如何证明任意比2更大的偶数都是两个素数之和？
这个猜想至今仍未被证明。
虽然如此，数学家们在验证和研究它方面取得了巨大的进展，也发展出了许多相关的理论和方法。下面我将尽量详细地、用更自然的语言来解释这个问题，以及为什么它如此难以证明，同时也会提到一些相关的研究成果，让它听起来更像是一个有血有肉的数学探索过程，而不是一篇冷冰冰的AI报告。
哥德巴赫猜想：一个貌似简单的陈述，一个巨大的难题
想象一下，你坐在桌子前，面前摆着各种各样的数字。你看到2，它是最小的素数。3，它也是素数。4，哦，4可以写成2+2。6，可以写成3+3。8，可以写成3+5。10，可以写成3+7，也可以写成5+5。
你可能已经注意到一个模式：似乎所有的偶数（除了2以外）都能用两个素数加起来得到。这听起来是不是很简单？这就是哥德巴赫在1742年写给大数学家欧拉的一封信中提出的猜想。他当时提出了两个猜想，其中一个就是我们今天讨论的这个“强哥德巴赫猜想”，而另一个是“弱哥德巴赫猜想”（任何大于5的奇数都可以表示为三个素数之和）。
为什么看起来如此“真”？
我们用一些例子来感受一下：
4 = 2 + 2
6 = 3 + 3
8 = 3 + 5
10 = 3 + 7 = 5 + 5
12 = 5 + 7
14 = 3 + 11 = 7 + 7
16 = 3 + 13 = 5 + 11
18 = 5 + 13 = 7 + 11
20 = 3 + 17 = 7 + 13
100 = 3 + 97 = 11 + 89 = 17 + 83 = 29 + 71 = 41 + 59 = 47 + 53
1000 = 3 + 997 (997是素数) = 7 + 993 (993不是素数) = 13 + 987 (987不是素数) = 19 + 981 (981不是素数)... 噢，找起来需要耐心，但据说也能找到。
你可能会想，这不就是“试算”一下就知道了嘛？确实，数学家们已经用计算机验证了这个猜想，直到天文数字般的几个偶数（目前是 $4 imes 10^{18}$ 这么大），它们都符合这个规律。也就是说，你随便挑一个比这个数字小的偶数，它都能被表示成两个素数之和。
但是，在数学里，“验证”和“证明”是完全不同的概念。验证只是证明了在已知的范围内它是正确的，而证明则需要给出一个逻辑上严丝合缝的推理，说明对于所有大于2的偶数，这个说法都必须成立，没有任何例外。
为什么证明如此困难？
想象一下，你要证明所有“猫”都是毛茸茸的。你看到成千上万只猫，它们确实都是毛茸茸的。这似乎很确凿。但除非你能找出一种普遍的方法来定义“猫”，并且证明所有符合这个定义的生物都必然带有毛皮，否则你就不能算严格地证明了。
哥德巴赫猜想的难点在于：
1. 素数的分布是“杂乱”的： 素数，就是只能被1和它本身整除的数（2, 3, 5, 7, 11, 13...），它们的出现看似没有规律。虽然我们知道素数定理大致描述了素数的密度，但它们在具体数字序列中的位置和间隔，就像一场无法预测的数字抽奖。你很难预测，在某个大偶数 $N$ 附近，会不会恰好有我们需要的两个素数 $p_1$ 和 $p_2$ 使得 $N = p_1 + p_2$。
2. “+”运算的破坏性： 加法运算会将两个数字结合起来，但它也“破坏”了数字本身的性质。素数是一种“质”的属性，一旦两个素数相加，得到的偶数就失去了很多关于它们“原始”素数身份的信息。就像你把两个不同颜色的颜料混合在一起，你很难再从混合后的颜色判断出原始颜料的比例和确切颜色。
3. “存在性”证明的挑战： 即使我们能证明，对于任何一个大偶数，它“很有可能”是两个素数之和，但这还不够。数学证明需要的是“必然性”。我们需要的不是“大部分情况下”或者“很有可能”，而是“一定”如此。
数学家们都做了些什么？
尽管如此，数学家们并没有放弃，他们在研究哥德巴赫猜想的过程中，发展出了许多强大的数学工具和理论，并且在“近似”地证明它方面取得了惊人的成就：
“弱哥德巴赫猜想”的证明： 这个相对容易一些。2013年，秘鲁数学家哈洛德·赫尔夫戈特（Harald Helfgott）完全证明了“弱哥德巴赫猜想”：任何大于5的奇数都可以表示为三个素数之和。这是一个重大的里程碑，因为它表明了我们对素数加法性质的理解正在加深。
“近距离”的尝试： 数学家们证明了“几乎所有”的偶数都能表示为两个素数之和。例如，陈景润在1960年代末至1970年代初，证明了“任何一个充分大的偶数都可以表示为一个素数与一个至多是两个素数乘积的数之和”。这被称为“陈氏定理”（Chen's Theorem），是离哥德巴赫猜想最近的成果之一。
解释一下“陈氏定理”： 意思是说，对于足够大的偶数 $N$，我们可以找到一个素数 $p$ 和一个数 $m$，使得 $N = p + m$，并且 $m$ 要么是素数（这样 $N = p + q$），要么是两个素数的乘积（$N = p + q_1 q_2$）。陈景润的证明表明，后一种情况（$m$ 是两个素数的乘积）足以覆盖“几乎所有”的大偶数。
筛法（Sieve Methods）： 这是研究哥德巴赫猜想和其他数论问题的一种核心工具。你可以想象筛法就像一个漏勺，用来“过滤”掉合数，留下素数。但它也可以用来估计在某个范围内，有多少个数字满足特定的“素数性质”，比如“是素数”或者“是两个素数乘积”。
为什么它如此吸引人？
哥德巴赫猜想之所以如此迷人，在于它的“表面的简单”和“内在的深邃”。它就像一个藏在角落里的谜题，似乎只需要一点点“数字魔法”就能解开，但实际却触及了数学中最核心、最难以捉摸的问题——素数的本质。
