极限为0的函数为什么要单独命名为无穷小？有哪里特殊了？
要理解为什么“极限为零的函数”要单独命名为“无穷小”，我们需要深入探讨数学中的概念演变以及它在分析学中的特殊地位。这并非一个凭空出现的术语，而是源于早期数学家们对无穷大和无穷小现象的直观感知和 rigorous 的处理过程。
从直观到严谨：无穷小的历史足迹
在微积分诞生之初，数学家们面对的核心问题是如何处理“变化”和“无限分割”。想象一下，我们想计算曲线下的面积，或者瞬时速度。这些问题都涉及到将一个量分割成无数个无穷小的部分，然后将它们累加起来。
早期的数学家们（比如牛顿和莱布尼茨）对无穷小的理解带有一定的直观色彩。他们认为无穷小是一个“无限小但又非零”的量，是一种“正在趋近于零”的状态。他们使用这类“小得不得了”的量来进行计算，虽然在很多情况下能得到正确的结果，但这种“非零”和“趋近于零”的模糊性，使得当时的数学基础不够扎实，容易被质疑。例如，他们会说“当 $Delta x$ 趋近于零时，$frac{Delta y}{Delta x}$ 的极限就是导数”。这里的 $Delta x$ 就是一个直观意义上的无穷小。
这种直观的无穷小概念，虽然在实际计算中有效，但在逻辑上存在一些问题。比如，如果 $Delta x$ 是非零的，那么 $frac{Delta y}{Delta x}$ 是有意义的，但当它趋近于零时，我们又说它是零，这似乎有点矛盾。
为何需要一个独立的名字：“无穷小”的特殊性
正是为了解决这种逻辑上的不严谨，以及更好地描述和分析函数行为的细微之处，数学家们才引入了“无穷小”这个专门的术语，并且赋予它一个严谨的定义。
这里“特殊”体现在以下几个方面：
1. 它描述的是一种“趋近”的行为，而不是一个固定的数值。
一个固定的数值如果等于零，那它就是零，没有什么特别的。但一个函数，它的值可以随着自变量的变化而变化，当自变量趋向某个值时，函数的值也趋向于零。这种“趋近于零”的过程和潜力，是它特殊的本质。
例如，函数 $f(x) = x^2$ 当 $x o 0$ 时，其值也趋向于 0。我们说 $x^2$ 是当 $x o 0$ 的一个无穷小。但如果问 $f(x) = 0$ 这个函数呢？它的值始终是零，它不是“趋近于零”，它就是零。虽然它的极限也是零，但数学上我们更关注的是那个动态地趋向于零的过程。
2. 它是微积分和实分析的基石之一。
无穷小是定义极限、连续性、导数和积分等微积分核心概念的关键。没有无穷小的概念，我们无法 rigorously 地构建微积分的理论体系。
极限定义： 现代的 $epsilonN$ 或 $epsilondelta$ 定义，正是用无穷小的概念来刻画的。当自变量 $x$ 趋向于 $a$ 时（即 $xa$ 是一个趋于零的量，或者说 $|xa|$ 小于任意小的正数），函数 $f(x)$ 的值趋向于 $L$（即 $|f(x)L|$ 小于任意小的正数）。这里的“任意小的正数”就是无穷小的体现。
导数： 导数定义为 $lim_{Delta x o 0} frac{Delta y}{Delta x}$。这里的 $Delta x$ 和 $Delta y$ 都是当自变量变化量趋于零时的函数值变化量。它们都是无穷小。导数本身就是在无穷小量之间的“比率”的极限。
连续性： 函数 $f(x)$ 在点 $a$ 处连续，意味着当 $x o a$ 时，$f(x) o f(a)$。这又回到了极限和无穷小的概念。
3. 它能帮助我们比较“趋近零”的速度。
这可能是无穷小最令人着迷的“特殊性”之一。在微积分中，我们经常会遇到多个函数都趋近于零的情况。比如，$x^2$ 和 $x$ 都当 $x o 0$ 时趋向于零。但是，$x^2$ 比 $x$ 趋近零的速度要快得多。
我们可以说，$x^2$ 是比 $x$ 更高阶的无穷小。这种“阶数”的比较，使得我们可以精细地分析函数的行为，例如泰勒展开式中，低阶无穷小的项在趋近零时起主导作用。
例如，考虑函数 $f(x) = sin(x)$ 和 $g(x) = x$ 当 $x o 0$ 时。我们知道 $lim_{x o 0} frac{sin(x)}{x} = 1$。这意味着，当 $x$ 非常接近零时，$sin(x)$ 的值约等于 $x$。我们可以说 $sin(x)$ 是一个与 $x$ 同阶的无穷小。
再考虑 $h(x) = x^2$。当 $x o 0$ 时，$lim_{x o 0} frac{x^2}{x} = 0$。这意味着，对于足够小的 $x$， $x^2$ 比 $x$ 小得多，趋近零的速度更快。我们可以说 $x^2$ 是比 $x$ 高阶的无穷小（二阶无穷小）。
