如何理解当x趋于0时 sin(xsin1/x)/(xsin1/x)的极限不存在？
我们来好好聊聊当 $x$ 趋于 0 时，$frac{sin(xsinfrac{1}{x})}{xsinfrac{1}{x}}$ 这个表达式的极限为什么不存在。这确实是一个挺有意思的问题，它的“罪魁祸首”在于那个 $sinfrac{1}{x}$。
首先，我们得明白极限是什么意思。当一个变量（这里是 $x$）无限接近某个值（这里是 0）时，我们想知道对应的函数值会发生什么。我们关注的是“趋势”，而不是在那个点上的确切值。
为了方便讨论，我们设 $y = xsinfrac{1}{x}$。那么原式就变成了 $frac{sin(y)}{y}$。
我们知道一个非常重要的极限：当一个变量（我们通常用 $u$ 来表示）趋于 0 时，$frac{sin(u)}{u}$ 的极限是 1。
所以，如果我们的 $y = xsinfrac{1}{x}$ 这个“变量”能够稳定地趋于 0，并且以一种“好”的方式（也就是说，它不是恒为 0 或者以一种非常奇怪的方式震荡着接近 0），那么原式 $frac{sin(y)}{y}$ 的极限就会是 1。
问题出在哪里呢？就出在 $y = xsinfrac{1}{x}$ 这个表达式本身。我们来分析一下当 $x$ 趋于 0 时，它有什么特点。
1. $x$ 趋于 0 的行为：
当 $x$ 趋于 0 时，我们知道 $x$ 本身会越来越小，越来越接近 0。
2. $sinfrac{1}{x}$ 的行为：
这才是关键所在。当 $x$ 趋于 0 时，$frac{1}{x}$ 这个值会变得非常非常大（或者非常非常小，如果我们考虑负数 $x$）。
而 $sin$ 函数的特点是，它的值总是在 1 和 1 之间振荡。无论 $frac{1}{x}$ 有多大，$sinfrac{1}{x}$ 的值永远就乖乖地待在 [1, 1] 这个区间里。
更重要的是，当 $x$ 越来越接近 0 时，$frac{1}{x}$ 的变化速度非常快。这意味着 $sinfrac{1}{x}$ 的值会在 1 和 1 之间高速振荡。
我们可以找到一些特定的 $x$ 值，使得 $frac{1}{x}$ 成为 $sin$ 函数的零点或者达到最大值/最小值。
比如，当 $frac{1}{x} = npi$ (n 为整数) 时，$sinfrac{1}{x} = 0$。这意味着 $x = frac{1}{npi}$。当 $n o infty$ 时，$x o 0$。
当 $frac{1}{x} = frac{pi}{2} + 2kpi$ (k 为整数) 时，$sinfrac{1}{x} = 1$。这意味着 $x = frac{1}{frac{pi}{2} + 2kpi}$。当 $k o infty$ 时，$x o 0$。
当 $frac{1}{x} = frac{3pi}{2} + 2mpi$ (m 为整数) 时，$sinfrac{1}{x} = 1$。这意味着 $x = frac{1}{frac{3pi}{2} + 2mpi}$。当 $m o infty$ 时，$x o 0$。
3. 综合看 $y = xsinfrac{1}{x}$：
现在我们把这两部分结合起来看 $y = xsinfrac{1}{x}$。
一方面，$x$ 在不断地趋向于 0。
另一方面，$sinfrac{1}{x}$ 在 [1, 1] 之间振荡。
当 $x$ 趋于 0 时，我们乘以 $sinfrac{1}{x}$ 这个在 [1, 1] 之间振荡的因子。结果会怎样呢？
我们知道，即使 $sinfrac{1}{x}$ 怎么振荡，由于它被一个趋于 0 的 $x$ 乘着，根据夹逼定理，当 $x o 0$ 时，$xsinfrac{1}{x}$ 的极限是 0。因为我们有 $|x| le xsinfrac{1}{x} le |x|$，而当 $x o 0$ 时，$|x| o 0$ 且 $|x| o 0$，所以根据夹逼定理，$xsinfrac{1}{x} o 0$。
