直角坐标与极坐标的互化中，为什么 dxdy=rdrdθ？

这个问题涉及到从直角坐标系 $(x, y)$ 到极坐标系 $(r, heta)$ 的坐标变换，以及在进行积分运算时面积微元的变化。简单来说，这个等式之所以成立，是因为在进行坐标变换时，我们不仅仅是简单地将 $x$ 和 $y$ 替换成 $r cos heta$ 和 $r sin heta$，还需要考虑坐标系本身在变换过程中对面积的“拉伸”或“压缩”效应。

让我们一步一步地来理解：

1. 直角坐标下的面积微元

在直角坐标系中，一个无穷小的矩形区域的面积是其边长的乘积，即 $dx cdot dy$。想象一下一个非常非常小的矩形，它的一个顶点在 $(x, y)$，它的右边顶点在 $(x+dx, y)$，它的上边顶点在 $(x, y+dy)$。这个小矩形的面积就是 $dxdy$。

2. 极坐标下的面积微元

在极坐标系中，我们用距离原点的距离 $r$ 和与正 x 轴的夹角 $ heta$ 来描述一个点。一个无穷小的区域，如果我们想用极坐标来描述，就不是一个简单的矩形了。我们可以想象一个扇形区域。

角度的变化: 如果我们保持距离 $r$ 不变，但让角度从 $ heta$ 变化到 $ heta + d heta$，这会形成一个很小的扇形。这个扇形的弧长是多少呢？我们知道圆的周长是 $2pi r$。对于一个角度变化 $d heta$，对应的弧长就是周长的 $frac{d heta}{2pi}$ 倍，也就是 $2pi r cdot frac{d heta}{2pi} = r d heta$。
距离的变化: 现在，如果我们让距离从 $r$ 变化到 $r + dr$，同时保持角度在 $ heta$ 到 $ heta + d heta$ 之间，我们就会得到一个非常小的“扇形环”区域。这个区域的“宽度”就是 $dr$。

现在，我们来近似计算这个小扇形环的面积。我们可以把它想象成一个非常非常细长的矩形，它的一个边长是弧长 $r d heta$，另一个边长是 $dr$。那么，这个小区域的面积就是 $(r d heta) cdot dr$，也就是 $r dr d heta$。

所以，在极坐标系下，无穷小的面积微元是 $dA = r dr d heta$。

3. 为什么是 $dxdy = rdrd heta$？—— Jacobian 行列式

这里的核心在于理解，当我们从一个坐标系变换到另一个坐标系时，面积（或体积）的度量是如何变化的。这背后涉及到微积分中的一个重要概念：雅可比行列式 (Jacobian determinant)。

雅可比行列式衡量了坐标变换对区域面积（或体积）的“缩放因子”。

让我们来看一下直角坐标 $(x, y)$ 和极坐标 $(r, heta)$ 之间的变换关系：

$x = r cos heta$
$y = r sin heta$

要计算雅可比行列式，我们需要计算这组变换关系中每个变量对每个坐标变量的偏导数：

$frac{partial x}{partial r} = cos heta$
$frac{partial x}{partial heta} = r sin heta$

$frac{partial y}{partial r} = sin heta$
$frac{partial y}{partial heta} = r cos heta$

雅可比矩阵是这些偏导数组成的矩阵：
$$ J = egin{pmatrix} frac{partial x}{partial r} & frac{partial x}{partial heta} \ frac{partial y}{partial r} & frac{partial y}{partial heta} end{pmatrix} = egin{pmatrix} cos heta & r sin heta \ sin heta & r cos heta end{pmatrix} $$

雅可比行列式是这个矩阵的行列式：
$$ det(J) = (cos heta)(r cos heta) (r sin heta)(sin heta) $$
$$ det(J) = r cos^2 heta + r sin^2 heta $$
$$ det(J) = r (cos^2 heta + sin^2 heta) $$
由于 $cos^2 heta + sin^2 heta = 1$，所以：
$$ det(J) = r $$

这个雅可比行列式的值 $r$ 就是从极坐标微元 $drd heta$ 变换到直角坐标微元 $dxdy$ 的缩放因子。也就是说，一个在极坐标系下的无穷小面积元素 $dA_{polar} = drd heta$（可以理解为忽略那个 $r$ 的“基本单元”），在变换到直角坐标系后，其面积为 $dA_{rect} = |det(J)| dA_{polar} = r drd heta$。

