为什么要构造出范德蒙行列式？
构造范德蒙行列式（Vandermonde Determinant）的背后，是数学家们为了解决一类非常核心和普遍的问题而进行的探索。这其中蕴含着对多项式、插值以及线性方程组结构的深刻理解。让我为你娓娓道来，为什么我们需要这样一个看似有些特别的行列式。
问题的根源：多项式与点
想象一下，我们掌握了若干个点，每个点都有一个横坐标 $x_i$ 和一个纵坐标 $y_i$。我们想要找到一个多项式 $P(x)$，能够通过所有这些点。也就是说，对于每一个 $i$，我们希望 $P(x_i) = y_i$。
假设我们有 $n$ 个点 $(x_1, y_1), (x_2, y_2), dots, (x_n, y_n)$。我们通常会尝试找到一个次数不超过 $n1$ 的多项式来拟合这些点。这样一个多项式可以写成：
$P(x) = a_{n1}x^{n1} + a_{n2}x^{n2} + dots + a_1x + a_0$
我们的目标是确定这 $n$ 个系数 $a_0, a_1, dots, a_{n1}$。
列出方程：连接点与系数
将每个点代入多项式方程，我们就得到了一组线性方程：
$a_{n1}x_1^{n1} + a_{n2}x_1^{n2} + dots + a_1x_1 + a_0 = y_1$
$a_{n1}x_2^{n1} + a_{n2}x_2^{n2} + dots + a_1x_2 + a_0 = y_2$
$dots$
$a_{n1}x_n^{n1} + a_{n2}x_n^{n2} + dots + a_1x_n + a_0 = y_n$
这是一个关于未知系数 $a_0, a_1, dots, a_{n1}$ 的线性方程组。
矩阵的出现：线性方程组的语言
线性代数提供了一种优雅的方式来表示和解决这样的方程组。我们可以将上面的方程组写成矩阵形式：
$egin{pmatrix}
1 & x_1 & x_1^2 & dots & x_1^{n1} \
1 & x_2 & x_2^2 & dots & x_2^{n1} \
vdots & vdots & vdots & ddots & vdots \
1 & x_n & x_n^2 & dots & x_n^{n1}
end{pmatrix} egin{pmatrix}
a_0 \
a_1 \
a_2 \
vdots \
a_{n1}
end{pmatrix} = egin{pmatrix}
y_1 \
y_2 \
y_3 \
vdots \
y_n
end{pmatrix}$
我们现在遇到了一个非常熟悉的结构：一个矩阵乘以一个向量等于另一个向量。这个矩阵的结构是如此的规律，它的每一列都是某个 $x_i$ 的幂次。这个矩阵，就是我们今天要讨论的 范德蒙矩阵。
范德蒙行列式：判断“解”是否存在和唯一性的关键
对于一个线性方程组 $Ax = b$，我们知道，当且仅当系数矩阵 $A$ 的 行列式不为零 时，这个方程组才有唯一解。
所以，当我们考虑通过一组点 $(x_i, y_i)$ 拟合一个多项式时，实际上是在问：这个由 $x_i$ 的幂次构成的矩阵，它的行列式是否不为零？如果行列式不为零，那么就一定能找到一个唯一的系数向量 $(a_0, a_1, dots, a_{n1})$，从而确定一个唯一的次数不超过 $n1$ 的多项式通过这些点。
这个矩阵的行列式，就是 范德蒙行列式。
那么，范德蒙行列式到底是什么？它有什么价值？
范德蒙行列式是一个特殊的行列式，它的形式如下：
$$
V = det egin{pmatrix}
1 & x_1 & x_1^2 & dots & x_1^{n1} \
1 & x_2 & x_2^2 & dots & x_2^{n1} \
vdots & vdots & vdots & ddots & vdots \
1 & x_n & x_n^2 & dots & x_n^{n1}
end{pmatrix}
$$
关键的价值在于：
