如何看待 Atiyah 对六维球面 S^6 上没有复结构的证明？
迈克尔·阿蒂亚爵士，作为一位享誉世界的数学家，其在几何和拓扑领域的贡献是里程碑式的。他对六维球面 $S^6$ 上不存在复结构的证明，便是其中一个引人入胜的例子。这一定理虽然看似抽象，却深刻地揭示了高维空间中几何性质的复杂性，并对微分几何、代数几何以及物理学等领域产生了深远影响。
让我们深入剖析一下这个证明的核心思想，并尝试用更直观的方式来理解它。
复结构：什么是它，为何如此特别？
在深入证明之前，我们首先需要理解什么是“复结构”。在数学中，一个复结构是在一个光滑流形上附加的一种额外结构，它允许我们在流形的每个切空间上引入一个乘法为 $i$（虚数单位）的复数结构。简单来说，复结构使得我们可以将一个实数向量空间“看作”一个复数向量空间。
具有复结构的流形被称为凯勒流形（Kähler manifold），而凯勒流形是数学中最重要的一类流形之一。它们不仅在代数几何中扮演着核心角色，在理论物理的许多领域，尤其是弦论和超对称理论中，也是不可或缺的。一个重要的性质是，凯勒流形必须是偶数维的。因此，我们考虑六维球面 $S^6$ 是有意义的。
为什么 $S^6$ 如此特别？
球面 $S^n$ 是 $n+1$ 维欧几里得空间中与原点距离为1的所有点的集合。球面在几何和拓扑中扮演着基础性的角色。例如：
$S^1$ 是一个圆，它拥有复结构（例如，可以看作复平面上的单位圆）。
$S^2$ 是一个二维球面，它也拥有复结构（可以看作黎曼球面）。
那么，到了 $S^6$，情况发生了什么变化，使得它如此难以拥有复结构呢？这就是 Atiyah 证明的精髓所在。
Atiyah 证明的核心思路：从代数到几何的桥梁
Atiyah 的证明并非直接从 $S^6$ 的拓扑性质入手，而是巧妙地利用了与复结构紧密相关的代数结构，特别是李群和李代数的性质，以及向量丛的理论。
简而言之，证明可以概括为以下几个关键步骤：
1. 假设存在复结构： 首先，我们假设 $S^6$ 上确实存在一个复结构。这个假设将带领我们推导出一系列逻辑上的结论。
2. 复结构的几何表现： 如果 $S^6$ 有一个复结构，那么它就变成了一个六维的凯勒流形。任何凯勒流形都拥有一个特殊的全纯切丛（holomorphic tangent bundle）。这个丛的纤维是切空间的复数版本。
3. 特征类： 在微分几何中，我们通过特征类来刻画流形的拓扑和几何性质。对于一个复向量丛，其陈类（Chern classes）是重要的不变量。如果 $S^6$ 有一个复结构，那么它的全纯切丛的陈类必须满足某些特定的性质。
4. 构造一个“特殊”的向量丛： Atiyah 证明的关键在于，他能够利用 $S^6$ 的一些特殊的代数和几何性质，构造出一个与假设的复结构密切相关的向量丛，并分析它的陈类。
5. 导出矛盾： 通过计算这个特殊向量丛的陈类，并结合一些代数上的结果（特别是关于八元数的性质），Atiyah 证明了这些陈类必须满足的条件与实际情况（即 $S^6$ 本身的性质）产生了矛盾。这个矛盾表明，最初的假设——“$S^6$ 上存在复结构”——必然是错误的。
深入细节：八元数与 $S^6$ 的联系
理解 Atiyah 证明的关键在于理解 $S^6$ 和八元数（octonions）之间的深刻联系。
八元数： 八元数是一种非结合、非交换的超复数系统，它是实数、复数、四元数之后的一种推广。八元数具有非常奇特的代数结构。
$G_2$ 群： 控制八元数代数自同构的群是 $G_2$ 群。这是一个非常重要的李群，也是一个“例外”群，在数学和物理中都扮演着特殊角色。
$S^6$ 的自旋结构和 $G_2$： $S^6$ 是唯一一个拥有“非正则”自旋结构的奇偶数维球面。更重要的是，$S^6$ 的全闭合全纯切丛（holonomy group of the tangent bundle）恰好是 $G_2$ 群。这意味着 $S^6$ 的几何“由 $G_2$ 群驱动”。
Atiyah 的证明巧妙地利用了这个 $G_2$ 群的性质。如果 $S^6$ 有一个复结构，那么它的全纯切丛将拥有一个更强的对称性。具体来说，如果 $S^6$ 是一个凯勒流形，那么其切丛的 holonomy 群必须包含在 $U(3)$ 群（复向量的酉群）中。
然而，Atiyah 证明了，由于 $S^6$ 的切丛的 holonomy 群是 $G_2$，而 $G_2$ 群并非 $U(3)$ 的子群。$G_2$ 群的结构比 $U(3)$ 更“松散”，它允许一些非酉的变换。
另一种视角：微分算子和凯勒爱因斯坦度量
Atiyah 的证明也可以从另一种角度来理解，那就是通过微分算子和凯勒爱因斯坦度量。
凯勒爱因斯坦度量： 凯勒流形上的一个特殊度量叫做凯勒爱因斯坦度量，它满足 Ricci 曲率与度量的线性关系。
微分算子： 在复结构下，我们可以定义一系列重要的微分算子，例如 $ar{partial}$ 算子。这些算子的性质与流形的复结构紧密相关。
AtiyahSinger 定理： Atiyah 和 Singer 共同提出的指标定理（Index Theorem）是现代数学的基石之一，它将分析（微分算子）与拓扑（特征类）联系起来。Atiyah 的证明也隐含地使用了类似指标定理的思想。
他可以证明，如果 $S^6$ 有一个复结构，那么就必然存在一个特定的凯勒爱因斯坦度量。然而，通过分析 $S^6$ 的拓扑性质，并利用八元数代数的一些结论，可以证明 $S^6$ 不可能拥有这样的度量。这个矛盾再次指向了复结构的不存在。
为什么 $S^6$ 的复结构如此重要？
拓扑和几何的联系： 证明 $S^6$ 没有复结构，是因为它的基础拓扑性质（例如同伦群）与拥有复结构所需的代数和几何属性不兼容。这突显了拓扑学和微分几何之间深刻的联系。
代数结构和几何的联系： 证明还展示了抽象代数结构（如八元数）如何深刻地影响几何对象的性质。
在理论物理中的影响： 很多物理理论，特别是涉及超对称和弦论的理论，都依赖于具有复结构或更一般意义上的特殊几何流形。$S^6$ 的特殊性意味着它不能简单地被纳入这些理论的框架中，除非进行特殊的处理。例如，在某些超引力理论中，$S^6$ 作为紧致化空间出现，但其上的几何结构就需要细致的分析。
总结：一个优雅的证明
Atiyah 对 $S^6$ 上不存在复结构的证明，是一个集代数、几何、拓扑和分析于一体的深刻而优雅的论证。它并非直接否定 $S^6$ 的存在，而是通过假设一个不应有的性质（复结构），然后导出在代数和几何上无法调和的矛盾。这个证明不仅在数学上具有里程碑意义，也为我们理解高维空间中几何结构的复杂性和不同数学领域之间的联系提供了宝贵的视角。它是一个“负面”结果，但这个负面结果的证明过程，恰恰是数学家们探索未知、揭示宇宙奥秘的最好写照。
网友意见
谢邀。
