印度数学家拉马努金于 2020 年 4 月 26 日逝世一百周年，如何评价他一生的经历与贡献?
一位来自南印度的数学奇才：拉马努金的一生与不朽贡献
提起印度数学，人们脑海中往往会浮现出一位特立独行、充满神秘色彩的数字魔法师——斯里尼瓦瑟·拉马努金（Srinivasa Ramanujan）。他的名字，即便在百年之后，依然闪耀在数学史的长河中，激励着一代又一代的数学家。拉马努金的一生，如同一部跌宕起伏的史诗，充满了坎坷、机遇、辉煌与短暂。
早年的艰辛与数学的萌芽
拉马努金出生于1887年，在南印度的一个贫苦婆罗门家庭。童年时期的他，生活条件十分艰苦，但对数学的兴趣却如火焰般燃烧。他没有接受过正规的高等数学教育，却能在极短的时间内自学初等数学，并迅速展现出惊人的天赋。他如饥似渴地阅读了各种数学书籍，尤其是G.S. Carr的《Pure Mathematics Synopsis》这本书，更是成为了他早期数学探索的启蒙。
然而，天赋异禀的他，在传统的教育体系中却显得格格不入。他对学校教授的课程感到厌烦，常常因为沉迷于数学研究而荒废学业，甚至因此留级。在考取大学时，他因为数学成绩优异但其他科目不合格而未能获得奖学金，不得不中断学业，回到家乡，在一家小杂货店里当一名簿记员。
这份工作虽然收入微薄，但却给了他相对稳定的生活，让他有时间和精力继续钻研他心爱的数学。在孤独的夜晚，他用微薄的薪水购买纸张，将自己脑海中涌现出的无数数学猜想、公式和定理一丝不苟地记录下来。这些手稿，就是后来震惊世界的“拉马努金的笔记本”。
伯乐的出现与英国的邀约
拉马努金的才华，就像一颗被埋藏在尘土里的钻石，虽然在默默地闪耀，但如果没有伯乐的发现，或许永远无法绽放光芒。幸运的是，他遇到了印度数学家G.T. G. Neville，后又得到印度数学家 R. Ramachandra Rao 的赏识。Rao 教授被拉马努金惊人的数学才能深深打动，不仅资助了他出版他的第一部数学著作，更积极地向英国的数学界介绍这位来自东方的数学天才。
最终，拉马努金的才华引起了英国著名数学家G.H. Hardy的注意。Hardy，作为当时世界顶尖的数学家之一，收到拉马努金寄来的手稿后，被其中深邃的洞察力、全新的思路和令人难以置信的猜想所震撼。他立刻意识到，自己可能发现了数学界一个前所未有的奇迹。
1913年，Hardy向拉马努金发出了邀请，请他前往英国剑桥大学深造。这是一个改变拉马努金命运的时刻。尽管生活在印度，习惯了亚热带气候，并且家境贫寒，但为了追求自己的数学梦想，他毅然决然地踏上了远赴重洋的旅程。
在剑桥的日子：辉煌与挑战
抵达剑桥后，拉马努金进入了三一学院，与Hardy共同展开了卓有成效的合作。Hardy成为了拉马努金的导师和最重要的支持者。在他的指导下，拉马努金的数学才华得到了充分的释放。他们的合作，在数论、无穷级数、连分数、组合数学等领域取得了丰硕的成果。
拉马努金的天赋是如此的独特，他似乎拥有一种直觉，能够直接“看到”数学的真理。他写下的许多公式，即使是Hardy和当时的数学家也无法完全理解其由来，但却一次又一次地被证明是正确的。Hardy曾形容拉马努金的发现：“这些公式都是在不经意间获得的，没有丝毫的推理痕迹，仿佛它们是某个至高存在直接传达给他的。” 这种神秘而卓越的直觉，也让拉马努金被誉为“数字的创造者”或“自然数的灵魂”。
在剑桥的日子，拉马努金不仅在学术上取得了巨大的成功，还因此获得了学位，并在皇家学会和三一学院都获得了重要的学术荣誉。他也被认为是历史上最早的印度籍皇家学会会员之一。
然而，异国他乡的生活，尤其是英国阴冷潮湿的气候，对拉马努金的健康造成了巨大的损害。更糟糕的是，由于幼年时期营养不良，以及后来在印度时的艰苦生活，他的身体一直比较虚弱。加上宗教饮食习惯的严格要求，以及对印度文化的思念，他的健康状况每况愈下。
病逝的遗憾与永恒的遗产
