百科问答小站 logo   百科问答小站
问题

如果用总体作为数据，那么回归系数的显著性还有意义吗？

回答
当我们谈论“总体作为数据”时，这通常意味着我们所拥有的数据样本恰好能够完全代表我们想要研究的那个“总体”。在这种理想情况下，我们实际上已经直接观测到了总体的全部信息。那么，在这种情况下，回归系数的显著性检验还有意义吗？

要回答这个问题，我们需要先理解“回归系数的显著性”究竟在衡量什么，以及为什么在常规的样本研究中它至关重要。

回归系数的显著性检验在常规样本研究中的意义

在我们进行回归分析时，通常是基于一个样本数据来估计总体的回归模型。我们计算出的回归系数（比如斜率 $eta_1$）是我们对总体真实回归系数 $eta_1^{true}$ 的一个点估计。然而，由于样本的随机性，这个估计值很可能与真实的总体值不完全一致。

显著性检验（比如 t 检验）的核心目的就是评估我们从样本中观察到的回归系数，有多大的可能性是由于随机抽样误差造成的，而不是真实地反映了总体中自变量和因变量之间存在的联系。

具体来说，显著性检验通常是在一个“零假设”（Null Hypothesis, $H_0$）下进行的。对于回归系数，零假设通常设定为：真实总体中的回归系数为零。也就是说，$H_0: eta_1^{true} = 0$。这意味着在总体中，自变量对因变量并没有线性影响（在控制其他变量的情况下）。

P 值的作用： 检验的核心是计算一个 P 值。P 值是我们假设零假设为真时，观察到当前样本回归系数（或更极端值）的概率。
判断：
如果 P 值很小（通常小于一个预设的显著性水平 $alpha$，比如 0.05），这意味着在我们假设总体回归系数为零的情况下，得到我们样本中观察到的回归系数是极其不可能的。因此，我们有理由拒绝零假设，认为回归系数是统计显著的，即在总体中自变量确实对因变量存在某种程度的影响。
如果 P 值很大，则说明样本结果与零假设并不矛盾，我们无法拒绝零假设，也就不能断定回归系数在总体中是显著的。

当总体就是数据时：回归系数的显著性还有意义吗？

如果我们拥有的是完整的总体数据，那么情况就发生了根本性的变化。

1. 我们直接观测的是真实总体参数： 当我们使用总体作为数据进行回归分析时，我们计算出的回归系数（比如 $hat{eta}_1$）不再是一个点估计，而是真实总体参数 ($eta_1^{true}$) 的精确值。不存在抽样误差，因为我们没有进行抽样。我们已经测量了总体中的每一个个体（或者每一个单位）。

2. 零假设的含义改变： 即使我们仍然尝试进行显著性检验，零假设 $H_0: eta_1^{true} = 0$ 的意义也变得不同。
在常规样本研究中，$H_0$ 是关于我们未知的总体参数的陈述，我们用样本统计量来检验它。
在总体数据研究中，我们已知总体参数。如果已知 $eta_1^{true}$ 的值，我们直接就可以知道它是否为零。

3. P 值的计算和解释：
如果我们有完整的总体数据，并且我们计算出的回归系数 $eta_1^{true}$ 确实不为零，那么在这种情况下，零假设 $H_0: eta_1^{true} = 0$ 就是错误的。我们知道它是错的，无需检验。
如果我们计算出的回归系数 $eta_1^{true}$ 恰好为零，那么零假设就是真实的，我们也不需要检验。

那么，显著性检验“还有意义”吗？

从严格的统计推断角度来看，当数据是总体时，回归系数的显著性检验本身变得多余，甚至在概念上是不适用的。

不再需要推断： 显著性检验是为了从样本推断总体。当数据就是总体时，我们已经拥有了真相，不需要再进行推断。
检验的是已知事实： 我们计算出的系数就是真实的总体系数。询问“这个系数在总体中是否显著”就等同于询问“我们计算出的这个不为零的数，是否真的不为零”。答案是显然的，不需要概率性检验。

举个例子说明：

假设我们研究的是“一个班级所有学生的身高（Y）和鞋码（X）的关系”，而我们拥有的是这个班级所有学生的完整数据。我们计算出回归方程为：身高 = a + b 鞋码。

常规样本研究： 如果我们只随机抽取了班里 20 个学生的数据来做回归分析，我们会得到一个估计的回归系数 'b'。然后我们会进行 t 检验，计算 P 值，来判断这个 'b' 是否足够有证据说明在整个班级（总体）中，鞋码对身高有显著影响。
总体数据研究： 现在，我们把全班 100 个学生的所有数据都拿来做回归分析。我们计算出的回归系数 'b' 就是班级里身高和鞋码之间真实关系的斜率。如果计算出来的 'b' 是 0.5 cm/码，它就是班级里真实的情况。我们不需要去检验这个 0.5 是不是“显著不为零”。我们直接知道它不是零。

但是，需要注意一些细微之处和潜在的误解：

1. 模型的拟合程度： 即使系数本身“显著性”不再是问题，我们仍然会关心模型的整体拟合程度。比如 R 方（决定系数）仍然有用，它告诉我们模型解释了总体中因变量变异的多少比例。如果 R 方很低，即使斜率不为零，说明自变量对因变量的解释力也很弱。

2. 理论的检验： 即使我们拥有总体数据，回归分析仍然是检验理论模型的重要工具。我们不是在检验“这个系数来自样本有多大可能性是真实的”，而是在使用总体数据来确认或反驳我们关于自变量和因变量之间关系的理论假设。如果理论预测鞋码与身高正相关，我们用总体数据回归得到一个负斜率，那么这个理论就是被证伪的。

