如何评价数学家、现代概率论的创始人柯尔莫哥洛夫？

柯尔莫哥洛夫：现代概率论的奠基人与20世纪数学巨匠

安德烈·尼古拉耶维奇·柯尔莫哥洛夫 (Andrey Nikolayevich Kolmogorov, 19031987) 是20世纪最杰出的数学家之一，被誉为现代概率论的创始人。他的影响远不止于概率论，更渗透到数学的多个分支，如实变函数论、测度论、拓扑学、逻辑学、信息论、算法理论、湍流理论，甚至在生物学、物理学和语言学等领域也留下了深刻的印记。要评价柯尔莫哥洛夫，我们需要从他的贡献、思想、学术风格以及对科学界的整体影响等多个维度来深入探讨。

一、奠基现代概率论：从经验到公理的飞跃

在柯尔莫哥洛夫之前，概率论虽然已经发展了数百年，但其基础并不稳固，理论体系也显得不够严谨。许多概念，如“事件发生的概率”缺乏清晰的数学定义，使得概率论在解决复杂问题时常常遭遇困境。

柯尔莫哥洛夫的突破性贡献在于，他运用测度论的思想，为概率论建立了公理化体系。1933年，他发表了划时代的著作《概率论基本概念》(Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung)，其中提出了著名的柯尔莫哥洛夫公理：

1. 非负性: 任何事件的概率都不能是负数，即 $P(A) ge 0$。
2. 规范性: 必然事件的概率为1，即 $P(Omega) = 1$，其中 $Omega$ 是样本空间。
3. 可数可加性: 如果事件 $A_1, A_2, ldots$ 是一系列互不相容的事件（即 $A_i cap A_j = emptyset$ 当 $i eq j$ 时），那么它们的并集的概率等于它们各自概率之和，即 $P(cup_{i=1}^infty A_i) = sum_{i=1}^infty P(A_i)$。

这些公理看似简单，却为整个概率论建立了一个坚实而完整的数学框架。它们使得概率论摆脱了模糊的直观解释，成为一门严谨的数学分支，可以进行严格的逻辑推导和证明。这就像数学家们为几何学建立了欧几里得公理体系一样，柯尔莫哥洛夫的公理为概率论奠定了基石。

这项贡献的意义是极其深远的：

严谨性: 使得概率论的理论推导可以建立在坚实的数学基础上，避免了以往的含糊不清。
统一性: 将离散概率和连续概率纳入同一个框架下，解决了长久以来两者在理论处理上的不一致。
普适性: 使得概率论能够应用于更广泛的领域，包括统计学、物理学（如量子力学中的概率解释）、工程学、经济学，乃至人工智能和大数据分析。
创新驱动: 为后续的随机过程理论、大数定律、中心极限定理等研究提供了强大的工具和方向。

二、拓展与深化：多方面的数学贡献

柯尔莫哥洛夫的才华远不止于概率论。他的研究领域极其广泛，且在许多领域都取得了突破性的进展。

实变函数论与测度论: 柯尔莫哥洛夫在实变函数论和测度论方面也做出了重要贡献，他的早期工作就为概率论的公理化奠定了基础。他对黎曼积分和勒贝格积分的深入研究，以及对函数的某些性质的刻画，都对后来的数学发展产生了重要影响。例如，他对几乎处处收敛的概念以及与此相关的其他概念的研究，是现代分析学的重要组成部分。
拓扑学: 在拓扑学领域，柯尔莫哥洛夫对紧致性和同调论等方面进行了一些研究，对拓扑空间的分类和性质分析提供了新的视角。
逻辑学与集合论: 他在数学逻辑方面的工作，特别是关于递归可达性和递归可枚举集的研究，对计算理论和可计算性理论产生了深远影响。
信息论与算法理论: 柯尔莫哥洛夫是算法信息论的先驱之一，提出了柯尔莫哥洛夫复杂度 (Kolmogorov Complexity)的概念，也称为描述长度或算法熵。这个概念将信息量与算法联系起来，定义了一个对象的复杂度为其压缩该对象所需的最小程序长度。这个概念在信息论、统计学、机器学习和理论计算机科学等领域都有着重要的理论和应用价值。它为我们理解数据的结构和随机性提供了一个新的视角。
湍流理论: 柯尔莫哥洛夫在流体力学，特别是湍流理论方面也取得了非凡的成就。他提出的统计理论，描述了湍流中能量耗散的普遍规律，例如四次方反比律，至今仍是湍流研究的核心内容。他的工作将概率论的工具应用于描述复杂的物理现象，展现了其思想的强大跨学科能力。
其他领域: 他的研究还涉及布尔代数、随机行走、马尔可夫链、布朗运动的性质刻画等。他对许多数学概念的清晰定义和严格证明，为整个数学界树立了榜样。

