在三维空间单位球上放置n个完全一样的点电荷，怎样放置电势能最低？
这确实是一个引人入胜的问题，关于如何在单位球上放置 N 个相同电荷以达到最低势能。这个问题实际上涉及到物理学中的一个经典难题，通常被称为“电荷在球壳上的分布问题”或者更广义的“最小能量构型问题”。要详细地解答它，我们需要一步一步来分析。
核心思想：同种电荷相互排斥，为了达到最低势能，这些电荷会尽可能地远离彼此。
首先，让我们明确一下问题的设定：
单位球： 指的是半径为 1 的球体，通常以原点 (0,0,0) 为中心。
n 个完全一样的点电荷： 意味着所有电荷的电量（比如都带正电 q）是相同的。
势能： 在经典电磁学中，两个点电荷 $q_1$ 和 $q_2$ 之间的势能（不考虑常数因子）是 $U = k frac{q_1 q_2}{r}$，其中 k 是库仑常数，$r$ 是它们之间的距离。对于多个电荷，总势能是所有电荷对之间势能的叠加。
目标：最小化总势能
我们的目标是找到这 n 个电荷在单位球表面上的位置 $(r_1, r_2, dots, r_n)$，使得总势能 $U_{total} = sum_{i
为什么是单位球的表面？
这个问题通常有几种变体，包括在三维空间中放置电荷，或者在球体内部。但既然题目明确要求在“单位球上”，我们理解为“单位球的表面上”。这一点很重要，因为它限制了电荷的活动范围。
挑战：这是个复杂的优化问题
直观上，我们希望电荷尽可能地散开。但由于它们都被束缚在球面上，它们之间的相互作用会形成一种“平衡”。这个问题不像把几个橡皮球放在一个盘子里那么简单，因为电荷之间是电场力在起作用，而且力是随着距离倒数平方变化的。
对于少量的点电荷，我们也许能猜出一些简单的对称分布。但当 n 增大时，情况变得非常复杂。没有一个简单的解析公式可以直接给出最优解。这通常需要借助数值计算方法来求解。
探索一些简单情况 (n=1, 2, 3, ...)
n=1: 只有一个电荷。它的位置不影响总势能（因为没有其他电荷可以与之相互作用），所以任何位置都可以。但如果考虑它与球体本身的某种相互作用（题目没说，但有时会考虑），那可能另说。在这个问题设定下，n=1 没意义。
n=2: 两个相同的电荷。为了最小化势能，它们应该尽可能地远离对方。在球面上，距离最远的点是对径点。所以，两个电荷应该放在球面上相对的两点上，即互为球心对称的点。例如，一个放在北极 $(0,0,1)$，另一个放在南极 $(0,0,1)$。
n=3: 三个相同的电荷。它们应该尽可能地散开。在球面上，这通常会形成一个等边三角形的顶点分布。考虑球心，这三个点与球心形成的夹角应该尽量大。如果投影到 xy 平面，它们会形成一个等边三角形。
n=4: 四个相同的电荷。这开始变得棘手。它们可能不会形成一个简单的规则多面体的顶点。一个可能的猜想是正四面体的顶点，但这四个点都在球面上。另一个可能的构型是让它们尽量分散开。
n=5, 6, 7, ...: 随着电荷数量的增加，找到最优解变得越来越困难。这些分布往往不再具有简单的几何对称性，而是呈现出一些奇特的“团簇”或者“准周期性”的结构。
数值方法的介入：
由于解析解的缺失，这个问题通常被转化为一个优化问题，然后使用数值方法来解决。这些方法包括：
1. 能量最小化算法 (Energy Minimization Algorithms):
最速下降法 (Steepest Descent): 从一个随机的初始构型开始，计算每个电荷受到的合力，然后沿着合力的反方向移动一小步，直到能量不再显著下降。
共轭梯度法 (Conjugate Gradient): 比最速下降法更高效，它利用了梯度的信息来找到更优的搜索方向。
模拟退火 (Simulated Annealing): 一种随机优化算法，它在搜索过程中引入一定的随机性，以避免陷入局部最小值。这对于复杂的高维优化问题特别有用。
2. 分子动力学 (Molecular Dynamics): 虽然这个名称通常用于模拟原子分子系统，但其核心思想是将电荷视为粒子，计算它们之间的作用力，然后根据牛顿定律模拟它们的运动轨迹。如果模拟足够长的时间并且能量能够达到一个稳定的状态，这个状态就可能接近最低势能构型。
3. 基于几何的算法 (Geometric Algorithms): 有些研究也尝试利用球面上特定结构的性质，比如“球形多面体”(spherical polyhedra) 或“球形编码”(spherical codes) 的概念来寻找近似解。
一些重要的发现和观察 (来自相关研究):
