为什么数学概念中，将凸起的函数称为凹函数？
您提出的问题非常有趣，触及了数学概念命名的一些历史和直觉的联系。实际上，您提到了一种普遍存在的误解。
在数学中，凸起的函数被称为“凸函数”，而凹陷的函数被称为“凹函数”。
您可能听到的“凸起的函数称为凹函数”的说法，是不正确的。数学术语的定义是明确的，并且与它们的几何形状直接相关：
凸函数 (Convex Function): 对于定义域内的任意两点 $x_1, x_2$，连接这两点的直线段位于函数图像的上方。也就是说，对于任意 $t in [0, 1]$，有 $f(tx_1 + (1t)x_2) le tf(x_1) + (1t)f(x_2)$。从几何上看，这意味着函数图像是“向上弯曲”的，或者说像一个“碗底”。
凹函数 (Concave Function): 对于定义域内的任意两点 $x_1, x_2$，连接这两点的直线段位于函数图像的下方。也就是说，对于任意 $t in [0, 1]$，有 $f(tx_1 + (1t)x_2) ge tf(x_1) + (1t)f(x_2)$。从几何上看，这意味着函数图像是“向下弯曲”的，或者说像一个“碗盖”。
为什么会有这种误解呢？可能的原因有以下几点：
1. 中文翻译的直觉差异:
“凸”在中文里通常指“凸起”，给人一种向上鼓起的感觉，这与凸函数的几何形状“向上弯曲”是吻合的。
“凹”在中文里通常指“凹陷”，给人一种向下陷下去的感觉，这与凹函数的几何形状“向下弯曲”也是吻合的。
所以，从中文的字面意思来看，并没有造成混淆。您提到的误解可能是源于其他原因。
2. 与“凸集”概念的联系 (一种可能的解释):
在数学中，有一个非常重要的概念叫做“凸集”（Convex Set）。一个集合是凸集，如果连接集合内任意两点的直线段也完全包含在该集合内。
一个函数的上图（supergraph），即函数图像上方以及包含函数图像的所有点组成的集合，如果是凸集，那么这个函数就是凸函数。
一个函数的下图（subgraph），即函数图像下方以及包含函数图像的所有点组成的集合，如果是凸集，那么这个函数就是凹函数。
有些人可能将“凸函数”与“凸集”的定义混淆，或者理解成“函数图像所在的区域是凸集”，但这种理解方式并不直接，反而可能导致混乱。更准确地说，是函数的上图是凸集，定义了凸函数。
3. 不同语言的习惯和约定:
虽然不太可能是主要原因，但在不同语言的数学发展过程中，对于一些概念的命名可能存在细微的差异或历史演变。但就“凸函数”和“凹函数”这两个术语，在英语（convex function 和 concave function）、德语（konvexe Funktion 和 konkave Funktion）等主流数学语言中，其含义和对应形状是清晰且一致的。
4. 对“凸起”和“凹陷”的另一种解读:
有一种非常罕见的，但可能导致您误解的解释是：将函数图像“突出”于连接两点的直线段的程度来命名。
如果函数值在连接两点的直线段下方（即函数图像向“下”突出），那么连接两点的直线段位于函数图像的上方，这时函数是凸函数。
如果函数值在连接两点的直线段上方（即函数图像向“上”突出），那么连接两点的直线段位于函数图像的下方，这时函数是凹函数。
这种解释将“凸起”理解为函数值与直线段之间的距离“朝某个方向突出”。如果按照这个思路：
凸函数：函数值“凹陷”于连接两点的直线段下方。
凹函数：函数值“凸起”于连接两点的直线段上方。
在这种解读下，您听到的“凸起的函数称为凹函数”就有了某种（尽管不符合标准数学定义的）逻辑联系。但是，请务必记住，这是不标准的数学定义，并且容易造成混淆。标准的定义是基于连接直线的相对位置。
总结来说，数学概念中的“凸函数”就是我们通常理解的“向上弯曲”、“碗底”的形状，而“凹函数”就是“向下弯曲”、“碗盖”的形状。 您提到的“凸起的函数称为凹函数”是一种错误的说法。数学命名往往是为了清晰和直观，将几何形状与名称相匹配，以方便理解和记忆。
