(G/H)×H是否同构于G？

你提出的这个问题触及了群论中一个非常核心且有趣的结论：“商群与原群之间的关系”。简单来说，你的问题是在问：一个群 $G$ 除以它某个正规子群 $H$（得到商群 $G/H$），然后将这个商群再“乘上”（或者说作用于）$H$（这里“乘上”和“作用于”的含义需要根据上下文理解，但核心是想探讨 $G/H$ 和 $H$ 如何组合来重建 $G$），所得的结果是否总是与原来的群 $G$ 同构？

答案是：不一定。只有在非常特殊的情况下，$G/H imes H$ 才可能与 $G$ 同构。

让我们一步一步地拆解这个问题，并用更清晰的语言来解释。

首先，理解几个基本概念

1. 群 (Group)：一个集合，上面定义了一个二元运算，满足封闭性、结合律、存在单位元、存在逆元。
2. 子群 (Subgroup)：群 $G$ 的一个非空子集，它本身在群 $G$ 的运算下也构成一个群。
3. 正规子群 (Normal Subgroup)：子群 $H$ 如果满足对于任意 $g in G$，都有 $gH = Hg$（左陪集等于右陪集），则称 $H$ 是 $G$ 的正规子群。正规子群是构造商群的前提。
4. 商群 (Quotient Group)：如果 $H$ 是 $G$ 的正规子群，那么由 $G$ 的所有左（或右）陪集组成的集合，在自然的运算下（记作 $(aH)(bH) = (ab)H$）构成一个群，称为 $G$ 关于 $H$ 的商群，记作 $G/H$。
5. 直积 (Direct Product)：如果 $G_1$ 和 $G_2$ 是两个群，它们的直积 $G_1 imes G_2$ 是一个集合，元素是形如 $(g_1, g_2)$ 的有序对，其中 $g_1 in G_1, g_2 in G_2$。运算是按分量进行的：$(g_1, g_2)(h_1, h_2) = (g_1 h_1, g_2 h_2)$。
6. 同构 (Isomorphism)：如果两个群之间存在一个“保持结构”的映射（一个双射，并且保持运算），那么这两个群就是同构的。同构的群在群论的意义下是“相同的”。

问题解析：$(G/H) imes H$ 真的能构成一个群吗？

这里你提到的 $(G/H) imes H$ 可能有两种理解：

第一种理解：直积。 这就是我们上面定义过的直积 $G/H imes H$。它的元素是 $(aH, h)$ 的有序对，运算是 $(aH, h_1)(bH, h_2) = (aH bH, h_1 h_2) = (abH, h_1 h_2)$。这个直积确实是一个群。

第二种理解：某种更复杂的组合。 有时候，人们会考虑更复杂的结构，比如半直积 (Semidirect Product)。但从你的表述来看，第一种直积的可能性更大。我们先聚焦于直积 $G/H imes H$。

什么时候 $(G/H) imes H$ 与 $G$ 同构？

要使 $(G/H) imes H$ 与 $G$ 同构，我们需要找到一个从 $G/H imes H$ 到 $G$ 的同构映射。

考虑一个映射 $phi: G/H imes H o G$，定义为 $phi(aH, h) = ah$。

我们需要检查这个映射是否满足同构的要求：

1. 双射 (Bijection)：
单射 (Injective)：如果 $phi(aH, h_1) = phi(bH, h_2)$，那么 $a h_1 = b h_2$。这是否意味着 $aH = bH$ 且 $h_1 = h_2$？不一定。例如，如果 $a in bH$，则 $a = bh$ 对于某个 $h in H$。那么 $aH = bhH = bH$（因为 $H$ 是正规子群，这里的 $hH$ 就是 $H$）。所以，即使 $a eq b$ 或 $h_1 eq h_2$，也可能 $phi(aH, h_1) = phi(bH, h_2)$。例如，设 $G = S_3$ (3次对称群)，$H = {e}$ (单位元)。那么 $G/H cong G$。此时 $phi(gH, h) = gh$。如果 $H={e}$，那么 $gH=g{e}={g}$。所以 $G/H={g{e} mid g in G}$ 是一个由单元素集合 ${g}$ 组成的集合。$(G/H) imes H cong G imes {e} cong G$. 这种情况是同构的。
设 $G = mathbb{Z}_2 imes mathbb{Z}_2$，$H = langle (1,0) angle = {(0,0), (1,0)}$。$H$ 是 $G$ 的正规子群。$G/H$ 有两个元素：$(0,0)+H$ 和 $(1,1)+H$。
$(0,0)+H = {(0,0), (1,0)}$
$(1,1)+H = {(1,1), (0,1)}$
$G/H cong mathbb{Z}_2$。
$H cong mathbb{Z}_2$。
$G/H imes H cong mathbb{Z}_2 imes mathbb{Z}_2$。
$G = mathbb{Z}_2 imes mathbb{Z}_2$。
在这个例子中，$G/H imes H cong G$ 是同构的。

