球面上的几何是黎曼几何，那球面上的蚂蚁感受到的物理世界是欧氏几何吗？
这个问题很有意思，它触及到了我们对空间和几何的认知深层问题，以及一个微观生命体在我们眼中看似平淡的“日常”与宇宙宏观结构之间的对比。
首先，让我们明确一下“球面上的几何是黎曼几何”这句话的含义。当我们在讨论一个球面的几何时，我们通常指的是这个球面本身的固有性质，也就是在这个曲面上我们可以进行的测量和描述。比如，在这个曲面上两点之间最短的直线距离是什么？在一个三角形的三条内角之和是多少？这些都是曲面本身的几何属性。
黎曼几何是一种高度抽象的数学理论，它允许我们描述和分析任意维度、任意曲率的几何空间。在黎曼几何中，我们引入了度量张量，它可以告诉我们在空间中的每一点，如何测量长度、角度和体积。对于一个球面来说，它有一个固定的正曲率。这意味着，在这个曲面上，两点之间的“直线”（在黎曼几何中称为测地线）会随着距离的增加而“收敛”，就好比地球上两极的经线一样。而且，在一个球面三角形中，三条内角之和总是大于180度，并且会随着三角形面积的增大而增大，这个“多余的角度”就反映了曲率的存在。所以，从纯粹的数学角度来看，我们描述球面的固有几何性质时，使用的框架确实是黎曼几何。
现在，让我们想象一下一只生活在球面上的蚂蚁。它如何感受这个世界？它的“物理世界”是什么样的？
对于这只蚂蚁来说，它所能感知和直接体验的，是它自己能够行走的、二维的表面。它可能沿着这层表面爬行，用触角感受凹凸，用身体衡量距离。它没有能力“跳出”这个球面去鸟瞰整个球体。它的所有活动，它的导航，它的“测量”，都局限于这个曲面本身。
那么，它感受到的几何是欧氏几何吗？
从蚂蚁的局部体验来说，是的，在它眼前的一小块区域，可以近似地看作是平坦的。想象一下，如果你站在地球上任何一个非常小的区域，比如你的脚下这一小块地面，你测量几米、几十米的距离，计算几个角度，你所得到的几何性质会非常非常接近欧氏几何的规律。欧氏几何描述的就是平直空间，在这个空间里，平行线永不相交，三角形内角和恒等于180度。
这是因为，虽然整个球面是弯曲的，但任何足够小的区域，都可以用一个平坦的欧氏空间来近似描述。这在数学上被称为“局部平坦性”。黎曼几何本身就是建立在这样一个基础上的：它认为任何黎曼流形（比如球面）的每个点都有一个与之相关的欧氏切空间，这个切空间描述了在那个点附近非常局部的行为。
所以，我们可以这样理解：
球面的固有几何是黎曼几何：这是对整个球面整体性质的数学描述，它捕捉到了球面的整体曲率。
球面上的蚂蚁感受到的物理世界，在它能力范围内（局部体验）是近似欧氏几何：就像我们在地球表面局部区域的体验一样，蚂蚁无法感知到它所在表面的整体弯曲性。它所能直接测量的任何小范围内的几何性质，都非常接近欧氏几何。
举个例子，如果这只蚂蚁要画一个非常小的三角形，它会发现这个三角形的内角和非常接近180度。如果它要画两条非常短的“直线”并且尝试让它们平行，它会发现它们似乎也永不相交。它对这些“局部”规律的感知和遵循，确实是在“扮演”欧氏几何的角色。
但是，这里有一个重要的区分点：这个“欧氏几何”是蚂蚁的“感觉”和“局部测量”的结果，而不是球面“本身”的整体几何性质。 它的世界观是有限的，它的经验是局部的。如果这只蚂蚁能够活得足够久，爬得足够远，并且具备了某种超越其微观能力的感知或测量手段，比如能够用一种非常精确的测量仪器沿着球面画出巨大的三角形，然后测量它的内角和，它最终会发现这个和并不等于180度，并且会随着它所画三角形的增大而发生显著偏差。那样的话，它的“物理世界”的描述就不再能简单地用欧氏几何来概括了。
