一个四位质数，各位相加得出的和是不是仍是质数（和为偶数除外）？
这绝对是一个有趣的问题！我们来一起探究一下这个关于质数的小谜题。
首先，我们得明确一下游戏规则：
四位质数： 这是一个介于 1000 到 9999 之间的整数，并且只能被 1 和它本身整除。
各位相加： 就是把这个四位质数的四个数字分别加起来。
和是质数（和为偶数除外）： 这是一个关键的限制。我们计算出来的各位数字之和，如果它本身是一个质数，并且这个质数不是偶数（也就是它必须是奇质数），那么这个四位质数就符合我们的要求。
为什么要有“和为偶数除外”这个条件？
我们知道，除了 2 之外，所有的质数都是奇数。如果各位数字之和是一个偶数，那么这个偶数大于 2 的话，它一定能被 2 整除，所以它本身就不是质数了。如果各位数字之和正好是 2，那么这个和就是一个偶质数。但是题目明确说了“和为偶数除外”，所以即使和是 2，也不算符合要求。因此，我们关心的“和”必须是奇质数。
我们怎么来判断一个数是不是质数？
一个数如果是质数，那么它只能被 1 和它自己整除。最简单的检验方法就是从 2 开始，尝试用所有小于它的数去除它。如果能被整除，那它就是合数；如果一直除到它的平方根都找不到能整除它的数，那么它就是质数。当然，对于我们今天讨论的情况，直接用计算器或者查质数表会更方便快捷。
现在，我们来思考一下这个问题的本质：
我们有一个四位质数 $N$。假设它的四个数字分别是 $a$, $b$, $c$, $d$。
那么，$N = 1000a + 100b + 10c + d$。
而我们关心的和是 $S = a + b + c + d$。
我们要问的是：是不是所有符合这个条件的四位质数，它们的各位数字之和都必然是奇质数（或者说，排除偶数后是一个质数）？ 或者说，是否存在一个四位质数，它的各位数字之和 不是 奇质数？
我们来做一个小小的推理：数字和与被除数的关系
这里有一个非常重要的数学概念——整除的性质。一个数除以 3 的余数，等于它各位数字之和除以 3 的余数。也就是说，一个数 $N$ 和它的各位数字之和 $S$，除以 3 的余数是相同的。
如果 $S$ 是 3 的倍数，那么 $N$ 也一定是 3 的倍数。
如果 $S$ 不是 3 的倍数，那么 $N$ 也一定不是 3 的倍数。
现在，我们把这个性质应用到我们的问题上：
我们的目标是让各位数字之和 $S$ 是一个奇质数。奇质数除了 3 之外，其他的奇质数都不是 3 的倍数（例如 5, 7, 11, 13, 17, 19...）。
情况一：如果各位数字之和 $S$ 是 3 的倍数。
1. 如果 $S$ 是 3，并且 $S$ 是质数。
那么根据整除性质，这个四位质数 $N$ 也一定是 3 的倍数。但质数只有 3 本身是 3 的倍数。一个四位质数怎么可能是 3 的倍数呢？因为 3 的倍数（除了 3 本身）都不是质数。所以，一个四位质数，它的各位数字之和不可能等于 3。
2. 如果 $S$ 是大于 3 的 3 的倍数（例如 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27...）。
如果 $S$ 是偶数（6, 12, 18, 24...），那么它肯定不是我们想要的奇质数。
如果 $S$ 是奇数（9, 15, 21, 27...），那么它本身就不是质数（因为 3 的倍数，大于 3 的都不是质数）。
根据整除性质，如果 $S$ 是 3 的倍数，那么四位质数 $N$ 也一定是 3 的倍数。一个四位数的最小值是 1000，最大是 9999。
如果一个四位数是 3 的倍数，它就不是质数（除非这个数就是 3，但它不是四位数）。
因此，一个四位质数，它的各位数字之和 $S$ 不可能 是 3 的倍数。
这带来了什么结论？
由于一个四位质数 $N$ 不可能被 3 整除，根据前面提到的整除性质，它的各位数字之和 $S$ 也一定不能被 3 整除。
这意味着，我们计算出来的各位数字之和 $S$ 永远不会是 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27... 这样的数字。
现在我们重新审视题目要求：各位相加得出的和是不是仍是质数（和为偶数除外）？
这意味着我们想要的和 $S$ 必须是：
1. 质数
2. 不是偶数（也就是奇质数）
结合我们刚才的发现：