那么问题来了，虽然 $y = xsinfrac{1}{x}$ 这个表达式的极限是 0，但是它是怎么趋近于 0 的呢？
刚才我们看到，存在一系列的 $x_n = frac{1}{npi}$，当 $n o infty$ 时，$x_n o 0$。对于这些 $x_n$，我们有：
$y_n = x_n sinfrac{1}{x_n} = frac{1}{npi} sin(npi) = frac{1}{npi} cdot 0 = 0$。
所以，当 $x$ 通过这些点趋近于 0 时，$y$ 的值是 0。
但是，还存在另一系列的点，比如 $x'_n = frac{1}{frac{pi}{2} + 2npi}$。当 $n o infty$ 时，$x'_n o 0$。对于这些 $x'_n$，我们有：
$y'_n = x'_n sinfrac{1}{x'_n} = frac{1}{frac{pi}{2} + 2npi} sin(frac{pi}{2} + 2npi) = frac{1}{frac{pi}{2} + 2npi} cdot 1 = frac{1}{frac{pi}{2} + 2npi}$。
当 $n o infty$ 时，$y'_n o 0$。
并且还有 $x''_n = frac{1}{frac{3pi}{2} + 2npi}$。当 $n o infty$ 时，$x''_n o 0$。对于这些 $x''_n$，我们有：
$y''_n = x''_n sinfrac{1}{x''_n} = frac{1}{frac{3pi}{2} + 2npi} sin(frac{3pi}{2} + 2npi) = frac{1}{frac{3pi}{2} + 2npi} cdot (1) = frac{1}{frac{3pi}{2} + 2npi}$。
当 $n o infty$ 时，$y''_n o 0$。
关键在于：虽然 $y$ 的极限是 0，但它并没有以一种单一的、有规律的方式趋近于 0。它是在 0 附近来回“跳跃”的。
为什么这会毁掉我们的极限？
我们原本的希望是，当 $x o 0$ 时，设 $y = xsinfrac{1}{x}$。因为我们知道 $lim_{u o 0} frac{sin u}{u} = 1$，所以我们想直接套用这个性质，认为当 $y o 0$ 时，$frac{sin y}{y} o 1$。
但是，这个“套用”成立的前提是 $y$ 趋近于 0 的过程必须是收敛的，也就是说，无论 $x$ 通过什么路径趋近于 0，只要 $x o 0$，那么 $y$ 就必须以同一种方式趋近于 0。
而我们的 $y = xsinfrac{1}{x}$ 并没有这样做。它在 0 附近以一种非常“混乱”的方式震荡着，虽然它整体上确实朝着 0 收敛。
更具体地说，当我们计算 $lim_{x o 0} frac{sin(xsinfrac{1}{x})}{xsinfrac{1}{x}}$ 时，我们是把整个表达式 $xsinfrac{1}{x}$ 作为一个整体来代入 $sin(cdot)/cdot$ 的形式中。
想象一下，当 $x$ 非常非常接近 0 的时候：
情况一： $x$ 的值非常小，而 $sinfrac{1}{x}$ 的值也恰好非常小（但不是零）。例如，当 $frac{1}{x}$ 非常接近某个大的偶数倍的 $pi$ 时，$sinfrac{1}{x}$ 就会非常接近 0。
在这种情况下，$y = xsinfrac{1}{x}$ 会是一个比 $x$ 更小的数。例如，如果 $sinfrac{1}{x}$ 是 $10^{5}$ 级别的，那么 $y$ 大概就是 $10^{5} imes x$ 的量级。 此时 $frac{sin y}{y}$ 就会接近 1。
情况二： $x$ 的值非常小，而 $sinfrac{1}{x}$ 的值却接近 1 或者 1。例如，当 $frac{1}{x}$ 非常接近 $frac{pi}{2}$ 或者 $frac{3pi}{2}$ 的时候。