三、卓越的学术风格与教育影响力

柯尔莫哥洛夫的学术生涯不仅仅是思想的贡献，更体现在他严谨的治学态度和对教育的巨大贡献。

严谨的求证精神: 柯尔莫哥洛夫对数学的严谨性有着近乎偏执的追求。他对待每一个数学概念都力求清晰、准确、无可辩驳。这种精神深深地影响了他的学生和同事，也塑造了20世纪数学发展的风格。
广阔的视野与跨学科探索: 他不拘泥于某个狭窄的数学领域，而是始终保持着对其他学科的敏感性和探索精神。将概率论应用于物理学、将信息论与算法相结合，这些都是他视野开阔的体现。
卓越的教育家: 柯尔莫哥洛夫是莫斯科国立大学的教授，他培养了无数优秀的数学家。他的教学风格以清晰、深刻、启发性强著称。他对学生的要求非常严格，但同时也给予极大的鼓励和指导，帮助他们发展自己的研究方向。许多著名的数学家都曾受教于他，并在各自的领域取得了杰出成就。
强大的学术领导力: 作为苏联科学院院士，柯尔莫哥洛夫在苏联的数学研究中扮演了核心角色。他积极组织学术会议、推动国际交流，为提升苏联数学的国际地位做出了巨大贡献。

四、评价与历史地位

评价柯尔莫哥洛夫，我们可以用“20世纪最伟大的数学家之一”来形容。他的贡献之巨，影响之广，在整个数学史乃至科学史上都是罕见的。

“现代概率论之父”: 这是对他最普遍、最准确的定位。没有他，概率论的发展轨迹将会完全不同。
连接数学各分支的桥梁: 他用测度论的语言统一了概率论，又将概率论的思想延伸到信息论、算法理论等新兴领域，展示了数学内部的深刻联系。
对科学的深刻洞察力: 他不仅是一位抽象的数学家，更是对现实世界有深刻洞察力的人。他对湍流的研究，以及将概率论应用于各个领域，都体现了这一点。
塑造了20世纪数学的风格: 他的严谨、创新和跨学科的研究方法，为后来的数学家树立了榜样。

需要指出的是，柯尔莫哥洛夫的数学思想是深刻而复杂的，对他的理解也需要不断深入。他的许多概念，例如柯尔莫哥洛夫复杂性，虽然在概念上是清晰的，但在计算上却是不可计算的，这本身就带来了很多理论上的挑战和研究方向。

总结

安德烈·柯尔莫哥洛夫是一位拥有百科全书式知识和超凡洞察力的数学巨匠。他以其对概率论的公理化贡献，彻底革新了这门学科，使其成为一门严谨而强大的科学工具。同时，他在实变函数、测度论、信息论、算法理论、湍流理论等多个领域都留下了不可磨灭的印记。

他不仅是一位伟大的理论家，更是一位卓越的教育家和科学组织者，深刻地影响了20世纪的数学发展进程。柯尔莫哥洛夫的遗产是多方面的，他留下的数学思想至今仍然是无数研究者探索的源泉，激励着我们去理解这个充满随机性和复杂性的世界。评价柯尔莫哥洛夫，就是在评价现代数学发展的一个重要里程碑。

网友意见

柯尔莫哥洛夫，20世纪最伟大的数学家之一。
让概率论成为现代数学中一部分的，除了早期欧洲的一些数学“大神”的铺垫工作外，正是柯尔莫哥洛夫把概率论建立了公理化的基础上。这项工作让他有了“概率论中的欧几里得”的美誉。在学术上，这位天才数学家的研究几乎涉及数学中的所有领域，还在经典力学、弹道计算、结晶学、湍流等诸多领域有所建树。他还是一位教育家，不仅带出过一大批优秀的数学家，还投身基础教育，创办学校。
作为现代概率论的创始人，他的一生颇有“随机”的意味，想了解他的一生以及学术成就，并非一言两语几篇文章所能道尽。本文仅取其中一个侧面，在学术生涯起步时，在政治风波下，以及对艺术的研究中，了解这位伟大的数学家。

撰文 | Slava Gerovitch（麻省理工学院数学系讲师）

编译 | Leo

踏入数学世界

如果两个统计学家在森林里迷了路，那他们首先要做的事情就是把自己灌醉，这样两个到处乱晃的醉汉或许能彼此相遇。但如果他们是要想背起竹筐采蘑菇，那还是少喝两杯为好，毕竟毫无目的的随机走动会让他们回到已经采摘过的地点。

这件事情在统计学中，被称之为随机游走（random walk）或者说是醉汉漫步（drunkard's walk），这一模型表示，系统的未来状态仅取决于当前的状态，而与过去无关。时至今日，这一模型已经广泛地应用于股价建模、分子扩散、神经活动和种群动力学等过程，也可以用来解释遗传学中的“基因漂变”是如何导致某一基因（比如眼睛颜色）在人群中普遍存在的。

颇具讽刺意味的是，该理论模型不在乎过去、不在乎历史，但它本身却可谓是历史悠久。它是苏联数学家安德烈·柯尔莫哥洛夫（Andrei Kolmogorov，1903-1987）众多理论成就之一。这位奇才异能的数学家涉猎极广，他在平衡政治生活与学术生活的同时，也改变了“不可能”在数学中的地位。

柯尔莫哥洛夫（Андре́й Никола́евич Колмого́ров，1903.4.25-1987.10.20）丨图源：http://yarwiki.ru

