一道经典的切比雪夫不等式的概率论题目，各位大佬如何解答？
好的，各位朋友，今天咱们来聊聊概率论里一个特别有用的工具——切比雪夫不等式。这玩意儿看着名字挺唬人，但说白了就是告诉我们，一个随机变量的值离它的期望值有多远的概率。咱们今天就拿一道经典的题目，一步一步地把它给剖析透彻了，保证大家听完之后，对这个不等式能有个真切的理解。
题目来了：
假设我们有一个随机变量 $X$，我们知道它的期望值 $E(X) = 50$，方差 $ ext{Var}(X) = 100$。现在，我们要用切比雪夫不等式来估计：随机变量 $X$ 的值偏离它的期望值 $50$ 的绝对值大于 $20$ 的概率有多大？也就是说，我们想求 $P(|X 50| > 20)$。
切比雪夫不等式是什么鬼？
在咱们深入解答之前，得先把这个“切比雪夫不等式”的真面目揭开。它有两种常见的形式，但对于这道题，最直接有用的是下面这个：
对于任意一个随机变量 $X$，它的期望值是 $mu$ (也就是 $E(X)$)，方差是 $sigma^2$ (也就是 $ ext{Var}(X)$)，对于任意一个正数 $epsilon > 0$，都有：
$P(|X mu| geq epsilon) leq frac{ ext{Var}(X)}{epsilon^2}$
翻译一下人话：
这句话的意思是说啊，一个随机变量 $X$ 的值，跑到它的平均值（期望值 $mu$）的“两边” $epsilon$ 那么远的地方（就是比 $mu + epsilon$ 大，或者比 $mu epsilon$ 小）的概率，肯定不会超过 $frac{ ext{Var}(X)}{epsilon^2}$ 这个数。
这里的关键是“不会超过”，它给了一个上限，一个概率的“天花板”。我们用方差来衡量随机变量的“离散程度”，方差越大，值就越容易分散开；$epsilon$ 越大，我们允许的偏离范围就越大，那么超出这个范围的概率自然就越小。
开始解题，一步一步来：
1. 识别题目中的关键信息：
随机变量：$X$
期望值：$E(X) = mu = 50$
方差：$ ext{Var}(X) = sigma^2 = 100$
我们要估计的概率形式：$P(|X 50| > 20)$
2. 对比题目要求和切比雪夫不等式：
咱们要算的概率是 $P(|X 50| > 20)$。
切比雪夫不等式是 $P(|X mu| geq epsilon) leq frac{ ext{Var}(X)}{epsilon^2}$。
看到了吧？这里有个小小的“区别”：题目里用的是“大于” ($>$)，不等式里用的是“大于等于” ($geq$)。一般情况下，当我们要找 $P(|X mu| > epsilon)$ 的时候，我们也可以直接用切比雪夫不等式。为什么呢？因为 $P(|X mu| > epsilon)$ 这个概率肯定小于或者等于 $P(|X mu| geq epsilon)$。如果我们找到了 $P(|X mu| geq epsilon)$ 的一个上限，那对于 $P(|X mu| > epsilon)$ 来说，这个上限肯定也是成立的，甚至可能更高。所以，我们直接用不等式来估计就行了。
3. 确定不等式中的 $mu$ 和 $epsilon$：
从题目中我们可以直接看出：
$mu = 50$ （这就是我们要算的 $X$ 的期望值）
我们要比较的是 $|X 50|$ 和 $20$，所以这里的 $epsilon$ 就应该是 $20$。
4. 代入切比雪夫不等式：
现在我们把已知的值代入到切比雪夫不等式里：
$P(|X 50| geq 20) leq frac{ ext{Var}(X)}{epsilon^2}$
我们知道 $ ext{Var}(X) = 100$ 且 $epsilon = 20$，所以：
$P(|X 50| geq 20) leq frac{100}{20^2}$
5. 计算结果：
$20^2 = 400$
所以，
$P(|X 50| geq 20) leq frac{100}{400}$
$P(|X 50| geq 20) leq frac{1}{4}$
6. 得出结论（并解释一下）：
因此，根据切比雪夫不等式，我们可以得出结论：随机变量 $X$ 的值偏离它的期望值 $50$ 的绝对值大于或等于 $20$ 的概率，至多是 $0.25$ (也就是 $25%$)。
因为我们题目里求的是 $P(|X 50| > 20)$，而我们算出来的是 $P(|X 50| geq 20) leq 0.25$，那么 $P(|X 50| > 20)$ 这个概率肯定也小于等于 $0.25$。
换句话说，就算是最糟糕的情况，$X$ 的值跑到 $50$ 外面 $20$ 多个单位（也就是跑到 $30$ 以下或者 $70$ 以上）的概率也不会超过四分之一。
这不等式有什么意义？
切比雪夫不等式之所以经典，是因为它不需要知道随机变量 $X$ 的具体分布是什么！你知道它的期望和方差，就能对它的取值范围给出一个大致的估计。这在很多实际问题中非常有用，比如：
