如何学习几何学（现代微分几何，包括微分流形，黎曼几何等）？
第一步：夯实基础——“盖房子先打地基”
这是最关键也最容易被忽视的一步。许多人急于进入微分流形的高深概念，但如果基础不牢，学起来会异常痛苦，甚至可能走入误区。
1. 线性代数（Linear Algebra）：
向量空间（Vector Spaces）: 这一概念是你未来理解切空间、切向量场等至关重要的起点。你需要熟练掌握向量空间的定义、子空间、基、维度、线性无关、线性映射（线性变换）等。
矩阵（Matrices）: 矩阵是线性变换的具体表现。你需要理解矩阵的运算、行列式、特征值与特征向量、矩阵的秩等。它们在局部坐标系下描述向量和线性映射时非常有用。
张量（Tensors）: 这是现代微分几何的核心语言之一。你需要理解什么是张量，以及它们的代数运算（加法、数量乘法、张量积、张量收缩）。从多重线性映射的角度理解张量会更有帮助。初学时，可以将张量理解为“多重线性函数的推广”，例如向量是“线性函数”，对偶向量是“线性函数”，而张量则可以接受多个向量或对偶向量作为输入并输出一个数。
2. 微积分（Calculus）：
多元微积分（Multivariable Calculus）: 熟练掌握偏导数、方向导数、梯度、散度、旋度、链式法则、多重积分、Green公式、Stokes公式、Gauss公式等。这些概念将直接被推广到流形上，成为定义导数、积分、微分形式等的基础。
向量分析（Vector Analysis）: 特别是 Stokes 定理的多种形式，这是理解流形上的积分定理的基石。
3. 拓扑学（Topology）：
点集拓扑基础（PointSet Topology）: 这是理解“空间”本身性质的关键。你需要理解开集、闭集、邻域、连续性、紧致性、连通性、度量空间等概念。这些概念决定了我们如何定义流形上的“局部相似性”和“整体结构”。
流形上的拓扑: 一旦接触到流形，你会发现流形本身就是具有良好拓扑性质的空间。例如，流形都是局部欧几里得的，这意味着在流形上的每个点都有一个邻域，这个邻域在拓扑上与欧几里得空间中的一个开集同胚。
4. 实分析（Real Analysis）：
函数逼近（Function Approximation）: 理解函数的一致收敛性、逐点收敛性、泰勒展开等，这些概念在研究流形上的光滑函数和微积分时会用到。
可微性（Differentiability）: 对函数的可微性有深入理解，特别是局部性质。
第二步：初探微分流形——“搭建框架”
在有了扎实的基础后，就可以开始接触微分流形的概念了。这个阶段的目标是理解“流形”是什么，以及如何在上面进行微积分。
1. 定义微分流形（Definition of Differentiable Manifolds）：
同胚（Homeomorphism）与微分同胚（Diffeomorphism）: 理解这两个概念的区别。同胚是拓扑上的等价，而微分同胚则要求在拓扑等价的同时，映射及其逆映射都可微。
图册（Charts）与相容图册（Compatible Charts）: 这是流形的核心构造。理解一个开集如何“嵌入”到欧几里得空间中，以及不同图册之间的“过渡映射”（Transition Maps）的可微性要求。
整体（Atlas）: 一组能够覆盖整个流形的图册。
光滑结构（Smooth Structure）: 由一组相容的图册确定的光滑性。
2. 关键概念：
切空间（Tangent Space, $T_p M$）: 在流形上的每一点 $p$，我们定义一个向量空间，称为该点的切空间。理解切空间有几种等价的定义：
Derivations: 将光滑函数映射到实数的线性算子，满足乘法法则（Leibniz rule）。这是一个非常抽象但强大的定义。
Equivalence Classes of Curves: 通过点 $p$ 的可微曲线的等价类。这种定义更直观，更容易与我们熟悉的“向量”联系起来。
Linear Functionals on Cotangent Space: 如果你已经理解了对偶空间，也可以从这个角度理解。
切丛（Tangent Bundle, $TM$）: 将所有点的切空间“粘合”起来形成的向量丛。
切向量场（Vector Fields）: 流形上光滑地指定了每个点切空间的向量的映射。理解它如何作用于函数（作为向量导数）。
微分形式（Differential Forms）: 从对偶空间（余切空间, $T_p^ M$）出发，构造张量丛（如 $k$次外代数丛 $T^k M$ 和外丛 $Lambda^k T^ M$）。外微分（Exterior Derivative, $d$）是理解和操作微分形式的关键操作，它将一个 $k$ 形式变成一个 $k+1$ 形式，并且满足 $d^2=0$。
流形上的积分（Integration on Manifolds）: 理解如何对微分形式进行积分，特别是 Stokes 定理在流形上的推广形式：
$int_M domega = int_{partial M} omega$
这里 $omega$ 是一个 $(n1)$ 形式，$M$ 是一个 $n$ 维流形，$partial M$ 是其边界。
3. 推荐教材（此阶段）：
Introduction to Smooth Manifolds by John M. Lee: 这是目前非常流行和公认的优秀教材，讲解清晰，逻辑严谨，包含了很多重要的例子。
An Introduction to Differential Geometry by Robert Gardner: 另一本不错的入门教材，侧重于直观理解。