在这种情况下，$y = xsinfrac{1}{x}$ 的值就和 $x$ 本身的值非常接近了（因为 $sinfrac{1}{x}$ 是 1 或 1）。
这时，表达式变成了 $frac{sin(x cdot 1)}{x cdot 1} = frac{sin x}{x}$ 或者 $frac{sin(x cdot (1))}{x cdot (1)} = frac{sin(x)}{x} = frac{sin x}{x} = frac{sin x}{x}$。
当 $x o 0$ 时， $frac{sin x}{x}$ 的极限是 1。
等等，我好像说到极限是 1 了？哪出错了？
我刚才描述的是 $y$ 的值跟 $x$ 本身的大小关系，这有助于理解 $y$ 的行为，但我们真正需要的是 $y$ 的具体值。
问题的核心是，存在着不同的 $x$ 的序列，它们都趋向于 0，但是对应的 $y = xsinfrac{1}{x}$ 趋向于 0 的方式是不同的。
我们之前找到的那个让 $sinfrac{1}{x}=0$ 的点序列 $x_n = frac{1}{npi}$ 非常关键。对于这些 $x_n$，我们有 $y_n = x_nsinfrac{1}{x_n} = frac{1}{npi} cdot 0 = 0$。
那么，原式变成了 $frac{sin(0)}{0}$。这里遇到了不定形式 0/0！
然而，我们知道 $lim_{u o 0} frac{sin u}{u} = 1$ 的前提是 $u$ 不是恒等于 0。如果 $u$ 是恒等于 0 的，那么 $frac{sin u}{u}$ 是没有意义的。
在我们的情况里，$y = xsinfrac{1}{x}$ 并非恒等于 0，它在 0 附近振荡。
但问题在于，当 $x$ 通过 $x_n = frac{1}{npi}$ 这些点趋近于 0 时，作为分子和分母的 $y = xsinfrac{1}{x}$ 整个表达式，就等于 0 了。
所以，我们不能直接把 $frac{sin(y)}{y}$ 的极限看作 1，除非 $y$ 是一个非零的、趋于 0 的量。
更严谨地说：
我们想要证明极限不存在，就需要找到至少两个不同的 $x$ 的序列，它们都趋于 0，但函数值趋于不同的值（或者一个存在另一个不存在）。
令 $f(x) = frac{sin(xsinfrac{1}{x})}{xsinfrac{1}{x}}$。
考虑序列 $x_n = frac{1}{npi}$，当 $n o infty$ 时，$x_n o 0$。
对于这个序列，我们有 $y_n = x_n sinfrac{1}{x_n} = frac{1}{npi} sin(npi) = 0$。
所以，$f(x_n) = frac{sin(0)}{0}$。这里直接出现 0/0，这表明我们不能直接套用 $frac{sin u}{u} o 1$ 的结论，因为这里的 $y_n$ 是恒等于 0 的。
但是，这还不能直接说明极限不存在。我们还需要考虑其他情况。
考虑序列 $x'_n = frac{1}{frac{pi}{2} + 2npi}$，当 $n o infty$ 时，$x'_n o 0$。
对于这个序列，我们有 $y'_n = x'_n sinfrac{1}{x'_n} = frac{1}{frac{pi}{2} + 2npi} sin(frac{pi}{2} + 2npi) = frac{1}{frac{pi}{2} + 2npi} cdot 1 = frac{1}{frac{pi}{2} + 2npi}$。
当 $n o infty$ 时，$y'_n o 0$。
此时，$f(x'_n) = frac{sin(y'_n)}{y'_n} = frac{sin(frac{1}{frac{pi}{2} + 2npi})}{frac{1}{frac{pi}{2} + 2npi}}$。