更进一步说，如果这只蚂蚁具备了某种“空间感应”能力，能够感知到它所处的这个二维表面是如何弯曲到三维空间中的（尽管它自身无法理解“三维空间”这个概念），那么它可能会对“平坦”的概念产生更深刻的理解。
所以，我们可以这样形象地比喻：
球面本身：就像一张精心制作的曲面地图，它的信息已经包含了所有细节，包括它整体的弯曲程度。这是黎曼几何的“全景视图”。
球面上的蚂蚁：就像一个在地图上爬行的小虫子，它只能看到它眼前的一小块区域。在这一小块区域里，地图看起来是平坦的，它的行为符合欧氏几何的规则。但它不知道，它其实是在一张球形的纸上爬行。
因此，说球面上的蚂蚁感受到的物理世界是欧氏几何，更准确地说，是它在有限的局部感知范围内，体验到的是近似于欧氏几何的物理规律。 这种“近似”正是黎曼几何的精妙之处，它允许我们在一个弯曲空间中定义和研究局部平坦性，并建立与我们熟悉的欧氏几何之间的联系。
总而言之，当我们在讨论一个空间的内在几何属性时，我们使用的是黎曼几何的语言。而当我们在描述一个生活在该空间内的有限感知实体的局部经验时，我们可能会发现它的行为符合欧氏几何的近似规律。这是不同尺度和不同观察角度所带来的认知差异。
首先，让我们明确一下“球面上的几何是黎曼几何”这句话的含义。当我们在讨论一个球面的几何时，我们通常指的是这个球面本身的固有性质，也就是在这个曲面上我们可以进行的测量和描述。比如，在这个曲面上两点之间最短的直线距离是什么？在一个三角形的三条内角之和是多少？这些都是曲面本身的几何属性。
黎曼几何是一种高度抽象的数学理论，它允许我们描述和分析任意维度、任意曲率的几何空间。在黎曼几何中，我们引入了度量张量，它可以告诉我们在空间中的每一点，如何测量长度、角度和体积。对于一个球面来说，它有一个固定的正曲率。这意味着，在这个曲面上，两点之间的“直线”（在黎曼几何中称为测地线）会随着距离的增加而“收敛”，就好比地球上两极的经线一样。而且，在一个球面三角形中，三条内角之和总是大于180度，并且会随着三角形面积的增大而增大，这个“多余的角度”就反映了曲率的存在。所以，从纯粹的数学角度来看，我们描述球面的固有几何性质时，使用的框架确实是黎曼几何。
现在，让我们想象一下一只生活在球面上的蚂蚁。它如何感受这个世界？它的“物理世界”是什么样的？
对于这只蚂蚁来说，它所能感知和直接体验的，是它自己能够行走的、二维的表面。它可能沿着这层表面爬行，用触角感受凹凸，用身体衡量距离。它没有能力“跳出”这个球面去鸟瞰整个球体。它的所有活动，它的导航，它的“测量”，都局限于这个曲面本身。
那么，它感受到的几何是欧氏几何吗？
从蚂蚁的局部体验来说，是的，在它眼前的一小块区域，可以近似地看作是平坦的。想象一下，如果你站在地球上任何一个非常小的区域，比如你的脚下这一小块地面，你测量几米、几十米的距离，计算几个角度，你所得到的几何性质会非常非常接近欧氏几何的规律。欧氏几何描述的就是平直空间，在这个空间里，平行线永不相交，三角形内角和恒等于180度。
这是因为，虽然整个球面是弯曲的，但任何足够小的区域，都可以用一个平坦的欧氏空间来近似描述。这在数学上被称为“局部平坦性”。黎曼几何本身就是建立在这样一个基础上的：它认为任何黎曼流形（比如球面）的每个点都有一个与之相关的欧氏切空间，这个切空间描述了在那个点附近非常局部的行为。
所以，我们可以这样理解：
