微分几何中为什么要用线性函数的观点来看切向量?
在微分几何中，切向量之所以要用线性函数的观点来理解，根源在于它能够最本质、最简洁地捕捉曲线在某一点的“瞬时运动方向”和“瞬时运动速度”，并且这种理解方式为后续更复杂、更抽象的几何概念奠定了基础。下面我将从几个方面详细阐述这一点，希望能让您更深入地理解其中的缘由。
1. 曲线的局部线性化：切向量的本质
我们知道，曲线在某一点的切线可以看作是曲线在该点“最贴近”的直线。想想您在开车经过一个弯道时，如果前方突然出现一个障碍物，您最直观的反应就是朝着当前方向的直线方向行驶，而不是沿着弯曲的轨迹。这种“直行”的趋势，就是切线所代表的。
然而，仅仅说“直线”还不够精确。在微积分中，我们通过极限的概念来定义导数，而导数正是描述函数在某一点的变化率。切向量正是这种思想在几何上的体现。
考虑一个参数化曲线 $gamma(t)$，它描述了物体在时间和空间中的运动。当我们在 $t_0$ 时刻观察这个物体时，我们想知道它下一刻会往哪里走，以及以多快的速度。
如果我们考虑一个很小的变化 $Delta t$，那么曲线在 $t_0 + Delta t$ 点的位置是 $gamma(t_0 + Delta t)$。连接 $gamma(t_0)$ 和 $gamma(t_0 + Delta t)$ 的向量是 $gamma(t_0 + Delta t) gamma(t_0)$。这个向量的方向大致反映了物体在 $t_0$ 时刻的运动方向。
但是，当 $Delta t$ 很小的时候，曲线本身的弯曲度对这个向量的方向影响会越来越小。我们希望抓住的是“最纯粹”的瞬时方向，而不是一个被短时间尺度下曲线弯曲所“平均化”的方向。
这时，线性函数的观点就派上用场了。我们可以将曲线在 $t_0$ 点的运动看作是在一个“局部”可以被一个线性函数（也就是切线）近似的。这个线性函数，其方向和“速度”就由切向量来刻画。
具体来说，我们可以将 $gamma(t_0 + Delta t)$ 在 $t_0$ 点进行泰勒展开（虽然在微分几何中我们不总是显式地写出泰勒公式，但其思想是相通的）：
$gamma(t_0 + Delta t) approx gamma(t_0) + gamma'(t_0) Delta t$
这里的 $gamma'(t_0)$ 就是曲线在 $t_0$ 点的导数，它是一个向量，我们称之为切向量。
观察这个近似公式：
$gamma(t_0)$ 是曲线在 $t_0$ 点的位置。
$gamma'(t_0) Delta t$ 是一个向量，它代表了从 $gamma(t_0)$ 出发，沿着切向量 $gamma'(t_0)$ 的方向，移动了“速度”为 $|gamma'(t_0)|$、“时间”为 $Delta t$ 的距离。
这完全符合我们对线性运动的理解：位置 = 初始位置 + 速度 × 时间。
因此，切向量 $gamma'(t_0)$ 就是描述这个“线性近似”的关键，它告诉我们，在 $t_0$ 时刻，曲线是以一个怎样的“速度”和“方向”在“线性地”延伸。
2. 向量空间与线性映射：更抽象的视角
在微分几何中，我们研究的是流形。流形可以看作是“局部上”看起来像欧氏空间（比如平面或三维空间）的数学对象。在流形上的每一点，都有一个与之关联的“切空间”。
切空间 $T_p M$ 是一个向量空间。这个向量空间中的元素，就是流形 $M$ 在点 $p$ 的切向量。
为什么切空间是向量空间？因为向量具有加法和标量乘法等线性性质。这允许我们对切向量进行运算，例如：
向量加法： 如果 $mathbf{v}$ 和 $mathbf{w}$ 是流形 $M$ 在点 $p$ 的两个切向量，那么它们的和 $mathbf{v} + mathbf{w}$ 也是 $M$ 在点 $p$ 的一个切向量。这对应于物体同时受到两个“推力”时的合力的方向和大小。