通过引入“无穷小”这个概念，并区分它们的阶数，我们可以更深入地理解函数在局部（尤其是在零点附近）的行为，这对于近似计算、误差分析、渐近分析等都至关重要。
4. 它在数学分析中有着特殊的性质。
在实数域中，无穷小的集合构成了实数系中的一个特殊“子集”或“类”。这些无穷小函数，当它们在某个点的极限是零时，它们具有一些良好的代数性质：
两个无穷小的和仍然是无穷小。
一个无穷小和一个有界函数的乘积仍然是无穷小。
两个无穷小的乘积仍然是无穷小。
这些性质使得我们可以对这些“趋近于零”的量进行加减乘除的运算，并能控制结果的“无穷小”性质，从而进行严谨的数学推导。
总结：“无穷小”的价值在于其精确性与描述力
所以，给“极限为零的函数”一个单独的名字“无穷小”，并非多此一举，而是为了：
精确定义那些“趋向于零”的动态过程，区别于仅仅“等于零”的固定值。
奠定微积分和实分析的严谨基础，使得极限、导数、积分等概念有了坚实的逻辑支撑。
提供一种强大的工具来比较函数行为的精细之处，特别是它们趋近零的速度，这在理论和应用中都极其重要。
揭示这类函数在数学运算中的特殊规律和性质。
理解“无穷小”不仅仅是记住一个定义，更是理解微积分发展的脉络和数学家们如何将直观的概念转化为严谨的科学体系的努力。它是一个描述函数在特定点附近“消失”或“衰减”的特有方式的术语，其特殊性体现在它对数学分析的深刻贡献和在描述函数行为时的强大能力上。
从直观到严谨：无穷小的历史足迹
在微积分诞生之初，数学家们面对的核心问题是如何处理“变化”和“无限分割”。想象一下，我们想计算曲线下的面积，或者瞬时速度。这些问题都涉及到将一个量分割成无数个无穷小的部分，然后将它们累加起来。
早期的数学家们（比如牛顿和莱布尼茨）对无穷小的理解带有一定的直观色彩。他们认为无穷小是一个“无限小但又非零”的量，是一种“正在趋近于零”的状态。他们使用这类“小得不得了”的量来进行计算，虽然在很多情况下能得到正确的结果，但这种“非零”和“趋近于零”的模糊性，使得当时的数学基础不够扎实，容易被质疑。例如，他们会说“当 $Delta x$ 趋近于零时，$frac{Delta y}{Delta x}$ 的极限就是导数”。这里的 $Delta x$ 就是一个直观意义上的无穷小。
这种直观的无穷小概念，虽然在实际计算中有效，但在逻辑上存在一些问题。比如，如果 $Delta x$ 是非零的，那么 $frac{Delta y}{Delta x}$ 是有意义的，但当它趋近于零时，我们又说它是零，这似乎有点矛盾。
为何需要一个独立的名字：“无穷小”的特殊性
正是为了解决这种逻辑上的不严谨，以及更好地描述和分析函数行为的细微之处，数学家们才引入了“无穷小”这个专门的术语，并且赋予它一个严谨的定义。
这里“特殊”体现在以下几个方面：
1. 它描述的是一种“趋近”的行为，而不是一个固定的数值。
一个固定的数值如果等于零，那它就是零，没有什么特别的。但一个函数，它的值可以随着自变量的变化而变化，当自变量趋向某个值时，函数的值也趋向于零。这种“趋近于零”的过程和潜力，是它特殊的本质。
例如，函数 $f(x) = x^2$ 当 $x o 0$ 时，其值也趋向于 0。我们说 $x^2$ 是当 $x o 0$ 的一个无穷小。但如果问 $f(x) = 0$ 这个函数呢？它的值始终是零，它不是“趋近于零”，它就是零。虽然它的极限也是零，但数学上我们更关注的是那个动态地趋向于零的过程。
2. 它是微积分和实分析的基石之一。
无穷小是定义极限、连续性、导数和积分等微积分核心概念的关键。没有无穷小的概念，我们无法 rigorously 地构建微积分的理论体系。
极限定义： 现代的 $epsilonN$ 或 $epsilondelta$ 定义，正是用无穷小的概念来刻画的。当自变量 $x$ 趋向于 $a$ 时（即 $xa$ 是一个趋于零的量，或者说 $|xa|$ 小于任意小的正数），函数 $f(x)$ 的值趋向于 $L$（即 $|f(x)L|$ 小于任意小的正数）。这里的“任意小的正数”就是无穷小的体现。
导数： 导数定义为 $lim_{Delta x o 0} frac{Delta y}{Delta x}$。这里的 $Delta x$ 和 $Delta y$ 都是当自变量变化量趋于零时的函数值变化量。它们都是无穷小。导数本身就是在无穷小量之间的“比率”的极限。
连续性： 函数 $f(x)$ 在点 $a$ 处连续，意味着当 $x o a$ 时，$f(x) o f(a)$。这又回到了极限和无穷小的概念。