由于 $y'_n o 0$，且 $y'_n eq 0$，我们可以使用 $lim_{u o 0} frac{sin u}{u} = 1$ 的结论。
所以，$lim_{n o infty} f(x'_n) = 1$。
关键的区别在于：
对于序列 $x_n = frac{1}{npi}$，我们得到的 $y_n$ 是 0。
对于序列 $x'_n = frac{1}{frac{pi}{2} + 2npi}$，我们得到的 $y'_n$ 是一个 非零的、趋于 0 的数。
当我们计算 $frac{sin(y)}{y}$ 的极限时，如果 $y$ 能够取到 0 这个值（即使只是通过某个序列），那么这个表达式就在这些点上是未定义的。
更深层的原因是，极限存在要求函数值必须“稳定地”趋向于某个值，而不是在极限点附近不断地取到不同的值或者未定义。
虽然 $y = xsinfrac{1}{x}$ 的整体极限是 0，但它在 0 附近的振荡导致了问题的出现。想象一下，当 $x$ 趋于 0 时，你观察 $y$ 的值。有时候，$y$ 恰好等于 0（比如通过 $x_n$ 序列）。而有时候，$y$ 是一个非常非常小的非零值（比如通过 $x'_n$ 序列）。
当 $y$ 是 0 时，$frac{sin y}{y}$ 是未定义的。虽然我们可以通过取极限来绕过这一点（例如我们前面说 $frac{sin x}{x} o 1$），但问题在于，“分母等于 0”这个事实本身就使得表达式在这些点上没有意义。
极限讨论的是函数“接近”某个值时的行为。如果函数在趋近极限点的过程中，在某些点上是未定义的，那么就可能影响极限的存在性。
在 $frac{sin(y)}{y}$ 这个表达式中，$y$ 作为分母，如果 $y=0$，表达式就没有意义。而我们发现，当 $x$ 趋于 0 时，存在 $x$ 的序列使得 $y = xsinfrac{1}{x}$ 等于 0。
总结一下为什么极限不存在：
1. 我们将表达式转化为 $frac{sin(y)}{y}$ 的形式，其中 $y = xsinfrac{1}{x}$。
2. 我们知道 $lim_{u o 0} frac{sin u}{u} = 1$ 的前提是 $u$ 是一个趋于 0 的非零量，并且是以一种收敛的方式。
3. 虽然我们证明了当 $x o 0$ 时，$y = xsinfrac{1}{x} o 0$，但 $y$ 的趋近方式非常特殊：它在 0 附近高速振荡。
4. 更重要的是，存在这样的 $x$ 值序列（例如 $x_n = frac{1}{npi}$），当 $x$ 沿着这些序列趋于 0 时，$y$ 的值恰好恒等于 0。
5. 当 $y=0$ 时，原表达式 $frac{sin(y)}{y}$ 的分母为 0，在这些点上表达式是未定义的。
6. 由于存在 $x$ 的序列，使得函数在这些点上是未定义的（或者说，$y$ 本身在这些点上是 0，导致了表达式形式上的未定义），而极限要求函数在趋近极限点的“附近”都有定义并趋于某个值，因此，该极限不存在。
可以类比一下：如果你问“当 $x$ 趋于 0 时，$x/x$ 的极限是什么？”，答案是极限是 1，因为 $x/x$ 在 $x eq 0$ 时都等于 1。
但是，如果我们问“当 $x$ 趋于 0 时，$frac{sin(x^2)}{x^2}$ 的极限是什么？”，那答案是 1。因为即使 $x=0$ 时，$x^2=0$，但 $sin(x^2)/x^2$ 在 $x eq 0$ 时，分母 $x^2$ 也不是 0。
而我们这里的 $frac{sin(xsinfrac{1}{x})}{xsinfrac{1}{x}}$，那个 $y = xsinfrac{1}{x}$ 的行为就太“捣乱”了。它虽然整体趋于 0，但它自己会等于 0，这使得整个表达式在这些情况下变成了未定义的形式，从而导致极限不存在。
希望这样讲能更清楚一些！