标量乘法： 如果 $mathbf{v}$ 是 $M$ 在点 $p$ 的一个切向量，而 $c$ 是一个实数，那么 $cmathbf{v}$ 也是 $M$ 在点 $p$ 的一个切向量。这对应于改变运动的速度（例如，速度加倍、减半或反向）。
这些线性性质，是我们将切向量看作是线性函数（或者更确切地说，是描述线性行为的“方向”和“速率”的实体）的重要理由。
3. 导数作为线性映射：更普适的理解
在更抽象的框架下，我们甚至可以将函数的导数本身理解为一种“线性映射”。
考虑一个光滑函数 $f: M o mathbb{R}$，它在流形 $M$ 的一点 $p$ 的值。我们想知道 $f$ 在 $p$ 点的变化情况。
一个从 $p$ 点出发的切向量 $mathbf{v} in T_p M$ 可以看作是“沿着某个方向”在 $M$ 上移动的“速率”。那么，函数 $f$ 在这个切向量方向上的“变化率”是什么呢？
这正是“方向导数”的概念。我们可以定义一个操作：将函数 $f$ 和切向量 $mathbf{v}$ 联系起来，得到一个实数，记作 $df_p(mathbf{v})$。这个操作 $df_p$ 就是函数 $f$ 在点 $p$ 的“微分”，它是一个从切空间 $T_p M$ 到实数域 $mathbb{R}$ 的线性映射。
$df_p: T_p M o mathbb{R}$
为什么是线性映射？因为根据定义：
$df_p(mathbf{v} + mathbf{w}) = df_p(mathbf{v}) + df_p(mathbf{w})$
$df_p(cmathbf{v}) = c cdot df_p(mathbf{v})$
这个线性映射 $df_p$ 告诉我们，对于流形 $M$ 上的每一点 $p$ 和每个切向量 $mathbf{v}$，函数 $f$ 在 $mathbf{v}$ 方向上的“增长率”是多少。
切向量 $mathbf{v}$ 本身就可以被看作是一个“作用在函数上的算子”——它“作用”在其他函数上，产生它们的“方向导数”。这种“作用”天然地具有线性性。
4. 为什么不是别的观点？
不是“曲线本身”： 切向量捕捉的是“局部线性化的趋势”，而不是完整的曲线。曲线有弯曲、扭转等非线性特征，这些特征是无法用一个切向量完全捕捉的。
不是“一个点”： 切向量有方向和大小，它不仅仅是空间中的一个点。它描述的是“从某一点出发”的运动。
不是“一个简单的向量”： 在高维流形上，切向量的定义会更抽象，它们是“导数的算子”，而不是直接的欧氏空间中的向量（尽管在局部坐标系下，我们可以用向量来表示它们）。用线性函数的观点，能够更普适地定义切向量，而不仅仅局限于欧氏空间。
总结一下：
用线性函数的观点来看待切向量，是因为：
1. 局部近似： 切向量是曲线在某一点最精妙的“线性近似”的指示器，它描述了曲线在该点的瞬时方向和速率，如同线性运动一样。
2. 向量空间结构： 切空间作为向量空间，其元素（切向量）天然具备线性组合的能力，这为进行几何运算和理论构建提供了基础。
3. 微分作为线性映射： 函数的微分（$df_p$）是将切向量映射到实数的线性算子，揭示了函数在不同方向上的变化率，而切向量正是这些“变化率”的载体。
这种线性化的视角，不仅高度概括了切向量的几何意义，更重要的是，它为微分几何中诸如联络、曲率、张量等更深层的概念提供了坚实的数学基础。通过线性函数的视角，我们可以将这些看似复杂的几何对象，用清晰、一致的代数语言来描述和研究。
1. 曲线的局部线性化：切向量的本质
我们知道，曲线在某一点的切线可以看作是曲线在该点“最贴近”的直线。想想您在开车经过一个弯道时，如果前方突然出现一个障碍物，您最直观的反应就是朝着当前方向的直线方向行驶，而不是沿着弯曲的轨迹。这种“直行”的趋势，就是切线所代表的。
然而，仅仅说“直线”还不够精确。在微积分中，我们通过极限的概念来定义导数，而导数正是描述函数在某一点的变化率。切向量正是这种思想在几何上的体现。