质量控制： 假设一个工厂生产的零件长度的平均值是 $50$ 毫米，标准差是 $10$ 毫米（方差就是 $100$）。如果我们设定一个“合格”的范围，比如长度在 $30$ 毫米到 $70$ 毫米之间。切比雪夫不等式告诉我们，不合格（长度小于 $30$ 或大于 $70$）的零件的比例不会超过 $25%$。就算我们不知道这些零件的长度是服从正态分布还是别的什么奇怪的分布，这个结论依然成立！
金融投资： 投资的回报率我们可以看作一个随机变量。知道平均回报率和回报率的波动性（方差），我们就能估计在某个时期内，回报率偏离平均值的幅度过大的风险有多大。
一点点补充和拓展：
不等式的宽松性： 要注意，切比雪夫不等式给出的通常是一个相对宽松的估计。在很多情况下，实际的概率可能比 $frac{ ext{Var}(X)}{epsilon^2}$ 小得多。比如，如果 $X$ 服从正态分布，那么偏离均值两倍标准差（在这里，标准差 $sigma = sqrt{100} = 10$，所以两倍标准差就是 $20$）的概率是非常小的，大概只有 $4.5%$。但是切比雪夫不等式给出了一个 $25%$ 的上限，这是为了保证它的普适性，不依赖于具体分布。
另一种形式： 切比雪夫不等式还有一个形式是针对 $epsilon$ 来说的：$P(|X mu| geq ksigma) leq frac{1}{k^2}$，其中 $k > 0$。在这个题目里，我们要看的是 $|X 50| > 20$。因为 $sigma = 10$，所以 $20 = 2 imes 10 = 2sigma$。代入这个形式，我们就得到了 $P(|X mu| geq 2sigma) leq frac{1}{2^2} = frac{1}{4}$。这和我们前面算的结果是一样的，只是换了一种说法。
总的来说，切比雪夫不等式是一个非常强大的工具，它为我们理解随机变量的“行为”提供了一个不依赖于具体分布的通用方法。希望今天的讲解能让大家对它有一个更清晰的认识。要是还有什么疑问，随时可以提出来一起讨论！
题目来了：
假设我们有一个随机变量 $X$，我们知道它的期望值 $E(X) = 50$，方差 $ ext{Var}(X) = 100$。现在，我们要用切比雪夫不等式来估计：随机变量 $X$ 的值偏离它的期望值 $50$ 的绝对值大于 $20$ 的概率有多大？也就是说，我们想求 $P(|X 50| > 20)$。
切比雪夫不等式是什么鬼？
在咱们深入解答之前，得先把这个“切比雪夫不等式”的真面目揭开。它有两种常见的形式，但对于这道题，最直接有用的是下面这个：
对于任意一个随机变量 $X$，它的期望值是 $mu$ (也就是 $E(X)$)，方差是 $sigma^2$ (也就是 $ ext{Var}(X)$)，对于任意一个正数 $epsilon > 0$，都有：
$P(|X mu| geq epsilon) leq frac{ ext{Var}(X)}{epsilon^2}$
翻译一下人话：
这句话的意思是说啊，一个随机变量 $X$ 的值，跑到它的平均值（期望值 $mu$）的“两边” $epsilon$ 那么远的地方（就是比 $mu + epsilon$ 大，或者比 $mu epsilon$ 小）的概率，肯定不会超过 $frac{ ext{Var}(X)}{epsilon^2}$ 这个数。
这里的关键是“不会超过”，它给了一个上限，一个概率的“天花板”。我们用方差来衡量随机变量的“离散程度”，方差越大，值就越容易分散开；$epsilon$ 越大，我们允许的偏离范围就越大，那么超出这个范围的概率自然就越小。
开始解题，一步一步来：
1. 识别题目中的关键信息：
随机变量：$X$
期望值：$E(X) = mu = 50$
方差：$ ext{Var}(X) = sigma^2 = 100$
我们要估计的概率形式：$P(|X 50| > 20)$
2. 对比题目要求和切比雪夫不等式：
咱们要算的概率是 $P(|X 50| > 20)$。
切比雪夫不等式是 $P(|X mu| geq epsilon) leq frac{ ext{Var}(X)}{epsilon^2}$。
看到了吧？这里有个小小的“区别”：题目里用的是“大于” ($>$)，不等式里用的是“大于等于” ($geq$)。一般情况下，当我们要找 $P(|X mu| > epsilon)$ 的时候，我们也可以直接用切比雪夫不等式。为什么呢？因为 $P(|X mu| > epsilon)$ 这个概率肯定小于或者等于 $P(|X mu| geq epsilon)$。如果我们找到了 $P(|X mu| geq epsilon)$ 的一个上限，那对于 $P(|X mu| > epsilon)$ 来说，这个上限肯定也是成立的，甚至可能更高。所以，我们直接用不等式来估计就行了。
