微分记号 dx 是否不够恰当？
让我想想，关于 dx 这个微分记号，是不是有点不讲究？这可不是个小事，背后牵扯到数学的严谨性和历史演变。如果咱们光看字面意思，可能觉得 dx 就是个简单的“d 乘以 x”，但实际情况可复杂多了。
首先，为什么我们会觉得它“不够恰当”？
最主要的原因在于，我们现代数学对于“无穷小”这个概念的理解，已经不是牛顿和莱布尼茨那个时代那样直观但有些模糊的“无限变小但又不是零”了。在微积分的严谨发展过程中，数学家们需要一个更稳固的理论基础，比如极限理论。
在极限理论的框架下，我们对导数的定义是：
$f'(x) = lim_{Delta x o 0} frac{Delta y}{Delta x}$
这里的 $Delta x$ 表示 $x$ 的一个有限的增量，然后我们观察当这个增量趋近于零时，函数值的增量 $Delta y$ 和 $Delta x$ 的比值如何变化。
而我们写的 $dx$，在很多情况下，更像是那个极限过程之后剩余的那个“无穷小”的增量。这就产生了一个小小的哲学上的困境：如果 $Delta x$ 最终变成了零，那 $dx$ 又是从哪里来的？它还是一个量吗？
想想看，我们说 $y=f(x)$，那么 $dy$ 是什么？在很多讲解中，我们会看到 $dy = f'(x) dx$。这就像是把导数 $f'(x)$ 当作一个比例系数，乘以 $dx$ 得到了 $dy$。如果 $dx$ 是一个无限小的量，那么 $dy$ 也是一个无限小的量。这种理解方式，在直觉上可以帮助我们理解微分与导数的关系，但如果深究起来，“无穷小”的性质在严格的实数体系下是难以直接定义的。我们不能随意地在实数中“创造”一个不是零但又无限接近零的数。
历史的足迹和实际的解释
当然， dx 成为今天的样子，也不是偶然的。这背后有它历史发展的痕迹。
牛顿和莱布尼茨在发明微积分的时候，对无穷小的概念有自己的一套理解，尽管不够形式化。他们用“流数”（fluxions）来表示变量的变化率，用 $dx$ 来表示一个“流动的”（infinitesimal）的变量 $x$ 的增量。这种符号在当时的语境下是直观且有用的。
到了后来，尤其是在柯西、魏尔斯特拉斯等人的工作下，极限理论成为了微积分的基石。在这种更严格的框架下，我们更倾向于把 $dx$ 理解为：
1. 一个独立的“微分元”（differential element）： $x$ 的微分 $dx$ 被定义为 $dx = Delta x$。换句话说，我们允许我们自己主动地选取一个 $x$ 的增量 $Delta x$，然后就把它叫做 $dx$。而 $dy$ 则被定义为 $dy = f'(x) dx$。这样一来，$dy/dx = f'(x)$，并且这个比值可以是我们想要的导数，而不必纠结于 $Delta x$ 是否真的“趋近于零”后变成零。在这种解释下，$dx$ 是一个任意选取的自变量的增量，而 $dy$ 是由这个 $dx$ 和函数在 $x$ 点的导数决定的因变量的微分。
2. 一种特殊的“无穷小量”的记号：即使不完全依赖于严格的极限定义， $dx$ 也可以被视为一种特殊的无穷小量的记号。它不是一个实数，但它在某些运算规则下表现得像是一个无穷小量。这种理解方式更接近于一种约定俗成的符号运算，在许多实际的积分计算和公式推导中非常方便。
那么，它真的“不够恰当”吗？
从严格的数学公理化角度来看，如果我们将 $dx$ 直接等同于一个“无限小但非零的实数”，那确实是不恰当的，因为它与实数系的性质相悖。
但是，在实际应用和更灵活的数学理解中， $dx$ 的记号是极其有效和方便的。它已经成为微积分语言中不可或缺的一部分，能够清晰地表达“对 $x$ 的变化进行积分”或“求 $x$ 的微小变化量”这样的概念。
我们现在的理解，更多的是将 $dx$ 看作是自变量 $x$ 的一个增量（无论大小），它作为积分的“变量”或者导数运算的“分母”出现。而 $dy = f'(x) dx$ 这个关系，更像是对线性化近似的一种表达：在 $x$ 点附近，$f(x)$ 的变化量 $Delta y$ 可以被近似地看作是 $f'(x) Delta x$。而 $dy$ 就是这个近似值本身。
所以，与其说 $dx$ “不够恰当”，不如说我们对它的理解需要更深入和更精确。它是一个承载了历史发展、直观理解和形式化定义的符号。在大多数情况下，它在表达数学思想上是非常恰当且高效的，只是在需要绝对严谨的理论推导时，我们需要诉诸极限和微分定义来确保逻辑的严密性。它是一个有用的“捷径”和“象征”。
首先，为什么我们会觉得它“不够恰当”？