3. 模型选择： 当我们拥有总体数据时，可能更关注的是模型的解释能力和预测能力（即使预测的对象也是这个已知总体中的其他个体，或者用于理解这个总体的模式）。我们可能会比较包含不同自变量的模型，选择对总体解释力最优的模型。

4. “显著”的另一层含义： 在某些语境下，人们可能会将“显著性”泛化为“重要性”或“有意义”。即使是统计上的“显著性”不再是焦点，但回归系数的大小和方向仍然非常重要。一个统计上不显著（在小样本中）的系数，如果用总体数据计算出来，虽然统计上“不显著”，但如果其绝对值较大，仍然能说明自变量有显著的实际效应。反之，一个在样本中统计显著的系数，如果用总体数据算出来其值非常小，也可能表明在实际应用中其效应并不大。

总结：

严格来说，当你的数据是完整总体时，回归系数的统计显著性检验（P 值小于 $alpha$ 等概念）不再具有其传统的推断意义。因为我们直接知道总体参数的值，不存在抽样误差，也就不需要通过概率来推断未知。我们计算出的回归系数就是真实的总体系数。

然而，这并不意味着回归分析本身失去了价值。我们仍然可以使用回归分析来：

量化自变量对因变量的真实影响程度（系数的大小和符号）。
检验理论模型的合理性。
评估模型的整体拟合优度（如 R 方）。
比较不同模型的解释力。

所以，更准确的说法是，回归系数的统计显著性这一概念，在拥有总体数据时变得多余，因为它服务于从样本推断总体的目的，而这个目的已经完成。 但回归分析的核心功能——描述和量化变量间的关系——仍然至关重要。

网友意见

user avatar

随机性都没有了显著性就无从谈起。
因为显著的定义就是原假设为真的情况下，统计量比观察值更extreme的概率 (p-value) 小于某个预设的level，比如0.05。如果总体已经观察到了，样本的获得没有随机性，也谈不上概率了。

当然现实中很少有获得“总体”的情况，要不不现实，要不问题本身就没什么意义了。
另外一种情况是总体中每个subject的outcome有测量误差且不可忽略，这也会带来随机性。这时候问题实际上关乎modeling层面了。


-----------------------------------------------------------------------
被编辑收录的高票答案我个人不能完全同意。主要不同意的地方在于回归的范围很广，有很多模型不依赖变量的正态假设，比如有些semi-parametric model甚至不做具体的分布假设，但是仍然可以讨论回归参数的显著问题。那位答主也给我留了言，我的理解是他回答的问题是“如果研究者把样本当作总体会出现什么情况”，或者"总体作为数据的情况是否可能出现”。这些都是有意义的问题，但是我不确定是否是题主提出的问题“如果总体作为数据，那么回归的显著性还有意义吗”。

另外不同意的地方是其答案中暗示当样本足够大时，可以假设正态分布。这和一个比较广泛的关于中心极限定理的误解有关，也特别容易对不太了解统计的人士造成误解：中心极限定理的描述对象是独立同分布的变量之和或平均值，而不是变量的总体分布本身。比如掷硬币，不管重复多少次，结果都只能是两面之一（忽略其它罕见情况），但是正面朝上的总数近似于正态。所以对于二元变量有对应的模型（比如Logistic Regression），对于heavy-tailed的变量也有相应的方法，等等。


-------------------------------------------------------------------
另一个答案回答的问题其实是“如果观察到总体，能不能得出因果关系即causality”。可是题目问的是显著性，不是因果性。因果关系是另一个范畴的问题。是无论有没有观察到总体都存在的问题。通过和答主的进一步交流，我们发现主要分歧在于他所说的population是包括了所有可能的treatment assignments及结果，即他领域内所谓superpopulation。但是我认为名词之间不应该混淆。既然已经有“超总体”(superpopulation)对应这个概念，在我们谈论总体（population）的时候，就应该能够确认谈论的不是超总体，否则这两个名词就失去了专属的意义。

因果关系确实不能轻易得出，因为观察不到counterfactuals，即同一个subject如果其它条件都不变，得到的treatment是未观察到的那个，outcome是否不同，即所谓平行宇宙会出现什么情况。王同学给出了一篇很有意思的paper，大家如果对causal inference有兴趣可以去读一下。

但是那个答案最后对permutation test的说法也有待商榷。如果已经观察到Y了，test的时候再怎么重新分配treatment，counterfactuals也观察不到了，因果关系也不能得出。除非一开始设计实验的时候做随机分配，或者拿到数据后想办法adjust可能的confounder。要不然大家研究causality那么费劲干嘛，直接把数据拿来做permutation test不就完了。

还有用X的随机性教育我的，一般来说X是effect的ancillary，其分布不依赖回归系数，做inference的时候会先conditioning on X，将其视为常数。求p-value时统计量里面的涉及X的项也视为常数。这也是统计课本上很少有讨论X分布的原因。

有一个例外是有新的观测进入样本要做预测，这时候X的方差就需要考虑进来了。但是题主问的是已知population，不存在新观测的问题。


-------------------------------------------------------------------------

类似的话题

本站所有内容均为互联网搜索引擎提供的公开搜索信息，本站不存储任何数据与内容，任何内容与数据均与本站无关，如有需要请联系相关搜索引擎包括但不限于百度，google,bing,sogou 等

© 2025 tinynews.org All Rights Reserved. 百科问答小站 版权所有

服务条款
联系我们
关于我们
隐私政策
友情链接
知乎
百度问答
搜狐
新浪