首先，我们得明白极限是什么意思。当一个变量（这里是 $x$）无限接近某个值（这里是 0）时，我们想知道对应的函数值会发生什么。我们关注的是“趋势”，而不是在那个点上的确切值。
为了方便讨论，我们设 $y = xsinfrac{1}{x}$。那么原式就变成了 $frac{sin(y)}{y}$。
我们知道一个非常重要的极限：当一个变量（我们通常用 $u$ 来表示）趋于 0 时，$frac{sin(u)}{u}$ 的极限是 1。
所以，如果我们的 $y = xsinfrac{1}{x}$ 这个“变量”能够稳定地趋于 0，并且以一种“好”的方式（也就是说，它不是恒为 0 或者以一种非常奇怪的方式震荡着接近 0），那么原式 $frac{sin(y)}{y}$ 的极限就会是 1。
问题出在哪里呢？就出在 $y = xsinfrac{1}{x}$ 这个表达式本身。我们来分析一下当 $x$ 趋于 0 时，它有什么特点。
1. $x$ 趋于 0 的行为：
当 $x$ 趋于 0 时，我们知道 $x$ 本身会越来越小，越来越接近 0。
2. $sinfrac{1}{x}$ 的行为：
这才是关键所在。当 $x$ 趋于 0 时，$frac{1}{x}$ 这个值会变得非常非常大（或者非常非常小，如果我们考虑负数 $x$）。
而 $sin$ 函数的特点是，它的值总是在 1 和 1 之间振荡。无论 $frac{1}{x}$ 有多大，$sinfrac{1}{x}$ 的值永远就乖乖地待在 [1, 1] 这个区间里。
更重要的是，当 $x$ 越来越接近 0 时，$frac{1}{x}$ 的变化速度非常快。这意味着 $sinfrac{1}{x}$ 的值会在 1 和 1 之间高速振荡。
我们可以找到一些特定的 $x$ 值，使得 $frac{1}{x}$ 成为 $sin$ 函数的零点或者达到最大值/最小值。
比如，当 $frac{1}{x} = npi$ (n 为整数) 时，$sinfrac{1}{x} = 0$。这意味着 $x = frac{1}{npi}$。当 $n o infty$ 时，$x o 0$。
当 $frac{1}{x} = frac{pi}{2} + 2kpi$ (k 为整数) 时，$sinfrac{1}{x} = 1$。这意味着 $x = frac{1}{frac{pi}{2} + 2kpi}$。当 $k o infty$ 时，$x o 0$。
当 $frac{1}{x} = frac{3pi}{2} + 2mpi$ (m 为整数) 时，$sinfrac{1}{x} = 1$。这意味着 $x = frac{1}{frac{3pi}{2} + 2mpi}$。当 $m o infty$ 时，$x o 0$。
3. 综合看 $y = xsinfrac{1}{x}$：
现在我们把这两部分结合起来看 $y = xsinfrac{1}{x}$。
一方面，$x$ 在不断地趋向于 0。
另一方面，$sinfrac{1}{x}$ 在 [1, 1] 之间振荡。
当 $x$ 趋于 0 时，我们乘以 $sinfrac{1}{x}$ 这个在 [1, 1] 之间振荡的因子。结果会怎样呢？
我们知道，即使 $sinfrac{1}{x}$ 怎么振荡，由于它被一个趋于 0 的 $x$ 乘着，根据夹逼定理，当 $x o 0$ 时，$xsinfrac{1}{x}$ 的极限是 0。因为我们有 $|x| le xsinfrac{1}{x} le |x|$，而当 $x o 0$ 时，$|x| o 0$ 且 $|x| o 0$，所以根据夹逼定理，$xsinfrac{1}{x} o 0$。
那么问题来了，虽然 $y = xsinfrac{1}{x}$ 这个表达式的极限是 0，但是它是怎么趋近于 0 的呢？
刚才我们看到，存在一系列的 $x_n = frac{1}{npi}$，当 $n o infty$ 时，$x_n o 0$。对于这些 $x_n$，我们有：
