为什么函数的连续点构成可测集？
函数的连续点构成可测集，这可不是什么玄乎的说法，而是实实在在的数学证明得出的结论。要理解这一点，我们得一层一层剥开，从最基本的概念开始聊起。
首先，我们得明确几个关键的数学工具：
实数集 $mathbb{R}$ 的可测集： 我们生活在实数的世界里，而可测集是实数集中的“好”的子集，它们有体积（或者说“长度”），并且能够进行加减、交集、并集等运算，结果仍然是可测集。最简单的可测集包括开区间、闭区间、半开半闭区间以及它们的有限个或可数个并集和交集。事实上，我们通常会说一个集合是“勒贝格可测的”，这是一种更广泛的可测性概念，但对于我们讨论函数的连续点来说，理解可测集的基本性质就足够了。
函数的连续性： 一个函数 $f$ 在某一点 $x_0$ 处连续，意味着当自变量 $x$ “非常接近” $x_0$ 时，函数值 $f(x)$ 也“非常接近” $f(x_0)$。用数学语言来说就是：对于任意的 $epsilon > 0$，都存在一个 $delta > 0$，使得当 $|x x_0| < delta$ 时，就有 $|f(x) f(x_0)| < epsilon$。
函数的不连续点： 相反，如果函数在某一点 $x_0$ 处不是连续的，那么它就是不连续的。不连续性的表现有很多种，比如函数值跳跃了，或者函数值根本不存在等等。
现在，我们来聚焦核心问题：为什么那些让函数连续的点，合在一起会形成一个“可测”的集合？
要证明这一点，我们通常采用一种“反证法”或者“构造法”的思路。一种常用的方法是考虑函数的不连续点集。如果我们能证明不连续点集是可测集（或者说至少是“不太坏”的集合），那么它的补集——也就是连续点集——自然也就可测了。因为我们知道，可测集的补集仍然是可测集。
让我们来思考一下，函数 $f$ 在点 $x_0$ 处不连续意味着什么？根据连续性的定义，不连续就是“总能找到一个 $epsilon_0 > 0$，使得对于任意的 $delta > 0$，都存在一个 $x$ 使得 $|x x_0| < delta$ 但 $|f(x) f(x_0)| ge epsilon_0$”。
这听起来有点绕。为了更直观地理解不连续性，我们可以换一个角度。考虑对于一个固定的 $epsilon > 0$，我们把所有满足 $|f(x) f(x_0)| ge epsilon$ 的点 $x$ 集合起来，记作 $S_epsilon(x_0) = {x in mathbb{R} : |f(x) f(x_0)| ge epsilon }$。
如果函数 $f$ 在 $x_0$ 处是连续的，那么对于任意的 $epsilon > 0$，都存在一个 $delta > 0$，使得在 $(x_0 delta, x_0 + delta)$ 这个开区间内的所有 $x$ 都满足 $|f(x) f(x_0)| < epsilon$。换句话说，对于连续点 $x_0$，存在一个包含 $x_0$ 的开区间，在这个区间内，$f(x)$ 的值都非常接近 $f(x_0)$。
那么，函数在 $x_0$ 处不连续，就意味着对于任意的开区间 $(x_0 delta, x_0 + delta)$，总有一些点 $x$ 在里面，但 $|f(x) f(x_0)|$ 却比某个固定的 $epsilon_0$ 要大。
现在，我们引入一个强大的工具：函数的上确界（supremum）和下确界（infimum）。对于一个函数 $f$ 和一个区间 $I$，我们可以定义：
$M_f(I) = sup {f(x) : x in I}$ (函数在区间 $I$ 上的上确界)
$m_f(I) = inf {f(x) : x in I}$ (函数在区间 $I$ 上的下确界)
如果函数 $f$ 在点 $x_0$ 处连续，那么对于任意的 $epsilon > 0$，存在一个 $delta > 0$，使得对于所有 $|x x_0| < delta$，都有 $|f(x) f(x_0)| < epsilon$。这意味着在开区间 $U_delta(x_0) = (x_0 delta, x_0 + delta)$ 上，$f(x)$ 的值被限制在一个很小的范围内，大约就是 $f(x_0)$ 的附近。
更关键的是，我们可以考虑一个点 $x_0$ 的局部振动（oscillation）。对于任意的 $delta > 0$，我们定义函数在点 $x_0$ 处的局部振动为：
$O_f(x_0) = lim_{delta o 0^+} (M_f((x_0delta, x_0+delta)) m_f((x_0delta, x_0+delta)))$
如果这个极限存在，那么函数在 $x_0$ 处的局部振动就是这个极限值。
一个非常重要的结论是：函数 $f$ 在点 $x_0$ 处连续，当且仅当它的局部振动 $O_f(x_0) = 0$。
为什么是这样？
如果 $O_f(x_0) = 0$，意味着对于任意 $epsilon > 0$，存在一个 $delta > 0$ 使得在 $(x_0delta, x_0+delta)$ 上，$M_f m_f < epsilon$。因为 $m_f le f(x) le M_f$ 对于所有的 $x$ 都成立，所以在这个区间内，$f(x)$ 的值与 $f(x_0)$ （无论 $f(x_0)$ 是上确界还是下确界的一部分）之间的差都小于 $epsilon$。具体来说，对于任意 $x in (x_0delta, x_0+delta)$，我们有 $m_f le f(x) le M_f$ 和 $m_f le f(x_0) le M_f$。因此 $|f(x) f(x_0)| le M_f m_f < epsilon$。这就证明了连续性。
反过来，如果 $f$ 在 $x_0$ 处连续，那么对于任意 $epsilon > 0$，存在 $delta > 0$ 使得在 $(x_0delta, x_0+delta)$ 上，$|f(x) f(x_0)| < epsilon$。这意味着 $f(x_0) epsilon < f(x) < f(x_0) + epsilon$。因此，在这个区间上，$m_f ge f(x_0) epsilon$ 且 $M_f le f(x_0) + epsilon$。所以，$M_f m_f le (f(x_0) + epsilon) (f(x_0) epsilon) = 2epsilon$。因为这对于任意 $epsilon > 0$ 都成立，所以当 $delta o 0^+$ 时，$M_f m_f o 0$，即 $O_f(x_0) = 0$。
现在，我们把连续点集记作 $C(f) = {x in mathbb{R} : O_f(x) = 0}$。
我们想证明 $C(f)$ 是一个可测集。
思考一下不连续点集 $D(f) = {x in mathbb{R} : O_f(x) > 0}$。
一个关键的定理是：如果一个函数 $f$ 在实数集上是连续的，那么它的局部振动函数 $O_f(x)$ 也是一个函数，并且它满足一定的性质。