后俄国革命时代的莫斯科文化思想活跃，当时氛围中充满着实验性文学、前卫的艺术与激进的新科学思想。年轻的柯尔莫哥洛夫也受此影响。在 20 世纪 20 年代初，柯尔莫哥洛夫还只是一名历史系的学生，那时他在莫斯科大学提交了一篇论文，对中世纪俄罗斯人的生活进行了非常规的统计分析。他发现，政府对村庄的课税往往是整数，而分到每家户人家时就成为了分数。因此，他认为在当时税收政策是按村缴纳再摊派到户，并不是按户纳税再由村庄收齐上缴。“孤证不立”，历史教授对他的发现给出了极为严厉的批评，“一个证据是不够的，你至少要找到五个例证。”

这也就不奇怪为何柯尔莫哥洛夫会投身数学——数学定理只证明一次就够了。

青年时代的柯尔莫哥洛夫丨图源：http://yarwiki.ru

学术理论背后的政治现实

柯尔莫哥洛夫转向概率论领域也同样源于一次偶然。当时，概率论这一数学分支的声誉并不太好，因为过去的人们总是把概率视为神灵意志的体现。在古埃及和古典希腊，人们就认为掷骰子是一种可靠的占卜和算命的方法。到了19世纪初期，欧洲数学家已掌握了一些正确计算概率的方法，并将概率定义为目标事件数与所有等可能事件数的比值。但其缺陷在于，概率是根据等可能的事件来定义的，因此只适用于元素有限的系统。面对无穷大的系统时，比如有无数个面的骰子，或者一个连续的球面，当时的概率论就显得捉襟见肘了。

然而，柯尔莫哥洛夫是珍惜声誉与名望的。换专业后，柯尔莫哥洛夫最先被莫斯科大学里的一个数学圈子所吸引。他们的领导者是一位魅力非凡的老师，尼古拉·卢津（Nikolai Luzin，1883-1950）。卢津的弟子们给这个组织起了个绰号叫卢津塔尼亚（Luzitania）——把卢津的名字和一战中被击沉的著名英国远洋邮轮卢西塔尼亚号（RMS Lusitania）连在了一起。如柯尔莫哥洛夫所说，他们是通过“共同的心跳”凝聚在一起。他们常在课后一起批判数学创新。在他们的口中，偏微分方程（partial differential equations）成了“偏不尊重方程”（partial irreverential equations），有限差分（finite differences）成了“美梦差分”（fine night differences）。那时，概率论因其理论根基不牢又悖论丛生，在他们口中就变成了“不幸论”（theory of misfortune）。

尼古拉·卢津 (Николай Николаевич Лузин，1883.12.9-1950.1.28)，描述集合论的创始人之一，在三角级数、复分析、微分方程和数值计算等领域有杰出贡献。丨图源：http://ru.wikipedia.org

受卢津塔尼亚的影响，柯尔莫哥洛夫对概率论的态度也发生了转变。20 世纪 30 年代斯大林主义的恐怖活动爆发，秘密警察会在半夜敲响每个人的房门，毫无规律的随机性似乎统治了人们的生活。在恐惧的威慑下，很多人为了自保而告发他人。数学圈中的布尔什维克党活动人士里就有卢津的学生。他们以卢津在国外发表自己的研究论文为由，指控其政治上不忠诚并对其进行批判。柯尔莫哥洛夫也在国外发表过文章，出于对自己学术生涯的担心，他对政治问题表现出了明显的妥协。当莫斯科大学数学研究所所长因支持宗教而被监禁时，他接任了这一职位。此时，柯尔莫哥洛夫也加入了批判卢津的人群。卢津收到了来自苏联科学院的审判，失去了所有的职务，但他却逃脱了来自政府当局的逮捕和枪决。

与卢西塔尼亚号一样，卢津塔尼亚也被击沉了。不一样的是，卢津塔尼亚是被自己的船员击沉的。

“不可能”的大圆

且不谈柯尔莫哥洛夫的道德问题，他确实“赢了”，保住了自己的研究工作。而与他在政治上的顺从所不同的是，柯尔莫哥洛夫的研究思想却是比较激进的，他将概率论做了根本性的修正。他所使用的是一种由法国传入的名为测度论（Measure theory）的东西，当时算得上是时髦理论。测度论将长度、面积、体积等概念泛化，使得无法被常规方法测量的数学对象可能被测量。例如，一个有无限多个孔的正方形，被切割成了无穷多份并散落在了无限的平面中，借助测度论我们仍然可以表示出这个七零八碎的物体的“面积”（测度）。

柯尔莫哥洛夫在概率和测量之间进行了类比，得出了五个公理，现在通常表述为六个，他的工作使概率论真正成为数学分析中的一部分。他的理论中最基本概念是“基本事件（fundamental event）”，即单一实验的结果，例如掷硬币。所有基本事件构成了一个 “样本空间（sample space）”，即所有可能结果的集合。举个例子，假如某个区域常会出现闪电，样本空间就包括该区域所有可能发生闪电的位置。一个随机事件被定义为样本空间中的一个“可测集（measurable set）”，而随机事件的概率则是可测集的“测度（measure）”。例如，闪电击中某位置的概率只取决于这个位置的面积（“测度”）。两个同时发生的事件可以用它们的测度的交集来表示；条件概率可以看成测度的相除；两个互不相容的事件其一发生的概率则用测度的加法来表示（也就是说，A或B被闪电击中的概率等于它们面积之和）。

