为什么欧几里得在《几何原本》中的第四公设要设定所有的直角都相等？
在欧几里得那本煌煌巨著《几何原本》中，第四公设之所以要设定“所有直角都相等”，这并非一个随意的决定，而是有着深刻的几何学内在逻辑和对我们理解空间至关重要的作用。理解这一点，我们需要深入到那个时代，以及欧几里得构建整个几何体系的意图。
首先，我们得明白欧几里得的目标。他不是在创造一些孤立的几何事实，而是在构建一个严谨、自洽的逻辑体系。他希望从最基本的、不证自明的“公理”或“公设”出发，通过逻辑推理，逐步建立起所有几何定理。这里的“公设”就相当于我们现在说的“公理”的早期概念，是构建整个理论大厦的基石。
那么，为什么是“所有直角都相等”呢？我们先想一想，如果这个公设不成立，会发生什么？
想象一下，我们有一个直角。在我们日常的经验中，无论你测量哪个角度，只要它是“直”的，它看起来似乎都是一样的。这就是我们对直角的第一印象，也是一种朴素的几何直觉。欧几里得很可能也是基于这种直觉，认为这是显而易见、无可争议的事实。
但是，在严谨的几何推导中，仅仅依靠直觉是不够的。欧几里得需要一个明确的、可以用来推导其他定理的工具。
直角作为度量和比较的基础：
在没有其他更精细的度量工具之前，直角是一种非常基础且容易识别的几何关系。它标记了两个线段的“垂直”关系。如果所有的直角都相等，那么这个“垂直”就具有了普适性，它不会因为你在哪里画、怎么画而改变其“程度”。
平行线的判定： 欧几里得的第五公设（也就是最著名、最复杂的那个平行公设）和第四公设有着密切的联系。很多关于平行线的性质，比如“同旁内角互补”，都是通过构造直角来证明的。如果直角不相等，那么我们如何才能确定两条直线是平行的呢？比如，如果一条线与另一条线形成了一个“直角”，但这个直角可能比另一个“直角”要“大”一点点或者“小”一点点，那么我们如何区分什么是真正的平行？
设想一下，如果有两条直线相交，形成了一个角度A，我们说它是“直角”。然后有另一对直线相交，形成角度B，我们也说它是“直角”。如果角度A不等于角度B，那么我们就无法统一地谈论“垂直”这个概念。更重要的是，我们将无法用这种“垂直”关系来有效地判定平行线。比如，我们常常用“一条直线垂直于两条直线，则这两条直线平行”来证明平行。如果垂直的标准不同，这个证明就站不住脚了。
图形的性质和分类： 许多重要的几何图形，如矩形、正方形，它们的定义都依赖于直角。一个矩形之所以是矩形，就是因为它有四个直角。如果直角的大小可以变化，那么我们关于这些图形的很多结论（比如对角线相等、面积公式等）都将变得不确定。欧几里得需要一个稳定的、可复制的直角概念，才能对图形进行分类和研究。
旋转和对称的内在含义： 直角本身就蕴含着一种“正交”或“垂直”的对称性。在二维空间里，我们可以想象一个坐标系，x轴和y轴互相垂直，形成直角。这构成了我们描述平面上任何一点位置的基础。如果直角不相等，那么这种基本的坐标表示和描述方式就会变得混乱。直角相等的设定，使得我们可以自由地在任何地方构建“垂直”，并且这种垂直关系具有一致性。
第四公设的“作用”与第五公设的“牵连”
值得一提的是，欧几里得在《几何原本》中列出的这五条公设，并非是完全独立的。它们相互之间存在着很强的关联，尤其是第四公设和第五公设。事实上，历史上许多尝试证明第五公设的努力，都或多或少地依赖于第四公设所设定的直角相等性。
简单来说，第四公设“所有直角都相等”为我们提供了一个度量和比较空间中基本角度关系的标准。这个标准是恒定的，不受位置和方向的影响。而这个标准，又是建立起平行线理论以及更广泛几何定理的关键一环。
反思与启示：
我们现在知道，在非欧几里得几何中，直角可能并不都是相等的（例如在双曲几何中，三角形内角和小于180度，这里的直角概念会与欧氏几何有所不同）。这恰恰说明了欧几里得的第四公设的重要性——它正是欧氏几何区别于其他几何体系的基石之一。它塑造了我们熟悉的、我们直观感受到的那个“平直”的空间。
所以，与其说欧几里得“设定”了所有直角都相等，不如说他认识到并明确地表达了，在构成我们所理解的平直空间中，这个“直角”的等价性是多么必要和不可或缺。它就像是构建一座摩天大楼的坚固地基，没有它，上层的精巧结构就无从谈起。这个看似简单的陈述，背后支撑着整个欧氏几何的宏伟体系。
