微分符号 dx、dy 表示什么含义？

在微积分的世界里，我们经常会看到像 `dx`、`dy` 这样的符号，它们出现在积分号 `∫` 后面，或者作为导数的表示形式，比如 `dy/dx`。这些符号可不是随便加上的，它们承载着深刻的含义，是理解和运用微积分的关键。

理解 `dx` 和 `dy` 的本质：无限小的“变化量”

最直观的理解，`dx` 和 `dy` 代表的是无限小的、无穷接近于零的变量变化量。

想象一下，我们有一条曲线，这条曲线是由一个函数 `y = f(x)` 描述的。我们想知道当 `x` 发生一点点变化时，`y` 会发生多大的变化。

`dx`：它表示自变量 `x` 的一个微小的、不可察觉的改变。你可以把它想象成我们沿着 `x` 轴向前移动了极其微小的一步。这个“一步”小到什么程度呢？小到你可以忽略它的存在，它无限趋近于零，但又不是零本身。
`dy`：同样地，它表示因变量 `y` 随着 `x` 的那个微小变化而产生的、同样微小的改变。如果 `x` 向前挪动了那“无限小的一步” `dx`，那么 `y` 就会沿着曲线向上或向下移动一个对应的、也“无限小的一步” `dy`。

`dy/dx`：导数的深层含义

正是因为有了 `dx` 和 `dy`，我们才能真正理解导数 `dy/dx`。

不是简单的除法：千万不要把 `dy/dx` 当作一个简单的数字 `dy` 除以一个数字 `dx`。实际上，`dy` 和 `dx` 都是趋向于零的量，直接相除可能会出现“0/0”的不确定形式。
比率的极限： `dy/dx` 表示的是当 `dx` 趋近于零时，`dy` 与 `dx` 的比率的极限。也就是说，我们考虑的是，在 `x` 的某个点附近，当这个点周围的范围变得无限小时，`y` 的变化量 (`dy`) 和 `x` 的变化量 (`dx`) 的比例是多少。
瞬时变化率：这个比率，就是函数在那个点的瞬时变化率。它告诉我们，在那个特定的 `x` 值上，函数 `y` 的值正在以多快的速度增长或下降。如果 `dy/dx` 是正的，说明 `y` 在增加；如果是负的，说明 `y` 在减少；如果是零，说明 `y` 在那个点暂时没有变化（比如函数的极值点）。

积分中的 `dx` 和 `dy`：累积和面积

在积分中，`dx` 和 `dy` 的角色略有不同，但核心思想依然是“无限小”。

定积分 `∫ f(x) dx`：
这里的 `f(x)` 通常代表一个函数的值（比如曲线上某一点的高度）。
`dx` 再次表示在 `x` 轴上无限小的宽度。
`f(x) dx` 就可以被理解成一个无限细长的小矩形的面积：高度是 `f(x)`，宽度是 `dx`。
积分符号 `∫` 则是将这些无数个无限小的矩形面积累加起来。当我们将 `x` 从一个值累加到另一个值时，最终得到的 `∫ f(x) dx` 就是函数曲线下方从起点到终点那段区域的总面积。
曲线积分 `∫ P dx + Q dy`：
在这种形式下，`P` 和 `Q` 通常是关于 `x` 和 `y` 的函数。
`P dx` 可以看作是在 `x` 方向上移动 `dx` 所做的功（或者其他物理量）。
`Q dy` 则是在 `y` 方向上移动 `dy` 所做的功。
`∫ P dx + Q dy` 的意思是将沿着某条路径的无数个微小的“功” 累加起来，得到沿该路径的总功。这里的 `dx` 和 `dy` 分别指示了在 `x` 和 `y` 方向上的微小步进。

总结一下：

在导数中： `dx` 是自变量 `x` 的无限小变化，`dy` 是因变量 `y` 随之产生的无限小变化，`dy/dx` 是它们比率的极限，代表瞬时变化率。
在积分中： `dx` 通常代表一个无限小的“宽度”或“步长”，通过将无限小的“面积”（`f(x)dx`）或“功”（`P dx` 或 `Q dy`）累加起来，来计算总面积或总功。

所以，别小看这两个小小的字母组合，它们是微积分这门强大数学工具的核心，连接着连续变化的函数和我们对变化的精确描述。正是有了它们，我们才能分析物体的运动速度、计算曲线的长度和面积，以及解决现实世界中无数复杂的问题。它们就像是微观世界的“测量尺”，让我们能够洞察事物最细微的变化规律。

网友意见

这个问题让我们从曲线的微分开始说起。

1 曲线的微分

比如，有曲线 :

给出的曲线段:

要找到一个直线段来近似这个曲线段，也就是找到这个曲线段的微分：

此微分的特点是，当时，越来越逼近曲线段：

2 切线

这个微分其实就是切线。

2.1 最初印象

初学几何的时候，切线是这么定义的：

比如这就是圆、椭圆的切线：

但是这个定义推广到所有曲线上是不成立的：

2.2 割线的极限

我们需要用极限来定义切线。比如说，要求曲线在点的切线：

在附近找一点，过两点作直线，这根直线也称为割线：

然后寻找与之间的点，作出割线：

以此类推，找到点，作出割线：

把这些割线组成数列：

它的极限就是切线：

3 导数

刚才只是给出了切线的定义，但是还是不能把切线求出来。下面来看看怎么求。

3.1 斜率

要求点的切线，知道了点坐标为，以及切线的斜率：

其中，根据直线的点斜式，可求得切线函数：

就可以得到切线的函数。

3.2 导数

容易有以下推论：

所以来看看割线的斜率怎么求吧。假设要求点的切线的斜率，随便在附近找一点作割线：

可以看到当的时候（这也表明了切线是割线的极限），两者斜率不断逼近：

先把割线的斜率算出来，假设：

因此：

根据刚才的分析可知：

这个极限就被称为。

如果，不光在点可以作出切线，也就是不光在点可导，而是在某个开区间内都可导，这就是：

不少教科书、文档会出现如下的符号，这里也一并引入：

定义 ，称之为 ，导函数可以用之表示为：

有时候写作 ，表明对自变量 求导。

算子，英文为“operator”，操作的意思。

算子和函数还是很接近的，只是有以下区别：

在这里，算子完成了如下函数之间的映射：

4 切线函数与微分函数

好了，咱们有了导数，可以来求切线函数以及微分函数了。

4.1 切线函数

就切线而言，知道要经过，也知道斜率是导数，可以用直线的点斜式得到切线函数：

4.2 微分函数

虽然之前一直说切线就是微分，但是微分函数和切线函数有所不同，因为它们在不同的坐标系。让我们一步步来，把这个关键点说清楚。

首先令，切线函数就变为了：

然后在以点为原点建立直角坐标系（姑且称为微分坐标系吧）：

以点为原点建立的微分坐标系中有，。这样在微分坐标系中切线方程就很简单了：

经过一系列操作终于得到了微分函数：

数学上把一系列操作用一个符号来表示，也可称为：

微分算子完成了下列的函数映射：

所以微分函数也写作：

表示把原函数通过操作变为了微分函数，这样也区别了微分函数和坐标系的不同。

，因为是变量，所以实际上表示的是整个轴：

因为代表轴这根直线，而直线的微分，根据以直代曲的思想，其实就是自己，所以：

因此，这就是微分的代数形式：

切线函数和微分函数的区别在于，前者在坐标系下，后者在坐标系下：

因为微分的代数形式如上，所以导数也可以记作：

所以导数也称为“微商”，即微分与微分的商。

4.3 微分的自变量、因变量

本节一直都在说，微分是函数：

那么它的自变量是什么，因变量是什么？

微分函数在坐标系下，令，换元之后就回到了坐标系：

可见，自变量是，因变量是。

如果不光是求点的微分，就像导函数一样，求某个开区间的微分，那么微分函数是二元函数：

4.4 微分是线性函数

虽然两者都是直线，但因为所在坐标系不同，所以切线函数和微分函数有一个重大的区别：

这个区别说明：

根据微分是线性函数这点，我们可以很方便地运用线性代数的知识来求解法线函数。

4.5 法线函数

在切点与切线垂直的直线就是法线：

放在坐标系中，随便找到切线方向、法线方向两个向量：

即（t代表tangent，n代表normal，分别是英文的切线和法线）：

根据线性代数的知识，知道两个正交向量点积为0，因此：

所以：

知道法线斜率，并且知道过，就可以求出坐标系下的法线函数：

本文是对下面这篇文章的节选，更多的细节、证明、习题在这里：微分之切线

几何上，还可以从上同调的角度去看待. 而上同调又是单纯上同调的光滑版本，单纯同调是单纯上同调的对偶版本，所以从单纯同调看是最基本的看法. 而这种看法兼具了大家回答中各种观点：无穷小量、切线、余切丛截面……

同调论的观点

单纯同调论最重要的就是边缘算子 . 给定一个单纯形（线段、三角形、四面体……）就可以求它的边缘.

……

同维数的单纯形线性组合（给定某系数交换群），可以构成一个交换群，我们称之为链群，于是边缘算子就延拓为群同态 . 而所谓上同调，就是由对偶的概念导致（链群上的线性函数构成的群），于是边缘算子也会有它的对偶算子（这就是为什么一些大佬会提及余切丛的根本原因），有

我们称之为上边缘链算子，它是边缘算子的对偶算子，在上同调中，也就是放到光滑流形上，对应的是外微分算子（普通微分的推广）. 而的光滑版本就是著名的公式：

在维情况下就是牛顿-莱布尼兹公式：

如果写成的形式，且假设是线性的，则有

这也体现了微积分的本质——将光滑函数在局部视为线性函数. 一条曲线的边缘就是它的端点的线性组合，回头看看，你会发现这是一回事.

维流形

对于维流形（比如），它的下同调边缘算子将光滑函数映射为维向量场

如果给定某一点，就得到点处的导数为，不过我们更习惯于使用微积分中的符号或者 . 但是一般我们更习惯于，被我们用来表示多元函数的偏导数，但是实际上我们知道其本质上是一致的. 其中你也可以视为关于另一个变量的光滑函数，它表示任意通过点的曲线，但是由一阶微分不变性，这不影响导数定义是良定义的. 这样一来，就和切空间的定义是一致的了.

而对于上同调，上边缘算子

可见，对于维流形无论是上同调还是下同调，我们得到的结果是一致的，所以就没有必要特意区分两者了（理论）.

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