大圆悖论（The Paradox of the Great Circle）就是通过柯尔莫哥洛夫的概率论得以解决的。大圆悖论是说，假设有外星人会随机降落到一个完美的球形星球上，且降落到每个点的概率也都是平均的，这是否意味着所有球体的大圆（great circle，即过球心的平面和球面的交线，把球体分成了两个相等的半球）上的降落概率都是一样的呢？其结果是，对于赤道所在的大圆而言，圆上每个点的概率是均等的。而对于经线来说，靠近赤道的点概率大，靠近两极的点概率小。这一发现或许可以用越靠近赤道纬度圈越大来解释。但是，这种结果与我们的直觉相违背，因为对于一个完美的球体而言，通过旋转，赤道可以变成任意一条经线。柯尔莫哥洛夫认为，大圆是一条线段，面积是零，因此测度为零。这一悖论的矛盾之处就在于我们无法严格计算相关的概率。

“大圆”，定义并不严格丨图源：http://en.wikipedia.org

大圈悖论在概率论中称为Borel-Kolmogorov 悖论，随机变量在以经线和纬线两种条件下的分布下得到了不同结果，实际上是测度为0的条件概率问题。丨图源：Yarin Gal

在零测度的条件概率世界中短暂的逃避了“大清洗”后，柯尔莫哥洛夫仍然要为现实世界的问题所困扰。二战时期，苏联当局要求柯尔莫哥洛夫研究提高炮火效率的方法。柯尔莫哥洛夫发现，在某些情形下，与其提高每一颗炮弹的命中率，还不如对小幅度偏离目标的范围进行连续猛击。这一策略被称之为是“人工散布（artificial dispersion）”。在柯尔莫哥洛夫主持下的莫斯科大学概率系也计算了低空、低速轰炸的弹道表。为表彰柯尔莫哥洛夫在二战时期的贡献，苏联政府于1944年和1945年授予了他两枚列宁勋章。二战后，他担任了热核武器计划的数学顾问。

洞察艺术世界的概率视角

出于专业兴趣，柯尔莫哥洛夫实际上对哲学更加有所偏爱。数学出身的他相信，这个由随机决定的世界却有序运行，其背后也有概率论的规律可循。他常常思考那些“不可能”的事情在人类生活中的影响。

1929年，在一次独木舟旅行中，柯尔莫哥洛夫与数学家帕维尔·亚历山德罗夫（Pavel Alexandrov，1896-1982）相遇，从此二人也成为了终生的好友。在一封长信中，亚历山德罗夫坦率地指责柯尔莫哥洛夫喜欢在火车上与人攀谈，并暗示这种交际太肤浅，并不能真实地了解一个人。而柯尔莫哥洛夫表示了反对，他以一种激进的概率论视角来看待社会交际。在这样的交际互动中，交际的对象是更大群体的统计样本。“人会从环境中领悟真谛，并将养成的生活方式与世界观带给周围任何的人，不只是特定的朋友。”柯尔莫哥洛夫在回信中说。

对柯尔莫哥洛夫来说，音乐和文学也非常重要，他相信自己可以从概率的视角去洞察人类心灵的运作方式。他也是一个文化精英主义者，认为艺术的价值是分三六九等的。最顶尖的就是歌德、普希金和托马斯·曼的著作，还有巴赫、维瓦尔第、莫扎特和贝多芬的音乐作品——这些作品的永恒的价值类似于永恒的数学真理。柯尔莫哥洛夫强调，每一件真正的艺术作品都是独一无二的，是所谓“不可能”的事物，是超脱统计规律以外的事物。他在1965年的一篇文章中讽刺地问道，“有没有可能把‘托尔斯泰的《战争与和平》’以一种合理的方式纳入‘所有可能的小说’集合中，并进一步假定这一集合中存在某种特定的概率分布？”

柯尔莫哥洛夫对绘画、音乐、雕塑、建筑等艺术有浓厚兴趣丨图源：http://yarwiki.ru

同时，柯尔莫哥洛夫也渴望能找到解密艺术创作本质的钥匙。1960年，柯尔莫哥洛夫为一组研究人员配备了机电计算器，指派他们计算俄罗斯诗歌的节奏结构。柯尔莫哥洛夫对实际韵律与古典韵律的偏差特别感兴趣。在传统诗学中，抑扬格是由一个非重读音节跟着一个重读音节组成的。但在实际的创作中，这条规则却很少被遵守。普希金的《叶甫盖尼·奥涅金》是俄语中最著名的古典抑扬格诗，全诗的5300行中，几乎有四分之三的诗句违反了抑扬格定义，超过五分之一的音节都非重读音节。柯尔莫哥罗夫认为，重音偏离古典韵律定义的频率为诗人提供了一个客观的“统计画像”。在他看来，一种不太可能出现的重音模式恰好反映了艺术的创造性和表现力。通过对普希金、帕斯捷尔纳克和其他俄国诗人作品的研究，柯尔莫哥洛夫认为，诗人对韵律格式的独特运用，奠定了自己作品的“调性”。