考虑一个参数化曲线 $gamma(t)$，它描述了物体在时间和空间中的运动。当我们在 $t_0$ 时刻观察这个物体时，我们想知道它下一刻会往哪里走，以及以多快的速度。
如果我们考虑一个很小的变化 $Delta t$，那么曲线在 $t_0 + Delta t$ 点的位置是 $gamma(t_0 + Delta t)$。连接 $gamma(t_0)$ 和 $gamma(t_0 + Delta t)$ 的向量是 $gamma(t_0 + Delta t) gamma(t_0)$。这个向量的方向大致反映了物体在 $t_0$ 时刻的运动方向。
但是，当 $Delta t$ 很小的时候，曲线本身的弯曲度对这个向量的方向影响会越来越小。我们希望抓住的是“最纯粹”的瞬时方向，而不是一个被短时间尺度下曲线弯曲所“平均化”的方向。
这时，线性函数的观点就派上用场了。我们可以将曲线在 $t_0$ 点的运动看作是在一个“局部”可以被一个线性函数（也就是切线）近似的。这个线性函数，其方向和“速度”就由切向量来刻画。
具体来说，我们可以将 $gamma(t_0 + Delta t)$ 在 $t_0$ 点进行泰勒展开（虽然在微分几何中我们不总是显式地写出泰勒公式，但其思想是相通的）：
$gamma(t_0 + Delta t) approx gamma(t_0) + gamma'(t_0) Delta t$
这里的 $gamma'(t_0)$ 就是曲线在 $t_0$ 点的导数，它是一个向量，我们称之为切向量。
观察这个近似公式：
$gamma(t_0)$ 是曲线在 $t_0$ 点的位置。
$gamma'(t_0) Delta t$ 是一个向量，它代表了从 $gamma(t_0)$ 出发，沿着切向量 $gamma'(t_0)$ 的方向，移动了“速度”为 $|gamma'(t_0)|$、“时间”为 $Delta t$ 的距离。
这完全符合我们对线性运动的理解：位置 = 初始位置 + 速度 × 时间。
因此，切向量 $gamma'(t_0)$ 就是描述这个“线性近似”的关键，它告诉我们，在 $t_0$ 时刻，曲线是以一个怎样的“速度”和“方向”在“线性地”延伸。
2. 向量空间与线性映射：更抽象的视角
在微分几何中，我们研究的是流形。流形可以看作是“局部上”看起来像欧氏空间（比如平面或三维空间）的数学对象。在流形上的每一点，都有一个与之关联的“切空间”。
切空间 $T_p M$ 是一个向量空间。这个向量空间中的元素，就是流形 $M$ 在点 $p$ 的切向量。
为什么切空间是向量空间？因为向量具有加法和标量乘法等线性性质。这允许我们对切向量进行运算，例如：
向量加法： 如果 $mathbf{v}$ 和 $mathbf{w}$ 是流形 $M$ 在点 $p$ 的两个切向量，那么它们的和 $mathbf{v} + mathbf{w}$ 也是 $M$ 在点 $p$ 的一个切向量。这对应于物体同时受到两个“推力”时的合力的方向和大小。
标量乘法： 如果 $mathbf{v}$ 是 $M$ 在点 $p$ 的一个切向量，而 $c$ 是一个实数，那么 $cmathbf{v}$ 也是 $M$ 在点 $p$ 的一个切向量。这对应于改变运动的速度（例如，速度加倍、减半或反向）。
这些线性性质，是我们将切向量看作是线性函数（或者更确切地说，是描述线性行为的“方向”和“速率”的实体）的重要理由。
3. 导数作为线性映射：更普适的理解
在更抽象的框架下，我们甚至可以将函数的导数本身理解为一种“线性映射”。
考虑一个光滑函数 $f: M o mathbb{R}$，它在流形 $M$ 的一点 $p$ 的值。我们想知道 $f$ 在 $p$ 点的变化情况。
一个从 $p$ 点出发的切向量 $mathbf{v} in T_p M$ 可以看作是“沿着某个方向”在 $M$ 上移动的“速率”。那么，函数 $f$ 在这个切向量方向上的“变化率”是什么呢？