“球形编码” (Spherical Codes) 和“球形设计” (Spherical Designs): 这个问题与数学中研究“球形编码”和“球形设计”的问题密切相关。球形编码的目标是在球面上放置尽可能多的点，使得任意两点之间的距离大于某个阈值。球形设计则关注于如何在一个球面上的点集，能够精确地表示球面上某些积分或平均值。最优的电荷分布往往与这些数学结构有紧密的联系。
“团簇”结构 (Cluster Structures): 对于一些特定的 n 值，会形成相对稳定的“团簇”结构，电荷倾向于聚集在一起，但又因为斥力而被拉开。这些团簇的几何形状往往很复杂。
“稳定构型” vs “全局最小值”: 需要注意的是，很多数值方法找到的只是一个“局部最小值”，而不是绝对的“全局最小值”。找到全局最小值是一个非常困难的问题。研究人员通常会尝试使用不同的初始条件或更复杂的算法来增加找到全局最小值的可能性。
“拓扑异构” (Topological Isomers): 有时，即使电荷数量相同，最优构型也可能不止一种，它们在几何形状上可能有所不同，但在势能上非常接近，甚至难以区分。
举例说明一个数值计算过程（概念性描述）：
假设我们要找 n=4 的最优解。
1. 初始化: 在单位球表面上随机放置 4 个点。记录下它们的坐标 $(x_i, y_i, z_i)$，其中 $x_i^2 + y_i^2 + z_i^2 = 1$。
2. 计算势能: 计算这 4 个点之间的所有配对距离 $r_{ij}$，然后计算总势能 $U_{total} = sum_{i
3. 计算力 (或梯度): 对于每个点 i，计算它受到的其他所有点 j 的排斥力合矢量。这个合力指向离开该点的位置。从数学上讲，这相当于计算总势能对该点位置坐标的偏导数（梯度）。
4. 移动电荷 (优化步骤):
简单方式: 将每个点沿着它受到的合力（或者更准确地说，合力的反方向，因为我们希望减小势能）的方向移动一小步 $Delta s$。新的位置需要重新投影回球面上（例如，将移动后的向量归一化）。
更精确方式: 使用更高级的优化算法，如共轭梯度法，来决定移动的方向和步长，以更有效地逼近最小值。
5. 迭代: 重复步骤 24。每次迭代，我们都尝试让电荷移动到能显著降低总势能的位置。
6. 停止条件: 当势能的变化量非常小，或者电荷之间的力非常接近于零时，算法停止。此时得到的构型就是接近最低势能的构型。
总结：
在三维空间单位球表面上放置 n 个完全一样的点电荷，以达到最低势能，没有一个简单的、通用的解析公式可以给出所有 n 的最优解。 这个问题本质上是一个复杂的优化问题，最优构型往往呈现出精细的、非直观的几何分布，随着 n 的增加，这种复杂性会急剧增加。
解决这类问题的常用方法是采用数值优化算法，例如能量最小化方法（最速下降、共轭梯度）或模拟退火。这些算法通过迭代地调整电荷的位置，尝试使它们之间尽可能地远离，从而最小化总的库仑势能。
因此，“怎样放置”的答案不是一套简单的坐标公式，而更像是一个“过程”或“算法”，通过它来寻找那个最佳的、最稳定的分散方式。 这个领域的研究通常与数学中的球形编码、球形设计以及物理学中的多体问题紧密相连。
核心思想：同种电荷相互排斥，为了达到最低势能，这些电荷会尽可能地远离彼此。
首先，让我们明确一下问题的设定：
单位球： 指的是半径为 1 的球体，通常以原点 (0,0,0) 为中心。
n 个完全一样的点电荷： 意味着所有电荷的电量（比如都带正电 q）是相同的。
势能： 在经典电磁学中，两个点电荷 $q_1$ 和 $q_2$ 之间的势能（不考虑常数因子）是 $U = k frac{q_1 q_2}{r}$，其中 k 是库仑常数，$r$ 是它们之间的距离。对于多个电荷，总势能是所有电荷对之间势能的叠加。
目标：最小化总势能
我们的目标是找到这 n 个电荷在单位球表面上的位置 $(r_1, r_2, dots, r_n)$，使得总势能 $U_{total} = sum_{i
为什么是单位球的表面？
这个问题通常有几种变体，包括在三维空间中放置电荷，或者在球体内部。但既然题目明确要求在“单位球上”，我们理解为“单位球的表面上”。这一点很重要，因为它限制了电荷的活动范围。
挑战：这是个复杂的优化问题
直观上，我们希望电荷尽可能地散开。但由于它们都被束缚在球面上，它们之间的相互作用会形成一种“平衡”。这个问题不像把几个橡皮球放在一个盘子里那么简单，因为电荷之间是电场力在起作用，而且力是随着距离倒数平方变化的。
对于少量的点电荷，我们也许能猜出一些简单的对称分布。但当 n 增大时，情况变得非常复杂。没有一个简单的解析公式可以直接给出最优解。这通常需要借助数值计算方法来求解。
探索一些简单情况 (n=1, 2, 3, ...)