更具体的思路是利用可测集的定义或者一些已知性质。
方法一：利用开集和闭集的性质
我们知道，可测集可以由开集、闭集通过有限或可数次的并集、交集、差集运算得到。
考虑一个固定的 $epsilon > 0$。我们定义集合 $A_epsilon = {x in mathbb{R} : O_f(x) < epsilon}$。如果我们可以证明对于每一个 $epsilon > 0$，$A_epsilon$ 都是一个开集，那么我们就可以进行下一步了。
函数的局部振动 $O_f(x)$ 可以被看作是某个函数（比如 $f$ 的上确界和下确界的差）的“点态极限”。直接证明 $O_f(x)$ 的某个水平集（如 $A_epsilon$）是开集可能不那么直接。
方法二：利用预象集（Preimage Set）的性质
对于一个函数 $g: mathbb{R} o mathbb{R}$，如果对于某个实数 $c$，集合 ${x in mathbb{R} : g(x) < c}$ 是一个开集，那么我们就说 $g$ 是一个上半连续函数。如果 ${x in mathbb{R} : g(x) > c}$ 是一个开集，则 $g$ 是下半连续函数。
一个非常重要的事实是：一个函数是连续的当且仅当它既是上半连续又是下半连续的。
我们来看一下函数的局部振动 $O_f(x)$。我们可以利用 $O_f(x) = sup_{delta>0} (M_f((xdelta, x+delta)) m_f((xdelta, x+delta)))$ 的形式来分析。这个形式的函数（上确界和下确界等操作）与可测性密切相关。
更普遍的定理是：对于任何函数 $f$，集合 ${x : f(x) > a}$ 和 ${x : f(x) < a}$ 对于任意实数 $a$ 都可以表示为一些基本开集的组合，因此是可测集。 （这通常是证明初等函数连续点可测性的基础）
让我们回到局部振动。我们可以写出：
$O_f(x) = lim_{delta o 0^+} sup_{y,z in (xdelta, x+delta), |yx|<delta, |zx|<delta} |f(y) f(z)|$
这是一个相对复杂的形式。一个更简洁的切入点是：函数的连续点集是所有使得函数值“稳定”的点集合。
考虑以下构造：
令 $f$ 为定义在 $mathbb{R}$ 上的函数。
$f$ 在点 $x_0$ 处连续 $iff$ 对任意 $epsilon > 0$，存在 $delta > 0$ 使得 $|x x_0| < delta implies |f(x) f(x_0)| < epsilon$。
这可以写成：
$f$ 在点 $x_0$ 处连续 $iff forall epsilon > 0, exists delta > 0$ 使得 $x_0 in {x : |f(x) f(x_0)| < epsilon} cap (x_0delta, x_0+delta)$。
不对，这个表达方式不对。正确的表达应该是：
$f$ 在点 $x_0$ 处连续 $iff forall epsilon > 0, exists delta > 0$ 使得 $(x_0delta, x_0+delta) subseteq {x : |f(x) f(x_0)| < epsilon}$。
这告诉我们，连续点 $x_0$ 是这样的点，它在某个开区间内，而且在这个开区间内的所有点 $x$ 都满足 $|f(x) f(x_0)| < epsilon$。
让我们换个角度，考虑不连续点集 $D(f)$。
$x_0 in D(f) iff exists epsilon_0 > 0, forall delta > 0, exists x in (x_0delta, x_0+delta)$ 使得 $|f(x) f(x_0)| ge epsilon_0$。
现在，我们可以尝试构建一些可测集来“捕捉”不连续点。
对于任意 $epsilon > 0$，考虑集合 $E_epsilon = {x in mathbb{R} : sup_{y in (xdelta, x+delta)} |f(y) f(x)| ge epsilon ext{ for some } delta > 0}$。
这个集合的定义有点问题，因为 $f(x)$ 是固定的，而 $epsilon$ 是变化的。
正确的思路是利用Borel 集的性质。实数集上的 Borel 集是最小的包含所有开集的 $sigma$代数。可测集（勒贝格可测集）比 Borel 集要大一些，但所有 Borel 集都是可测集。
一个核心的定理是：函数的连续点集是 Borel 集。
我们知道，对于任何函数 $f$，集合 ${x : f(x) > a}$ 是一个可测集（对于连续函数来说，这个集合是开集）。
让我们回到局部振动 $O_f(x)$。
$O_f(x) = lim_{delta o 0^+} (M_f((xdelta, x+delta)) m_f((xdelta, x+delta)))$
其中 $M_f((a,b)) = sup_{x in (a,b)} f(x)$， $m_f((a,b)) = inf_{x in (a,b)} f(x)$。
考虑函数 $g(x) = sup_{delta > 0} (M_f((xdelta, x+delta)) m_f((xdelta, x+delta)))$。
那么，函数 $f$ 的连续点集就是 ${x : g(x) = 0}$。
如果我们能证明 $g(x)$ 本身是一个 Borel 函数（即所有 ${x : g(x) < c}$ 是 Borel 集），那么 ${x : g(x) = 0}$ 就是一个 Borel 集，因此是可测集。
关键在于，对于任何函数 $f$，其局部振动函数 $O_f(x)$ 是一个 Borel 函数。
为什么 $O_f(x)$ 是 Borel 函数？
考虑定义 $M_f((a,b)) = sup_{x in (a,b)} f(x)$。
我们可以写出 $M_f((a,b)) = inf_{n in mathbb{N}} sup_{x in (a 1/n, b + 1/n)} f(x)$（这里需要小心边界处理，用闭区间可能更方便）。
更精确地说，$M_f((a,b)) = inf_{n in mathbb{N}} sup_{x in (a+1/n, b1/n)} f(x)$ 也不对。
一个关键的性质是：对于任意函数 $f$ 和任意实数 $a$，集合 ${x : f(x) > a}$ 是一个开集，当且仅当 $f$ 是上半连续的。 （这里似乎有些混淆，通常说的是 $f$ 是上半连续当且仅当对于所有 $a$， ${x: f(x) < a}$ 是开集）。
我们再回到连续性的定义：
$f$ 在 $x_0$ 处连续 $iff forall epsilon > 0, exists delta > 0$ s.t. $|f(x) f(x_0)| < epsilon$ for all $|x x_0| < delta$.