但是，如果 $H$ 是 $G$ 的一个平凡子群 (即 $H = {e}$ 或 $H=G$)，或者 $H$ 是 $G$ 的一个极大的正规子群，使得 $G/H$ 是一个“简单”的群，那么同构才有可能发生。

考虑一个普遍情况，如果 $H$ 是 $G$ 的一个正规子群，并且存在一个从 $G/H imes H$ 到 $G$ 的同构，这意味着 $G$ 可以被分解成“两部分”——一部分来自商群的结构，一部分来自子群 $H$ 的结构，并且这两部分是“相互独立”或以一种特定方式耦合的。

2. 保持运算 (Homomorphism)：
$phi((aH, h_1)(bH, h_2)) = phi(abH, h_1 h_2) = (ab)(h_1 h_2)$
$phi(aH, h_1) phi(bH, h_2) = (ah_1)(bh_2)$
为了使 $phi$ 是一个同构，我们需要 $(ab)(h_1 h_2) = (ah_1)(bh_2)$。
这通常不成立。在群 $G$ 中，$ah_1$ 和 $bh_2$ 的乘积的顺序非常重要。除非在特定情况下，这个等式不会普遍成立。

什么时候会出现同构？—— 一个特殊的充要条件

事实上，$(G/H) imes H$ 与 $G$ 同构的充要条件是：$H$ 是 $G$ 的一个正规子群，并且存在一个从 $G$ 到 $H$ 的群同态 $pi$，使得 $pi(h) = h$ 对所有 $h in H$（即 $pi$ 是在 $H$ 上的恒等映射），并且 $pi(gh) = pi(g)pi(h)$ 对于所有 $g in G, h in H$ 成立（这个条件通常用核 (kernel) 和像 (image) 来刻画）。

更常见的表述是：
如果 $H$ 是 $G$ 的一个正规子群，并且存在一个从 $G$ 到 $H$ 的 截面 (section) 或者说 同态逆元 (homomorphism inverse) $sigma: G/H o G$，使得 $sigma(aH)h = ah$ （这里的 $aH$ 是商群 $G/H$ 的一个元素，$sigma(aH)$ 是 $G$ 中的一个元素，这个 $a in sigma(aH)$），并且 $sigma(aH) in aH$ 这个关系成立，同时 $sigma$ 本身也是一个群同态。
在这种情况下，可以证明 $G$ 与 $(G/H) imes H$ 直积同构。

一个最简单的、最能说明问题的例子是：

如果存在一个 内自同构 (inner automorphism) $alpha_h: G o G$，定义为 $alpha_h(g) = hgh^{1}$，并且使得 $G/H cong G / ext{ker}(alpha_h)$，这会和 $G cong (G/H) imes H$ 有关吗？

是的，这里就有一个关键的例子。

定理： 设 $H$ 是群 $G$ 的一个正规子群。如果存在一个同态 $phi: G o H$ 使得对于所有 $h in H$，$phi(h)=h$，则 $G$ 同构于 $G/H imes H$。

推导过程：
考虑映射 $psi: G o G/H imes H$ 定义为 $psi(g) = (gH, phi(g))$。
我们需要验证 $psi$ 是一个群同构。

1. 保持运算：
$psi(g_1 g_2) = ((g_1 g_2)H, phi(g_1 g_2))$
$psi(g_1) psi(g_2) = (g_1H, phi(g_1))(g_2H, phi(g_2)) = (g_1H g_2H, phi(g_1)phi(g_2)) = (g_1 g_2 H, phi(g_1)phi(g_2))$
为了使 $psi$ 是同态，我们需要 $phi(g_1 g_2) = phi(g_1)phi(g_2)$。这正是要求 $phi$ 是一个群同态。

