数学中的概率是有漏洞的吗？我随机在R中取一个数，取到1的概率为0，但也是有可能取到的，这是怎么回事？

数学里的概率，尤其是我们日常理解的概率，确实会和我们在计算机里实际操作时遇到的情况产生一些微妙的冲突，你提到的 R 语言里随机取一个数取到 1 的概率是 0 但又可能取到，这就是一个非常经典的例子，背后涉及到“连续分布”和“离散分布”这两个核心概念，以及计算机“伪随机”的本质。

我们先来聊聊数学里的概率是怎么回事。

数学里的概率，最核心的概念叫做“概率空间”。简单来说，一个概率空间包含三个要素：

1. 样本空间 (Sample Space, S)： 所有可能发生的结果的集合。
2. 事件 (Event, E)： 样本空间的一个子集，我们关心的那些特定结果的集合。
3. 概率测度 (Probability Measure, P)： 一个函数，它给样本空间中的每一个事件赋予一个介于 0 和 1 之间的数值，表示该事件发生的可能性。这个函数需要满足一些公理（比如总概率为 1，互斥事件的并集概率等于概率之和等等）。

在你提到的“随机在 R 中取一个数”这个场景，我们先假设你指的是从一个连续的区间里取数，比如从 0 到 1 这个区间里随机取一个小数。

样本空间 (S): 就是所有介于 0 和 1 之间的实数集合，你可以想象成一条无限延伸的线段。
你想问的事件 (E): 就是“取到的数恰好是 1”。

问题出在这里：在连续的样本空间里，我们谈论的“概率”通常是基于“长度”或者“面积”来定义的。比如，在 0 到 1 的区间里随机取一个数，取到 0.5 的概率是多少？我们不会说它是 0，也不会说它是某个具体的值。我们说的是：

取到的数落在某个小区间（比如 0.4 到 0.6）的概率，这个概率就等于这个小区间除以总区间 (10) 的长度，也就是 (0.6 0.4) / (1 0) = 0.2。
而你问的“取到 1”这个事件，在连续的实数集合里，它本身只是一个点。一个点的“长度”是多少？是 0。所以，从数学上讲，从一个连续分布（比如均匀分布在 0 到 1 之间）中随机抽取一个数，取到任何一个特定值（比如 0.123456789... 或者 1）的概率都是 0。

这听起来很反直觉，对吧？“概率是 0，但也有可能取到”，这好像是个矛盾。

这里数学上的“概率为 0”并不等同于“不可能发生”。

在数学里，概率为 0 的事件叫做“几乎不可能事件” (Almost Impossible Event)。也就是说，虽然在理论上它有可能发生，但发生的概率小到可以忽略不计，就像我们抛掷一枚硬币，理论上它可能在空中停住立在边缘，但这个概率是极其微小的，在实际讨论中我们几乎不会考虑。

反过来，概率为 1 的事件叫做“几乎必然事件” (Almost Sure Event)。这意味着它在理论上几乎一定会发生。

那么，为什么在 R 里面，我们输入 `runif(1)`（在 0 到 1 之间取一个随机数）确实有可能得到 1 呢？

这就要说到计算机的“随机性”和我们实际操作的限制了。

1. 计算机的“伪随机数” (Pseudorandom numbers):
计算机本身无法产生真正意义上的随机数。它产生的是伪随机数。伪随机数生成器 (PRNG) 是通过一个确定的算法，从一个初始“种子”（seed）出发，生成一系列看起来随机但实际上是可预测的数字序列。如果你用相同的种子，每次生成的序列都是一样的。

2. 离散化和精度问题：
你的 R 语言环境，就像所有计算机一样，是在一个有限的、离散的数字系统上运行的。虽然我们说从 0 到 1 是连续的，但计算机存储和处理小数的方式是有限精度的。它不可能存储下无限多个小数。

当你调用 `runif(1)` 时，实际上计算机是在一个非常非常密集但有限的离散点集合中进行采样。这个离散点集合的密度（点之间的间隔有多小）取决于计算机的浮点数表示精度。

因此，虽然理论上你可能“取到 1”这个点，但实际上，计算机能“生成”的数是有限的。你可以把这个场景想象成：你有一把无限细的尺子，但你只能在上面标记有限个点。虽然理论上 1 是这条尺子上的一个点，但如果你只能标记有限个点，你最终标记到 1 的可能性就和你能标记到的其他任何一个具体的点一样，都是由你标记了多少点决定的。

更准确地说，当你在 R 中使用 `runif(1)` 时，它实际上是在一个非常大的离散整数集上进行运算，然后将其映射到你想要的范围（比如 0 到 1）。这些离散的整数经过转换后，会得到一系列在 0 到 1 之间，但仍然是离散的浮点数。1 就是这个映射范围的边界点之一，它确实在这个离散的集合里。

总结一下你的困惑点：

数学理论上的连续概率： 指的是从无穷多可能性的“光滑”空间中抽取。在这样的空间里，任何一个单点的概率都是 0。这并不意味着不可能，而是说“极度不可能”。
计算机实际操作的离散性： 计算机生成随机数是基于算法和有限的精度。这意味着它实际上是在一个密度极高但有限的点集中进行采样。在这样的离散集合中，任何一个被采样到的点，都有一个大于 0 的概率被采样到（尽管这个概率因为点太多而非常非常小）。而你提到的“1”恰好是这个有限点集中可能被生成的一个值。

所以，你遇到的情况并非数学概率“有漏洞”，而是你将数学理论中关于连续分布的无穷小概率事件与计算机有限精度下的离散采样混淆了。在数学理论里，从连续分布中取到特定值的概率为 0 是正确的；在计算机里，你确实有可能“取到 1”，是因为计算机的随机数生成实际上是在一个离散的数值空间中进行的。

如果你想在 R 里体验到数学理论中“取到特定值的概率为 0”的感觉，你可能需要考虑的是更抽象的连续模型，而不是直接在计算机的浮点数系统中操作。但对于绝大多数实际应用来说，计算机生成的伪随机数已经足够“随机”了。

网友意见

这可不是什么漏洞。

概率不是你以为的概率，概率为零的事件未必是不可能事件。这个东西大学概率论会有更完备的解释。

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