一些经典的早期作品，例如由 Serge Lang 撰写的书籍，虽然风格可能略显“硬朗”，但概念非常扎实。
第三步：深入黎曼几何——“为空间赋予度量”
黎曼几何是在微分流形的基础上，赋予空间一个“度量”，从而研究其几何性质，如长度、角度、曲率等。
1. 黎曼度量（Riemannian Metric）：
度量张量（Metric Tensor, $g$）: 在流形上的每个点 $p$，定义一个正定的二次型（或内积），它允许我们在切空间中计算向量的长度和夹角。从张量分析的角度看，它是一个类型为 $(0,2)$ 的张量场。
度量诱导的内积: 如何用度量张量计算切向量的内积：$g_p(X_p, Y_p)$。
长度和角度: 如何定义曲线的长度，向量的长度，以及两个向量之间的夹角。
2. 联络与曲率（Connection and Curvature）：
仿射联络（Affine Connection, $ abla$）: 一个在流形上“平行移动”向量的方法，它允许我们比较不同点的切向量。理解它如何作用于向量场和张量场。
协变导数（Covariant Derivative）: 由联络诱导的在张量场上的求导运算。
无挠率联络（TorsionFree Connection）: 特别是 LeviCivita 联络，它是唯一一个与黎曼度量相容（保持度量不变）且无挠率的联络。这是研究黎曼几何的关键。
曲率张量（Curvature Tensor）:
曲率张量（Riemann Curvature Tensor, $R$）: 度量联络的“非对易性”的度量，它衡量了平行移动一个向量沿着不同路径回到同一点时产生的差异。
里奇曲率（Ricci Curvature, $ ext{Ric}$）: 曲率张量的迹（通过与度量张量收缩），它描述了空间在某个方向上的平均曲率。
数量曲率（Scalar Curvature, $S$）: 里奇曲率的迹，是一个关于空间整体平均曲率的单一数值。
测地线（Geodesics）: “直线”在黎曼流形上的推广，是两点之间“最短路径”（局部而言）的轨迹。理解其微分方程的定义。
3. 关键定理与概念：
指数映射（Exponential Map）: 从一点的切空间到流形本身的映射，它将切向量映射到该点出发的、以该向量为初速度的测地线上的点。
黎曼流形上的积分几何: 研究几何量（如体积、测地线密度）的性质。
等距同构（Isometry）: 保持黎曼度量不变的流形之间的映射。
盖尔范特定理（GaussBonnet Theorem）: 一个将流形上的积分几何量（如全曲率）与拓扑不变量（如欧拉示性数）联系起来的深刻定理。
4. 推荐教材（此阶段）：
Riemannian Geometry by Manfredo P. do Carmo: 这是该领域的经典之作，虽然内容稍多，但讲解非常透彻，例题丰富。
Introduction to Riemannian Manifolds by John M. Lee: 这是李的另一本著作，专门针对黎曼几何，同样质量很高。
A First Course in Geometric Topology and Differentiable Manifolds by Victor Guillemin and Alan Pollack: 这本书虽然是入门微分流形，但其中也包含了一些早期关于黎曼几何的直观介绍。
学习方法与建议：
1. 多做习题: 数学学习，尤其是几何学，离不开大量的练习。每学完一个概念，都要尝试做相关的习题，将抽象的定义转化为具体的计算。从简单的例子开始，逐步挑战更复杂的。
2. 画图与可视化: 虽然高维几何难以直观可视化，但在低维（2维或3维）流形上，尝试绘制各种图景非常重要。例如，理解球面、环面上的切向量场，或者二维曲面上测地线的行为。使用一些数学软件（如 Mathematica, Maple, SageMath）来辅助可视化。
3. 对照多种教材: 不同的作者有不同的讲解风格和侧重点。阅读几本不同风格的教材，可以帮助你从多个角度理解同一个概念，弥补单一教材可能存在的不足。例如，有些书可能更侧重代数方面，而有些则更侧重拓扑或分析。
4. 理解Motivation: 了解每个概念的由来和它试图解决的问题。例如，为什么需要定义切空间？为什么需要曲率？理解这些动机，能帮助你更好地记忆和应用知识。
5. 循序渐进，不要跳跃: 确保你对前一个概念掌握牢固，再去学习下一个。微分几何的各个部分是紧密联系的。
6. 参与讨论与交流: 如果可能，找到志同道合的学习者或加入数学讨论小组。向他人提问和解答问题是巩固知识的绝佳方式。
7. 回顾与复习: 定期回顾之前学过的概念，并尝试用自己的话来解释它们。
8. 多阅读例子: 教材中的例子是理解抽象概念的关键。花时间去理解每一个例子是如何应用的，以及它揭示了什么性质。
9. 不要害怕抽象: 现代微分几何确实涉及大量的抽象概念和符号。一开始感到不适应是很正常的。关键是坚持下去，慢慢就会熟悉这些语言。从具体的例子出发，一点点地建立起对抽象概念的直观感受。
10. 数学软件的应用: 除了可视化，一些计算代数系统（如 SageMath, Mathematica）在进行张量计算、黎曼曲率计算等方面也非常有用，可以帮助你验证理论推导。
进阶方向：
在你掌握了基本的微分流形和黎曼几何后，可以继续深入学习：
微分拓扑（Differential Topology）：研究不依赖于度量的流形性质，如同伦论、同调论、特征类等。
微分几何的应用:
广义相对论（General Relativity）: 这是黎曼几何最重要的应用之一。爱因斯坦场方程就是建立在黎曼流形上的。
规范场论（Gauge Theory）: 在物理学中，杨米尔斯理论等涉及到流形上的纤维丛和联络。
李群与李代数（Lie Groups and Lie Algebras）: 是对称性在几何中的体现。
辛几何（Symplectic Geometry）: 与哈密顿力学密切相关。
总而言之，学习现代微分几何是一场智识的冒险。它需要扎实的数学基础、耐心的学习态度以及对几何美的追求。一步一个脚印，你会逐渐掌握这门优美而强大的数学语言。祝你学习顺利！
网友意见
有很多做机器学习的人给我发信问你同样的问题，正好借着这个题目写下工科背景怎么学微分几何，主要面向做机器学习的。
要是想看“流行学习”的paper，根本不需要学习微分几何，你就把manifold想象成一个曲面，你就可以入门了。这个领域就是打着manifold旗号扯淡。做这个靠"想"，不靠数学。
想要学Wasserstein GAN、optimal transport，你也不用学微分几何，更不用去学什么conformal geometry。更更不需要去搞懂数学家写的optimal transport（搞懂这个你不仅要懂些微分几何还得懂些实分析泛函分析测度论），找个离散情况的optimal transport tutorial看，有点优化知识你就可以入门了。
如果你想入门Information Geometry，那你确实需要点正经的微分几何知识，但也不需要很深。基本上搞懂tangent space, connection, metric这些基本概念就行了，连curvature是啥都不需要懂。下面这篇论文的appendix足够了
Information Geometry and Its Applications: Convex Function and Dually Flat Manifold
这篇论文就是给不懂微分几何的工科生看的。没有复杂的微分几何语言，懂线性代数就能看懂。当然这只能让你对Information geometry有基本的概念，想要进入这个领域做research是远远不够的，你还是得认真学些微分几何才行。
下面写给那些真正想懂些微分几何的工科生，推荐给你下面这个网课
A thorough introduction to the theory of general relativity
B站视频
这门课虽然是广义相对论的课，但前12课讲的都是微分几何，只听前12课就好。一般数学系的微分几何会讲的过细，也不会联系应用，只见树木不见森林。而且你要想学黎曼几何起码得学两门课：微分流形和黎曼流形，甚至还得学一些点集拓扑。而纯物理出身的讲的微分几何跳的太厉害而且不严谨。这个老师是数学背景出身做数学物理得，讲的特别清晰而且直观，即兼顾严谨又兼顾大局观还联系应用。12节课把点集拓扑，微分流形，黎曼流形一起搞定，极为经济实惠。
参考书推荐下面几本：
First Steps in Differential Geometry Andrew McInerney
Elementary Differential Geometry Barrett O'Neill
Differential Geometry Wolfgang Kuhnel
工科生和数学生学微分几何的侧重点肯定是不同的。对于数学生来说学微分几何主要是为了以后做数学研究做铺垫。很多教材也是以这个思路写的，书会写的比较深而且主要是为了引出更高级的数学。所以很多经典教材不一定适合工科生读。
对工科生来说学微分几何基本上是学微分几何的语言和基本概念，然后用这种语言和概念去描述和解决应用领域问题。
这几本的特点是比较简单，每部分不会太深，会以比较快的节奏把整个领域过一遍。很多微分几何书会讲很多古典微分几何，也就是 里的curve, surface。而这几本书会很快过渡到differential manifold语言，并会包括基本的Riemannian manifold。单独的黎曼几何书都比较难，对工科也没必要学的那么深。但是differential manifold部分可以弄的清楚些，因为大部分微分几何中的概念都是在这部分给出的。所以differential manifold部分可以用下面两本书作为补充：
An Introduction to Manifolds Loring W. Tu
Introduction to Smooth Manifolds John M. Lee
然后推荐一本神书
A Visual Introduction to Differential Forms and Calculus on Manifolds
这本书简直就是看图说话，别人书里几章的内容，他连图带例子写了一本书，不能再幼儿了。可惜得是讲的主要是differential form，但作为建立differential geometry基本概念的入门读物挺好的。
最后如果想学一些更进阶的概念，比如Grassmann manifold, Lie group, Lie algebra, cohomology, fiber bundle什么的，那就接着看前面提到的网课老师的另一门课
Lectures on Geometrical Anatomy of Theoretical Physics
B站视频
学了这么多后很可能就会出现@孙志强的答案里的现象，数学和物理比机器学习有意思，于是你转学数学或者物理了。
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