球面的固有几何是黎曼几何：这是对整个球面整体性质的数学描述，它捕捉到了球面的整体曲率。
球面上的蚂蚁感受到的物理世界，在它能力范围内（局部体验）是近似欧氏几何：就像我们在地球表面局部区域的体验一样，蚂蚁无法感知到它所在表面的整体弯曲性。它所能直接测量的任何小范围内的几何性质，都非常接近欧氏几何。
举个例子，如果这只蚂蚁要画一个非常小的三角形，它会发现这个三角形的内角和非常接近180度。如果它要画两条非常短的“直线”并且尝试让它们平行，它会发现它们似乎也永不相交。它对这些“局部”规律的感知和遵循，确实是在“扮演”欧氏几何的角色。
但是，这里有一个重要的区分点：这个“欧氏几何”是蚂蚁的“感觉”和“局部测量”的结果，而不是球面“本身”的整体几何性质。 它的世界观是有限的，它的经验是局部的。如果这只蚂蚁能够活得足够久，爬得足够远，并且具备了某种超越其微观能力的感知或测量手段，比如能够用一种非常精确的测量仪器沿着球面画出巨大的三角形，然后测量它的内角和，它最终会发现这个和并不等于180度，并且会随着它所画三角形的增大而发生显著偏差。那样的话，它的“物理世界”的描述就不再能简单地用欧氏几何来概括了。
更进一步说，如果这只蚂蚁具备了某种“空间感应”能力，能够感知到它所处的这个二维表面是如何弯曲到三维空间中的（尽管它自身无法理解“三维空间”这个概念），那么它可能会对“平坦”的概念产生更深刻的理解。
所以，我们可以这样形象地比喻：
球面本身：就像一张精心制作的曲面地图，它的信息已经包含了所有细节，包括它整体的弯曲程度。这是黎曼几何的“全景视图”。
球面上的蚂蚁：就像一个在地图上爬行的小虫子，它只能看到它眼前的一小块区域。在这一小块区域里，地图看起来是平坦的，它的行为符合欧氏几何的规则。但它不知道，它其实是在一张球形的纸上爬行。
因此，说球面上的蚂蚁感受到的物理世界是欧氏几何，更准确地说，是它在有限的局部感知范围内，体验到的是近似于欧氏几何的物理规律。 这种“近似”正是黎曼几何的精妙之处，它允许我们在一个弯曲空间中定义和研究局部平坦性，并建立与我们熟悉的欧氏几何之间的联系。
总而言之，当我们在讨论一个空间的内在几何属性时，我们使用的是黎曼几何的语言。而当我们在描述一个生活在该空间内的有限感知实体的局部经验时，我们可能会发现它的行为符合欧氏几何的近似规律。这是不同尺度和不同观察角度所带来的认知差异。
网友意见
假设蚂蚁足够聪明，知道怎么找到局部最短的线段（称之为测地线），并且蚂蚁知道角度的概念，那么它们会发现在它们的球面世界上，一个测地三角形的内角和是大于180°的，且这个内角和与180°相差的量与该测地三角的面积有关。
现在让一个蚂蚁通过神秘方式穿越到一张平坦的纸上，它会惊讶地发现测地三角形的内角和全是180°，自然就发现原来的空间和现在的空间的结构不一样。
事实上，你在马鞍面（或者说薯片）的鞍点附近画测地三角，内角和是小于180°的，这类几何模型称为双曲模型，欧氏空间和球面也是两种模型，它们三者对应与负曲率，0曲率，和正曲率的空间模型，而这些空间都是黎曼几何研究的范畴。所以题主说的“球面上的几何就是黎曼几何”这句话是不确切的。
黎曼几何所在的背景：黎曼流形 首先就告诉了你这个几何对象上任何两个切向量的内积是怎样定义的，于是你可以定义长度和角度，然后计算一些特殊的量来研究这个空间的性质。
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