3. 确定不等式中的 $mu$ 和 $epsilon$：
从题目中我们可以直接看出：
$mu = 50$ （这就是我们要算的 $X$ 的期望值）
我们要比较的是 $|X 50|$ 和 $20$，所以这里的 $epsilon$ 就应该是 $20$。
4. 代入切比雪夫不等式：
现在我们把已知的值代入到切比雪夫不等式里：
$P(|X 50| geq 20) leq frac{ ext{Var}(X)}{epsilon^2}$
我们知道 $ ext{Var}(X) = 100$ 且 $epsilon = 20$，所以：
$P(|X 50| geq 20) leq frac{100}{20^2}$
5. 计算结果：
$20^2 = 400$
所以，
$P(|X 50| geq 20) leq frac{100}{400}$
$P(|X 50| geq 20) leq frac{1}{4}$
6. 得出结论（并解释一下）：
因此，根据切比雪夫不等式，我们可以得出结论：随机变量 $X$ 的值偏离它的期望值 $50$ 的绝对值大于或等于 $20$ 的概率，至多是 $0.25$ (也就是 $25%$)。
因为我们题目里求的是 $P(|X 50| > 20)$，而我们算出来的是 $P(|X 50| geq 20) leq 0.25$，那么 $P(|X 50| > 20)$ 这个概率肯定也小于等于 $0.25$。
换句话说，就算是最糟糕的情况，$X$ 的值跑到 $50$ 外面 $20$ 多个单位（也就是跑到 $30$ 以下或者 $70$ 以上）的概率也不会超过四分之一。
这不等式有什么意义？
切比雪夫不等式之所以经典，是因为它不需要知道随机变量 $X$ 的具体分布是什么！你知道它的期望和方差，就能对它的取值范围给出一个大致的估计。这在很多实际问题中非常有用，比如：
质量控制： 假设一个工厂生产的零件长度的平均值是 $50$ 毫米，标准差是 $10$ 毫米（方差就是 $100$）。如果我们设定一个“合格”的范围，比如长度在 $30$ 毫米到 $70$ 毫米之间。切比雪夫不等式告诉我们，不合格（长度小于 $30$ 或大于 $70$）的零件的比例不会超过 $25%$。就算我们不知道这些零件的长度是服从正态分布还是别的什么奇怪的分布，这个结论依然成立！
金融投资： 投资的回报率我们可以看作一个随机变量。知道平均回报率和回报率的波动性（方差），我们就能估计在某个时期内，回报率偏离平均值的幅度过大的风险有多大。
一点点补充和拓展：
不等式的宽松性： 要注意，切比雪夫不等式给出的通常是一个相对宽松的估计。在很多情况下，实际的概率可能比 $frac{ ext{Var}(X)}{epsilon^2}$ 小得多。比如，如果 $X$ 服从正态分布，那么偏离均值两倍标准差（在这里，标准差 $sigma = sqrt{100} = 10$，所以两倍标准差就是 $20$）的概率是非常小的，大概只有 $4.5%$。但是切比雪夫不等式给出了一个 $25%$ 的上限，这是为了保证它的普适性，不依赖于具体分布。
另一种形式： 切比雪夫不等式还有一个形式是针对 $epsilon$ 来说的：$P(|X mu| geq ksigma) leq frac{1}{k^2}$，其中 $k > 0$。在这个题目里，我们要看的是 $|X 50| > 20$。因为 $sigma = 10$，所以 $20 = 2 imes 10 = 2sigma$。代入这个形式，我们就得到了 $P(|X mu| geq 2sigma) leq frac{1}{2^2} = frac{1}{4}$。这和我们前面算的结果是一样的，只是换了一种说法。
总的来说，切比雪夫不等式是一个非常强大的工具，它为我们理解随机变量的“行为”提供了一个不依赖于具体分布的通用方法。希望今天的讲解能让大家对它有一个更清晰的认识。要是还有什么疑问，随时可以提出来一起讨论！
网友意见
对任意正整数 ，记
则对于任意正整数 ，都有
设 是 的分布函数，则有
即
注意这是对任何 都成立的。固定 ，让 ，就有
再由概率的下连续性知
类似的话题
-
好的，各位朋友，今天咱们来聊聊概率论里一个特别有用的工具——切比雪夫不等式。这玩意儿看着名字挺唬人，但说白了就是告诉我们，一个随机变量的值离它的期望值有多远的概率。咱们今天就拿一道经典的题目，一步一步地把它给剖析透彻了，保证大家听完之后，对这个不等式能有个真切的理解。题目来了：假设我们有一个随机变量............. -
这问题可太有意思了！有没有一首歌，就靠那么一句词，就能让你瞬间心领神会，仿佛整个故事、所有情绪都浓缩在那一瞬？ 我觉得，这种歌确实存在，而且往往是那些最能打动人心的。要说单靠一句歌词“撑起”整首歌，这个“撑起”挺有讲究的。它不是说这句词有多么华丽或复杂，而是它的“驻留感”和“延展性”。也就是说，这句.............