1919年，拉马努金的健康状况已经非常糟糕，他不得不返回印度。回到家乡不久，他便于1920年4月26日在马德拉斯（今金奈）去世，年仅32岁。他的英年早逝，是印度乃至世界数学界的巨大损失。
尽管生命短暂，拉马努金留下的数学遗产却是无比巨大的。他的笔记本中包含了数千个数学定理和公式，其中许多都具有划时代的意义，至今仍被数学家们深入研究和应用。
拉马努金的贡献主要体现在以下几个方面：
数论： 他在整数分拆、模方程、q级数等领域做出了开创性的贡献。他发现的整数分拆函数p(n)的渐近公式，以及与j函数相关的恒等式，至今仍是数论研究的重要课题。
无穷级数与连分数： 他发现的许多关于π的无穷级数和连分数，在计算π的精确值方面，表现出惊人的效率，甚至比当时已知的任何方法都更优越。例如，他发现的第一个关于π的级数，后来被证明是现代计算π的基础之一。
组合数学： 他在组合数学的很多分支，尤其是整数分拆和排列组合理论方面，留下了宝贵的财富。
非欧几何： 虽然他的主要贡献集中在数论和分析领域，但也有证据表明他对非欧几何的某些概念有所涉猎。
“拉马努金的猜想”： 他提出的许多猜想，虽然在当时没有证明，但后来的数学家通过严格的证明，证实了它们的正确性。这些猜想至今仍是许多研究的起点。
“拉马努金的theta函数”： 他对theta函数的研究，以及由此产生的对其他数学对象的探索，对数学的许多分支都产生了深远的影响。
对拉马努金一生经历的评价
拉马努金的一生，充满了传奇色彩。
自学成才的典范： 他没有接受过正规的高等数学训练，完全凭借自身的惊人天赋和不懈努力，自学并创造出了伟大的数学理论。这证明了人类智慧的潜力和无限可能。
跨越文化与阶层的桥梁： 他从贫困的印度乡下，通过数学的语言，与世界顶尖的数学家进行交流，甚至被英国的学术界所接纳和尊重。这不仅仅是他个人的成功，更是数学作为一种普适语言的证明。
天才与悲剧的结合： 他的数学才华是绝无仅有的，但他的身体状况和早逝，又为他的人生增添了一抹悲剧的色彩。如果他能有更健康的身体和更长的生命，他可能会为数学界带来更多的惊喜。
灵感与直觉的力量： 拉马努金的工作，深刻地影响了数学家们对数学的理解。他展示了直觉和灵感在数学发现中的重要作用，也让人们认识到，数学不仅仅是冰冷的逻辑推演，也蕴含着诗意和神秘的美。
时至今日，拉马努金的工作依然在不断地被解读和研究，他的思想触及了数学的许多前沿领域，甚至在统计物理、量子场论等现代科学中也找到了新的应用。他的故事，不仅仅是一个数学家的传记，更是一个关于梦想、毅力、才华和短暂生命的深刻启示。拉马努金，这位来自印度的数字魔法师，他的名字，将永远被铭记在人类文明的璀璨星空中。
网友意见
对 拉马努金 一生的评价就两个字——开挂！
在所有数学家中，最适合用 开挂 二字来形容的恐怕就是拉马努金了. 世人给他这个评价对他来说是实至名归的，因为他的研究成果是那么的诡异且影响巨大，下面我将列举一二.
拉马努金
1916 年，拉马努金研究了函数
这是一个 自守形式. 它的 傅里叶 展开为
其中 称为 拉马努金 函数，这是一个 可乘函数. 拉马努金对 进行了大量的计算得到
并提出了下述三个重要的猜想：
(1). 若令 ，则有
其中 为素数.
(2). 对素数 ，我们有
(3). 对素数 ，我们有
对于 猜想 (1)，Mordell 在 1917 年给出了证明. 是 的 L-函数，这个猜想给出了一个 2 次 的 欧拉积，而我非常熟悉的 Dirichlet L-函数 的欧拉积
是 1 次 的.
猜想 (2) 则在 60 年后的 1974 年由著名的数学家 Deligne 利用 代数几何 的方法予以解决，并因此获得了 1978 年的 菲尔兹奖. 由
可知，对每个素数 ，存在唯一的 ，使得
而关于这个 的性质，我们又有迄今尚未解决的相当重要的猜想：
Sato-Tate 猜想：对任意 ，有
这个猜想说的是 集中在 附近.