1. 多项式插值的唯一性保证： 范德蒙行列式的值是 $prod_{1 le i < j le n} (x_j x_i)$。
这个公式告诉我们，只要所有的 $x_i$ 都不同（即 $x_i e x_j$ for $i e j$），那么范德蒙行列式就一定不为零！
这意味着，对于任何一组不同的 $x$ 值，我们总能找到一个唯一的、次数不超过 $n1$ 的多项式通过给定的 $n$ 个点 $(x_i, y_i)$。这是多项式插值理论中最基本也是最重要的结论之一。没有范德蒙行列式的分析，我们就无法确切地说，这个“存在”的多项式是唯一的。
2. 理解线性无关性： 范德蒙矩阵的每一列都可以看作是 $1, x, x^2, dots, x^{n1}$ 在不同点 $x_i$ 处的值。范德蒙行列式不为零，意味着矩阵的列向量（或者行向量）是线性无关的。在更一般的意义上，这表明了不同幂次的基函数（$1, x, x^2, dots$）在不同点上的组合所能表达的独立性。
3. 计算系数的工具： 虽然直接计算范德蒙行列式可能复杂，但一旦我们知道它不为零，我们就可以利用克莱姆法则（Cramer's Rule）或矩阵求逆的方法来求解系数 $a_i$。例如，通过将 $y$ 列替换为某个列的范德蒙矩阵，然后计算这个新的行列式，并除以原始的范德蒙行列式，就可以得到对应的系数。虽然在实际计算中可能不是最高效的方法，但在理论分析上非常重要。
4. 连接代数与几何的桥梁： 多项式插值本身就是一种将离散的点连接起来，寻找平滑曲线的几何问题。范德蒙行列式作为解决这个问题的代数工具，巧妙地将代数中的行列式理论与几何中的曲线拟合联系了起来。
举个小例子来感受一下：
假设我们有三个点：$(1, 2), (2, 3), (3, 5)$。我们想找到一个次数不超过 2 的多项式 $P(x) = a_2x^2 + a_1x + a_0$ 通过这些点。
方程组是：
$a_2(1)^2 + a_1(1) + a_0 = 2 implies a_2 + a_1 + a_0 = 2$
$a_2(2)^2 + a_1(2) + a_0 = 3 implies 4a_2 + 2a_1 + a_0 = 3$
$a_2(3)^2 + a_1(3) + a_0 = 5 implies 9a_2 + 3a_1 + a_0 = 5$
写成矩阵形式：
$egin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \
1 & 2 & 4 \
1 & 3 & 9
end{pmatrix} egin{pmatrix}
a_0 \
a_1 \
a_2
end{pmatrix} = egin{pmatrix}
2 \
3 \
5
end{pmatrix}$
这里的系数矩阵就是一个范德蒙矩阵，其中 $x_1=1, x_2=2, x_3=3$。
它的范德蒙行列式是：
$det egin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \
1 & 2 & 4 \
1 & 3 & 9
end{pmatrix}$
根据公式 $prod_{1 le i < j le n} (x_j x_i)$，对于 $n=3$：
$(x_2 x_1)(x_3 x_1)(x_3 x_2) = (21)(31)(32) = (1)(2)(1) = 2$
因为行列式的值是 2，不为零，所以存在唯一的次数不超过 2 的多项式通过这三个点。我们就可以继续求解出 $a_0, a_1, a_2$。
总结一下：
我们之所以构造范德蒙行列式，不是为了炫技，而是为了解决一个非常实际的问题：如何判断给定的点是否能唯一地确定一个次数不超过 $n1$ 的多项式？
范德蒙行列式的构造直接源于将多项式插值问题转化为线性方程组，而行列式的值（尤其是它与 $x_i$ 差的乘积的关系）则成为了判断方程组（进而判断多项式插值）是否有唯一解的 黄金标准。它不仅是多项式插值理论的基石，也是理解线性方程组解的性质、向量空间的基以及更广泛的数学工具的起点。它就像一把钥匙，打开了通往更深刻代数几何理解的大门。