n=1: 只有一个电荷。它的位置不影响总势能（因为没有其他电荷可以与之相互作用），所以任何位置都可以。但如果考虑它与球体本身的某种相互作用（题目没说，但有时会考虑），那可能另说。在这个问题设定下，n=1 没意义。
n=2: 两个相同的电荷。为了最小化势能，它们应该尽可能地远离对方。在球面上，距离最远的点是对径点。所以，两个电荷应该放在球面上相对的两点上，即互为球心对称的点。例如，一个放在北极 $(0,0,1)$，另一个放在南极 $(0,0,1)$。
n=3: 三个相同的电荷。它们应该尽可能地散开。在球面上，这通常会形成一个等边三角形的顶点分布。考虑球心，这三个点与球心形成的夹角应该尽量大。如果投影到 xy 平面，它们会形成一个等边三角形。
n=4: 四个相同的电荷。这开始变得棘手。它们可能不会形成一个简单的规则多面体的顶点。一个可能的猜想是正四面体的顶点，但这四个点都在球面上。另一个可能的构型是让它们尽量分散开。
n=5, 6, 7, ...: 随着电荷数量的增加，找到最优解变得越来越困难。这些分布往往不再具有简单的几何对称性，而是呈现出一些奇特的“团簇”或者“准周期性”的结构。
数值方法的介入：
由于解析解的缺失，这个问题通常被转化为一个优化问题，然后使用数值方法来解决。这些方法包括：
1. 能量最小化算法 (Energy Minimization Algorithms):
最速下降法 (Steepest Descent): 从一个随机的初始构型开始，计算每个电荷受到的合力，然后沿着合力的反方向移动一小步，直到能量不再显著下降。
共轭梯度法 (Conjugate Gradient): 比最速下降法更高效，它利用了梯度的信息来找到更优的搜索方向。
模拟退火 (Simulated Annealing): 一种随机优化算法，它在搜索过程中引入一定的随机性，以避免陷入局部最小值。这对于复杂的高维优化问题特别有用。
2. 分子动力学 (Molecular Dynamics): 虽然这个名称通常用于模拟原子分子系统，但其核心思想是将电荷视为粒子，计算它们之间的作用力，然后根据牛顿定律模拟它们的运动轨迹。如果模拟足够长的时间并且能量能够达到一个稳定的状态，这个状态就可能接近最低势能构型。
3. 基于几何的算法 (Geometric Algorithms): 有些研究也尝试利用球面上特定结构的性质，比如“球形多面体”(spherical polyhedra) 或“球形编码”(spherical codes) 的概念来寻找近似解。
一些重要的发现和观察 (来自相关研究):
“球形编码” (Spherical Codes) 和“球形设计” (Spherical Designs): 这个问题与数学中研究“球形编码”和“球形设计”的问题密切相关。球形编码的目标是在球面上放置尽可能多的点，使得任意两点之间的距离大于某个阈值。球形设计则关注于如何在一个球面上的点集，能够精确地表示球面上某些积分或平均值。最优的电荷分布往往与这些数学结构有紧密的联系。
“团簇”结构 (Cluster Structures): 对于一些特定的 n 值，会形成相对稳定的“团簇”结构，电荷倾向于聚集在一起，但又因为斥力而被拉开。这些团簇的几何形状往往很复杂。
“稳定构型” vs “全局最小值”: 需要注意的是，很多数值方法找到的只是一个“局部最小值”，而不是绝对的“全局最小值”。找到全局最小值是一个非常困难的问题。研究人员通常会尝试使用不同的初始条件或更复杂的算法来增加找到全局最小值的可能性。
“拓扑异构” (Topological Isomers): 有时，即使电荷数量相同，最优构型也可能不止一种，它们在几何形状上可能有所不同，但在势能上非常接近，甚至难以区分。
举例说明一个数值计算过程（概念性描述）：
假设我们要找 n=4 的最优解。
1. 初始化: 在单位球表面上随机放置 4 个点。记录下它们的坐标 $(x_i, y_i, z_i)$，其中 $x_i^2 + y_i^2 + z_i^2 = 1$。
