微分流形与黎曼几何有什么关系？
好的，我们来聊聊微分流形和黎曼几何，这对好朋友究竟是怎么回事。要讲明白它们的关系，咱们得一步步来。
首先，想象一下我们所处的空间。我们习惯了欧几里得空间，也就是那个平直的、直尺和圆规就能描绘一切的二维平面或三维空间。在这样的空间里，距离、角度都非常好计算，比如两点之间的直线距离，我们用勾股定理就能搞定。
但是，现实世界可不总是这么“平坦”。想象一下地球的表面，它是个球体。在球面上，直线就不再是直的了，取而代之的是“大圆”（Great Circle），也就是穿过球心的平面与球面的交线。在球面上走直线，你会发现很多我们习惯的欧几里得几何性质不再适用，比如三角形内角和不再是180度。
微分流形，就是处理这种“弯曲”的空间的工具。
简单来说，一个微分流形就像是我们生活中的一个地方，比如一个城市。这个城市可能不是一个简单的方块，它有弯弯绕绕的街道，高低起伏的山丘，甚至还有一些“洞”或者“环”。但是，如果我们把目光局限在城市里的一个小角落，比如你家门口的那一块地面，你会发现它足够小，小到可以近似看成一个平坦的平面。
数学上就是这么说的：一个微分流形是一个空间，它在局部看起来像欧几里得空间，但整体上可能非常复杂且弯曲。
“局部看起来像欧几里得空间”的意思是，对于流形上的每一个点，我们都可以找到它附近的一个小区域，这个小区域可以被一个欧几里得空间的开放集“映射”过去，而且这种映射是光滑的（可以进行任意阶的微分）。这就好像我们用地图来描绘地球的表面一样，单张地图只覆盖了地球的一小部分，在那一小部分里，地图上的距离和角度可以近似地代表地球表面的真实情况。而微分流形这个概念，就是把这种“局部平坦性”给数学化了。
有了微分流形这个框架，我们就可以研究那些不再平坦的空间，比如我们上面提到的球面，或者更复杂的形状。它为我们提供了一个统一的语言和工具集，来描述和分析这些几何对象。我们可以讨论流形上的点、曲线、曲面，以及它们之间的各种性质。
那么，黎曼几何又是什么呢？
黎曼几何是在微分流形的基础上，引入了“度量”的概念。前面我们说了，微分流形告诉我们空间在局部是平坦的，但它并没有告诉我们在这个局部平坦的空间里，如何测量距离。
想象一下，你手里有一张没有标尺的地图。你知道地图是平坦的，但你不知道地图上的一个单位代表实际的多少距离。黎曼几何就是给这个地图（也就是流形）加上了一个“尺子”，这个尺子叫做黎曼度量（Riemannian metric）。
黎曼度量是什么？ 它是定义在流形上每一点的切空间上的一个二次型。简单来说，它允许我们在流形上的任何一个点，测量连接这个点和它附近另一个点的“无穷小”向量的长度，以及这两个无穷小向量之间的夹角。
有了黎曼度量，我们就可以在微分流形上做很多事情：
测量长度和距离： 最直接的应用就是计算曲线的长度，以及流形上两点之间的最短距离（测地线）。在球面上，大圆就是最短距离的例子。
测量角度和体积： 黎曼度量也允许我们计算流形上的角度和体积。
定义曲率： 这是黎曼几何的核心概念之一。曲率描述了空间在一点附近弯曲的程度。在欧几里得空间中，曲率处处为零，一切都是平坦的。但在黎曼流形上，曲率可以是不为零的，并且它随着位置的变化而变化。黎曼几何提供了曲率张量（Riemann curvature tensor）来精确描述这种弯曲。
所以，它们的关系可以这样理解：
微分流形是黎曼几何的“画布”或“舞台”。 你可以把它想象成一个没有具体尺度的形状，一个可能很弯曲的表面或空间。
黎曼几何是在这张画布上“画上尺子”并进行测量和分析。 它给微分流形赋予了度量结构，使得我们可以在上面谈论长度、角度、距离以及更重要的——曲率。
更详细地说：