问题的根源：多项式与点
想象一下，我们掌握了若干个点，每个点都有一个横坐标 $x_i$ 和一个纵坐标 $y_i$。我们想要找到一个多项式 $P(x)$，能够通过所有这些点。也就是说，对于每一个 $i$，我们希望 $P(x_i) = y_i$。
假设我们有 $n$ 个点 $(x_1, y_1), (x_2, y_2), dots, (x_n, y_n)$。我们通常会尝试找到一个次数不超过 $n1$ 的多项式来拟合这些点。这样一个多项式可以写成：
$P(x) = a_{n1}x^{n1} + a_{n2}x^{n2} + dots + a_1x + a_0$
我们的目标是确定这 $n$ 个系数 $a_0, a_1, dots, a_{n1}$。
列出方程：连接点与系数
将每个点代入多项式方程，我们就得到了一组线性方程：
$a_{n1}x_1^{n1} + a_{n2}x_1^{n2} + dots + a_1x_1 + a_0 = y_1$
$a_{n1}x_2^{n1} + a_{n2}x_2^{n2} + dots + a_1x_2 + a_0 = y_2$
$dots$
$a_{n1}x_n^{n1} + a_{n2}x_n^{n2} + dots + a_1x_n + a_0 = y_n$
这是一个关于未知系数 $a_0, a_1, dots, a_{n1}$ 的线性方程组。
矩阵的出现：线性方程组的语言
线性代数提供了一种优雅的方式来表示和解决这样的方程组。我们可以将上面的方程组写成矩阵形式：
$egin{pmatrix}
1 & x_1 & x_1^2 & dots & x_1^{n1} \
1 & x_2 & x_2^2 & dots & x_2^{n1} \
vdots & vdots & vdots & ddots & vdots \
1 & x_n & x_n^2 & dots & x_n^{n1}
end{pmatrix} egin{pmatrix}
a_0 \
a_1 \
a_2 \
vdots \
a_{n1}
end{pmatrix} = egin{pmatrix}
y_1 \
y_2 \
y_3 \
vdots \
y_n
end{pmatrix}$
我们现在遇到了一个非常熟悉的结构：一个矩阵乘以一个向量等于另一个向量。这个矩阵的结构是如此的规律，它的每一列都是某个 $x_i$ 的幂次。这个矩阵，就是我们今天要讨论的 范德蒙矩阵。
范德蒙行列式：判断“解”是否存在和唯一性的关键
对于一个线性方程组 $Ax = b$，我们知道，当且仅当系数矩阵 $A$ 的 行列式不为零 时，这个方程组才有唯一解。
所以，当我们考虑通过一组点 $(x_i, y_i)$ 拟合一个多项式时，实际上是在问：这个由 $x_i$ 的幂次构成的矩阵，它的行列式是否不为零？如果行列式不为零，那么就一定能找到一个唯一的系数向量 $(a_0, a_1, dots, a_{n1})$，从而确定一个唯一的次数不超过 $n1$ 的多项式通过这些点。
这个矩阵的行列式，就是 范德蒙行列式。
那么，范德蒙行列式到底是什么？它有什么价值？
范德蒙行列式是一个特殊的行列式，它的形式如下：
$$
V = det egin{pmatrix}
1 & x_1 & x_1^2 & dots & x_1^{n1} \
1 & x_2 & x_2^2 & dots & x_2^{n1} \
vdots & vdots & vdots & ddots & vdots \
1 & x_n & x_n^2 & dots & x_n^{n1}
end{pmatrix}
$$
关键的价值在于：
1. 多项式插值的唯一性保证： 范德蒙行列式的值是 $prod_{1 le i < j le n} (x_j x_i)$。
这个公式告诉我们，只要所有的 $x_i$ 都不同（即 $x_i e x_j$ for $i e j$），那么范德蒙行列式就一定不为零！