这等价于：$forall epsilon > 0, x_0 in ext{int}left( { x : |f(x) f(x_0)| < epsilon } ight)$，其中 $ ext{int}$ 表示开核。
换一种更实用的证明思路：
1. 考虑不连续点集 $D(f)$。 如果我们能证明 $D(f)$ 是一个闭集，那么它的补集（连续点集 $C(f)$）就是开集，自然可测。然而，$D(f)$ 不一定是闭集。
2. 考虑一个更一般的结构： 函数 $f$ 的不连续点集合 $D(f)$ 是一个 $F_sigma$ 集（可数个闭集的并集）的子集。而 $F_sigma$ 集是可测集。更准确地说，$D(f)$ 的补集 $C(f)$ 是一个$G_delta$ 集（可数个开集的交集）。$G_delta$ 集也是可测集。
为什么 $C(f)$ 是 $G_delta$ 集？
$C(f) = {x : O_f(x) = 0} = igcap_{n=1}^{infty} {x : O_f(x) < 1/n}$。
如果我们可以证明 ${x : O_f(x) < 1/n}$ 是开集，那么 $C(f)$ 就是可数个开集的交集，也就是一个 $G_delta$ 集。
那么，如何证明 ${x : O_f(x) < epsilon}$ 是开集呢？
$O_f(x) = lim_{delta o 0^+} (M_f((xdelta, x+delta)) m_f((xdelta, x+delta)))$.
我们知道，对于任何函数 $f$，集合 ${x : f(x) > a}$ 是开集当且仅当 $f$ 是上半连续的。
集合 ${x : f(x) < a}$ 是开集当且仅当 $f$ 是下半连续的。
一个关键的定理是：对于任意函数 $f$ 及其上的任意区间 $I$，函数 $M_f(I) = sup_{x in I} f(x)$ 和 $m_f(I) = inf_{x in I} f(x)$ 的取值方式使得它们可以被分解为可测集的组合。
具体来说，对于函数 $f$，定义：
$f$ 的“上局部振动”：$O^+_f(x) = lim_{delta o 0^+} M_f((xdelta, x+delta))$
$f$ 的“下局部振动”：$O^_f(x) = lim_{delta o 0^+} m_f((xdelta, x+delta))$
函数 $f$ 在 $x$ 处连续当且仅当 $O^+_f(x) = O^_f(x) = f(x)$。
我们知道，$O^+_f(x)$ 是上半连续函数，$O^_f(x)$ 是下半连续函数。
这意味着：
${x : O^+_f(x) < a}$ 是开集。
${x : O^_f(x) > a}$ 是开集。
那么，我们可以这样写：
$C(f) = {x : O^+_f(x) = f(x) ext{ and } O^_f(x) = f(x) }$
$C(f) = {x : O^+_f(x) le f(x) ext{ and } O^_f(x) ge f(x) }$ （因为总是 $O^+_f(x) ge f(x)$ 和 $O^_f(x) le f(x)$）
$C(f) = {x : O^+_f(x) le f(x) } cap {x : O^_f(x) ge f(x) }$
由于 $f$ 是一个函数，${x : f(x) < a}$ 和 ${x : f(x) > a}$ 是可测集。
但是这里的比较是 $O^+_f(x) le f(x)$ 和 $O^_f(x) ge f(x)$。
为了证明 $C(f)$ 是 $G_delta$ 集，我们采用如下分解：
$C(f) = igcap_{n=1}^{infty} {x : O_f(x) < 1/n }$
$O_f(x) = sup_{delta > 0} (M_f((xdelta, x+delta)) m_f((xdelta, x+delta)))$
我们可以写成：
$O_f(x) = inf_{k in mathbb{N}} sup_{0 < delta < 1/k} (M_f((xdelta, x+delta)) m_f((xdelta, x+delta)))$
令 $g_k(x) = sup_{0 < delta < 1/k} (M_f((xdelta, x+delta)) m_f((xdelta, x+delta)))$。
那么 $O_f(x) = lim_{k o infty} g_k(x)$。
如果我们可以证明 $g_k(x)$ 是连续函数（或至少是 Borel 函数），那么 $O_f(x)$ 就是这些函数的极限，它也是 Borel 函数。而 Borel 函数的水平集 ${x : g(x) < c}$ 必是 Borel 集。
证明 $g_k(x)$ 是 Borel 函数的关键：
对于任意 $x$ 和任意 $epsilon > 0$，考虑开区间 $I_delta = (xdelta, x+delta)$。
$M_f(I_delta) = sup_{y in I_delta} f(y)$。
对于一个固定的 $k$，我们需要考虑 $sup_{0 < delta < 1/k} M_f((xdelta, x+delta))$。
这个可以写成 $sup_{m in mathbb{N}, m ge k} M_f((x1/m, x+1/m))$。
一个更直接的证明是利用Baire 范畴定理和Borel 集合的构造。
函数 $f$ 的连续点集 $C(f)$ 可以被刻画为：
$C(f) = {x : f ext{ is continuous at } x}$
$C(f) = {x : forall epsilon > 0, exists delta > 0, (xdelta, x+delta) subseteq f^{1}( (f(x)epsilon, f(x)+epsilon) ) }$
令 $A_n = {x : ext{ for all } 0 < delta < 1/n, (xdelta, x+delta) subseteq f^{1}( (f(x)1/n, f(x)+1/n) ) }$.