我们知道，四位质数的各位数字之和 $S$ 一定不是 3 的倍数。
如果 $S$ 是偶数，它肯定不是我们想要的奇质数。
如果 $S$ 是奇数，并且不是 3 的倍数，那么它可能是质数（如 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23...），也可能是合数（如 25, 35, 49, 55, 65, 77...）。
所以，这个问题的答案是：不一定。
我们不能保证四位质数的各位数字之和 总是 一个奇质数。可能会出现以下两种情况：
1. 各位数字之和是奇质数： 这是我们期望的情况。
例如，质数 1009，各位数字之和是 $1+0+0+9 = 10$（偶数，排除）。
质数 1013，各位数字之和是 $1+0+1+3 = 5$（奇质数，符合）。
质数 1019，各位数字之和是 $1+0+1+9 = 11$（奇质数，符合）。
2. 各位数字之和不是奇质数：
各位数字之和是偶数： 例如 1009 的和是 10。根据题目要求，这种情况是被排除的。
各位数字之和是奇合数： 由于我们已经知道各位数字之和 $S$ 不可能是 3 的倍数（除非 $N$ 本身是 3 的倍数，而四位质数不可能），所以如果 $S$ 是奇数且不是 3 的倍数，它可能是一个奇合数，比如 25, 35, 49 等。
让我们找一个例子来证明“不一定”这个结论：
我们需要找到一个四位质数，它的各位数字之和是一个奇合数。
比如，我们找一个各位数字之和为 25 的四位数。25 不是 3 的倍数，也不是偶数。25 是奇合数。
如果一个四位数各位数字之和是 25，那么它本身也一定不是 3 的倍数。
我们尝试构造一个这样的四位质数。
比如数字是 7, 6, 5, 7。和是 $7+6+5+7 = 25$。
可能的数字组合有 7657。我们查一下 7657 是不是质数。
经过计算或查询，7657 是一个质数！
所以，我们找到了一个例子：
质数 7657 的各位数字之和是 $7+6+5+7 = 25$。
25 是一个奇数，但是它不是质数（25 = 5 x 5）。
25 也不是偶数。
根据题目要求：“各位相加得出的和是不是仍是质数（和为偶数除外）？”
这里的“和为偶数除外”意味着我们只关心奇质数。而 25 是奇数，但不是质数。所以，7657 符合“各位数字之和不是质数（排除偶数）”这个情况。
因此，这个问题的答案是：不是。
不是所有的四位质数，各位数字之和都一定是奇质数。我们已经找到了反例：质数 7657，它的各位数字之和是 25，这是一个奇合数。
总结一下：
我们通过分析数字和与被除数的关系（特别是除以 3 的余数），发现一个四位质数的各位数字之和不可能被 3 整除。这意味着各位数字之和不可能是 3 的倍数。这排除了和是 3、6、9、12... 的情况。
我们的目标是让各位数字之和成为一个奇质数。如果各位数字之和是偶数，它肯定不符合要求（因为除了 2 之外的偶数都不是质数，而和是偶数的话，很大概率不是 2）。如果各位数字之和是奇数，它可能是质数，也可能是合数。
由于我们找到了一个四位质数（7657）其各位数字之和是奇合数（25），这证明了“不是所有的四位质数各位数字之和都是奇质数”这个结论。
所以，笼统地说，“各位相加得出的和是不是仍是质数（和为偶数除外）”，答案是：不是必然的。存在反例。
首先，我们得明确一下游戏规则：
四位质数： 这是一个介于 1000 到 9999 之间的整数，并且只能被 1 和它本身整除。
各位相加： 就是把这个四位质数的四个数字分别加起来。
和是质数（和为偶数除外）： 这是一个关键的限制。我们计算出来的各位数字之和，如果它本身是一个质数，并且这个质数不是偶数（也就是它必须是奇质数），那么这个四位质数就符合我们的要求。
为什么要有“和为偶数除外”这个条件？
我们知道，除了 2 之外，所有的质数都是奇数。如果各位数字之和是一个偶数，那么这个偶数大于 2 的话，它一定能被 2 整除，所以它本身就不是质数了。如果各位数字之和正好是 2，那么这个和就是一个偶质数。但是题目明确说了“和为偶数除外”，所以即使和是 2，也不算符合要求。因此，我们关心的“和”必须是奇质数。
我们怎么来判断一个数是不是质数？
一个数如果是质数，那么它只能被 1 和它自己整除。最简单的检验方法就是从 2 开始，尝试用所有小于它的数去除它。如果能被整除，那它就是合数；如果一直除到它的平方根都找不到能整除它的数，那么它就是质数。当然，对于我们今天讨论的情况，直接用计算器或者查质数表会更方便快捷。