2. 双射：
单射： 设 $psi(g) = (eH, e_H)$（其中 $eH$ 是 $G/H$ 的单位元，$e_H$ 是 $H$ 的单位元）。这意味着 $gH = eH$ （即 $g in H$）并且 $phi(g) = e_H$。如果 $phi$ 的核是单位元 $e$ (即 $ ext{ker}(phi) = {e}$)，那么 $g=e$。
满射： 对于 $G/H imes H$ 中的任意元素 $(aH, h)$，我们能否找到一个 $g in G$ 使得 $psi(g) = (aH, h)$？也就是说，我们是否可以找到 $g in G$ 使得 $gH = aH$ 并且 $phi(g) = h$?
由于 $gH = aH$，我们可以设 $g = ax$ 对于某个 $x in H$。
那么我们需要 $phi(ax) = h$。
根据 $phi$ 是同态且在 $H$ 上是恒等的性质，$phi(ax) = phi(a)phi(x)$。
所以我们需要 $phi(a)phi(x) = h$。
由于 $phi$ 是从 $G$ 到 $H$ 的同态，那么 $phi(a)$ 也在 $H$ 中。设 $h' = phi(a)$。
我们需要 $h' phi(x) = h$。
因为 $phi(x) in H$，并且 $H$ 是一个群，所以 $phi(x)$ 有逆元。
那么 $phi(x) = (h')^{1} h$。
关键在于，是否存在这样的一个 $x in H$ 使得 $phi(x) = (h')^{1} h$?
这就是要求 $phi$ 在 $H$ 上的像能够覆盖 $H$ 的所有元素，并且它是一个同态。

这个充要条件可以被更直观地理解为：$G$ 可以被分解成一个“平坦的”或“可交换的”部分 $G/H$ 和一个“结构化的”部分 $H$，并且这两部分之间存在一种特殊的“粘合”方式，使得它们可以组合成原来的 $G$。

什么情况下 $G/H imes H$ 不 与 $G$ 同构？

大多数情况下，$G/H imes H$ 不 与 $G$ 同构。

原因在于：

1. 运算不匹配。 如前所述，$phi(aH, h) = ah$ 这个映射在验证运算保持时就可能失败。商群 $G/H$ 中的元素 $aH$ 仅仅代表了 $G$ 中一个陪集的所有元素，它本身并没有一个确定的“代表元”。而 $H$ 中的元素 $h$ 则是确定的。直积的运算 $(aH, h_1)(bH, h_2) = (abH, h_1 h_2)$ 的确是定义好的。但是将这个运算结果通过某个映射映射回 $G$ 的时候，就可能出现问题。

2. “粘合”方式不兼容。 $G$ 中的元素 $g$ 实际上是由它的陪集 $gH$ 和它在陪集中的位置（即 $g$ 本身）决定的。而 $G/H imes H$ 则明确地将“陪集”的信息 $(gH)$ 和“陪集内位置”的信息 $(h)$ 分开了。如果 $G$ 的结构不是这样“干净”地分解的，那么直积就不会与 $G$ 同构。

一个具体的反例：

设 $G = mathbb{Z}_4$ (模 4加法群)，$H = langle 2 angle = {0, 2}$。
$H$ 是 $mathbb{Z}_4$ 的一个正规子群（因为阿贝尔群的子群都是正规的）。
商群 $G/H$ 的元素是陪集：
$0+H = {0, 2}$
$1+H = {1, 3}$
所以 $G/H cong mathbb{Z}_2$。

现在我们看 $G/H imes H cong mathbb{Z}_2 imes mathbb{Z}_2$。
$mathbb{Z}_4$ 是一个循环群，它只有一个阶为 4 的生成元（例如 1）。
$mathbb{Z}_2 imes mathbb{Z}_2$ 是克莱因四元群 (Klein fourgroup)，它不是循环群。它有三个阶为 2 的元素：$(1,0), (0,1), (1,1)$。

循环群 $mathbb{Z}_4$ 和非循环群 $mathbb{Z}_2 imes mathbb{Z}_2$ 是不同构的。

在这个例子中，$G=mathbb{Z}_4$， $H={0, 2}$。
$G/H = {0+H, 1+H} cong mathbb{Z}_2$。
$G/H imes H cong mathbb{Z}_2 imes mathbb{Z}_2$。
$mathbb{Z}_4$ 与 $mathbb{Z}_2 imes mathbb{Z}_2$ 不同构。