我基本没怎么学过K理论，今天刚和老板讨论这个问题，他代数拓扑知道得比我多，但是对指标理论和K理论也不怎么了解。不过他觉得基本不太可能是对的，因为真正的“证明过程”只有半页纸，而且看看最后的致谢部分怎么写的：“Dennis Sullivan and Claude Lebrun showed some healthy and fruitful scepticism. My younger colleagues, Nigel Hitchin and Ju ̈rgen Berndt, provided expertise and constructive criticism. Robert Bryant who knows the problem well [13] pushed me hard and, supported by Blaine Lawson, forced me to clarify my argument. Finally my amanu- ensis Andrew Ranicki has always been at my elbow, speeding me along.” 我老板的说法是，一个数学家，如果他已经87岁了，被这么多大人物和领域内专家质疑，他是应该要认真听听的。。PS:
@春雨这个致谢根本就不是“致谢里说那么多人检查过了也不会有错”，而是这么多人检查过了纷纷表示质疑啊。。
我个人还是希望他真做出来了的，毕竟学数学的都会有点英雄主义，心里还是期望一代宗师能够宝刀不老的。不过数学界是讲论证的地方，不是讲感情的地方，就目前情况来说，数学界还没有公认他的结果，很多人都表示质疑，还是先看一段时间热闹比较好。如果真如
@春雨所说，证明只是本科生大作业程度的话，那这么多专家质疑也太不正常了。。
更新：证明过程主要在section 3,所以我们来看看section 3讲了些什么：
3. Almost complex structures
Let us begin by examining the almost complex structure J(0) on the 6-sphere induced by the octonions. It is immaterial whether we take the Euclidean signature or the Minkowski one, but we prefer the Minkowski one with signature (7,1).In fact we have not one almost complex struc- ture (ACS) but two conjugate ones. Just as in note 3, we should not distinguish between them, the pair come as a single real ACS. Locally, if we puncture the 6-sphere at one point, we can distinguish them, calling one + and one -, but this distinction is not necessarily global. There are topologically just two possibilities, either the distinction is global (the “even” case) and carries across the puncture or it is not (the “odd” case).
这个自然段是说S^6上已知的两个（共轭的）近复结构不可积，但这并不意味着什么，因为这是几十年前就被证明的结果了。然后这里提出了even和odd的区别，主要区别似乎是这两个近复结构的区分是不是整体的。
Whether we are in the even case or the odd case depends in general on the situation. For the 6-sphere, the base of the light cone in Minkowski space R(7, 1), we are in the odd case, but for signatures (5,3) or dually (3,5), the 6-sphere is replaced by the complex projective 3-space P, or its dual P∗, the real ACS is integrable and we are in the even case. This is just linear algebra and easily checked.（我感觉这个“容易验证的线性代数”写出来肯定不止7页。。）
The linear algebra involved is precisely that which enters into triality for the spinor group of signature (7,1), and the associated signatures (5,3) and (3,5).
这一段我看不懂，学识太有限没办法。。黑体部分我感觉是他的论据之一？但是也只是个claim，并没有证明啊。。
Because of the Atiyah-Singer theory, the linear algebra acquires a topological meaning, and that is embodied in KR theory.
这也讲得太简略了吧。。
Our Theorem can now be reinterpreted as saying that, on the 6- sphere, any real ACS is of odd type. Hence there is no real ACS of even type. An integrable complex structure would define a real ACS of even type and so cannot exist. The integrability condition is essentially replaced by an equivalent topological condition.（为毛？） This for the 6-sphere is precisely what we expected, since there is no local obstruction and we needed a global cohomological obstruction in an appropriate theory.（我们需要一个global cohomological obstruction，所以这个obstruction就自动出现了么？你倒是说说这个global cohomological obstruction到底是啥啊。。） That theory is just KR theory. A short history of the 6-sphere problem follows as section 4.
然后接下来section 4，他又开始扯与证明无关的历史了。。
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