1. 微分流形提供了基础结构： 它定义了“点”的概念、邻域的概念，以及如何将局部的小区域“粘合”起来形成一个整体。它是一个拓扑空间，但要求有足够的光滑结构，使得我们可以进行微积分运算。我们可以在微分流形上定义切空间，这是对该点附近线性化空间的描述。
2. 黎曼度量则是在微分流形上添加了“距离”和“角度”的规则。
一个黎曼流形就是一个微分流形，上面配备了一个黎曼度量。
黎曼度量是一个光滑的、处处正定的对称二次型函数，它作用在流形上每一点的切空间上。对于切空间中的任意两个向量 $u, v$，黎曼度量 $g$ 会给出一个实数值 $g(u, v)$。
通过黎曼度量，我们可以计算切向量的长度 $|u| = sqrt{g(u, u)}$，以及两个切向量之间的夹角 $cos heta = frac{g(u, v)}{|u| |v|}$。
有了这些局部的信息，我们就可以通过积分来计算曲线的长度和流形上区域的体积。
3. 曲率是黎曼几何的关键研究对象：
曲率描述了空间的弯曲方式。例如，在二维黎曼流形上，有一个标量曲率。在三维及以上，则需要用更复杂的黎曼曲率张量来描述。
曲率的性质直接影响着空间中曲线（尤其是测地线）的行为，以及像三角形这样的几何图形的性质。例如，在正曲率的空间中，平行线会趋于靠近（就像球面上的经线）；在负曲率的空间中，平行线会趋于分开。
举个例子：
一个圆周 是一个一维微分流形。你可以想象你在圆周上走动，在任何一个很小的区间内，它看起来都像一条直线（一维欧几里得空间）。
但是，如果你想知道圆周上两点之间的距离，你就需要一个“尺子”。你可以选择两种黎曼度量：
一种是自然的度量： 假设圆周的周长是 $2pi R$，那么沿着圆周的距离就是我们在欧几里得空间中熟悉的弧长。在这种度量下，圆周是“平坦”的（在几何意义上，但整体是闭合的）。
另一种度量可以是很不均匀的： 比如，你可以在圆周上的某些地方“拉伸”或“压缩”这个距离的测量方式。比如，某个区间内的单位长度实际对应于很长一段圆周，而另一个区间内的单位长度则对应于很短一段圆周。这种情况下，圆周虽然仍然是同一个微分流形，但其黎曼几何性质就改变了。
总结来说：
微分流形提供了一个描述和研究“弯曲”空间的通用框架。它告诉我们空间在局部是欧几里得的，并允许我们在此基础上进行光滑的分析。而黎曼几何，则是在这个框架上进一步添加了度量结构，使得我们可以谈论距离、角度、体积，并深入研究空间的曲率等核心几何性质。
你可以把微分流形看作是一个未雕琢的几何模型，而黎曼几何则是在这个模型上精细地雕琢出它的形状和细节，赋予它精确的测量能力。没有微分流形这个基础，黎曼几何就无处可施；而有了黎曼几何，我们才能真正地理解和计算这些弯曲空间的几何特性。它们是如此紧密地结合在一起，以至于在很多讨论中，人们会直接说“黎曼流形”，而暗含了其微分流形的结构。
爱因斯坦的广义相对论，就是一个很好的例子，它用黎曼几何来描述引力。宇宙的“时空”被看作是一个四维的黎曼流形，而引力则是由于时空的弯曲（由物质和能量引起）的表现。在这个模型中，黎曼度量描述了时空的几何结构，而曲率则直接关联到能量动量分布，从而体现了引力场的作用。所以，黎曼几何不仅仅是抽象的数学理论，它在物理学中有着极其深刻和重要的应用。
首先，想象一下我们所处的空间。我们习惯了欧几里得空间，也就是那个平直的、直尺和圆规就能描绘一切的二维平面或三维空间。在这样的空间里，距离、角度都非常好计算，比如两点之间的直线距离，我们用勾股定理就能搞定。
但是，现实世界可不总是这么“平坦”。想象一下地球的表面，它是个球体。在球面上，直线就不再是直的了，取而代之的是“大圆”（Great Circle），也就是穿过球心的平面与球面的交线。在球面上走直线，你会发现很多我们习惯的欧几里得几何性质不再适用，比如三角形内角和不再是180度。
微分流形，就是处理这种“弯曲”的空间的工具。