3. 它能帮助我们比较“趋近零”的速度。
这可能是无穷小最令人着迷的“特殊性”之一。在微积分中，我们经常会遇到多个函数都趋近于零的情况。比如，$x^2$ 和 $x$ 都当 $x o 0$ 时趋向于零。但是，$x^2$ 比 $x$ 趋近零的速度要快得多。
我们可以说，$x^2$ 是比 $x$ 更高阶的无穷小。这种“阶数”的比较，使得我们可以精细地分析函数的行为，例如泰勒展开式中，低阶无穷小的项在趋近零时起主导作用。
例如，考虑函数 $f(x) = sin(x)$ 和 $g(x) = x$ 当 $x o 0$ 时。我们知道 $lim_{x o 0} frac{sin(x)}{x} = 1$。这意味着，当 $x$ 非常接近零时，$sin(x)$ 的值约等于 $x$。我们可以说 $sin(x)$ 是一个与 $x$ 同阶的无穷小。
再考虑 $h(x) = x^2$。当 $x o 0$ 时，$lim_{x o 0} frac{x^2}{x} = 0$。这意味着，对于足够小的 $x$， $x^2$ 比 $x$ 小得多，趋近零的速度更快。我们可以说 $x^2$ 是比 $x$ 高阶的无穷小（二阶无穷小）。
通过引入“无穷小”这个概念，并区分它们的阶数，我们可以更深入地理解函数在局部（尤其是在零点附近）的行为，这对于近似计算、误差分析、渐近分析等都至关重要。
4. 它在数学分析中有着特殊的性质。
在实数域中，无穷小的集合构成了实数系中的一个特殊“子集”或“类”。这些无穷小函数，当它们在某个点的极限是零时，它们具有一些良好的代数性质：
两个无穷小的和仍然是无穷小。
一个无穷小和一个有界函数的乘积仍然是无穷小。
两个无穷小的乘积仍然是无穷小。
这些性质使得我们可以对这些“趋近于零”的量进行加减乘除的运算，并能控制结果的“无穷小”性质，从而进行严谨的数学推导。
总结：“无穷小”的价值在于其精确性与描述力
所以，给“极限为零的函数”一个单独的名字“无穷小”，并非多此一举，而是为了：
精确定义那些“趋向于零”的动态过程，区别于仅仅“等于零”的固定值。
奠定微积分和实分析的严谨基础，使得极限、导数、积分等概念有了坚实的逻辑支撑。
提供一种强大的工具来比较函数行为的精细之处，特别是它们趋近零的速度，这在理论和应用中都极其重要。
揭示这类函数在数学运算中的特殊规律和性质。
理解“无穷小”不仅仅是记住一个定义，更是理解微积分发展的脉络和数学家们如何将直观的概念转化为严谨的科学体系的努力。它是一个描述函数在特定点附近“消失”或“衰减”的特有方式的术语，其特殊性体现在它对数学分析的深刻贡献和在描述函数行为时的强大能力上。
网友意见
谢邀，你这个问题问的十分好，给你鼓掌！
有人觉得“比一切都小但不是 还不够特殊？”翻译过来就是：无限接近但又无法到达 。其实这根本就不是无穷小的特殊性，而是极限的一般性。举个十分明显的例子：函数 ，挖掉点 ，即约定 没有定义。即使如此，依然 ，即 无限接近但又无法到达 。以 为极限，就是无限接近但又无法到达 。这是极限的一般性。
那么，无穷小的特殊性究竟在哪？
数学发展史上，先出现无穷小的概念，后出现极限的概念。
早在 世纪，英国人Newton定义瞬时速度的时候引用了无穷小。很短一段时间 内，质点位移为 ，则平均速度为 ，当 无限接近 的时候， 就是瞬时速度。
这种定义已经引发了争议，引发争议的具体过程如下。
实验得知自由落体的下落高度 和下落时间 的关系为 ， 是重力加速度。
有时间增量 ，则位移增量为 ，此时间段内的平均速度为 。
然后Newton的跳跃性思维来了，直接令 。得到瞬时速度 。也就是下落速度 与下落时间 的关系为 。
争议：虽然推理与实验相符，但是不符合数学理论。之前用 作分母，就是默认 ，而后来删掉以 作为系数的项，也就是默认 ，那么 到底是不是 ？
其实，就连Newton本人也解释不清 （无穷小）到底是什么。无限接近究竟有多接近？
无独有偶，德国人Leibniz计算切线斜率也引用了无穷小，但是也说不清无穷小有多接近 。
最后德国人Weierstrass给出了极限定义，才解释清楚了无穷小是什么。
说到这里，无穷小的特殊性就很明显了，其特殊性就在作分母的时候体现出来。
若 ，则
。
求分式极限时：若分母不是无穷小，则可分别对分子和分母求极限，然后求商；若分母是无穷小，则不允许分别对分子和分母求极限。这就是无穷小的特殊性。
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