反过来思考，如果我们想把一个直角坐标下的微小面积 $dxdy$ 转换成极坐标下的微小面积，我们需要除以这个缩放因子。所以：
$dxdy = |det(J)| drd heta = r drd heta$

更直观的解释:

想象一下，在极坐标系中，从 $(r, heta)$ 到 $(r+dr, heta+d heta)$ 的一个“基本小块”的面积可以看作是 $dr cdot (r d heta)$。
而在直角坐标系中，对应于这个极坐标小块的区域，其形状可能不是一个方方正正的矩形。

当 $r$ 很大时，角度为 $d heta$ 的一段弧长是 $r d heta$。这部分弧长比 $dr$ 大得多。
当 $r$ 很小时，角度为 $d heta$ 的一段弧长是 $r d heta$。这部分弧长就比较小。

这个 $r$ 就好像一个“系数”，它表明了在极坐标系下，单位角度变化 $d heta$ 所对应的实际线性距离是如何随着离原点的距离 $r$ 而变化的。离原点越远，相同的角度变化覆盖的直线距离就越长。所以，在计算面积时，需要乘以这个 $r$ 来“校正”这个变化。

总结来说：

1. 直角坐标微元 $dxdy$ 代表了一个边长为 $dx$ 和 $dy$ 的小矩形面积。
2. 极坐标微元 $rdrd heta$ 代表了一个由半径变化 $dr$ 和弧长 $rd heta$ 所构成的小扇形区域面积。
3. 雅可比行列式 $r$ 是从极坐标系到直角坐标系的坐标变换的缩放因子。它解释了为什么在进行积分变换时，面积微元从 $drd heta$ 变成了 $rdrd heta$。

所以，$dxdy = rdrd heta$ 是因为在从极坐标系转换到直角坐标系进行积分时，面积元素的“大小”发生了变化，而 $r$ 就是这个变化率或缩放因子，它由坐标变换本身的几何特性决定（通过雅可比行列式体现）。

在实际积分计算中，如果我们想计算一个区域 $D$ 在直角坐标下的积分 $iint_D f(x,y) dxdy$，如果区域 $D$ 在极坐标下表示更方便，我们就会进行变量替换。首先，将 $x$ 和 $y$ 用 $rcos heta$ 和 $rsin heta$ 替换掉被积函数 $f(x,y)$，然后将面积微元 $dxdy$ 替换为 $rdrd heta$，并确定新的积分区域 $D'$ 在极坐标系下的范围。

希望这个详细的解释能够帮助你理解 $dxdy = rdrd heta$ 的由来！

我觉得此回答下一些答主脑回路清奇，上来就把微分形式什么的先diss一遍，麻烦先搞清楚逻辑再来发表高论。在此反对几种令人摸不着头脑的观点：

• 反对说 @予一人 的回答将问题复杂化的观点。

首先要看题主的问题，题主的问题在于用通常的乘法无法得出预期的结果。而 @予一人 的回答中仅仅是说明这个东西不是普通的乘积而已，并引出了wedge product的概念，来解释题主的疑惑。从题目的角度来看，题主压根没有问如何从几何直觉上来理解这两个乘积，有些回答看得我不知所云。

• 反对说 @予一人 的回答是循环定义的观点。

实际上完全可以用楔形积来定义雅可比。当然了，介绍楔形积必然得用张量和交错代数的语言来描述，这部分得有线性代数的前置知识，雅可比行列式也得有线性代数的前置知识，这两者之间并无显著差异（如果你阅读过那本linear algebra done right，就会意识到行列式完全可以放在最后定义，前面直接安排上线性算子语言）。 答主比较菜，这方面特意向迷神@唐珑珂确认了一下：

• 反对楔积对初学者无用论。

固然几何直观很重要，我也很赞赏Arnold式的对问题的理解方式。然而，数学上这些更深层次的东西是需要的，而并不应该在回答中仿佛故意摒弃这种「高端」方式。我也不认为这个问题下楔积可以和什么「1+1=2的故事中的阿贝尔群」进行类比，那个完全不能帮助你得出计算结果，但楔积是可以的，这点在 @予一人 大佬中的回答中已经有了体现。因此也完全不必要说哪个好不好理解的问题，这两者在我看来，就这个问题而言，是相同地位。

这是一个好问题，而要真正理解这个问题，你首先需要在头脑里消除一种误会：

这样的记号并不代表通常意义上的乘法，因此不能按照通常的多项式乘法来处理。事实上，它们是所谓的楔形积（wedge product），相当于外积。严格来讲，这记号应该写作

这种运算规定：

于是

于是