有理数1和0.999…循环相等吗？
这个问题听起来像是小学的数学题，但实际上却能让很多成年人纠结半天。很多人直觉上认为 1 和 0.999… 循环是不同的，因为小数点后面有无数个九，似乎总比 1 少一点点。但 गणित（数学）的严谨性告诉我们，它们是相等的。
要理解这一点，我们可以从几个角度来解读。
角度一：代数方法
这是最直观、也最容易让人接受的方法。
假设我们有一个数，叫做 $x$，它等于 0.999… 循环。
$x = 0.999dots$
现在，我们把这个等式两边都乘以 10：
$10x = 9.999dots$
注意，小数点后面的九仍然是无限个。
接下来，我们用第二个等式减去第一个等式：
$10x x = 9.999dots 0.999dots$
左边很简单，$10x x$ 就是 $9x$。
右边呢？我们仔细看看：
9.999…
0.999…
你会发现，小数点后面的所有九都抵消了，剩下的就是 9。
所以，我们就得到了一个非常简单的等式：
$9x = 9$
现在，我们很容易就能解出 $x$ 的值：
$x = frac{9}{9}$
$x = 1$
既然我们最初设 $x = 0.999dots$ 而最后算出来 $x = 1$，那么就说明 $0.999dots$ 就等于 1。
角度二：分数转化
我们都知道一些简单的分数可以表示为循环小数。例如：
$frac{1}{3} = 0.333dots$
如果我们将 $frac{1}{3}$ 的分子和分母都乘以 3，会得到什么？
$3 imes frac{1}{3} = frac{3}{3} = 1$
而另一边呢？
$3 imes 0.333dots = 0.999dots$
所以，通过分数转化，我们再次得到了 $0.999dots = 1$ 的结论。
角度三：极限的概念（稍微进阶一点）
在更高级的数学中，我们会用到“极限”的概念。循环小数可以看作是一个无穷数列的和。
$0.999dots = 0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + dots$
这个数列是一个等比数列，首项 $a = 0.9$，公比 $r = 0.1$ (因为每一项都是前一项的十分之一)。
当一个等比数列的公比的绝对值小于 1 时 (在这里 $0.1 < 1$)，它的和是收敛的，并且可以用公式计算：
和 $= frac{a}{1r}$
所以，
$0.999dots = frac{0.9}{1 0.1} = frac{0.9}{0.9} = 1$
这个方法从一个更严谨的数学角度证明了它们的相等。
为什么很多人会觉得不对劲？
这种直觉上的抵触感其实很正常。我们在日常生活中接触到的数，大多数都是有限小数或者不循环的无理数。我们习惯于看到一个数，就知道它的确切值。
而 0.999… 这种循环小数，它代表的是一个“过程”或者说是一个“极限状态”。它不是一步一步写出来的，而是我们通过一种方式来定义它。我们定义它为无限个九的集合，然后通过数学运算，发现这个集合的“价值”正好是 1。
试着去“数”那无限个九，你肯定数不完。但数学的魅力在于，它不依赖于“数完”的过程，而是依赖于逻辑和定义。0.999… 是一个紧密地“贴”着 1 的数，它和 1 之间没有任何“缝隙”。如果它们不相等，那么它们之间就应该存在一个比它们都大但又比 1 小的数，但这显然是不可能的。
总结来说，有理数 1 和 0.999… 循环是相等的。 它们用不同的形式表达了同一个数值。这种看似违反直觉的结论，正是数学严谨性和强大之处的体现。它告诉我们，在数学的世界里，事实由逻辑和定义说了算，而不是由我们习惯的表象来决定。
要理解这一点，我们可以从几个角度来解读。
角度一：代数方法
这是最直观、也最容易让人接受的方法。
假设我们有一个数，叫做 $x$，它等于 0.999… 循环。
$x = 0.999dots$
现在，我们把这个等式两边都乘以 10：
$10x = 9.999dots$
注意，小数点后面的九仍然是无限个。
接下来，我们用第二个等式减去第一个等式：
$10x x = 9.999dots 0.999dots$
左边很简单，$10x x$ 就是 $9x$。
右边呢？我们仔细看看：
9.999…
0.999…
你会发现，小数点后面的所有九都抵消了，剩下的就是 9。
所以，我们就得到了一个非常简单的等式：
$9x = 9$
现在，我们很容易就能解出 $x$ 的值：
$x = frac{9}{9}$
$x = 1$
既然我们最初设 $x = 0.999dots$ 而最后算出来 $x = 1$，那么就说明 $0.999dots$ 就等于 1。
角度二：分数转化
我们都知道一些简单的分数可以表示为循环小数。例如：
$frac{1}{3} = 0.333dots$
如果我们将 $frac{1}{3}$ 的分子和分母都乘以 3，会得到什么？
$3 imes frac{1}{3} = frac{3}{3} = 1$
而另一边呢？
$3 imes 0.333dots = 0.999dots$
所以，通过分数转化，我们再次得到了 $0.999dots = 1$ 的结论。
角度三：极限的概念（稍微进阶一点）
在更高级的数学中，我们会用到“极限”的概念。循环小数可以看作是一个无穷数列的和。
$0.999dots = 0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + dots$
这个数列是一个等比数列，首项 $a = 0.9$，公比 $r = 0.1$ (因为每一项都是前一项的十分之一)。
当一个等比数列的公比的绝对值小于 1 时 (在这里 $0.1 < 1$)，它的和是收敛的，并且可以用公式计算：
和 $= frac{a}{1r}$
所以，
$0.999dots = frac{0.9}{1 0.1} = frac{0.9}{0.9} = 1$
这个方法从一个更严谨的数学角度证明了它们的相等。
为什么很多人会觉得不对劲？
这种直觉上的抵触感其实很正常。我们在日常生活中接触到的数，大多数都是有限小数或者不循环的无理数。我们习惯于看到一个数，就知道它的确切值。
而 0.999… 这种循环小数，它代表的是一个“过程”或者说是一个“极限状态”。它不是一步一步写出来的，而是我们通过一种方式来定义它。我们定义它为无限个九的集合，然后通过数学运算，发现这个集合的“价值”正好是 1。
试着去“数”那无限个九，你肯定数不完。但数学的魅力在于，它不依赖于“数完”的过程，而是依赖于逻辑和定义。0.999… 是一个紧密地“贴”着 1 的数，它和 1 之间没有任何“缝隙”。如果它们不相等，那么它们之间就应该存在一个比它们都大但又比 1 小的数，但这显然是不可能的。
总结来说，有理数 1 和 0.999… 循环是相等的。 它们用不同的形式表达了同一个数值。这种看似违反直觉的结论，正是数学严谨性和强大之处的体现。它告诉我们，在数学的世界里，事实由逻辑和定义说了算，而不是由我们习惯的表象来决定。
网友意见
极限在有理数域内不是所有的运算都有合法的值。但是对于定义0.999...的那个极限(0.999... :=0.9+0.99+0.999+...，注意这里用的是定义记号「:=」)，其值是有理数1，所以依然相等。
要让它们不等，唯一的可能是修改定义。
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