它挑战着我们对数学严谨性的理解，也推动着数学家们不断创新和探索。尽管我们尚未能最终证明它，但对它的研究过程本身，就已经为数学的宝库贡献了无数珍贵的思想和工具。
所以，虽然我不能给你一个“证明”，但希望我能让你感受到这个猜想的魅力，以及数学家们为了它所付出的努力和取得的成就。它就像一个永远在那里等待被发现的宝藏，激励着一代又一代的数学家去攀登。
网友意见
由于水平有限，笔者只会证明充分大的偶数能被表示成两个殆素数（almost prime）的和：
定理1：存在正整数m使所有大偶数都可以被拆分成两个各自的素因子个数都不超过m的正整数。
为了避免内容太冗长，我们不加证明地引用一种已知的筛法：
引理1（Brun筛[1][2][3]）：若 、 为素数的子集、 ，用b(d)表示 中的同余类个数。若存在正实数X满足 且
则存在 使得 。
把这个结论摆上来之后我们就可以来看看怎么去用筛法来研究哥德巴赫猜想了。
从殆素数到筛法
当m、n为正整数时，倘若N的最小素因子p都满足 则有 。这意味着N最多只可能有m个素因子。此时我们就可以称n为一个m阶殆素数（almost prime of order m）。对于一个大偶数N，当我们在寻找和为N的两个殆素数时我们实际上在就是在寻找不超过N的正整数n使得n和N-n都是m阶殆素数。由于所有不超过 的素数都不超过 ，所以我们就可以得到以下充分条件：
引理2：对于一个偶数N，当不超过N的正整数n和N-n的所有素因子都不小于 则n和N-n各自的素因子个数都不超过m。
有了这个引理之后我们就可以构造筛法了。根据欧几里得引理，我们如果一个素数p整除n(N-n)则n和N-n中至少有一个是p的倍数。因此引理2就可以变成：
引理3：对于一个偶数N，若存在不超过N的正整数n使得n(N-n)没有小于 的素因子，则n和N-n各自的素因子个数都不超过m。
利用引理3，我们就可以构造筛法来计算这种殆素数的个数了：
定理2：对于大偶数N，若用 表示N能被拆成两个m阶殆素数的方法个数，则有：
其中 、 为全体素数。
通过定理2，我们成功地将殆素数问题转化成了筛法，所以就可以来计算把这些参数代入到引理1中来证明定理1。不过在此之前我们有必要探究一下哥德巴赫问题中对应的V(z)。
V(z)与哥德巴赫问题中的奇异级数
为了更好地套用定理1，我们有必要对b(d)进行确定从而得到V(z)的展开。当我们在研究 的同余类个数时，我们实际上就是在研究同余方程 的解数。而且这个解数满足：
通过分类讨论，我们就能得知：
把这个结论代入到V(z)中，便有：
对于第一个乘积，当z≥2时有：
而对于第二个乘积，由Mertens第三定理可知：
把这些渐近公式结合起来，我们就能得到结论：
引理4：若m为固定正整数、 ，则有：
其中
被称为哥德巴赫问题中的奇异级数（singular series）。
万事俱备只欠东风，我们接下来就可以来证明定理1了。
定理1的最终证明
根据引理1、定理2和定理4，我们知道存在常数 使得：
现在设置 ，我们就得到了定理1的加强形式：
定理3：存在正整数m和正实数A使得所有大偶数N被表示成两个m阶殆素数的之和方法个数均超过 。其中 由(*)来定义。
后记
其实本回答的展示的过程仅仅是m+m证明中最简单的部分。最复杂的部分其实还是引理1。通过优化引理1中K和 的具体大小。二十世纪前半叶中，数学家们先后证明了m+m的具体形式：
| 数学家 | 年份 | m |
|---|---|---|
| Brun | 1920 | 9 |
| Buchstab | 1924 | 7 |
| Estermann | 1936 | 6 |
| Buchstab | 1938 | 5 |
| Buchstab | 1940 | 4 |
至此，数学家们对哥德巴赫问题的研究依然依赖于Brun筛。1949年Selberg提出了著名的 筛[4]，这个方法的特点就是能够给出非常紧密的上界。通过将Brun、Buchstab和Selberg的方法结合，王元[5]率先将4+4改进到3+4。之后对3+4的改进基本上都是通过Selberg筛来完成的。1973年陈景润对1+2的证明中也用到了Selberg筛：
有精力的话我再把引理1的证明整理出来。敬请期待更新！
参考
- ^ Halberstam, H., & Richert, H.-E. (1974). Sieve methods. Academic Press.
- ^ Ténenbaum, G. (1995). Introduction to analytic and probabilistic number theory. Cambridge University Press.
- ^ Cojocaru, A., & Murty, M. R. (2005). An introduction to sieve methods and their applications. Cambridge University Press.
- ^筛法（4）——Selberg筛法 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/388965550
- ^ Wang, Y. (2005). Selected papers of Wang Yuan. World Scientific.
问题标签：钓鱼（户外运动）。这个标签是认真的吗？【手动狗头】
我，哥德巴赫，打钱
（狗头）
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