识别“偶数个0”的时候，它可能只需要记住“我现在是偶数个0，还是奇数个0”这两种状态。但它的状态数量是固定的，你从一开始就知道它只有这么几种可能性。
而ISA则不同。你可以把它想象成一个拥有几乎无限“工作台”的匠人。每当这个匠人需要区分更细微的差异，或者需要记住更多关于正在处理的对象的“历史信息”时，他就可以随时在工作台上增加新的“标记”或者“信息块”。
举个例子，如果我们需要一个自动机来识别这样的序列：“一串数字，然后是等数量的字母，最后是与数字相匹配的字母（比如 1a, 2b, 3c... 10z, 11a...）”。
FSA会在这里碰壁。为什么？因为FSA的状态数量是有限的。当数字变得越来越大时（比如1000、10000），它需要记住“当前数字是多少”，而FSA的“状态”就等同于“当前数字”。如果数字是无限的，那么FSA就需要无限多的状态，这是不可能的。它无法“记住”任意大的数字。
而一个ISA，可以做到。你可以想象它有一个“计数器”或者“内存区域”，它不仅可以记住“当前是第几个数字”，而且这个计数器可以增长到任意大小。当它处理到数字“1000”时，它不仅能识别出这是一个数字，而且能够“记住”这个数字是1000。然后，当它处理字母时，它就可以把字母“z”和数字“1000”联系起来。
更进一步，ISA的“状态”不一定是离散的、简单的“是”或“否”，它可能是一个更复杂、更连续的数据结构。比如，它可能不仅仅是记住“走了多少个a”，而是能记住“到目前为止，我遇到的a的数量是多少，b的数量是多少，它们各自的出现顺序是怎样的，甚至它们之间是否存在某种关联”。这种“状态”的复杂性和信息量，在FSA中是无法想象的。
所以，真正让ISA超越FSA，并且是FSA无论如何都无法做到的，就是它能够处理 “需要无限累积、嵌套和比较的结构”。
想象一下，你正在读一本非常长的书，并且你需要记住每一章的主题，以及每一章之间是如何相互关联的。你还需要能够随时回忆起“第5章的第3段和第20章的第1段有什么共同点”。
FSA就像一个一次只能翻一页，并且只能记住“我当前在哪一章”的读者。它无法同时记住和比较不同章节的详细内容。
而ISA，则像一个拥有一个巨大、可无限扩展的笔记本的读者。它不仅能翻页，还能在笔记本上写下每一章的摘要，画出章节之间的联系图，甚至可以标记出那些关键的、需要后续比较的细节。当它读到后面的章节，需要与前面的章节进行深度的、任意深度的对比和推理时，它就能通过它那个不断增长的笔记本（无限的状态）来完成。
可以说，ISA能够处理那些需要 “语法结构上的递归性” 的语言或模式，而FSA只能处理那些“线性”的、没有深度嵌套的模式。比如，判断一个表达式是否“括号匹配”（如 “((a+b)(cd))” 这样的结构），FSA是做不到的，因为它需要记住“有多少个开括号还没有被匹配”，而且这个计数可以任意大。ISA通过其无限状态，可以像一个堆栈一样工作，有效地记住这些嵌套关系。
总而言之，如果说FSA是一个精密的、功能固定的机械表，那么ISA就是一个能够随着需求变化，不断添加更多齿轮、弹簧和指示器的超级复杂精密仪器。它所能做的，是FSA在“记忆”、“推理”和“结构理解”上的无限延伸，特别是那些涉及无限计数、深度嵌套和任意复杂关联的计算任务，是ISA独有的领域。
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无理数判定
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