简单来说，一个微分流形就像是我们生活中的一个地方，比如一个城市。这个城市可能不是一个简单的方块，它有弯弯绕绕的街道，高低起伏的山丘，甚至还有一些“洞”或者“环”。但是，如果我们把目光局限在城市里的一个小角落，比如你家门口的那一块地面，你会发现它足够小，小到可以近似看成一个平坦的平面。
数学上就是这么说的：一个微分流形是一个空间，它在局部看起来像欧几里得空间，但整体上可能非常复杂且弯曲。
“局部看起来像欧几里得空间”的意思是，对于流形上的每一个点，我们都可以找到它附近的一个小区域，这个小区域可以被一个欧几里得空间的开放集“映射”过去，而且这种映射是光滑的（可以进行任意阶的微分）。这就好像我们用地图来描绘地球的表面一样，单张地图只覆盖了地球的一小部分，在那一小部分里，地图上的距离和角度可以近似地代表地球表面的真实情况。而微分流形这个概念，就是把这种“局部平坦性”给数学化了。
有了微分流形这个框架，我们就可以研究那些不再平坦的空间，比如我们上面提到的球面，或者更复杂的形状。它为我们提供了一个统一的语言和工具集，来描述和分析这些几何对象。我们可以讨论流形上的点、曲线、曲面，以及它们之间的各种性质。
那么，黎曼几何又是什么呢？
黎曼几何是在微分流形的基础上，引入了“度量”的概念。前面我们说了，微分流形告诉我们空间在局部是平坦的，但它并没有告诉我们在这个局部平坦的空间里，如何测量距离。
想象一下，你手里有一张没有标尺的地图。你知道地图是平坦的，但你不知道地图上的一个单位代表实际的多少距离。黎曼几何就是给这个地图（也就是流形）加上了一个“尺子”，这个尺子叫做黎曼度量（Riemannian metric）。
黎曼度量是什么？ 它是定义在流形上每一点的切空间上的一个二次型。简单来说，它允许我们在流形上的任何一个点，测量连接这个点和它附近另一个点的“无穷小”向量的长度，以及这两个无穷小向量之间的夹角。
有了黎曼度量，我们就可以在微分流形上做很多事情：
测量长度和距离： 最直接的应用就是计算曲线的长度，以及流形上两点之间的最短距离（测地线）。在球面上，大圆就是最短距离的例子。
测量角度和体积： 黎曼度量也允许我们计算流形上的角度和体积。
定义曲率： 这是黎曼几何的核心概念之一。曲率描述了空间在一点附近弯曲的程度。在欧几里得空间中，曲率处处为零，一切都是平坦的。但在黎曼流形上，曲率可以是不为零的，并且它随着位置的变化而变化。黎曼几何提供了曲率张量（Riemann curvature tensor）来精确描述这种弯曲。
所以，它们的关系可以这样理解：
微分流形是黎曼几何的“画布”或“舞台”。 你可以把它想象成一个没有具体尺度的形状，一个可能很弯曲的表面或空间。
黎曼几何是在这张画布上“画上尺子”并进行测量和分析。 它给微分流形赋予了度量结构，使得我们可以在上面谈论长度、角度、距离以及更重要的——曲率。
更详细地说：
1. 微分流形提供了基础结构： 它定义了“点”的概念、邻域的概念，以及如何将局部的小区域“粘合”起来形成一个整体。它是一个拓扑空间，但要求有足够的光滑结构，使得我们可以进行微积分运算。我们可以在微分流形上定义切空间，这是对该点附近线性化空间的描述。
2. 黎曼度量则是在微分流形上添加了“距离”和“角度”的规则。
一个黎曼流形就是一个微分流形，上面配备了一个黎曼度量。
黎曼度量是一个光滑的、处处正定的对称二次型函数，它作用在流形上每一点的切空间上。对于切空间中的任意两个向量 $u, v$，黎曼度量 $g$ 会给出一个实数值 $g(u, v)$。
通过黎曼度量，我们可以计算切向量的长度 $|u| = sqrt{g(u, u)}$，以及两个切向量之间的夹角 $cos heta = frac{g(u, v)}{|u| |v|}$。
有了这些局部的信息，我们就可以通过积分来计算曲线的长度和流形上区域的体积。