2. 计算势能: 计算这 4 个点之间的所有配对距离 $r_{ij}$，然后计算总势能 $U_{total} = sum_{i
3. 计算力 (或梯度): 对于每个点 i，计算它受到的其他所有点 j 的排斥力合矢量。这个合力指向离开该点的位置。从数学上讲，这相当于计算总势能对该点位置坐标的偏导数（梯度）。
4. 移动电荷 (优化步骤):
简单方式: 将每个点沿着它受到的合力（或者更准确地说，合力的反方向，因为我们希望减小势能）的方向移动一小步 $Delta s$。新的位置需要重新投影回球面上（例如，将移动后的向量归一化）。
更精确方式: 使用更高级的优化算法，如共轭梯度法，来决定移动的方向和步长，以更有效地逼近最小值。
5. 迭代: 重复步骤 24。每次迭代，我们都尝试让电荷移动到能显著降低总势能的位置。
6. 停止条件: 当势能的变化量非常小，或者电荷之间的力非常接近于零时，算法停止。此时得到的构型就是接近最低势能的构型。
总结：
在三维空间单位球表面上放置 n 个完全一样的点电荷，以达到最低势能，没有一个简单的、通用的解析公式可以给出所有 n 的最优解。 这个问题本质上是一个复杂的优化问题，最优构型往往呈现出精细的、非直观的几何分布，随着 n 的增加，这种复杂性会急剧增加。
解决这类问题的常用方法是采用数值优化算法，例如能量最小化方法（最速下降、共轭梯度）或模拟退火。这些算法通过迭代地调整电荷的位置，尝试使它们之间尽可能地远离，从而最小化总的库仑势能。
因此，“怎样放置”的答案不是一套简单的坐标公式，而更像是一个“过程”或“算法”，通过它来寻找那个最佳的、最稳定的分散方式。 这个领域的研究通常与数学中的球形编码、球形设计以及物理学中的多体问题紧密相连。
网友意见
巧了，我的上一篇论文[1]里还真遇到过类似的问题。
这篇论文研究的是金属中的氢泡，简单来说就是在金属中挖个孔洞，然后往孔洞表面和芯部放氢原子。
吸附在孔洞表面的氢是带有一定电荷的，会互相排斥。所以我要尽量均匀的在表面放n个氢，以获得能量最低的结构。
当然，论文中的情况跟本题还是稍微有些不同：一方面，孔洞表面并不是平滑的球面，存在原子级别的凹凸不平（上图中的黑线就是孔洞表面），氢在这些凹凸处的能量不完全一样；另一方面，氢-氢之间的排斥势能大约是距离的-5次幂函数，而非点电荷的-1次幂函数。
我找出来的最低能结构大致长这样（删掉了上半部分的金属原子，不然就全挡住了）：
由于答主数学功底比较差，推不出这种情况下的解析解，只能用数值方法暴力求解。当时用的是比较万金油的模拟退火算法：
- 随便给定一个初始结构，以及初始温度T
- 随机移动其中一个氢，改变它在表面的位置，计算此次移动带来的能量变化
- 若，表明移动氢降低了能量，则接受此次移动
- 若，则有以 的概率接受此次移动， 的概率撤销此次移动，其中 为玻尔兹曼常数
- 重复2-4，并在这个过程中逐渐降低温度T
通过这样一个逐渐降温的过程，最终有很大概率（并不是一定）能找到氢原子的最稳定分布。
模拟退火算法的优势，其一在于能够避免陷入局域的亚稳态，降温速率设置合理的话，找到全局最稳态的概率还是很大的；其二在于通用&易用性，函数长啥样不用管，只需要一步步瞎跑，然后根据 概率性的选择接受/拒绝这一步就行。
如果对模拟退火算法感兴趣，也可以看看我的这篇专栏文章[2]
参考
- ^Predictive model of hydrogen trapping and bubbling in nanovoids in bcc metals https://www.nature.com/articles/s41563-019-0422-4
- ^《钢铁是怎样炼成的_程序员版》——模拟退火算法原理与实例 https://zhuanlan.zhihu.com/p/47542281
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