最主要的原因在于，我们现代数学对于“无穷小”这个概念的理解，已经不是牛顿和莱布尼茨那个时代那样直观但有些模糊的“无限变小但又不是零”了。在微积分的严谨发展过程中，数学家们需要一个更稳固的理论基础，比如极限理论。
在极限理论的框架下，我们对导数的定义是：
$f'(x) = lim_{Delta x o 0} frac{Delta y}{Delta x}$
这里的 $Delta x$ 表示 $x$ 的一个有限的增量，然后我们观察当这个增量趋近于零时，函数值的增量 $Delta y$ 和 $Delta x$ 的比值如何变化。
而我们写的 $dx$，在很多情况下，更像是那个极限过程之后剩余的那个“无穷小”的增量。这就产生了一个小小的哲学上的困境：如果 $Delta x$ 最终变成了零，那 $dx$ 又是从哪里来的？它还是一个量吗？
想想看，我们说 $y=f(x)$，那么 $dy$ 是什么？在很多讲解中，我们会看到 $dy = f'(x) dx$。这就像是把导数 $f'(x)$ 当作一个比例系数，乘以 $dx$ 得到了 $dy$。如果 $dx$ 是一个无限小的量，那么 $dy$ 也是一个无限小的量。这种理解方式，在直觉上可以帮助我们理解微分与导数的关系，但如果深究起来，“无穷小”的性质在严格的实数体系下是难以直接定义的。我们不能随意地在实数中“创造”一个不是零但又无限接近零的数。
历史的足迹和实际的解释
当然， dx 成为今天的样子，也不是偶然的。这背后有它历史发展的痕迹。
牛顿和莱布尼茨在发明微积分的时候，对无穷小的概念有自己的一套理解，尽管不够形式化。他们用“流数”（fluxions）来表示变量的变化率，用 $dx$ 来表示一个“流动的”（infinitesimal）的变量 $x$ 的增量。这种符号在当时的语境下是直观且有用的。
到了后来，尤其是在柯西、魏尔斯特拉斯等人的工作下，极限理论成为了微积分的基石。在这种更严格的框架下，我们更倾向于把 $dx$ 理解为：
1. 一个独立的“微分元”（differential element）： $x$ 的微分 $dx$ 被定义为 $dx = Delta x$。换句话说，我们允许我们自己主动地选取一个 $x$ 的增量 $Delta x$，然后就把它叫做 $dx$。而 $dy$ 则被定义为 $dy = f'(x) dx$。这样一来，$dy/dx = f'(x)$，并且这个比值可以是我们想要的导数，而不必纠结于 $Delta x$ 是否真的“趋近于零”后变成零。在这种解释下，$dx$ 是一个任意选取的自变量的增量，而 $dy$ 是由这个 $dx$ 和函数在 $x$ 点的导数决定的因变量的微分。
2. 一种特殊的“无穷小量”的记号：即使不完全依赖于严格的极限定义， $dx$ 也可以被视为一种特殊的无穷小量的记号。它不是一个实数，但它在某些运算规则下表现得像是一个无穷小量。这种理解方式更接近于一种约定俗成的符号运算，在许多实际的积分计算和公式推导中非常方便。
那么，它真的“不够恰当”吗？
从严格的数学公理化角度来看，如果我们将 $dx$ 直接等同于一个“无限小但非零的实数”，那确实是不恰当的，因为它与实数系的性质相悖。
但是，在实际应用和更灵活的数学理解中， $dx$ 的记号是极其有效和方便的。它已经成为微积分语言中不可或缺的一部分，能够清晰地表达“对 $x$ 的变化进行积分”或“求 $x$ 的微小变化量”这样的概念。
我们现在的理解，更多的是将 $dx$ 看作是自变量 $x$ 的一个增量（无论大小），它作为积分的“变量”或者导数运算的“分母”出现。而 $dy = f'(x) dx$ 这个关系，更像是对线性化近似的一种表达：在 $x$ 点附近，$f(x)$ 的变化量 $Delta y$ 可以被近似地看作是 $f'(x) Delta x$。而 $dy$ 就是这个近似值本身。
所以，与其说 $dx$ “不够恰当”，不如说我们对它的理解需要更深入和更精确。它是一个承载了历史发展、直观理解和形式化定义的符号。在大多数情况下，它在表达数学思想上是非常恰当且高效的，只是在需要绝对严谨的理论推导时，我们需要诉诸极限和微分定义来确保逻辑的严密性。它是一个有用的“捷径”和“象征”。
网友意见
简单地说，df是一个线性映射，df：h→f'(x)h。dx是恒等映射。(这里讲的是一元微积分就不说多的了，多元情况下要定义为一个向量通过矩阵相乘映射为另一个向量)这种映射构成一个线性空间。df/dx是一个形式记号，表示f'(x)，因为df=f'(x)dx。不过这个虽然是形式记号，却可以证明这个记号可以「当做实际记号用」。
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