$y_n = x_n sinfrac{1}{x_n} = frac{1}{npi} sin(npi) = frac{1}{npi} cdot 0 = 0$。
所以，当 $x$ 通过这些点趋近于 0 时，$y$ 的值是 0。
但是，还存在另一系列的点，比如 $x'_n = frac{1}{frac{pi}{2} + 2npi}$。当 $n o infty$ 时，$x'_n o 0$。对于这些 $x'_n$，我们有：
$y'_n = x'_n sinfrac{1}{x'_n} = frac{1}{frac{pi}{2} + 2npi} sin(frac{pi}{2} + 2npi) = frac{1}{frac{pi}{2} + 2npi} cdot 1 = frac{1}{frac{pi}{2} + 2npi}$。
当 $n o infty$ 时，$y'_n o 0$。
并且还有 $x''_n = frac{1}{frac{3pi}{2} + 2npi}$。当 $n o infty$ 时，$x''_n o 0$。对于这些 $x''_n$，我们有：
$y''_n = x''_n sinfrac{1}{x''_n} = frac{1}{frac{3pi}{2} + 2npi} sin(frac{3pi}{2} + 2npi) = frac{1}{frac{3pi}{2} + 2npi} cdot (1) = frac{1}{frac{3pi}{2} + 2npi}$。
当 $n o infty$ 时，$y''_n o 0$。
关键在于：虽然 $y$ 的极限是 0，但它并没有以一种单一的、有规律的方式趋近于 0。它是在 0 附近来回“跳跃”的。
为什么这会毁掉我们的极限？
我们原本的希望是，当 $x o 0$ 时，设 $y = xsinfrac{1}{x}$。因为我们知道 $lim_{u o 0} frac{sin u}{u} = 1$，所以我们想直接套用这个性质，认为当 $y o 0$ 时，$frac{sin y}{y} o 1$。
但是，这个“套用”成立的前提是 $y$ 趋近于 0 的过程必须是收敛的，也就是说，无论 $x$ 通过什么路径趋近于 0，只要 $x o 0$，那么 $y$ 就必须以同一种方式趋近于 0。
而我们的 $y = xsinfrac{1}{x}$ 并没有这样做。它在 0 附近以一种非常“混乱”的方式震荡着，虽然它整体上确实朝着 0 收敛。
更具体地说，当我们计算 $lim_{x o 0} frac{sin(xsinfrac{1}{x})}{xsinfrac{1}{x}}$ 时，我们是把整个表达式 $xsinfrac{1}{x}$ 作为一个整体来代入 $sin(cdot)/cdot$ 的形式中。
想象一下，当 $x$ 非常非常接近 0 的时候：
情况一： $x$ 的值非常小，而 $sinfrac{1}{x}$ 的值也恰好非常小（但不是零）。例如，当 $frac{1}{x}$ 非常接近某个大的偶数倍的 $pi$ 时，$sinfrac{1}{x}$ 就会非常接近 0。
在这种情况下，$y = xsinfrac{1}{x}$ 会是一个比 $x$ 更小的数。例如，如果 $sinfrac{1}{x}$ 是 $10^{5}$ 级别的，那么 $y$ 大概就是 $10^{5} imes x$ 的量级。 此时 $frac{sin y}{y}$ 就会接近 1。
情况二： $x$ 的值非常小，而 $sinfrac{1}{x}$ 的值却接近 1 或者 1。例如，当 $frac{1}{x}$ 非常接近 $frac{pi}{2}$ 或者 $frac{3pi}{2}$ 的时候。
在这种情况下，$y = xsinfrac{1}{x}$ 的值就和 $x$ 本身的值非常接近了（因为 $sinfrac{1}{x}$ 是 1 或 1）。
这时，表达式变成了 $frac{sin(x cdot 1)}{x cdot 1} = frac{sin x}{x}$ 或者 $frac{sin(x cdot (1))}{x cdot (1)} = frac{sin(x)}{x} = frac{sin x}{x} = frac{sin x}{x}$。