这个集合 $A_n$ 是开集。证明如下：
如果 $x_0 in A_n$，那么存在 $delta_0 in (0, 1/n)$ 使得 $(x_0delta_0, x_0+delta_0) subseteq f^{1}( (f(x_0)1/n, f(x_0)+1/n) )$。
这意味着对于 $|x x_0| < delta_0$，有 $|f(x) f(x_0)| < 1/n$。
现在考虑一个稍微大一点的开区间，比如 $(x_0 delta_0/2, x_0 + delta_0/2)$。对于这个区间内的任何一点 $x'$, 我们需要找到一个更小的 $delta'$ 使得 $(x'delta', x'+delta') subseteq f^{1}( (f(x')1/n, f(x')+1/n) )$。
更简洁且流行的证明方法是利用“不动点”的思想和单调序列：
设 $C_n = {x mid forall delta > 0, exists y,z in (xdelta,x+delta) ext{ s.t. } |f(y)f(z)| < 1/n}$.
这个定义不对。
正确的思路是：
1. 对于任意函数 $f$，定义 $f$ 在 $x$ 点的上极限 $ overline{f}(x) = lim_{delta o 0^+} sup_{|yx|<delta} f(y) $ 和 下极限 $ underline{f}(x) = lim_{delta o 0^+} inf_{|yx|<delta} f(y) $。
2. 函数 $f$ 在 $x$ 点连续的充要条件是 $ overline{f}(x) = underline{f}(x) = f(x) $。
3. 关键定理： 对于任意函数 $f$，函数 $ overline{f}(x) $ 和 $ underline{f}(x) $ 都是 Borel 函数。
4. 一个函数是 Borel 函数当且仅当对于任意实数 $c$，集合 ${x : g(x) < c}$ 是 Borel 集。
5. 连续点集 $C(f) = {x : overline{f}(x) = underline{f}(x) } $。
$C(f) = {x : overline{f}(x) le underline{f}(x) } $ (因为总是 $overline{f}(x) ge underline{f}(x)$)。
$C(f) = {x : overline{f}(x) le underline{f}(x) ext{ and } overline{f}(x) underline{f}(x) < 1/n ext{ for all } n ge 1 }$.
$C(f) = igcap_{n=1}^{infty} {x : overline{f}(x) underline{f}(x) < 1/n }$.
现在，我们需要证明 ${x : overline{f}(x) underline{f}(x) < 1/n }$ 是 Borel 集（实际上是开集）。
令 $g(x) = overline{f}(x) underline{f}(x)$。这是一个 Borel 函数。
则 ${x : g(x) < 1/n }$ 就是 Borel 集。
那么，为什么 $ overline{f}(x) $ 和 $ underline{f}(x) $ 是 Borel 函数呢？
考虑 $ overline{f}(x) = lim_{k o infty} sup_{0 < delta < 1/k} f(x+delta) $。
令 $h_k(x) = sup_{0 < delta < 1/k} f(x+delta)$。
如果我们能证明 $h_k(x)$ 是 Borel 函数，那么它们的极限 $ overline{f}(x) $ 也是 Borel 函数。
$h_k(x) = sup_{m=k, k+1, dots} f(x+1/m)$。
$h_k(x) = sup { f(y) : y in (x1/k, x) } cup { f(y) : y in (x, x+1/k) } $。 （这里用的是上半部分，不是全区间）
实际上，$ overline{f}(x) = inf_{k in mathbb{N}} sup_{|yx|<1/k} f(y) $。
令 $s_k(x) = sup_{|yx|<1/k} f(y)$。
对于固定的 $k$， $s_k(x)$ 可以表示为 $ sup_{i in I_k} f(x_i) $ 的形式，这里的 $x_i$ 是区间 $(x1/k, x+1/k)$ 的一个稠密子集。
更具体的证明涉及以下事实：
对于任何函数 $f$， $ {x : f(x) > a } $ 是可测集。
函数 $s_k(x) = sup_{|yx|<1/k} f(y)$ 是一个 Borel 函数。
因为 $ overline{f}(x) = inf_k s_k(x) $，所以 $ overline{f}(x) $ 是 Borel 函数。
类似地，可以证明 $ underline{f}(x) $ 是 Borel 函数。
一旦我们证明了 $ overline{f}(x) $ 和 $ underline{f}(x) $ 是 Borel 函数，那么它们的差 $ overline{f}(x) underline{f}(x) $ 也是 Borel 函数。
因此，连续点集 $C(f) = {x : overline{f}(x) underline{f}(x) = 0 } = igcap_{n=1}^infty {x : |overline{f}(x) underline{f}(x)| < 1/n }$。
这是可数个开集的交集，即 $G_delta$ 集，因此是可测集。
总结一下关键链条：
1. 连续性的核心是局部稳定性。 函数在 $x_0$ 处连续，意味着在 $x_0$ 附近，函数值变化很小。
2. 局部稳定性可以用上确界和下确界来度量，即局部振动。 函数在 $x_0$ 处连续当且仅当其局部振动为零。
3. 函数的上极限和下极限是度量局部行为的工具。 函数在 $x_0$ 处连续当且仅当其上极限等于下极限等于函数值本身。
4. 上极限和下极限函数是 Borel 函数。 这是整个证明的核心。可以利用函数定义域的开集性质来构造。
5. Borel 函数的水平集（例如 ${x : g(x) < c}$）是 Borel 集。
6. 连续点集可以通过上极限和下极限的差集构造。 $C(f) = {x : overline{f}(x) underline{f}(x) = 0 }$。
7. 一个可数个开集的交集是一个 $G_delta$ 集，而所有 $G_delta$ 集都是可测集。 我们将 $C(f)$ 写成 ${x : overline{f}(x) underline{f}(x) < 1/n }$ 的可数交集，证明了它是 $G_delta$ 集，因此是可测集。