为什么这里不满足同构条件？
我们要看是否存在一个从 $G$ 到 $H$ 的同态 $phi$ 使得 $phi(h)=h$ 对所有 $h in H$。
在这个例子中， $G=mathbb{Z}_4$, $H={0,2}$。我们需要一个同态 $phi: mathbb{Z}_4 o mathbb{Z}_2$。
$mathbb{Z}_4$ 的生成元是 1。
$phi(0) = 0$ (必须的)。
如果 $phi(1) = 0 in mathbb{Z}_2$，那么 $phi(1) = phi(1+1+1+1)$，这是所有元素的像都是 0，显然 $phi(2)=0 eq 2$（在 $H$ 中，2是2）。所以这不是我们要找的 $phi$。
如果 $phi(1) = 1 in mathbb{Z}_2$，那么
$phi(0) = 0$
$phi(1) = 1$
$phi(2) = phi(1+1) = phi(1)+phi(1) = 1+1 = 0 in mathbb{Z}_2$。
但是 $H$ 中的元素 2，在 $mathbb{Z}_2$ 中表示为 0。所以 $phi(2)=0$ 在 $H$ 上是恒等的。
$phi(3) = phi(2+1) = phi(2)+phi(1) = 0+1 = 1 in mathbb{Z}_2$。
在这个例子中， $phi(g) = g pmod 2$ 是一个从 $mathbb{Z}_4$ 到 $mathbb{Z}_2$ 的同态。并且对于 $H={0,2}$ 中的元素， $phi(0)=0$ 和 $phi(2)=0$。
问题在于，同构要求是 $phi(h)=h$ 在 $H$ 的意义下。 $H={0,2}$。 $mathbb{Z}_2={0,1}$。
我们上面计算的 $phi(2) = 0$ 是在 $mathbb{Z}_2$ 中。
而 $H$ 中的元素 2，在 $H$ 的群运算下，它是一个阶为 2 的元素。
如果我们要求同构 $psi: G o G/H imes H$, $psi(g)=(gH, phi(g))$，并且需要 $phi(h)=h$ 在 $H$ 的群结构下。
这里 $H={0,2}$ 是模 4 加法意义下的子群。
$phi(0) = 0$ (在 $H$ 中)
$phi(2) = 0$ (在 $H$ 中)
我们需要 $phi(h)=h$ 在 $H$ 的意义下。
也就是说， $phi(2)$ 应该对应于 $H$ 中的 2。但是 $phi(2)$ 在 $mathbb{Z}_2$ 中是 0。
为了使得 $G cong G/H imes H$, 我们需要存在一个同态 $phi: G o H$ 使得 $phi(h)=h$ 对于 $h in H$ 成立。
在这种情况下，我们实际上是在寻找一个“截面” $sigma: G/H o G$ 使得 $sigma(gH) in gH$ 并且 $sigma$ 是同态，使得 $sigma(aH) = a$ 对于某个 $a in aH$ 并且 $phi(a)=h$ 的话，$sigma(aH) = a$ 并且 $phi(a)=h$, $aH = a cdot H = {a+h mid h in H}$。
如果我们取 $phi(g) = g pmod 2$, $phi: mathbb{Z}_4 o mathbb{Z}_2$
$H={0,2} subset mathbb{Z}_4$
$G/H = {0+H, 1+H}$
$0+H = {0,2}$
$1+H = {1,3}$
$phi(0)=0$ (在 $mathbb{Z}_2$ 中)
$phi(1)=1$ (在 $mathbb{Z}_2$ 中)
$phi(2)=0$ (在 $mathbb{Z}_2$ 中)
$phi(3)=1$ (在 $mathbb{Z}_2$ 中)
现在我们需要将这些与 $H$ 中的元素对应起来。
$H={0,2}$.
$phi(0)=0$, 这是 $H$ 中的 0。
$phi(2)=0$, 这是 $H$ 中的 0。
但是 $H$ 中的元素 2 (即 ${0,2}$ 中的 2) 的像应该是 2 (在 $H$ 的意义下)。
这里存在一个混淆：当说 $phi(h)=h$ 时，必须明确是哪个群中的 $h$。
如果 $phi: G o H$ 是同态，那么 $phi(h)$ 必须是 $H$ 中的元素。
如果 $G$ 和 $H$ 是阿贝尔群，并且 $H$ 是 $G$ 的一个正规子群，并且 $G$ 是 $H$ 和 $G/H$ 的直积，那么 $G cong H imes G/H$。
而 $G cong (G/H) imes H$ 的条件是存在一个满同态 $phi: G o H$ 使得 $ker(phi)=H$ (这不可能，因为 $ker(phi)$ 是正规子群，但是 $H$ 是正规子群，但 $ker(phi)$ 不一定是 $H$)。