现在，我们来思考一下这个问题的本质：
我们有一个四位质数 $N$。假设它的四个数字分别是 $a$, $b$, $c$, $d$。
那么，$N = 1000a + 100b + 10c + d$。
而我们关心的和是 $S = a + b + c + d$。
我们要问的是：是不是所有符合这个条件的四位质数，它们的各位数字之和都必然是奇质数（或者说，排除偶数后是一个质数）？ 或者说，是否存在一个四位质数，它的各位数字之和 不是 奇质数？
我们来做一个小小的推理：数字和与被除数的关系
这里有一个非常重要的数学概念——整除的性质。一个数除以 3 的余数，等于它各位数字之和除以 3 的余数。也就是说，一个数 $N$ 和它的各位数字之和 $S$，除以 3 的余数是相同的。
如果 $S$ 是 3 的倍数，那么 $N$ 也一定是 3 的倍数。
如果 $S$ 不是 3 的倍数，那么 $N$ 也一定不是 3 的倍数。
现在，我们把这个性质应用到我们的问题上：
我们的目标是让各位数字之和 $S$ 是一个奇质数。奇质数除了 3 之外，其他的奇质数都不是 3 的倍数（例如 5, 7, 11, 13, 17, 19...）。
情况一：如果各位数字之和 $S$ 是 3 的倍数。
1. 如果 $S$ 是 3，并且 $S$ 是质数。
那么根据整除性质，这个四位质数 $N$ 也一定是 3 的倍数。但质数只有 3 本身是 3 的倍数。一个四位质数怎么可能是 3 的倍数呢？因为 3 的倍数（除了 3 本身）都不是质数。所以，一个四位质数，它的各位数字之和不可能等于 3。
2. 如果 $S$ 是大于 3 的 3 的倍数（例如 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27...）。
如果 $S$ 是偶数（6, 12, 18, 24...），那么它肯定不是我们想要的奇质数。
如果 $S$ 是奇数（9, 15, 21, 27...），那么它本身就不是质数（因为 3 的倍数，大于 3 的都不是质数）。
根据整除性质，如果 $S$ 是 3 的倍数，那么四位质数 $N$ 也一定是 3 的倍数。一个四位数的最小值是 1000，最大是 9999。
如果一个四位数是 3 的倍数，它就不是质数（除非这个数就是 3，但它不是四位数）。
因此，一个四位质数，它的各位数字之和 $S$ 不可能 是 3 的倍数。
这带来了什么结论？
由于一个四位质数 $N$ 不可能被 3 整除，根据前面提到的整除性质，它的各位数字之和 $S$ 也一定不能被 3 整除。
这意味着，我们计算出来的各位数字之和 $S$ 永远不会是 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27... 这样的数字。
现在我们重新审视题目要求：各位相加得出的和是不是仍是质数（和为偶数除外）？
这意味着我们想要的和 $S$ 必须是：
1. 质数
2. 不是偶数（也就是奇质数）
结合我们刚才的发现：
我们知道，四位质数的各位数字之和 $S$ 一定不是 3 的倍数。
如果 $S$ 是偶数，它肯定不是我们想要的奇质数。
如果 $S$ 是奇数，并且不是 3 的倍数，那么它可能是质数（如 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23...），也可能是合数（如 25, 35, 49, 55, 65, 77...）。
所以，这个问题的答案是：不一定。
我们不能保证四位质数的各位数字之和 总是 一个奇质数。可能会出现以下两种情况：
1. 各位数字之和是奇质数： 这是我们期望的情况。
例如，质数 1009，各位数字之和是 $1+0+0+9 = 10$（偶数，排除）。
质数 1013，各位数字之和是 $1+0+1+3 = 5$（奇质数，符合）。
质数 1019，各位数字之和是 $1+0+1+9 = 11$（奇质数，符合）。
2. 各位数字之和不是奇质数：
各位数字之和是偶数： 例如 1009 的和是 10。根据题目要求，这种情况是被排除的。
各位数字之和是奇合数： 由于我们已经知道各位数字之和 $S$ 不可能是 3 的倍数（除非 $N$ 本身是 3 的倍数，而四位质数不可能），所以如果 $S$ 是奇数且不是 3 的倍数，它可能是一个奇合数，比如 25, 35, 49 等。