这意味着，对于任何一组不同的 $x$ 值，我们总能找到一个唯一的、次数不超过 $n1$ 的多项式通过给定的 $n$ 个点 $(x_i, y_i)$。这是多项式插值理论中最基本也是最重要的结论之一。没有范德蒙行列式的分析，我们就无法确切地说，这个“存在”的多项式是唯一的。
2. 理解线性无关性： 范德蒙矩阵的每一列都可以看作是 $1, x, x^2, dots, x^{n1}$ 在不同点 $x_i$ 处的值。范德蒙行列式不为零，意味着矩阵的列向量（或者行向量）是线性无关的。在更一般的意义上，这表明了不同幂次的基函数（$1, x, x^2, dots$）在不同点上的组合所能表达的独立性。
3. 计算系数的工具： 虽然直接计算范德蒙行列式可能复杂，但一旦我们知道它不为零，我们就可以利用克莱姆法则（Cramer's Rule）或矩阵求逆的方法来求解系数 $a_i$。例如，通过将 $y$ 列替换为某个列的范德蒙矩阵，然后计算这个新的行列式，并除以原始的范德蒙行列式，就可以得到对应的系数。虽然在实际计算中可能不是最高效的方法，但在理论分析上非常重要。
4. 连接代数与几何的桥梁： 多项式插值本身就是一种将离散的点连接起来，寻找平滑曲线的几何问题。范德蒙行列式作为解决这个问题的代数工具，巧妙地将代数中的行列式理论与几何中的曲线拟合联系了起来。
举个小例子来感受一下：
假设我们有三个点：$(1, 2), (2, 3), (3, 5)$。我们想找到一个次数不超过 2 的多项式 $P(x) = a_2x^2 + a_1x + a_0$ 通过这些点。
方程组是：
$a_2(1)^2 + a_1(1) + a_0 = 2 implies a_2 + a_1 + a_0 = 2$
$a_2(2)^2 + a_1(2) + a_0 = 3 implies 4a_2 + 2a_1 + a_0 = 3$
$a_2(3)^2 + a_1(3) + a_0 = 5 implies 9a_2 + 3a_1 + a_0 = 5$
写成矩阵形式：
$egin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \
1 & 2 & 4 \
1 & 3 & 9
end{pmatrix} egin{pmatrix}
a_0 \
a_1 \
a_2
end{pmatrix} = egin{pmatrix}
2 \
3 \
5
end{pmatrix}$
这里的系数矩阵就是一个范德蒙矩阵，其中 $x_1=1, x_2=2, x_3=3$。
它的范德蒙行列式是：
$det egin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \
1 & 2 & 4 \
1 & 3 & 9
end{pmatrix}$
根据公式 $prod_{1 le i < j le n} (x_j x_i)$，对于 $n=3$：
$(x_2 x_1)(x_3 x_1)(x_3 x_2) = (21)(31)(32) = (1)(2)(1) = 2$
因为行列式的值是 2，不为零，所以存在唯一的次数不超过 2 的多项式通过这三个点。我们就可以继续求解出 $a_0, a_1, a_2$。
总结一下：
我们之所以构造范德蒙行列式，不是为了炫技，而是为了解决一个非常实际的问题：如何判断给定的点是否能唯一地确定一个次数不超过 $n1$ 的多项式？
范德蒙行列式的构造直接源于将多项式插值问题转化为线性方程组，而行列式的值（尤其是它与 $x_i$ 差的乘积的关系）则成为了判断方程组（进而判断多项式插值）是否有唯一解的 黄金标准。它不仅是多项式插值理论的基石，也是理解线性方程组解的性质、向量空间的基以及更广泛的数学工具的起点。它就像一把钥匙，打开了通往更深刻代数几何理解的大门。
网友意见
以
为基底的多项式插值的系数矩阵就是这个，不过一般计算量比较大，好像也不怎么用。。。
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