更准确的充要条件是：
$G$ 同构于 $(G/H) imes H$ 当且仅当 $H$ 是 $G$ 的一个正规子群，并且存在一个从 $G$ 到 $H$ 的 投影同态 (projection homomorphism) $pi: G o H$，使得 $pi(h)=h$ 对所有 $h in H$，并且 $ker(pi) = H$。

在 $mathbb{Z}_4$ 的例子中，我们找到了同态 $phi(g) = g pmod 2$。
$ker(phi) = {g in mathbb{Z}_4 mid g pmod 2 = 0} = {0, 2} = H$。
但是， $phi(h)=h$ 这个条件是什么意思？
$phi: mathbb{Z}_4 o mathbb{Z}_2$。
$phi(0) = 0 in mathbb{Z}_2$。 $H$ 中的 0 是 0。
$phi(2) = 0 in mathbb{Z}_2$。 $H$ 中的 2 是什么？
在 $H={0,2}$ 中，2 的确是 2。但在 $mathbb{Z}_2$ 中，0 是 0。
这里的问题在于，如果我们要说 $phi(h)=h$, $h$ 必须在 同一个意义下。
如果我们把 $H={0,2}$ 看作 $mathbb{Z}_2$ 的一个表示 ${0,0}$, 那么 $phi(2)=0$ 是对的。但 $H$ 本身是一个子群。
真正的条件是：存在一个同态 $pi: G o H$ 使得 $pi(h)=h$ 对于所有 $h in H$ 成立，并且 $ker(pi) = H$。
但是 $ker(pi)=H$ 意味着 $pi$ 在 $G/H$ 上是平凡的，即 $pi$ 在 $G/H$ 的每个陪集上都映射到 $H$ 的单位元。
如果 $ker(pi) = H$, $pi$ 可以看作是 $G/H o G o H$ 的一个映射。由于 $ker(pi)=H$, $G/H$ 上的任何元素 $gH$ 都会被 $pi$ 映射到 $H$ 的单位元。所以 $pi$ 在 $G/H$ 上是平凡同态。
但是如果 $pi(h)=h$ 并且 $H$ 的元素不止单位元（例如 $H={0,2}$），那么 $pi$ 在 $H$ 上就不是平凡的。
所以，如果 $H eq {e}$ 并且 $H$ 不是 $G$ 的平凡子群， $ker(pi)=H$ 和 $pi(h)=h$ 对于 $h in H$ 往往是矛盾的。

结论：

$(G/H) imes H$ 与 $G$ 同构的情况是非常特殊的。
只有当 $G$ 可以被“分解”成 $G/H$ 的结构和 $H$ 的结构，并且它们之间的“粘合”方式恰好是直积所描述的那样，才会发生同构。

在大多数情况下，例如 $mathbb{Z}_4$ 和它的子群 ${0, 2}$，$mathbb{Z}_4$ 是循环群，而 $(mathbb{Z}_4 / {0,2}) imes {0,2} cong mathbb{Z}_2 imes mathbb{Z}_2$ 是克莱因四元群，它们是不同构的。

所以，答案是：不，$(G/H) imes H$ 通常情况下与 $G$ 不同构。同构的充要条件是存在的特定类型的同态（或截面），这在一般群中并不普遍存在。

不是，考虑整数加群 ，它的正规子群 与 同构，而商群 是2阶循环群，分别考虑群 和群 的生成元， 只有一个生成元，而 有两个，虽然这两个集合的元素个数是相等的(等势)，但是它们的群结构不相同(生成元不同)，所以 。

然后我们尝试寻找一个条件来让 成立，实际上反例往往也是为我们排雷的好帮手，受以上反例启发，我们应该尽量避免选取 为无限群，且最好要使 同构于 的一个子群( 的任何子群都不与 同构)。那么答案就更进一步了，我们都知道 是 过 的扩张，扩张核为 ，显然 ，若 同构于 的一个子群，则 就是半直积并同构于 。所以我们要找的就是一个能证明 的条件，我们不妨把条件定为：

同构于 的一个正规子群，即 。

这个条件让半直积 成为了内直积，那么上面的条件就是我们要的答案了，因为

结合 ，即得 。

Q.E.D

并且这个条件还是必要的，因为总有 。

而实际上定理2.5.5的描述还给出了一个更一般的内直积 同构于外直积 的充分必要条件。