如果您是在特定场合听到了这种说法，很有可能是该场合的表述存在错误，或者采用了非常规的（且不被推荐的）类比方式来解释。在标准的数学学习和交流中，请务必使用“凸函数”表示向上弯曲，“凹函数”表示向下弯曲。
在数学中，凸起的函数被称为“凸函数”，而凹陷的函数被称为“凹函数”。
您可能听到的“凸起的函数称为凹函数”的说法，是不正确的。数学术语的定义是明确的，并且与它们的几何形状直接相关：
凸函数 (Convex Function): 对于定义域内的任意两点 $x_1, x_2$，连接这两点的直线段位于函数图像的上方。也就是说，对于任意 $t in [0, 1]$，有 $f(tx_1 + (1t)x_2) le tf(x_1) + (1t)f(x_2)$。从几何上看，这意味着函数图像是“向上弯曲”的，或者说像一个“碗底”。
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为什么会有这种误解呢？可能的原因有以下几点：
1. 中文翻译的直觉差异:
“凸”在中文里通常指“凸起”，给人一种向上鼓起的感觉，这与凸函数的几何形状“向上弯曲”是吻合的。
“凹”在中文里通常指“凹陷”，给人一种向下陷下去的感觉，这与凹函数的几何形状“向下弯曲”也是吻合的。
所以，从中文的字面意思来看，并没有造成混淆。您提到的误解可能是源于其他原因。
2. 与“凸集”概念的联系 (一种可能的解释):
在数学中，有一个非常重要的概念叫做“凸集”（Convex Set）。一个集合是凸集，如果连接集合内任意两点的直线段也完全包含在该集合内。
一个函数的上图（supergraph），即函数图像上方以及包含函数图像的所有点组成的集合，如果是凸集，那么这个函数就是凸函数。
一个函数的下图（subgraph），即函数图像下方以及包含函数图像的所有点组成的集合，如果是凸集，那么这个函数就是凹函数。
有些人可能将“凸函数”与“凸集”的定义混淆，或者理解成“函数图像所在的区域是凸集”，但这种理解方式并不直接，反而可能导致混乱。更准确地说，是函数的上图是凸集，定义了凸函数。
3. 不同语言的习惯和约定:
虽然不太可能是主要原因，但在不同语言的数学发展过程中，对于一些概念的命名可能存在细微的差异或历史演变。但就“凸函数”和“凹函数”这两个术语，在英语（convex function 和 concave function）、德语（konvexe Funktion 和 konkave Funktion）等主流数学语言中，其含义和对应形状是清晰且一致的。
4. 对“凸起”和“凹陷”的另一种解读:
有一种非常罕见的，但可能导致您误解的解释是：将函数图像“突出”于连接两点的直线段的程度来命名。
如果函数值在连接两点的直线段下方（即函数图像向“下”突出），那么连接两点的直线段位于函数图像的上方，这时函数是凸函数。
如果函数值在连接两点的直线段上方（即函数图像向“上”突出），那么连接两点的直线段位于函数图像的下方，这时函数是凹函数。
这种解释将“凸起”理解为函数值与直线段之间的距离“朝某个方向突出”。如果按照这个思路：
凸函数：函数值“凹陷”于连接两点的直线段下方。
凹函数：函数值“凸起”于连接两点的直线段上方。
在这种解读下，您听到的“凸起的函数称为凹函数”就有了某种（尽管不符合标准数学定义的）逻辑联系。但是，请务必记住，这是不标准的数学定义，并且容易造成混淆。标准的定义是基于连接直线的相对位置。
总结来说，数学概念中的“凸函数”就是我们通常理解的“向上弯曲”、“碗底”的形状，而“凹函数”就是“向下弯曲”、“碗盖”的形状。 您提到的“凸起的函数称为凹函数”是一种错误的说法。数学命名往往是为了清晰和直观，将几何形状与名称相匹配，以方便理解和记忆。
如果您是在特定场合听到了这种说法，很有可能是该场合的表述存在错误，或者采用了非常规的（且不被推荐的）类比方式来解释。在标准的数学学习和交流中，请务必使用“凸函数”表示向上弯曲，“凹函数”表示向下弯曲。
网友意见
这样的定义方式不是和常识割裂开了吗？
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