为了衡量文本的艺术价值，柯尔莫哥洛夫还采用了字母猜测法来估算自然语言的熵（entropy）。在信息论中，熵是对不确定性或不可预测性的度量。对于信息而言，一份信息的不可预测性越大，它所携带的信息量就越多。在柯尔莫哥洛夫眼中，熵成为了一种评价艺术独创性的指标。他的研究小组进行了一系列实验：给志愿者们展示一段俄罗斯散文或诗歌，并让他们猜下一个字母，再猜一个，以此类推。柯尔莫哥洛夫私下说过，从信息论的观点来看，苏联报纸的信息量不如诗歌。因为政治话语会使用大量的固定短语，内容更容易预测。而对于诗歌来说，尽管存在严格的格律要求，但那些伟大诗人的作品却难以预测。他认为这就是诗人的独特标志，也是艺术上的不可能，但概率论有助于衡量艺术的价值。

虽然将《战争与和平》这样的小说置于一个概率样本空间的想法遭到了柯尔莫哥洛夫的蔑视，他却可以通过计算《战争与和平》的复杂性来表达其不可预测性。柯尔莫哥洛夫假设，复杂性是一个对象的最短描述长度，或者是生成一个对象的算法的长度。确定性的对象的描述是简单的。比如，它可以通过一个周期性的0和1组成的序列产生。但不确定的、真正随机的对象则是复杂的，任何生成算法的长度都必须和对象本身一样长。比如，无理数，小数点以后的数字没有规律可循（循环小数可用一个简洁的分数来表示）。因此，大多数无理数都属于复杂对象，因为要描述它们就只能原样再写一遍。这种对复杂性的理解是符合直觉的，即没有任何办法去预测、描述一个随机对象。今日，这一观点对于衡量一个物体所需的计算资源非常重要，在网络路由、排序算法和数据压缩都有所应用。

柯尔莫哥洛夫与他创办的学校学生一起丨图源：http://internat.msu.ru

了解不可能就是最大的可能

按照柯尔莫哥洛夫的标准来看，他自己的一生也是复杂的。柯尔莫哥洛夫于1987年去世，享年84岁。他一生经历过俄国革命、两次世界大战和冷战，而在学术上他几乎触及了数学的一切领域，其影响也远超学术界。无论他的人生历程属于“醉汉游走”，还是“不走回头路的采蘑菇之旅”，这一段历程都难以预测，难以描述。他在描述并应用“不可能”的成功，使概率论真正成为“可能”，由此为无数科学与工程应用开辟了新的天地。当然，对于不可预测性，他的理论也拉大了人类所拥有的直觉和数学理论之间的差距。

对于柯尔莫哥洛夫来说，他的思想既没有消除不确定性，也没有肯定我们世界根本上的不确定。他只是提供了一套严谨的语言来讨论那些无法确定的事情。他曾经说过，“绝对随机”并不比“绝对必然”更有意义，我们无法对不可知的事物存在确切的认知。

但要感谢安德烈·柯尔莫哥洛夫，我们可解释自己何时以及何因不知道。

本文译自The Man Who Invented Modern Probability

https:// nautil.us/issue/4/the-u nlikely/the-man-who-invented-modern-probability

1986年9月8日至14日，伯努利数理统计与概率论学会第一次世界大会在塔什干召开。代表大会是在柯尔莫哥洛夫的签名下举行的。大会的会徽正是由柯尔莫哥洛夫在其历史悠久的经典专着《概率论的基本概念》中引入的符号组成。

伊藤清大师写的《柯尔莫哥洛夫的数学观与业绩》：“...当我得知苏联伟大的数学家，84岁的Andreyii Nikolaevich Kolmogorov教授于1987年10月20日离开人世时，我感到像是失去了支柱那样悲哀与孤寂。在我还是学生时（1937年）读了他的名著《概率论的基本概念》之后，便立志钻研概率论，并持续了50年之久。对于我来说，Kolmogorov就是我的数学基础。... Kolmogorov 在数学的几乎所有领域中，都提出了独创的思想，导入了崭新的方法，他的业绩是非常辉煌的。然而，我见到他时给我留下的印象却是不修边幅的温厚的君子形象，这也许正是伟大数学家的形象吧。....”

柯尔莫哥洛夫的学生Levin院士（NP完全问题提出者）：“……我恐怕柯尔莫哥洛夫老师不止一次后悔做我的导师。我是一个吵闹、不规矩的学生，对所有问题都有自己的看法，让责任感强的人不得安宁。对于任何需要替罪羊的人来说，我也是天赐之喜。这种需求是在 1960 年代后期莫斯科国立大学“意识形态工作崩溃”之后出现的。安德烈·尼古拉耶维奇坚定地为我辩护（在莫大杰出的校长彼得罗夫斯基（Petrovsky）的帮助下）。与领导当局意见相反，我最终得以留在莫斯科国立大学，甚至与柯尔莫哥洛夫一起开了一个讨论班。我记得，老师在讨论班上抱怨他自己“落后”和“老”了，但他不仅比我们所有人都更快地掌握甚至我们尚未注意到的新想法，而且活跃地表达意想不到的深刻见解……”