这个证明涉及到更深刻的测度论和实分析的理论，尤其是关于 Borel 集合的性质。但核心思想就是把连续性转化为一些更强的函数（上/下极限）的行为，然后证明这些函数的性质使得连续点集具有可测性。
首先，我们得明确几个关键的数学工具：
实数集 $mathbb{R}$ 的可测集： 我们生活在实数的世界里，而可测集是实数集中的“好”的子集，它们有体积（或者说“长度”），并且能够进行加减、交集、并集等运算，结果仍然是可测集。最简单的可测集包括开区间、闭区间、半开半闭区间以及它们的有限个或可数个并集和交集。事实上，我们通常会说一个集合是“勒贝格可测的”，这是一种更广泛的可测性概念，但对于我们讨论函数的连续点来说，理解可测集的基本性质就足够了。
函数的连续性： 一个函数 $f$ 在某一点 $x_0$ 处连续，意味着当自变量 $x$ “非常接近” $x_0$ 时，函数值 $f(x)$ 也“非常接近” $f(x_0)$。用数学语言来说就是：对于任意的 $epsilon > 0$，都存在一个 $delta > 0$，使得当 $|x x_0| < delta$ 时，就有 $|f(x) f(x_0)| < epsilon$。
函数的不连续点： 相反，如果函数在某一点 $x_0$ 处不是连续的，那么它就是不连续的。不连续性的表现有很多种，比如函数值跳跃了，或者函数值根本不存在等等。
现在，我们来聚焦核心问题：为什么那些让函数连续的点，合在一起会形成一个“可测”的集合？
要证明这一点，我们通常采用一种“反证法”或者“构造法”的思路。一种常用的方法是考虑函数的不连续点集。如果我们能证明不连续点集是可测集（或者说至少是“不太坏”的集合），那么它的补集——也就是连续点集——自然也就可测了。因为我们知道，可测集的补集仍然是可测集。
让我们来思考一下，函数 $f$ 在点 $x_0$ 处不连续意味着什么？根据连续性的定义，不连续就是“总能找到一个 $epsilon_0 > 0$，使得对于任意的 $delta > 0$，都存在一个 $x$ 使得 $|x x_0| < delta$ 但 $|f(x) f(x_0)| ge epsilon_0$”。
这听起来有点绕。为了更直观地理解不连续性，我们可以换一个角度。考虑对于一个固定的 $epsilon > 0$，我们把所有满足 $|f(x) f(x_0)| ge epsilon$ 的点 $x$ 集合起来，记作 $S_epsilon(x_0) = {x in mathbb{R} : |f(x) f(x_0)| ge epsilon }$。
如果函数 $f$ 在 $x_0$ 处是连续的，那么对于任意的 $epsilon > 0$，都存在一个 $delta > 0$，使得在 $(x_0 delta, x_0 + delta)$ 这个开区间内的所有 $x$ 都满足 $|f(x) f(x_0)| < epsilon$。换句话说，对于连续点 $x_0$，存在一个包含 $x_0$ 的开区间，在这个区间内，$f(x)$ 的值都非常接近 $f(x_0)$。
那么，函数在 $x_0$ 处不连续，就意味着对于任意的开区间 $(x_0 delta, x_0 + delta)$，总有一些点 $x$ 在里面，但 $|f(x) f(x_0)|$ 却比某个固定的 $epsilon_0$ 要大。
现在，我们引入一个强大的工具：函数的上确界（supremum）和下确界（infimum）。对于一个函数 $f$ 和一个区间 $I$，我们可以定义：
$M_f(I) = sup {f(x) : x in I}$ (函数在区间 $I$ 上的上确界)
$m_f(I) = inf {f(x) : x in I}$ (函数在区间 $I$ 上的下确界)
如果函数 $f$ 在点 $x_0$ 处连续，那么对于任意的 $epsilon > 0$，存在一个 $delta > 0$，使得对于所有 $|x x_0| < delta$，都有 $|f(x) f(x_0)| < epsilon$。这意味着在开区间 $U_delta(x_0) = (x_0 delta, x_0 + delta)$ 上，$f(x)$ 的值被限制在一个很小的范围内，大约就是 $f(x_0)$ 的附近。
更关键的是，我们可以考虑一个点 $x_0$ 的局部振动（oscillation）。对于任意的 $delta > 0$，我们定义函数在点 $x_0$ 处的局部振动为：
$O_f(x_0) = lim_{delta o 0^+} (M_f((x_0delta, x_0+delta)) m_f((x_0delta, x_0+delta)))$
如果这个极限存在，那么函数在 $x_0$ 处的局部振动就是这个极限值。
一个非常重要的结论是：函数 $f$ 在点 $x_0$ 处连续，当且仅当它的局部振动 $O_f(x_0) = 0$。
为什么是这样？
如果 $O_f(x_0) = 0$，意味着对于任意 $epsilon > 0$，存在一个 $delta > 0$ 使得在 $(x_0delta, x_0+delta)$ 上，$M_f m_f < epsilon$。因为 $m_f le f(x) le M_f$ 对于所有的 $x$ 都成立，所以在这个区间内，$f(x)$ 的值与 $f(x_0)$ （无论 $f(x_0)$ 是上确界还是下确界的一部分）之间的差都小于 $epsilon$。具体来说，对于任意 $x in (x_0delta, x_0+delta)$，我们有 $m_f le f(x) le M_f$ 和 $m_f le f(x_0) le M_f$。因此 $|f(x) f(x_0)| le M_f m_f < epsilon$。这就证明了连续性。
反过来，如果 $f$ 在 $x_0$ 处连续，那么对于任意 $epsilon > 0$，存在 $delta > 0$ 使得在 $(x_0delta, x_0+delta)$ 上，$|f(x) f(x_0)| < epsilon$。这意味着 $f(x_0) epsilon < f(x) < f(x_0) + epsilon$。因此，在这个区间上，$m_f ge f(x_0) epsilon$ 且 $M_f le f(x_0) + epsilon$。所以，$M_f m_f le (f(x_0) + epsilon) (f(x_0) epsilon) = 2epsilon$。因为这对于任意 $epsilon > 0$ 都成立，所以当 $delta o 0^+$ 时，$M_f m_f o 0$，即 $O_f(x_0) = 0$。
现在，我们把连续点集记作 $C(f) = {x in mathbb{R} : O_f(x) = 0}$。
我们想证明 $C(f)$ 是一个可测集。
思考一下不连续点集 $D(f) = {x in mathbb{R} : O_f(x) > 0}$。
一个关键的定理是：如果一个函数 $f$ 在实数集上是连续的，那么它的局部振动函数 $O_f(x)$ 也是一个函数，并且它满足一定的性质。