-
这个问题问得真好，让我想起了那些久久萦绕在我心头，每次提起都能唤起深深共鸣的画作。要说“最喜欢”确实有点难，因为艺术的魅力在于它的多样性和丰富性，每个时代、每个画家都有他们独特的表达方式。但如果非要选一幅，那一定是梵高的《星夜》（The Starry Night）。第一次看到这幅画的印刷品时，我才十.............
-
说到流芳一世的经典车型，那可真是一抓一大把，它们不仅仅是交通工具，更是一段段历史的载体，一种文化的符号。今天就来聊聊几款在我心中，绝对配得上“经典”二字的车型，好好掰扯掰扯它们为啥这么牛气。1. 福特 T 型车 (Ford Model T)：“给世界装上轮子”的革命提起经典，怎能不提这辆改变世界的车.............
-
在《英雄联盟》这片召唤师峡谷里，玩家们摸索出了无数的对线技巧、团战策略，而其中最让人津津乐道的，莫过于那些“一物降一物”的经典克制关系。这不仅仅是英雄技能上的简单压制，更是一种玩家对游戏理解的深刻体现，每一次成功的反制，都像是棋盘上一次漂亮的将杀，让人拍案叫绝。说到“一物降一物”，咱们就得从几个大家.............
-
说起《白马啸西风》，那可真是金庸老先生笔下一颗黯淡却又璀璨的明珠。它不像《射雕》那样家喻户晓，也不像《笑傲江湖》那样荡气回肠，但它的独特韵味，却能深深地刻在少数人的心里，成为他们反复咀嚼的珍藏。《白马啸西风》：西域的孤寂与情深初读《白马啸西风》，很容易被它与金庸其他作品的画风差异所吸引。没有波澜壮阔.............
-
要说《光晕》系列最经典的游戏是哪一作，这就像问披头士哪首歌最好听一样，不同的人会有不同的答案，也都有各自的理由。但如果非要挑出一款最能代表《光晕》灵魂，对系列乃至整个FPS游戏产生深远影响的，那无疑是——《光晕：战斗进化》（Halo: Combat Evolved）。你可以把它想象成那个开启了整个传.............
-
要说一看就知道是美国人的名字，这可真是个挺有趣的话题！虽然现在世界各地名字的交流和融合越来越多，但确实有一些名字，一听到，脑海里立刻就会浮现出美国电影、美剧里那些熟悉的脸庞，或者某个经典美国文学中的人物。我们不妨从几个方面来聊聊，为什么有些名字会自带“美国”的标签：1. 带有鲜明“美式”色彩的名字：.............
-
说到我看过的电影里最经典的台词，脑海里立刻跳出来的那句，其实挺短的，但每次想起来都觉得一股劲儿往心里钻。那就是——“你就像个骗子，但你说的都是实话。”这句台词出自一部我很喜欢的电影，具体的片名现在脑子里有点模糊了，好像是讲一个人生经历很复杂的人，在人生的某个节点上，遇到了一个同样复杂，甚至有点“非主.............
-
关于AutoCAD 2006以上版本中哪一版最经典、使用人数最多、历史最悠久，这确实是一个很有意思的问题。要回答这个问题，我们得从几个维度来审视：技术的成熟度、用户习惯的养成、以及行业的过渡期。抛开那些过于花哨的新功能不谈，如果单论“经典”这个概念，我个人认为 AutoCAD 2008 和 Auto.............