工作列表

利用开会时间临时整理一下柯大师的成就，罗列如下，便于感受广博精深（更清晰的文字版，见宋维凯HEOM：柯尔莫戈洛夫（Kolmogorov）工作成就列表）：

其中，特别耀眼的”十诫“贡献包括（显然，完成一项就可以名垂青史了）：

1 概率论、随机过程、Kolmogorov方程、Markov过程：公理化和众多定理，可以说该领域涂满了Kolmogorov的名字，完成度之高、领域开创之多，是惊人的。

2 开创代数拓扑-上同调，并引入多个概念和定理

3 湍流2/3律和scaling思想

4 多体与KAM theory

5 解决希尔伯特13问题，变成了Kolmogorov superposition定理

6 柯尔莫戈洛夫复杂性（Kolmogorov complexity）

7 开创确定性混沌领域（deterministic chaos）

8 动力系统与统计物理：柯尔莫戈洛夫熵（Kolmogorov-Sinai entropy）、柯尔莫戈洛夫流（K-flow）、柯尔莫哥洛夫系统（K-system）

9 几颗钻石：泛函分析-线性拓扑空间的奠基级别论文，构造了傅里叶级数处处发散的勒贝格可测函数、柯尔莫哥洛夫直径、epsilon-熵、epsilon-capacity...

10 应用数学

日后再更新。

关于品格和风格的几件小事

1935年，柯尔莫哥洛夫和亚历山德罗夫在莫斯科郊外的一个名叫科马洛夫卡（Komarovka）的小村庄里买了一座旧宅邸。他们的许多数学工作都是在这里完成的。

格涅坚科院士（Gnedenko，柯大师嫡传弟子）回忆说：“对于柯尔莫哥洛夫的所有学生来说，师从柯尔莫哥洛夫做研究的岁月是终生难忘的：在科学与文化上的发奋努力、科学上的巨大进步、科学问题的全身心投入。难以忘怀的是周日那一次次的郊游，柯尔莫哥洛夫邀请所有他自己的学生（研究生或本科生）以及别的导师的学生。在这些30～35公里远直到波尔谢夫（Bolshevo）、克里亚竺马（Klyazma）和别的地方附近的郊游过程中，我们一直讨论着当前的数学（及其应用）问题，还讨论文化艺术，特别是绘画、建筑和文学问题。”

尼克尔斯基院士（Nikolski，柯大师嫡传弟子）回忆起柯大师在卫国战争（德军压境，人们从莫斯科撤离到喀山，湍流的工作就是在喀山时期完成的。战争啊，大家在疫情初期时应该感受到过类似的压迫感，除了求生存还能求知做研究工作吗？）的一件事：”1941年8月，卫国战争开始后不久，我被派往马洛亚罗斯拉夫以西，挖掘一个从北向南延伸数百公里的坦克防御。全然不知自己的命运将往何处，就在离开之际，我通过学院秘书向柯尔莫戈洛夫提交了关于我博士答辩的材料。但不幸的是，德国人在10月初突破了我们的坦克防御工事，这些工作停止了，我最终回到了莫斯科。数学研究所的一些成员还在，还没有完成撤离，柯尔莫戈洛夫也在。但10月16日爆发了恐慌：人们认为德国人将马上攻陷这座城市。我得知柯尔莫戈洛夫和我们的主任Sobolev院士在几个小时前匆匆离开了莫斯科：10月15日晚上，他们接到一个电话，通知他们必须立即前往Pavelets站，只携带随身行李——专列火车正等着将他们从莫斯科送到喀山（Kazan）。几天后，Anatolii Ivanovich（1958年当选为苏联科学院院士）和我也来到了喀山。

我们在喀山的第一次会面，老师邀请我晚上到他家喝茶。他和他的朋友亚历山德罗夫院士、他的阿姨维拉等住在一个拥挤的地方。房间的一角被两个书架隔出来用于研究。正是在书架后面的这个角落里，许多不朽的发现诞生了。

喝完茶后，老师走到书架后面，带着——你们猜是什么！ ——我的论文手稿。他说这些材料完全够做博士论文，建议我停止博士学习（本打算再读两年），准备答辩——这是战时，这是难以想象的。恰巧，老师对Anatolii Ivanovich说了大致相同的话。两个月后，我俩通过了博士论文答辩。

然而回想起来，在这艰难的岁月中，最让我难以忘怀的，是10月15日那个危难的晚上，柯尔莫哥洛夫老师匆匆撤离他在莫斯科的家时，还不忘把我的论文初稿放进他的行李箱，他本可以在那里多放一条暖裤——许多人都是这么做的。而这也仅仅只是他对学生关心爱护的一个例子。我们所有人（这可不在少数），都将终生铭记我们的老师，直到生命的尽头。“

Tikhomirov教授（柯大师嫡传弟子，近似理论方向）：”柯尔莫哥洛夫老师属于无与伦比的那一类伟人：仅仅他们的存在就照亮了许多人的人生。……这世上的某处曾生活过这么一个人：他睿智、心灵纯洁、关怀他人，启迪人飞翔，给人以欢乐，鼓舞人勇敢地生活下去，保护我们远离作恶，勉励我们向善。“非常感谢Tikhomirov教授生动的表达。对我这样一个为生活和年少存下的一点理想而努力工作的普通人，总能从读英雄柯尔莫哥洛夫中得到力量和温暖。

