构造微分流形这个概念的动机是什么？
我们之所以需要微分流形这个概念，说到底，是因为我们试图用数学的语言去精确地描述和理解我们所栖息的这个三维（甚至更高维）的物理世界，以及那些从直观几何向更抽象层面延伸的数学对象。如果说欧几里得几何给了我们描绘“平坦”世界的工具，那么微分流形则是我们探索“弯曲”和“局部平坦”世界的钥匙。
想象一下，我们生活在一个星球上。我们脚下的地面，在很小的范围内，看起来几乎是平坦的。我们可以使用直尺和角度测量来描述我们附近的小块区域，这就像在欧几里得平面上一样。然而，当我们想要描述整个星球的形状时，事情就变得复杂了。地球是一个球体，它不是平坦的。我们不能简单地将一张巨大的平坦地图铺在地球表面而毫无扭曲。
这正是“流形”概念的萌芽。流形是一种“局部看来是平坦的”空间，但“整体上可能不是平坦的”。就像地球表面的一个小区域可以通过一张平坦的地图来描述一样，流形上的每一点都有一个邻域，这个邻域可以通过一个光滑的映射（也就是我们熟悉的坐标系统）映射到一个欧几里得空间。
那么，为什么需要“微分”这个前缀呢？
这涉及到我们对“光滑”和“连续变化”的追求。在数学和物理学中，我们对变化率、速度、加速度、曲率等概念非常感兴趣。这些概念本质上是微积分的一部分。如果我们只是想描述一个空间，那么连续的映射就足够了。但是，如果我们想在这个空间上进行微积分运算，比如计算函数的导数，那么这个空间就必须足够“光滑”，才能进行这些操作。
这就引出了“微分流形”的核心思想：它是一个拓扑空间，同时拥有一个“光滑结构”。这个光滑结构意味着我们可以用多项式函数或者其他光滑函数来定义流形上的坐标变换。换句话说，我们可以在流形上进行“微分”，就像我们在欧几里得空间上一样。
更具体地说，构造微分流形的概念，是源于以下几个关键的动机：
1. 描述非欧几何和弯曲空间：
在19世纪，高斯的工作，特别是他关于曲面的理论，已经深刻地揭示了“弯曲”几何的可能性。例如，球面几何就不是欧几里得几何。我们无法在不产生扭曲的情况下将一个球面“摊平”成一个平面。微分流形提供了一个统一的框架来处理这些非欧几何。
爱因斯坦的广义相对论更是将微分流形推到了数学物理的前沿。宇宙被描述成一个四维时空流形，而引力被解释为这个流形的“弯曲”。要理解引力如何影响物质的运动，就需要能够在弯曲的时空上进行微积分计算，这正是微分流形所能提供的。
2. 统一不同尺度下的几何描述：
如同前面提到的地球例子，我们总是在不同的“尺度”下观察世界。在局部，我们可以用熟悉的欧几里得坐标系来描述；但在全局，这些坐标系可能就不再适用了，或者会产生不连续性或扭曲。微分流形通过“局部坐标图”和“粘合条件”来解决这个问题。我们用一组局部图覆盖整个空间，并且要求这些图之间的过渡是光滑的（可微分）。这就像我们用多个平坦的地图片拼凑成一个球体的表面一样，关键在于地图片之间的边缘连接处必须是平滑过渡的。
3. 将微积分的概念推广到抽象空间：
微积分是我们理解动态世界的基础。我们希望能够在任何我们感兴趣的“形状”或“空间”上进行导数、积分等运算。例如，在考虑一个物体的运动时，我们可能不仅仅是在欧几里得空间中跟踪它的位置，而是可能在某个曲面上运动，或者在更抽象的状态空间中演化。微分流形提供了一个框架，使得我们可以在这些“弯曲”或“非欧”的空间上定义函数，并进行微积分运算，例如定义切空间、向量场、微分形式等。
4. 发展抽象的几何和拓扑理论：
数学家们总是倾向于从具体的例子中提炼出一般性的概念。从研究二维曲面到发展出描述任意维度流形的理论，这是一个自然的数学发展过程。微分流形不仅仅是物理学的工具，它本身也是一个活跃的几何和拓扑研究领域。它允许数学家们探索更抽象的几何结构，例如黎曼流形、凯勒流形等等，这些结构在纯数学领域有着重要的意义。
5. 处理参数空间和状态空间：
在许多科学领域，我们感兴趣的不仅仅是物体本身的空间位置，还有它的各种状态。例如，在一个物理系统中，粒子的状态可能由其位置和动量决定。这些状态组成的集合可能是一个高维的、弯曲的空间，而这个空间就是一个流形。在控制理论、动力系统等领域，研究系统的行为就需要在这个状态空间上进行分析，而微分流形的概念提供了必要的工具。
简单来说，构造微分流形就是为了解决以下核心问题：
如何用一套数学工具，既能处理我们直观认识到的“平坦”空间（欧几里得空间），又能优雅地描述那些“弯曲”但“局部平坦”的空间？
如何在这些“弯曲”的空间上，进行微积分运算，从而分析变化和动态过程？
微分流形通过“局部坐标图”的集合，并规定了这些图之间的“光滑过渡映射”，成功地将欧几里得空间的微积分工具，推广到了一个更广泛、更灵活的几何世界中。它是一个强大而基础的概念，连接了几何、拓扑、分析乃至物理学中的许多深刻思想。
网友意见
我不敢说提出流形这个概念的历史动机是什么，就说说自己的理解吧。