这正是“方向导数”的概念。我们可以定义一个操作：将函数 $f$ 和切向量 $mathbf{v}$ 联系起来，得到一个实数，记作 $df_p(mathbf{v})$。这个操作 $df_p$ 就是函数 $f$ 在点 $p$ 的“微分”，它是一个从切空间 $T_p M$ 到实数域 $mathbb{R}$ 的线性映射。
$df_p: T_p M o mathbb{R}$
为什么是线性映射？因为根据定义：
$df_p(mathbf{v} + mathbf{w}) = df_p(mathbf{v}) + df_p(mathbf{w})$
$df_p(cmathbf{v}) = c cdot df_p(mathbf{v})$
这个线性映射 $df_p$ 告诉我们，对于流形 $M$ 上的每一点 $p$ 和每个切向量 $mathbf{v}$，函数 $f$ 在 $mathbf{v}$ 方向上的“增长率”是多少。
切向量 $mathbf{v}$ 本身就可以被看作是一个“作用在函数上的算子”——它“作用”在其他函数上，产生它们的“方向导数”。这种“作用”天然地具有线性性。
4. 为什么不是别的观点？
不是“曲线本身”： 切向量捕捉的是“局部线性化的趋势”，而不是完整的曲线。曲线有弯曲、扭转等非线性特征，这些特征是无法用一个切向量完全捕捉的。
不是“一个点”： 切向量有方向和大小，它不仅仅是空间中的一个点。它描述的是“从某一点出发”的运动。
不是“一个简单的向量”： 在高维流形上，切向量的定义会更抽象，它们是“导数的算子”，而不是直接的欧氏空间中的向量（尽管在局部坐标系下，我们可以用向量来表示它们）。用线性函数的观点，能够更普适地定义切向量，而不仅仅局限于欧氏空间。
总结一下：
用线性函数的观点来看待切向量，是因为：
1. 局部近似： 切向量是曲线在某一点最精妙的“线性近似”的指示器，它描述了曲线在该点的瞬时方向和速率，如同线性运动一样。
2. 向量空间结构： 切空间作为向量空间，其元素（切向量）天然具备线性组合的能力，这为进行几何运算和理论构建提供了基础。
3. 微分作为线性映射： 函数的微分（$df_p$）是将切向量映射到实数的线性算子，揭示了函数在不同方向上的变化率，而切向量正是这些“变化率”的载体。
这种线性化的视角，不仅高度概括了切向量的几何意义，更重要的是，它为微分几何中诸如联络、曲率、张量等更深层的概念提供了坚实的数学基础。通过线性函数的视角，我们可以将这些看似复杂的几何对象，用清晰、一致的代数语言来描述和研究。
网友意见
我觉得“万恶之源”是——一阶微分不变性。
全部换元 ，其形式不变：
这意味着 不依赖于局部坐标的选取。当限制在流形某点 上讨论，以上的偏导都是常数，微分 在该点处被线性表示，它告诉我们沿标架方向 上的增量速率。几何上看，局部坐标的改变本就是切空间 从自己到自己的变换（切平面还是那个切平面），线性函数沿着固定方向的增长速率没变，只不过是换了新的标记。
上文我通过隐函数定理去理解梯度和等势线的正交关系。每一个光滑函数 都存在水平集 （也许是空集），其实就是所谓“等高线”，与等高线正交的方向恰是函数的梯度方向 ，即函数增长速率最快的地方。而沿其他方向的增长速率则是梯度在该方向的投影。梯度就是不折不扣的切向量。
从这个观点加以抽象到一般流形，相信是很自然的事情。当然由于度量和联络的问题，梯度本身在黎曼几何中有更一般的定义：
但是其思想仍然源于欧氏空间。
我是从余切空间的角度谈切空间，确实是本末倒置。但是当引入黎曼度量的时候，以上讨论是有意义的，梯度场也确实称为向量场。下面是《Morse Theory》中关于梯度的定义：
余切空间和切空间本就是对偶关系，地位上是平等的，我觉得从“余”的角度看，也许更“新鲜”吧。在几何中有一个默契，据说是陈省身所坚持的，就是“余”的角度更方便。而且我是从最基本的全微分、隐函数定理等基本微积分的内容出发，算是一个比较自然的过度。
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