首先，我们得明白欧几里得的目标。他不是在创造一些孤立的几何事实，而是在构建一个严谨、自洽的逻辑体系。他希望从最基本的、不证自明的“公理”或“公设”出发，通过逻辑推理，逐步建立起所有几何定理。这里的“公设”就相当于我们现在说的“公理”的早期概念，是构建整个理论大厦的基石。
那么，为什么是“所有直角都相等”呢？我们先想一想，如果这个公设不成立，会发生什么？
想象一下，我们有一个直角。在我们日常的经验中，无论你测量哪个角度，只要它是“直”的，它看起来似乎都是一样的。这就是我们对直角的第一印象，也是一种朴素的几何直觉。欧几里得很可能也是基于这种直觉，认为这是显而易见、无可争议的事实。
但是，在严谨的几何推导中，仅仅依靠直觉是不够的。欧几里得需要一个明确的、可以用来推导其他定理的工具。
直角作为度量和比较的基础：
在没有其他更精细的度量工具之前，直角是一种非常基础且容易识别的几何关系。它标记了两个线段的“垂直”关系。如果所有的直角都相等，那么这个“垂直”就具有了普适性，它不会因为你在哪里画、怎么画而改变其“程度”。
平行线的判定： 欧几里得的第五公设（也就是最著名、最复杂的那个平行公设）和第四公设有着密切的联系。很多关于平行线的性质，比如“同旁内角互补”，都是通过构造直角来证明的。如果直角不相等，那么我们如何才能确定两条直线是平行的呢？比如，如果一条线与另一条线形成了一个“直角”，但这个直角可能比另一个“直角”要“大”一点点或者“小”一点点，那么我们如何区分什么是真正的平行？
设想一下，如果有两条直线相交，形成了一个角度A，我们说它是“直角”。然后有另一对直线相交，形成角度B，我们也说它是“直角”。如果角度A不等于角度B，那么我们就无法统一地谈论“垂直”这个概念。更重要的是，我们将无法用这种“垂直”关系来有效地判定平行线。比如，我们常常用“一条直线垂直于两条直线，则这两条直线平行”来证明平行。如果垂直的标准不同，这个证明就站不住脚了。
图形的性质和分类： 许多重要的几何图形，如矩形、正方形，它们的定义都依赖于直角。一个矩形之所以是矩形，就是因为它有四个直角。如果直角的大小可以变化，那么我们关于这些图形的很多结论（比如对角线相等、面积公式等）都将变得不确定。欧几里得需要一个稳定的、可复制的直角概念，才能对图形进行分类和研究。
旋转和对称的内在含义： 直角本身就蕴含着一种“正交”或“垂直”的对称性。在二维空间里，我们可以想象一个坐标系，x轴和y轴互相垂直，形成直角。这构成了我们描述平面上任何一点位置的基础。如果直角不相等，那么这种基本的坐标表示和描述方式就会变得混乱。直角相等的设定，使得我们可以自由地在任何地方构建“垂直”，并且这种垂直关系具有一致性。
第四公设的“作用”与第五公设的“牵连”
值得一提的是，欧几里得在《几何原本》中列出的这五条公设，并非是完全独立的。它们相互之间存在着很强的关联，尤其是第四公设和第五公设。事实上，历史上许多尝试证明第五公设的努力，都或多或少地依赖于第四公设所设定的直角相等性。
简单来说，第四公设“所有直角都相等”为我们提供了一个度量和比较空间中基本角度关系的标准。这个标准是恒定的，不受位置和方向的影响。而这个标准，又是建立起平行线理论以及更广泛几何定理的关键一环。
反思与启示：
我们现在知道，在非欧几里得几何中，直角可能并不都是相等的（例如在双曲几何中，三角形内角和小于180度，这里的直角概念会与欧氏几何有所不同）。这恰恰说明了欧几里得的第四公设的重要性——它正是欧氏几何区别于其他几何体系的基石之一。它塑造了我们熟悉的、我们直观感受到的那个“平直”的空间。
所以，与其说欧几里得“设定”了所有直角都相等，不如说他认识到并明确地表达了，在构成我们所理解的平直空间中，这个“直角”的等价性是多么必要和不可或缺。它就像是构建一座摩天大楼的坚固地基，没有它，上层的精巧结构就无从谈起。这个看似简单的陈述，背后支撑着整个欧氏几何的宏伟体系。
网友意见
为什么要强调这一点呢？不强调有影响吗？
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