比方说，古代的时候，很多人并不知道地球的形状是什么样的。从人们对局部空间的几何感知出发，人们无法推测出地球的整体几何特征，到底是球形，梨形或是面包圈形的。但另一方面，人们很早就学会了画地图，知道可以用平直的二维空间来表示局部的地形特征。
现在我们知道，地球表面不是平直的，严格说来也不是规则的球面，甚至我们身处的三维空间，也不见得是规则，均匀，平直的，但这并不妨碍人们运用朴素的理性建立起平直均匀的二维，三维欧氏空间，用以描写自己所处的局部环境。
流形，就可以看做这一经验的推广和抽象提炼。流形其实就是说，一个n维的几何体，我们不知道它整体的几何性质如何（比如地球），但我们对它的每一个局部，都能用n维欧氏空间来描写（比如n=2时，用地图描写地表局部）。
用术语来说，这个“局部”，就是拓扑空间中的开集，用n维欧氏空间描写，就是说能够建立开集到n维欧氏空间的“微分同胚”。粗略地说，微分同胚就是一种保持拓扑结构（可以理解成空间中点与点的邻接关系）与微分结构的一一映射。你可以认为，流形的每个局部，从拓扑和微分结构的角度看，都“等价”于n维欧氏空间的一个局部，进而，也就能够赋予其一个局部的坐标系。
这就是流形概念的第一层意思，也是最直观，最精髓的一点：流形的局部等价于欧氏空间，我们可以在其上建立局部坐标系，建立方向（切丛），直线（测地线）这些概念（地球表面并不平坦，但并不影响我们建立了直线和方位的概念）。
在流形概念建立之前，我们一般来说是把n维几何体嵌入到n+1维欧氏空间中去研究的。也就是说，几何体上的每一个点，都被赋予了一个“绝对坐标”。
有了流形的概念之后，我们就不一定要将几何体嵌入到高维欧氏空间了。我们在每个局部，都可以赋予一个相对坐标，这就是流形的研究方式。
仔细说起来，n维几何体还不一定能嵌入到n+1维欧氏空间中。微分拓扑学的结论表明，n维几何体可能要嵌入到最多2n+1维欧氏空间中。比如，挠率不为零的曲线就只能嵌入到3维欧氏空间中。经典曲面论研究的往往是嵌入到3维空间中的可以可视化的曲面，但是2维曲面Klein瓶就至少要嵌入到4维欧氏空间中。这意味着，同样是n维几何体，由于嵌入的欧氏空间的维度不同，其表示形式就不相同。反过来，用流形的观点，倒突出了几何体内禀的维度。
当然，我们知道，作为近似球面的地球表面，是无法在毫无变形，毫无失真的情况下，用一张张平面地图拼接起来表示的。此外，绘制地图，也有着不同的比例尺和各种各样的投影方法，会造成不同种类，程度的扭曲，失真。但只要它们满足一定条件，我们就认定它们绘制的是同一地图，或者它们能够以某种方式拼接起来，表示某个几何整体。
在数学上，我们说流形上各个局部到n维欧氏空间的微分同胚之间，要满足一个特定的相容性条件。同一个点，可以属于不同的开集，赋予不同的坐标表示；同一个开集，也可以赋予不同的坐标表示，只要这些表示是“相容”的。这就好比，地图有各种画法，只要满足一定的相容性条件，我们就认定这些地图是对同一几何体进行描绘，且这些局部的地图总能以某种方式拼成整体的样子。
这就是流形概念的第二层意思：流形的局部微分同胚于n维欧氏空间，这些微分同胚之间彼此是相容的。
一般来说，运用第一层意思，我们已经能够做很多事情了。只要有了局部同胚，局部坐标表示，我们大致上就可以开发出粗糙版本的切丛，联络，测地线，曲率等概念了。但是，为了严谨起见，我们需要论证，我们提出的这些概念，在更换另一个局部坐标之后，不会发生变化，也就是说，我们的概念是几何体内禀的，而不是和坐标系的选取相关的。这时，我们就往往需要援引相容性条件，也就是刚刚说到的流形概念的第二层意思了。
最后，由于局部坐标系的存在，我们很容易在局部定义一个张量场，比如黎曼度量，但怎么将局部的张量场延拓，或者拼接成整体性的张量场呢？这里，常常要用到微分拓扑的基础知识，“单位分解定理”。由于“单位分解定理”需要拓扑空间满足第二可数公理才成立，所以我们要求流形的拓扑空间满足第二可数公理，这是流形概念的第三层意思。
综上，流形最核心的，最直观的要点是，它在每个局部可以同胚于欧氏空间，可以建立局部坐标。但为了概念打磨的目的，还需引入相容性条件和第二可数公理。第一条说的，是流形的局部性质，是流形概念的直觉所在，后两条说的，是局部与局部的关系，局部与整体的关系。照我理解，主要是要排除掉那些“病态”的情况（比如几何量或公式在不同的局部标架下表示不一致，或者局部场无法拼接延拓为整体量，等等）。
从某种角度看，局部的欧氏特性和整体的非欧特性，被统一在流形这个结构中，就好像地球，我们从局部认识它那就是欧氏几何，从整体认识它那就是非欧的黎曼几何，也或许流形的提出反映了人们从欧氏几何到反直觉的非欧几何再到更加一般的几何学这样一种认知的探索吧。
个人建议是，如果没有数学系的看懂定理证明的需求，其实可以满足于知道流形就是每个局部等价于欧氏空间的几何体就足够了。
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