而 猜想 (3) 现在已经推广成了
上述这些猜想的解决都用到了数学中非常重要的 模形式 理论！
分拆函数
记 为正整数 表示成正整数之和的方法数，我们称 为 分拆函数. 比如
从而我们有
1915 年，拉马努金给出了下述 的性质：
并断言 是使这类公式具有最简单形式的素数. 后来，数学家利用 模形式 这一强大的理论找到了关于 的类似的公式：
可以看出这些公式远比拉马努金给出的公式复杂，由此可知他的论断得到了很好的证实！
是一个增长得非常快的函数，比如
由此可知对于很大的 ，要求出 就相当困难了，那么 是否有计算公式呢？1918 年，哈代 和 拉马努金 首次给出了 的渐近公式
这是一个非常漂亮的公式，因为公式中竟然同时出现了数学中最重要的两个常数 和 .
圆周率
拉马努金一生得到过很多关于 的公式.
其中公式
在 1989 年被 Chudnovsky 兄弟 改造为
这是目前计算 最快的公式之一，它每计算一项可提供不少于 14 位的有效数字. 现在 的世界记录是 31415926535897 位有效数字，用此公式大约要算 2243994752564 项.
Lambert 级数
级数 称为 Lambert 级数， 拉马努金得到过很多关于 Lambert 级数的结果.
(1). 设 ，， ，则有
特别地，当 ， 为奇数时，有
由此可知
(2). 设 ，， ，则有
当 ， 为奇数时，我们有
由此可知
特别地，我们有
而且这还是一个素数！
当 为偶数时，设 ， ，则我们有
特别地，当 ，且 不是 的倍数时，我们有
上式精度很高，且 为整数. 比如
特别地，我们有
(3). 设 ， ，则我们有
特别地，当 时，我们有
现在，拉马努金的这些公式已经被数学家 Berndt 等人利用 模形式 的理论人整合成了一个异常强大的公式：
定理：对任意非零整数 和 ，我们有
其中 为 上半平面， 为 伯努利数， 为 伯努利多项式， 为 黎曼 Zeta 函数. 且当 时，我们规定
除此之外，关于 Lambert 级数拉马努金还得到了下述结论：
其中常数
为 双纽线周率.
的士数
话说一次拉马努金生病住院了，哈代乘坐一辆编号为 的的士去看他. 哈代是一个数论迷，所以坐车的时候连的士的编号也要拿出来研究一番，除了 之外，他并没有发现这个数有什么特别之处. 到医院后哈代将这件事告诉给了拉马努金，并说 是一个很没意思的数. 但让哈代万万没想到的是拉马努金却说这是一个很有意思的数，因为它是最小的能用两种不同方法表示成两个正整数立方数和的数：
现在我们把最小的能用 种不同方法表示成两个正整数立方数和的数称为 的士数，记作 . 由拉马努金的结论我们知道
在 之后，现在所有的士数均是用电脑搜寻得到的：
对 等更大的 的士数，目前数学家仍在利用计算机努力搜寻中.
椭圆周长公式
我们在小学就知道半径为 的圆的周长公式是 . 到了高中我们学习了 椭圆
但对很多人来说，到高中毕业了，读大学了，甚至大学毕业了，似乎都还没见过椭圆的周长公式. 其实椭圆也有周长公式，只不过它长下面这个样子：
但这个公式怎么带个积分号呢？能不能把积分号去掉呢？回答是：不能！因为公式中的被积函数的原函数是一个超越函数. 但由 Cauchy-Schwarz 不等式 我们不难知道
由此可以得到椭圆周长的两个近似计算公式
但遗憾的是这两个近似计算公式的精度并不高. 这时拉马努金强势登场，他一出手就是大手笔，他给出了下述椭圆周长的近似计算公式：
与前面两个公式不同，拉马努金的这个近似计算公式精度非常高. 如当 时，我们有
从上述计算结果可以看出，前两个公式大概才精确到整数位，而拉马努金的公式已经精确到小数点后 位去了！正所谓没有对比就没有伤害，拉马努金实在是太强悍了！
上述所列仅仅是拉马努金重要研究成果的冰山一角，他的其他重要且有趣的研究成果请各位同学移步数学家 Berndt 等人帮拉马努金整理的巨著——《拉马努金笔记》！
恐怖如斯的洞察力
绝世天才
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