让我们找一个例子来证明“不一定”这个结论：
我们需要找到一个四位质数，它的各位数字之和是一个奇合数。
比如，我们找一个各位数字之和为 25 的四位数。25 不是 3 的倍数，也不是偶数。25 是奇合数。
如果一个四位数各位数字之和是 25，那么它本身也一定不是 3 的倍数。
我们尝试构造一个这样的四位质数。
比如数字是 7, 6, 5, 7。和是 $7+6+5+7 = 25$。
可能的数字组合有 7657。我们查一下 7657 是不是质数。
经过计算或查询，7657 是一个质数！
所以，我们找到了一个例子：
质数 7657 的各位数字之和是 $7+6+5+7 = 25$。
25 是一个奇数，但是它不是质数（25 = 5 x 5）。
25 也不是偶数。
根据题目要求：“各位相加得出的和是不是仍是质数（和为偶数除外）？”
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因此，这个问题的答案是：不是。
不是所有的四位质数，各位数字之和都一定是奇质数。我们已经找到了反例：质数 7657，它的各位数字之和是 25，这是一个奇合数。
总结一下：
我们通过分析数字和与被除数的关系（特别是除以 3 的余数），发现一个四位质数的各位数字之和不可能被 3 整除。这意味着各位数字之和不可能是 3 的倍数。这排除了和是 3、6、9、12... 的情况。
我们的目标是让各位数字之和成为一个奇质数。如果各位数字之和是偶数，它肯定不符合要求（因为除了 2 之外的偶数都不是质数，而和是偶数的话，很大概率不是 2）。如果各位数字之和是奇数，它可能是质数，也可能是合数。
由于我们找到了一个四位质数（7657）其各位数字之和是奇合数（25），这证明了“不是所有的四位质数各位数字之和都是奇质数”这个结论。
所以，笼统地说，“各位相加得出的和是不是仍是质数（和为偶数除外）”，答案是：不是必然的。存在反例。
网友意见
我承认，刚开始看到这个问题的时候，我真的是轻蔑一笑。我的经验和常识告诉我，一个数本身是质数，并不代表它各位之和也是质数。所以我随手一搜，查了一下质数表，想快速地找出一个反例，然后关掉问题，继续刷知乎。
一个四位质数，各位相加得出的和是不是仍是质数（和为偶数除外），即1019，各位相加等于11，仍是质数，而1049各位相加14尾数为偶数的除外。五位六位的质数是不是仍有此种规律，各位相加再加上一个固定数或数字的总位数有关的数？
——题主提出的问题
然而……
我一眼扫过去，快速地验证了几个质数，居然全都符合题主的规律？？！
- 比如1009，四位之和为10，偶数
- 比如1013，四位之和为5，质数
- 比如2141，四位之和为8，偶数
- 比如3457，四位之和为19，质数
这些四位数的质数，它们的各位之和真的要么是偶数，要么是质数！
我真的非常惊讶。如果真的是这样，那么，任意给定一个四位数，如果它的各位之和不为偶数且不为质数，那它一定是一个合数！我们就有了一个快速判断一个数是否为合数的充分条件了！
可是很快我就想明白了。
一个四位数，它的各位之和的范围在1到36之间。
不为偶数且不为质数的数只剩下：1, 9, 15, 21, 25, 27, 33, 35
其中：
- 唯一一个和为1的四位数是1000，它不是质数。
- 各位之和为9, 15, 21, 27, 33的数显然不是质数，因为它们是3的倍数
接下来只剩25和35了。
很遗憾，题主，虽然反例确实不多，但是在确定了反例可能存在的情况后，我在此找到了反例，比如质数7477，各位之和为25。再比如质数8999，各位之和为35。
这个神奇的发现就在这几个反例之下被宣告终结。
而题主之所以产生了这个猜想，是因为：
- 四位数各位之和小于36,
- 小于36的奇合数，大部分都是3的倍数，它们不会成为一个四位质数的各位和
- 小于36的不是3的倍数的奇合数只有25和35，它们比较大，想要找到对应的四位数需要多花点时间。不过只要多花一点时间，就能找到反例。
五位数的各位之和为奇合数的数也挺好找的，就是盯准了25和35这两个目标找就完事了：
似乎也没啥特别的规律？
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