更具体的思路是利用可测集的定义或者一些已知性质。
方法一：利用开集和闭集的性质
我们知道，可测集可以由开集、闭集通过有限或可数次的并集、交集、差集运算得到。
考虑一个固定的 $epsilon > 0$。我们定义集合 $A_epsilon = {x in mathbb{R} : O_f(x) < epsilon}$。如果我们可以证明对于每一个 $epsilon > 0$，$A_epsilon$ 都是一个开集，那么我们就可以进行下一步了。
函数的局部振动 $O_f(x)$ 可以被看作是某个函数（比如 $f$ 的上确界和下确界的差）的“点态极限”。直接证明 $O_f(x)$ 的某个水平集（如 $A_epsilon$）是开集可能不那么直接。
方法二：利用预象集（Preimage Set）的性质
对于一个函数 $g: mathbb{R} o mathbb{R}$，如果对于某个实数 $c$，集合 ${x in mathbb{R} : g(x) < c}$ 是一个开集，那么我们就说 $g$ 是一个上半连续函数。如果 ${x in mathbb{R} : g(x) > c}$ 是一个开集，则 $g$ 是下半连续函数。
一个非常重要的事实是：一个函数是连续的当且仅当它既是上半连续又是下半连续的。
我们来看一下函数的局部振动 $O_f(x)$。我们可以利用 $O_f(x) = sup_{delta>0} (M_f((xdelta, x+delta)) m_f((xdelta, x+delta)))$ 的形式来分析。这个形式的函数（上确界和下确界等操作）与可测性密切相关。
更普遍的定理是：对于任何函数 $f$，集合 ${x : f(x) > a}$ 和 ${x : f(x) < a}$ 对于任意实数 $a$ 都可以表示为一些基本开集的组合，因此是可测集。 （这通常是证明初等函数连续点可测性的基础）
让我们回到局部振动。我们可以写出：
$O_f(x) = lim_{delta o 0^+} sup_{y,z in (xdelta, x+delta), |yx|<delta, |zx|<delta} |f(y) f(z)|$
这是一个相对复杂的形式。一个更简洁的切入点是：函数的连续点集是所有使得函数值“稳定”的点集合。
考虑以下构造：
令 $f$ 为定义在 $mathbb{R}$ 上的函数。
$f$ 在点 $x_0$ 处连续 $iff$ 对任意 $epsilon > 0$，存在 $delta > 0$ 使得 $|x x_0| < delta implies |f(x) f(x_0)| < epsilon$。
这可以写成：
$f$ 在点 $x_0$ 处连续 $iff forall epsilon > 0, exists delta > 0$ 使得 $x_0 in {x : |f(x) f(x_0)| < epsilon} cap (x_0delta, x_0+delta)$。
不对，这个表达方式不对。正确的表达应该是：
$f$ 在点 $x_0$ 处连续 $iff forall epsilon > 0, exists delta > 0$ 使得 $(x_0delta, x_0+delta) subseteq {x : |f(x) f(x_0)| < epsilon}$。
这告诉我们，连续点 $x_0$ 是这样的点，它在某个开区间内，而且在这个开区间内的所有点 $x$ 都满足 $|f(x) f(x_0)| < epsilon$。
让我们换个角度，考虑不连续点集 $D(f)$。
$x_0 in D(f) iff exists epsilon_0 > 0, forall delta > 0, exists x in (x_0delta, x_0+delta)$ 使得 $|f(x) f(x_0)| ge epsilon_0$。
现在，我们可以尝试构建一些可测集来“捕捉”不连续点。
对于任意 $epsilon > 0$，考虑集合 $E_epsilon = {x in mathbb{R} : sup_{y in (xdelta, x+delta)} |f(y) f(x)| ge epsilon ext{ for some } delta > 0}$。
这个集合的定义有点问题，因为 $f(x)$ 是固定的，而 $epsilon$ 是变化的。
正确的思路是利用Borel 集的性质。实数集上的 Borel 集是最小的包含所有开集的 $sigma$代数。可测集（勒贝格可测集）比 Borel 集要大一些，但所有 Borel 集都是可测集。
一个核心的定理是：函数的连续点集是 Borel 集。
我们知道，对于任何函数 $f$，集合 ${x : f(x) > a}$ 是一个可测集（对于连续函数来说，这个集合是开集）。
让我们回到局部振动 $O_f(x)$。
$O_f(x) = lim_{delta o 0^+} (M_f((xdelta, x+delta)) m_f((xdelta, x+delta)))$
其中 $M_f((a,b)) = sup_{x in (a,b)} f(x)$， $m_f((a,b)) = inf_{x in (a,b)} f(x)$。
考虑函数 $g(x) = sup_{delta > 0} (M_f((xdelta, x+delta)) m_f((xdelta, x+delta)))$。
那么，函数 $f$ 的连续点集就是 ${x : g(x) = 0}$。
如果我们能证明 $g(x)$ 本身是一个 Borel 函数（即所有 ${x : g(x) < c}$ 是 Borel 集），那么 ${x : g(x) = 0}$ 就是一个 Borel 集，因此是可测集。
关键在于，对于任何函数 $f$，其局部振动函数 $O_f(x)$ 是一个 Borel 函数。
为什么 $O_f(x)$ 是 Borel 函数？
考虑定义 $M_f((a,b)) = sup_{x in (a,b)} f(x)$。
我们可以写出 $M_f((a,b)) = inf_{n in mathbb{N}} sup_{x in (a 1/n, b + 1/n)} f(x)$（这里需要小心边界处理，用闭区间可能更方便）。
更精确地说，$M_f((a,b)) = inf_{n in mathbb{N}} sup_{x in (a+1/n, b1/n)} f(x)$ 也不对。
一个关键的性质是：对于任意函数 $f$ 和任意实数 $a$，集合 ${x : f(x) > a}$ 是一个开集，当且仅当 $f$ 是上半连续的。 （这里似乎有些混淆，通常说的是 $f$ 是上半连续当且仅当对于所有 $a$， ${x: f(x) < a}$ 是开集）。
我们再回到连续性的定义：
$f$ 在 $x_0$ 处连续 $iff forall epsilon > 0, exists delta > 0$ s.t. $|f(x) f(x_0)| < epsilon$ for all $|x x_0| < delta$.