当 $x o 0$ 时， $frac{sin x}{x}$ 的极限是 1。
等等，我好像说到极限是 1 了？哪出错了？
我刚才描述的是 $y$ 的值跟 $x$ 本身的大小关系，这有助于理解 $y$ 的行为，但我们真正需要的是 $y$ 的具体值。
问题的核心是，存在着不同的 $x$ 的序列，它们都趋向于 0，但是对应的 $y = xsinfrac{1}{x}$ 趋向于 0 的方式是不同的。
我们之前找到的那个让 $sinfrac{1}{x}=0$ 的点序列 $x_n = frac{1}{npi}$ 非常关键。对于这些 $x_n$，我们有 $y_n = x_nsinfrac{1}{x_n} = frac{1}{npi} cdot 0 = 0$。
那么，原式变成了 $frac{sin(0)}{0}$。这里遇到了不定形式 0/0！
然而，我们知道 $lim_{u o 0} frac{sin u}{u} = 1$ 的前提是 $u$ 不是恒等于 0。如果 $u$ 是恒等于 0 的，那么 $frac{sin u}{u}$ 是没有意义的。
在我们的情况里，$y = xsinfrac{1}{x}$ 并非恒等于 0，它在 0 附近振荡。
但问题在于，当 $x$ 通过 $x_n = frac{1}{npi}$ 这些点趋近于 0 时，作为分子和分母的 $y = xsinfrac{1}{x}$ 整个表达式，就等于 0 了。
所以，我们不能直接把 $frac{sin(y)}{y}$ 的极限看作 1，除非 $y$ 是一个非零的、趋于 0 的量。
更严谨地说：
我们想要证明极限不存在，就需要找到至少两个不同的 $x$ 的序列，它们都趋于 0，但函数值趋于不同的值（或者一个存在另一个不存在）。
令 $f(x) = frac{sin(xsinfrac{1}{x})}{xsinfrac{1}{x}}$。
考虑序列 $x_n = frac{1}{npi}$，当 $n o infty$ 时，$x_n o 0$。
对于这个序列，我们有 $y_n = x_n sinfrac{1}{x_n} = frac{1}{npi} sin(npi) = 0$。
所以，$f(x_n) = frac{sin(0)}{0}$。这里直接出现 0/0，这表明我们不能直接套用 $frac{sin u}{u} o 1$ 的结论，因为这里的 $y_n$ 是恒等于 0 的。
但是，这还不能直接说明极限不存在。我们还需要考虑其他情况。
考虑序列 $x'_n = frac{1}{frac{pi}{2} + 2npi}$，当 $n o infty$ 时，$x'_n o 0$。
对于这个序列，我们有 $y'_n = x'_n sinfrac{1}{x'_n} = frac{1}{frac{pi}{2} + 2npi} sin(frac{pi}{2} + 2npi) = frac{1}{frac{pi}{2} + 2npi} cdot 1 = frac{1}{frac{pi}{2} + 2npi}$。
当 $n o infty$ 时，$y'_n o 0$。
此时，$f(x'_n) = frac{sin(y'_n)}{y'_n} = frac{sin(frac{1}{frac{pi}{2} + 2npi})}{frac{1}{frac{pi}{2} + 2npi}}$。
由于 $y'_n o 0$，且 $y'_n eq 0$，我们可以使用 $lim_{u o 0} frac{sin u}{u} = 1$ 的结论。
所以，$lim_{n o infty} f(x'_n) = 1$。
关键的区别在于：
对于序列 $x_n = frac{1}{npi}$，我们得到的 $y_n$ 是 0。