其他一些关于柯大师的介绍，欢迎浏览：

我的专栏：柯尔莫戈洛夫的世界

文章：宋维凯HEOM：柯尔莫哥洛夫与量子力学

译作：

第一篇：宋维凯HEOM：译作——老师柯尔莫戈洛夫的生平和工作（1）：童年和中小学

第二篇：宋维凯HEOM：译作——老师柯尔莫戈洛夫的生平和工作（2）：大学时代

第七篇：宋维凯HEOM：译作——老师柯尔莫戈洛夫的生平和工作（7）：1950年代之动力系统，三体问题与KAM理论，信息论数学基础，熵

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柯尔莫哥洛夫：现代概率论的奠基人与20世纪数学巨匠安德烈·尼古拉耶维奇·柯尔莫哥洛夫 (Andrey Nikolayevich Kolmogorov, 19031987) 是20世纪最杰出的数学家之一，被誉为现代概率论的创始人。他的影响远不止于概率论，更渗透到数学的多个分支，如实变函数论、测度论、拓.............
如何评价「现代理论物理学家迷失在数学中」这句话？

“现代理论物理学家迷失在数学中”这句话，乍一听，带着一丝戏谑和惋惜，仿佛在描绘一群聪明绝顶的头脑，在逻辑严谨的殿堂里，却失去了与真实世界的联系。这句话并非空穴来风，它触及了现代理论物理发展中一个真实存在的、值得深入探讨的现象。要评价它，我们需要从多个角度来审视。首先，我们要理解这句话的“迷失”指的是.............
如何评价数学家黎曼的成就与历史地位？

穿越时空的思想巨匠：如何评价黎曼的成就与历史地位？提起数学界的巨匠，约翰·冯·诺依曼、高斯、欧拉这些名字自然会跃然纸上。但如果我们深入到现代数学的根基，有一位名字或许不如前几位那样家喻户晓，然而其思想的深度和广度，却如同基石一般，支撑起我们今日所理解的几何、物理乃至宇宙的图景。他就是波恩哈德·黎曼（.............
如何评价数学家张益唐？

要评价一位伟大的数学家，尤其是像张益唐那样，其成就对数学界产生了深远影响的人，绝非易事。他的故事不仅仅是关于一个惊人的数学证明，更是一个关于坚持、信念和打破常规的传奇。首先，我们必须承认张益唐的数学才能是毋庸置疑的。他的研究领域是解析数论，这是一个极其古老且极具挑战性的数学分支，致力于理解整数的分布.............
如何评价网传数学家丘成桐批评清华大学在2020年大学生数学竞赛中惨败？

关于网上流传的数学家丘成桐先生批评清华大学在2020年大学生数学竞赛中“惨败”一事，咱们不妨来详细掰扯一下。首先，得明确一点，所谓“批评”或者“惨败”这种说法，很多时候是一种媒体或者大众解读，未必是丘先生的原话。数学竞赛的结果，尤其是在顶尖学府之间，结果的波动是很正常的。但如果“惨败”这个词确实传出.............
数学家 John Horton Conway 或因感染新型冠状病毒逝世，如何评价他一生的经历与贡献?

约翰·霍顿·康威，一位享誉世界的数学家，于2020年因新冠病毒感染不幸离世，享年82岁。他的生命旅程，如同他创造的那些精妙的数学结构一样，充满了奇思妙想与深刻的洞见，留给世界的遗产是多元且深远的。康威的一生，与其说是在实验室里度过，不如说是在一个由他亲手构建的数学宇宙中探索。他是一位真正意义上的“游.............
印度数学家拉马努金于 2020 年 4 月 26 日逝世一百周年，如何评价他一生的经历与贡献?

请注意，印度数学家拉马努金（Srinivasa Ramanujan）的逝世日期是 1920年4月26日，因此，2020年4月26日是他逝世一百周年。关于他一生的经历与贡献，我可以为你详细讲述：一位来自南印度的数学奇才：拉马努金的一生与不朽贡献提起印度数学，人们脑海中往往会浮现出一位特立独行、充满神秘.............
数学家志村五郎于 2019 年 5 月 3 日逝世，如何评价他一生的经历与贡献?

数学家志村五郎的一生：辉煌的足迹与不朽的贡献数学家志村五郎（Goro Shimura）于 2019 年 5 月 3 日离开了我们，他的逝世是数学界的一大损失。然而，他一生所留下的深刻印记，尤其是他在数论领域开创性的工作，将永远被铭记和传颂。评价志村五郎的一生，需要深入了解他非凡的学术旅程、卓越的数学.............
著名数学家、数学教育家齐民友先生逝世，他给你留下哪些印象、有什么样的影响，如何评价他的一生？

听到齐民友先生逝世的消息，我的心情非常沉重。作为一位对数学教育领域有着深厚情感和贡献的人，齐民友先生的离去，无疑是中国数学教育界的一大损失。我脑海中关于齐民友先生的印象，是那个在讲台上循循善诱、目光炯炯有神的老先生，他的声音洪亮而有力量，每一个字都充满着对数学的热爱和对学生的关怀。我并非他的学生，.............
如何评价 EPFL 数学博士后 Anna Kiesenhofer 夺得东京奥运会女子公路自行车金牌？