这等价于：$forall epsilon > 0, x_0 in ext{int}left( { x : |f(x) f(x_0)| < epsilon } ight)$，其中 $ ext{int}$ 表示开核。
换一种更实用的证明思路：
1. 考虑不连续点集 $D(f)$。 如果我们能证明 $D(f)$ 是一个闭集，那么它的补集（连续点集 $C(f)$）就是开集，自然可测。然而，$D(f)$ 不一定是闭集。
2. 考虑一个更一般的结构： 函数 $f$ 的不连续点集合 $D(f)$ 是一个 $F_sigma$ 集（可数个闭集的并集）的子集。而 $F_sigma$ 集是可测集。更准确地说，$D(f)$ 的补集 $C(f)$ 是一个$G_delta$ 集（可数个开集的交集）。$G_delta$ 集也是可测集。
为什么 $C(f)$ 是 $G_delta$ 集？
$C(f) = {x : O_f(x) = 0} = igcap_{n=1}^{infty} {x : O_f(x) < 1/n}$。
如果我们可以证明 ${x : O_f(x) < 1/n}$ 是开集，那么 $C(f)$ 就是可数个开集的交集，也就是一个 $G_delta$ 集。
那么，如何证明 ${x : O_f(x) < epsilon}$ 是开集呢？
$O_f(x) = lim_{delta o 0^+} (M_f((xdelta, x+delta)) m_f((xdelta, x+delta)))$.
我们知道，对于任何函数 $f$，集合 ${x : f(x) > a}$ 是开集当且仅当 $f$ 是上半连续的。
集合 ${x : f(x) < a}$ 是开集当且仅当 $f$ 是下半连续的。
一个关键的定理是：对于任意函数 $f$ 及其上的任意区间 $I$，函数 $M_f(I) = sup_{x in I} f(x)$ 和 $m_f(I) = inf_{x in I} f(x)$ 的取值方式使得它们可以被分解为可测集的组合。
具体来说，对于函数 $f$，定义：
$f$ 的“上局部振动”：$O^+_f(x) = lim_{delta o 0^+} M_f((xdelta, x+delta))$
$f$ 的“下局部振动”：$O^_f(x) = lim_{delta o 0^+} m_f((xdelta, x+delta))$
函数 $f$ 在 $x$ 处连续当且仅当 $O^+_f(x) = O^_f(x) = f(x)$。
我们知道，$O^+_f(x)$ 是上半连续函数，$O^_f(x)$ 是下半连续函数。
这意味着：
${x : O^+_f(x) < a}$ 是开集。
${x : O^_f(x) > a}$ 是开集。
那么，我们可以这样写：
$C(f) = {x : O^+_f(x) = f(x) ext{ and } O^_f(x) = f(x) }$
$C(f) = {x : O^+_f(x) le f(x) ext{ and } O^_f(x) ge f(x) }$ （因为总是 $O^+_f(x) ge f(x)$ 和 $O^_f(x) le f(x)$）
$C(f) = {x : O^+_f(x) le f(x) } cap {x : O^_f(x) ge f(x) }$
由于 $f$ 是一个函数，${x : f(x) < a}$ 和 ${x : f(x) > a}$ 是可测集。
但是这里的比较是 $O^+_f(x) le f(x)$ 和 $O^_f(x) ge f(x)$。
为了证明 $C(f)$ 是 $G_delta$ 集，我们采用如下分解：
$C(f) = igcap_{n=1}^{infty} {x : O_f(x) < 1/n }$
$O_f(x) = sup_{delta > 0} (M_f((xdelta, x+delta)) m_f((xdelta, x+delta)))$
我们可以写成：
$O_f(x) = inf_{k in mathbb{N}} sup_{0 < delta < 1/k} (M_f((xdelta, x+delta)) m_f((xdelta, x+delta)))$
令 $g_k(x) = sup_{0 < delta < 1/k} (M_f((xdelta, x+delta)) m_f((xdelta, x+delta)))$。
那么 $O_f(x) = lim_{k o infty} g_k(x)$。
如果我们可以证明 $g_k(x)$ 是连续函数（或至少是 Borel 函数），那么 $O_f(x)$ 就是这些函数的极限，它也是 Borel 函数。而 Borel 函数的水平集 ${x : g(x) < c}$ 必是 Borel 集。
证明 $g_k(x)$ 是 Borel 函数的关键：
对于任意 $x$ 和任意 $epsilon > 0$，考虑开区间 $I_delta = (xdelta, x+delta)$。
$M_f(I_delta) = sup_{y in I_delta} f(y)$。
对于一个固定的 $k$，我们需要考虑 $sup_{0 < delta < 1/k} M_f((xdelta, x+delta))$。
这个可以写成 $sup_{m in mathbb{N}, m ge k} M_f((x1/m, x+1/m))$。
一个更直接的证明是利用Baire 范畴定理和Borel 集合的构造。
函数 $f$ 的连续点集 $C(f)$ 可以被刻画为：
$C(f) = {x : f ext{ is continuous at } x}$
$C(f) = {x : forall epsilon > 0, exists delta > 0, (xdelta, x+delta) subseteq f^{1}( (f(x)epsilon, f(x)+epsilon) ) }$
令 $A_n = {x : ext{ for all } 0 < delta < 1/n, (xdelta, x+delta) subseteq f^{1}( (f(x)1/n, f(x)+1/n) ) }$.
这个集合 $A_n$ 是开集。证明如下：
如果 $x_0 in A_n$，那么存在 $delta_0 in (0, 1/n)$ 使得 $(x_0delta_0, x_0+delta_0) subseteq f^{1}( (f(x_0)1/n, f(x_0)+1/n) )$。
这意味着对于 $|x x_0| < delta_0$，有 $|f(x) f(x_0)| < 1/n$。
现在考虑一个稍微大一点的开区间，比如 $(x_0 delta_0/2, x_0 + delta_0/2)$。对于这个区间内的任何一点 $x'$, 我们需要找到一个更小的 $delta'$ 使得 $(x'delta', x'+delta') subseteq f^{1}( (f(x')1/n, f(x')+1/n) )$。
更简洁且流行的证明方法是利用“不动点”的思想和单调序列：
设 $C_n = {x mid forall delta > 0, exists y,z in (xdelta,x+delta) ext{ s.t. } |f(y)f(z)| < 1/n}$.