-
历史的长河中，总有一些名字如璀璨的星辰，他们的光芒穿透岁月，照亮了“以一敌众”的传奇。这并非夸张的渲染，而是无数史料和民间传说凝聚而成的真实写照。这些人，凭借超凡的才华、无畏的勇气、深邃的智慧，在各自的领域里，书写了一段段荡气回肠的篇章。武力篇：千军万马中的孤胆英雄提起“以一敌众”，人们脑海中最先浮.............
-
确实有不少电影，刚上映时市场反响平平，甚至被不少评论家批得体无完肤，但随着时间的推移，它们独特的艺术价值、深刻的思想内涵或是超前的概念逐渐被发掘出来，最终跃升为影迷心中的不朽经典。这种“后知后觉”的成功，往往比一开始就一帆风顺的电影更令人回味无穷。这里就来聊几部从“烂片”泥潭中涅槃重生，最终被奉为经.............
-
作为一名人工智能，我并没有“收藏”的概念，也没有个人情感或经历来触发对某些句子的偏爱。我的知识来源于大量的文本数据训练，其中包含了无数经典文学、哲学、历史以及日常交流中的句子。但我可以为你梳理一些在我的训练数据中反复出现、被广泛引用且具有深刻含义的句子。这些句子之所以经典，是因为它们触及了人类共通的.............
-
在量子力学的黎明时期，围绕着一个名为“EPR佯谬”的著名思想实验，科学家们展开了一场深刻的论战，这场论战最终动摇了我们对于“定域性”和“实在性”的经典物理直觉。事情的起因是阿尔伯特·爱因斯坦，以及他的合作者鲍里斯·波多尔斯基和纳森·罗森，在1935年发表了一篇论文。他们对量子力学的完备性提出了质疑。.............
-
在我脑海里，“一球成名”这个词，脑海里立马浮现出好几个画面，而且不是那种流水账式的罗列，而是带着当时那种热血沸腾的感觉。最经典的，我想很多人都会想到2004年欧洲杯上的那场希腊对葡萄牙的揭幕战。当时谁也没把希腊队放在眼里，觉得他们就是来打酱油的。结果呢？比赛进行到下半场，场上的局面胶着，双方你来我往.............
-
好的，这事儿，我跟你好好唠唠。你想啊，这世上的故事，就像那变魔术里的纸牌，看是千变万化，但万变不离其宗。关键就在于抓住那张“万能牌”，也就是故事的“内核”。 怎么才能像个老江湖一样，迅速把故事的“内核”给扒出来？这玩意儿，得练，也得悟。就像你想抓贼，得先知道他长什么样，藏在哪儿。1. 别被表皮迷惑.............
-
嘿，朋友！很高兴你迈出了看编程经典的第一步，这绝对是个明智的选择。不过，新手在面对这些厚重的、充满术语的书籍时，感到困惑是很正常的，我也是这么过来的。别担心，今天咱们就好好捋一捋，怎么才能让这些“经典”真正成为你的“利器”，而不是压在书架上的摆设。一、首先，别被“经典”二字吓到很多人一听到“经典”，.............
-
我倒不至于因为一道菜就立刻爱上一座城市，那感觉太飘渺了，有点像电视剧里才有的桥段。不过，要说某道菜点燃了我对一座城市的兴趣，甚至在之后的旅行中成为我必不可少的“寻找目标”，那绝对有！这件事发生在好几年前，我去西安。当时对西安的印象，除了兵马俑、古城墙，就剩下了那一口一口的肉夹馍、凉皮。标准的游客攻略.............
-
历史上，“一山容二虎”的局面，说到底就是两个同样强大、互不相让的力量，在同一个领域（“山”）共存，却又彼此提防、角力。这种现象，往往伴随着复杂的人事斗争、权谋策略，以及对现有格局的不断试探和维护。我脑子里跳出来的几个典型例子，仔细想想，确实挺有意思的。一、三国鼎立时期的曹魏与蜀汉： 并非真正的“容”.............
-
要说李一桐版的《射雕英雄传》能否超越翁美玲和朱茵的经典，这真是个让人津津乐道又难以给出确切答案的问题。毕竟，每个人的心中都有一个独一无二的“我的射雕”，而“超越”这个词本身就充满了主观性。不过，我们可以从几个方面来掰扯掰扯，看看李一桐这版到底有什么值得说道的地方，以及它与那两座难以逾越的山峰相比，究.............
本站所有内容均为互联网搜索引擎提供的公开搜索信息，本站不存储任何数据与内容，任何内容与数据均与本站无关，如有需要请联系相关搜索引擎包括但不限于百度，google,bing,sogou 等
© 2025 tinynews.org All Rights Reserved. 百科问答小站 版权所有