对于序列 $x'_n = frac{1}{frac{pi}{2} + 2npi}$，我们得到的 $y'_n$ 是一个 非零的、趋于 0 的数。
当我们计算 $frac{sin(y)}{y}$ 的极限时，如果 $y$ 能够取到 0 这个值（即使只是通过某个序列），那么这个表达式就在这些点上是未定义的。
更深层的原因是，极限存在要求函数值必须“稳定地”趋向于某个值，而不是在极限点附近不断地取到不同的值或者未定义。
虽然 $y = xsinfrac{1}{x}$ 的整体极限是 0，但它在 0 附近的振荡导致了问题的出现。想象一下，当 $x$ 趋于 0 时，你观察 $y$ 的值。有时候，$y$ 恰好等于 0（比如通过 $x_n$ 序列）。而有时候，$y$ 是一个非常非常小的非零值（比如通过 $x'_n$ 序列）。
当 $y$ 是 0 时，$frac{sin y}{y}$ 是未定义的。虽然我们可以通过取极限来绕过这一点（例如我们前面说 $frac{sin x}{x} o 1$），但问题在于，“分母等于 0”这个事实本身就使得表达式在这些点上没有意义。
极限讨论的是函数“接近”某个值时的行为。如果函数在趋近极限点的过程中，在某些点上是未定义的，那么就可能影响极限的存在性。
在 $frac{sin(y)}{y}$ 这个表达式中，$y$ 作为分母，如果 $y=0$，表达式就没有意义。而我们发现，当 $x$ 趋于 0 时，存在 $x$ 的序列使得 $y = xsinfrac{1}{x}$ 等于 0。
总结一下为什么极限不存在：
1. 我们将表达式转化为 $frac{sin(y)}{y}$ 的形式，其中 $y = xsinfrac{1}{x}$。
2. 我们知道 $lim_{u o 0} frac{sin u}{u} = 1$ 的前提是 $u$ 是一个趋于 0 的非零量，并且是以一种收敛的方式。
3. 虽然我们证明了当 $x o 0$ 时，$y = xsinfrac{1}{x} o 0$，但 $y$ 的趋近方式非常特殊：它在 0 附近高速振荡。
4. 更重要的是，存在这样的 $x$ 值序列（例如 $x_n = frac{1}{npi}$），当 $x$ 沿着这些序列趋于 0 时，$y$ 的值恰好恒等于 0。
5. 当 $y=0$ 时，原表达式 $frac{sin(y)}{y}$ 的分母为 0，在这些点上表达式是未定义的。
6. 由于存在 $x$ 的序列，使得函数在这些点上是未定义的（或者说，$y$ 本身在这些点上是 0，导致了表达式形式上的未定义），而极限要求函数在趋近极限点的“附近”都有定义并趋于某个值，因此，该极限不存在。
可以类比一下：如果你问“当 $x$ 趋于 0 时，$x/x$ 的极限是什么？”，答案是极限是 1，因为 $x/x$ 在 $x eq 0$ 时都等于 1。
但是，如果我们问“当 $x$ 趋于 0 时，$frac{sin(x^2)}{x^2}$ 的极限是什么？”，那答案是 1。因为即使 $x=0$ 时，$x^2=0$，但 $sin(x^2)/x^2$ 在 $x eq 0$ 时，分母 $x^2$ 也不是 0。
而我们这里的 $frac{sin(xsinfrac{1}{x})}{xsinfrac{1}{x}}$，那个 $y = xsinfrac{1}{x}$ 的行为就太“捣乱”了。它虽然整体趋于 0，但它自己会等于 0，这使得整个表达式在这些情况下变成了未定义的形式，从而导致极限不存在。
希望这样讲能更清楚一些！
网友意见
作业写完了，先说说这个题。其实我也没什么可说的，建议参阅pioneer回答下苍蓝的巫女与sputnic1的评论，他们说的挺不错的。
我们再聊聊题主。
他的回复我感觉其实没什么问题，我解释一下就行了，只不过拉黑我确实在我意料之外。难道你从小到大没有遇到过无聊的题目吗。。。。就算这个问题确实超级有意义，就凭着我说无聊就拉黑我，这算什么？
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