EPFL 数学博士后 Anna Kiesenhofer 夺东京奥运会女子公路自行车金牌：科学智慧与运动天赋的完美结合当人们还在为EPFL（洛桑联邦理工学院）数学系严谨的理论研究和晦涩的公式而感到一丝“高不可攀”时，一位来自该校的数学博士后——Anna Kiesenhofer，却以一种极其令人惊叹的方.............
如何评价小学生数学作业：数 1 亿粒米带到学校？

这件事发生在几年前，当时网上流传着一个段子，说有一个老师让小学生回家数一亿粒米，然后第二天带到学校。这个段子一出来，立刻引起了轩然大波。很多人觉得这简直是无稽之谈，一个小学生怎么可能在一天内数完一亿粒米？即使数完，又该怎么带到学校？从作业本身的“可行性”来看，简直是天方夜谭。一亿粒米，这绝对不是一个.............
如何评价上海交通大学数学系不提供就业辅导&要学生走纯数学之路？

上海交通大学数学系不提供就业辅导，并鼓励学生走纯数学之路，这无疑是这个学科领域一个颇具争议，同时也引人深思的现象。要评价它，我们得从几个不同的角度去审视，才能勾勒出全貌。首先，我们得承认，上海交大作为一所顶尖的综合性大学，其数学系拥有非常深厚的学术积淀和强大的师资力量。数学，作为所有自然科学的基础，.............
如何评价四川大学数学学院付昌建老师?

评价四川大学数学学院的付昌建老师，我有一些看法，并且会尽量说得详细一些，让您对他的教学和研究有一个更全面的了解。首先，从教学方面来看，付老师在四川大学数学学院的口碑是相当不错的。他主讲的课程，尤其是像“高等代数”这样基础又重要的专业课，在学生中反响普遍很好。深入浅出的讲解风格：付老师的课，给.............
如何评价组合数学（combinatorics）这个学科？

组合数学，这门古老而又充满活力的学科，就像是数学世界里的“点石成金术”，它能将那些看似杂乱无章的离散对象，通过巧妙的计数、排列、组合等方法，提炼出背后隐藏的数学规律和结构。与其说它是一门学科，不如说它是一种思考方式，一种处理“有多少种可能”问题的通用语言。要评价组合数学，我们不妨从几个维度深入剖析：.............
如何评价上海交通大学数学系数学分析证明题都考原题?

上海交通大学数学系数学分析证明题考原题的现象，这可不是什么新鲜事，在学术圈里，甚至学生中间都有不少议论。要评价这件事，咱们得从几个角度来掰开了揉碎了说。首先，咱们得承认，数学分析这门课的地位。它绝对是数学专业学生打基础的重中之重，可以说，数学分析学得好不好，直接关系到你后续的学习能走多远，能有多扎实.............
如何评价一些数学大佬在推导过程中的「我们不难发现…」、「显然有…」、「易得…」等语言?

数学界有一些颇有影响力的学者，他们在自己的著作中，尤其是在推导复杂数学定理的过程中，常常会使用一些相当“任性”的表述，比如“我们不难发现…”、“显然有…”，或者“易得…”。对于我们这些在数学海洋中努力搏击的后来者来说，这些话语就像是指引方向的灯塔，但有时候，它也像是一道高耸的壁垒，挡在我们面前，让我.............
如何评价复旦大学上海数学中心2021年已经发了6篇数学四大？

复旦大学上海数学中心在2021年发布了6篇数学四大论文，这是一个非常值得关注的成就，充分展示了中心在数学研究领域的强劲实力和高度国际影响力。要评价这个成就，我们需要从几个层面来深入剖析。首先，理解“数学四大”的含金量：在数学界，能够被誉为“四大”的期刊，通常指的是： Annals of Mat.............
如何评价 2021 阿里巴巴数学竞赛决赛试题？

阿里数学竞赛决赛：一场智力与耐力的双重考验2021年的阿里巴巴数学竞赛决赛，依旧延续了其一贯的高水准和挑战性，为众多热爱数学的学子们带来了一场酣畅淋漓的智力盛宴。这场竞赛不仅仅是对数学知识储备的检验，更是对参赛者逻辑思维、分析能力、创新意识以及在高压下保持冷静和专注的综合考验。从整体观感上来说，20.............
如何评价2020高考数学全国二卷？

2020年的高考数学全国二卷，如果让我来评价，那绝不是一句简单的“难”或“易”能概括的。这套卷子，在我看来，更像是一场“精准狙击”——它没有刻意去刁难考生，但却对那些基础不牢固、思维不灵活的同学给予了“致命一击”。整体感觉：稳中有变，考察扎实最直观的感受是，这套卷子延续了全国卷一贯的风格，题型结构稳.............
如何评价吴文俊《东方数学的使命》？

吴文俊先生的《东方数学的使命》是一篇言辞恳切、思想深邃的文章，它并非一篇冷冰冰的学术论文，而更像是一场他对东方乃至世界数学发展方向的深情呼唤和战略部署。要评价这篇文章，我们需要深入理解它提出的核心观点、其历史背景以及它所蕴含的时代意义。一、核心观点解读：东方数学的“使命”究竟是什么？吴文俊先生在《.............