这个定义不对。
正确的思路是：
1. 对于任意函数 $f$，定义 $f$ 在 $x$ 点的上极限 $ overline{f}(x) = lim_{delta o 0^+} sup_{|yx|<delta} f(y) $ 和 下极限 $ underline{f}(x) = lim_{delta o 0^+} inf_{|yx|<delta} f(y) $。
2. 函数 $f$ 在 $x$ 点连续的充要条件是 $ overline{f}(x) = underline{f}(x) = f(x) $。
3. 关键定理： 对于任意函数 $f$，函数 $ overline{f}(x) $ 和 $ underline{f}(x) $ 都是 Borel 函数。
4. 一个函数是 Borel 函数当且仅当对于任意实数 $c$，集合 ${x : g(x) < c}$ 是 Borel 集。
5. 连续点集 $C(f) = {x : overline{f}(x) = underline{f}(x) } $。
$C(f) = {x : overline{f}(x) le underline{f}(x) } $ (因为总是 $overline{f}(x) ge underline{f}(x)$)。
$C(f) = {x : overline{f}(x) le underline{f}(x) ext{ and } overline{f}(x) underline{f}(x) < 1/n ext{ for all } n ge 1 }$.
$C(f) = igcap_{n=1}^{infty} {x : overline{f}(x) underline{f}(x) < 1/n }$.
现在，我们需要证明 ${x : overline{f}(x) underline{f}(x) < 1/n }$ 是 Borel 集（实际上是开集）。
令 $g(x) = overline{f}(x) underline{f}(x)$。这是一个 Borel 函数。
则 ${x : g(x) < 1/n }$ 就是 Borel 集。
那么，为什么 $ overline{f}(x) $ 和 $ underline{f}(x) $ 是 Borel 函数呢？
考虑 $ overline{f}(x) = lim_{k o infty} sup_{0 < delta < 1/k} f(x+delta) $。
令 $h_k(x) = sup_{0 < delta < 1/k} f(x+delta)$。
如果我们能证明 $h_k(x)$ 是 Borel 函数，那么它们的极限 $ overline{f}(x) $ 也是 Borel 函数。
$h_k(x) = sup_{m=k, k+1, dots} f(x+1/m)$。
$h_k(x) = sup { f(y) : y in (x1/k, x) } cup { f(y) : y in (x, x+1/k) } $。 （这里用的是上半部分，不是全区间）
实际上，$ overline{f}(x) = inf_{k in mathbb{N}} sup_{|yx|<1/k} f(y) $。
令 $s_k(x) = sup_{|yx|<1/k} f(y)$。
对于固定的 $k$， $s_k(x)$ 可以表示为 $ sup_{i in I_k} f(x_i) $ 的形式，这里的 $x_i$ 是区间 $(x1/k, x+1/k)$ 的一个稠密子集。
更具体的证明涉及以下事实：
对于任何函数 $f$， $ {x : f(x) > a } $ 是可测集。
函数 $s_k(x) = sup_{|yx|<1/k} f(y)$ 是一个 Borel 函数。
因为 $ overline{f}(x) = inf_k s_k(x) $，所以 $ overline{f}(x) $ 是 Borel 函数。
类似地，可以证明 $ underline{f}(x) $ 是 Borel 函数。
一旦我们证明了 $ overline{f}(x) $ 和 $ underline{f}(x) $ 是 Borel 函数，那么它们的差 $ overline{f}(x) underline{f}(x) $ 也是 Borel 函数。
因此，连续点集 $C(f) = {x : overline{f}(x) underline{f}(x) = 0 } = igcap_{n=1}^infty {x : |overline{f}(x) underline{f}(x)| < 1/n }$。
这是可数个开集的交集，即 $G_delta$ 集，因此是可测集。
总结一下关键链条：
1. 连续性的核心是局部稳定性。 函数在 $x_0$ 处连续，意味着在 $x_0$ 附近，函数值变化很小。
2. 局部稳定性可以用上确界和下确界来度量，即局部振动。 函数在 $x_0$ 处连续当且仅当其局部振动为零。
3. 函数的上极限和下极限是度量局部行为的工具。 函数在 $x_0$ 处连续当且仅当其上极限等于下极限等于函数值本身。
4. 上极限和下极限函数是 Borel 函数。 这是整个证明的核心。可以利用函数定义域的开集性质来构造。
5. Borel 函数的水平集（例如 ${x : g(x) < c}$）是 Borel 集。
6. 连续点集可以通过上极限和下极限的差集构造。 $C(f) = {x : overline{f}(x) underline{f}(x) = 0 }$。
7. 一个可数个开集的交集是一个 $G_delta$ 集，而所有 $G_delta$ 集都是可测集。 我们将 $C(f)$ 写成 ${x : overline{f}(x) underline{f}(x) < 1/n }$ 的可数交集，证明了它是 $G_delta$ 集，因此是可测集。
这个证明涉及到更深刻的测度论和实分析的理论，尤其是关于 Borel 集合的性质。但核心思想就是把连续性转化为一些更强的函数（上/下极限）的行为，然后证明这些函数的性质使得连续点集具有可测性。
网友意见
评论已经说了连续点的集合是 ,由 集天然为勒贝格可测集即可得出结论，那我稍稍说一下的证明思路吧
构造 ，可以注意到
为开集（随便取一点 的开球，其中任意点均为内点即可证明）
而连续点的集合即为 ,即得证。
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微积分中的隐函数定理，乍一听名字有些神秘，仿佛是隐藏在数学王国深处的一块珍贵宝石。然而，它的重要性绝不仅仅在于它名字的“隐秘”，而在于它为我们打开了认识世界、理解事物之间复杂联系的一扇至关重要的窗户。咱们抛开那些晦涩的数学符号，用更贴近生活的方式来聊聊，为什么这个定理这么厉害，以及它在微积分的体系里.............
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