3. 曲率是黎曼几何的关键研究对象：
曲率描述了空间的弯曲方式。例如，在二维黎曼流形上，有一个标量曲率。在三维及以上，则需要用更复杂的黎曼曲率张量来描述。
曲率的性质直接影响着空间中曲线（尤其是测地线）的行为，以及像三角形这样的几何图形的性质。例如，在正曲率的空间中，平行线会趋于靠近（就像球面上的经线）；在负曲率的空间中，平行线会趋于分开。
举个例子：
一个圆周 是一个一维微分流形。你可以想象你在圆周上走动，在任何一个很小的区间内，它看起来都像一条直线（一维欧几里得空间）。
但是，如果你想知道圆周上两点之间的距离，你就需要一个“尺子”。你可以选择两种黎曼度量：
一种是自然的度量： 假设圆周的周长是 $2pi R$，那么沿着圆周的距离就是我们在欧几里得空间中熟悉的弧长。在这种度量下，圆周是“平坦”的（在几何意义上，但整体是闭合的）。
另一种度量可以是很不均匀的： 比如，你可以在圆周上的某些地方“拉伸”或“压缩”这个距离的测量方式。比如，某个区间内的单位长度实际对应于很长一段圆周，而另一个区间内的单位长度则对应于很短一段圆周。这种情况下，圆周虽然仍然是同一个微分流形，但其黎曼几何性质就改变了。
总结来说：
微分流形提供了一个描述和研究“弯曲”空间的通用框架。它告诉我们空间在局部是欧几里得的，并允许我们在此基础上进行光滑的分析。而黎曼几何，则是在这个框架上进一步添加了度量结构，使得我们可以谈论距离、角度、体积，并深入研究空间的曲率等核心几何性质。
你可以把微分流形看作是一个未雕琢的几何模型，而黎曼几何则是在这个模型上精细地雕琢出它的形状和细节，赋予它精确的测量能力。没有微分流形这个基础，黎曼几何就无处可施；而有了黎曼几何，我们才能真正地理解和计算这些弯曲空间的几何特性。它们是如此紧密地结合在一起，以至于在很多讨论中，人们会直接说“黎曼流形”，而暗含了其微分流形的结构。
爱因斯坦的广义相对论，就是一个很好的例子，它用黎曼几何来描述引力。宇宙的“时空”被看作是一个四维的黎曼流形，而引力则是由于时空的弯曲（由物质和能量引起）的表现。在这个模型中，黎曼度量描述了时空的几何结构，而曲率则直接关联到能量动量分布，从而体现了引力场的作用。所以，黎曼几何不仅仅是抽象的数学理论，它在物理学中有着极其深刻和重要的应用。
网友意见
在微分流形上给出一个特殊的（0，2）型张量场，它满足内积的几条性质，称为黎曼度量。带有黎曼度量的流形称为黎曼流形，黎曼流形就是黎曼几何的主要研究对象。有了黎曼度量就能研究黎曼流形上两个切向量的夹角和一段曲线的长度。
任何一个流形上都能装备一个黎曼度量。在之前微分流形里学过一个光滑函数在一点沿着光滑向量场的“方向导数”，但是这在对向量场求导数时遇到了困难。把一个流形嵌入欧氏空间，如果向量场 沿 的方向导数 按照 的分量套用对函数的方向导数（在欧式空间的切空间中计算），可能会出现求导得到的向量不落在这个流形的切空间中。解决的方式是引进“联络”的概念，也就是对向量场求导的方法。但是一个黎曼流形上的联络有很多（它们不能构成一个线性空间，但是可以构成一个凸集）其中有一类特殊的联络叫做Levi-Civita联络（也叫Riemann联络），它是存在且唯一的。然后你可以定义向量场的平行移动，由此定义测地线，简单的说也就是两点间距离最短的曲线。
就题主的问题，其实前几行文字就说明完了，就简单说了一下黎曼几何中最最基本的几个概念，我也只是个初学者，不足之处见谅。就问题本身而言，您完全可以维基百科2分钟内解决，不必在知乎抛出问题苦苦等待2小时。想学一点数学就用好维基好好看书，少刷没营养的东西，不然会和我这个名词党一样，只知道基础概念，随便抛出一个简单问题都不会算或者不会分析。
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