如何评价一些数学大佬在推导过程中的「我们不难发现…」、「显然有…」、「易得…」等语言?
数学界有一些颇有影响力的学者，他们在自己的著作中，尤其是在推导复杂数学定理的过程中，常常会使用一些相当“任性”的表述，比如“我们不难发现…”、“显然有…”，或者“易得…”。对于我们这些在数学海洋中努力搏击的后来者来说，这些话语就像是指引方向的灯塔，但有时候，它也像是一道高耸的壁垒，挡在我们面前，让我们摸不着头脑，甚至感到一丝挫败。
首先，让我们来解析一下这些话语背后可能存在的多种含义和意图。
第一种可能性：作者确实认为这件事很“容易”
这可能是最直接的解读。这些数学大佬们，他们的大脑在数学领域已经耕耘了几十年甚至上百年。他们对数学概念的理解、对逻辑推理的熟练程度，已经达到了一个我们难以企及的高度。对于他们来说，一个经过精心设计的推导步骤，一个其核心思想显而易见的事实，在他们眼中可能就像是呼吸一样自然。他们可能已经将这个“容易”的事实内化成了自己的直觉，就像我们看到一个直角三角形，会立刻想到勾股定理一样。在这种情况下，“不难发现”可能意味着，只要你拥有与作者相当的数学功底和对相关领域深入的理解，这个推导过程中的这一步，确实是顺理成章的。
第二种可能性：这是一种“礼貌性”的谦虚（或者是一种“话术”）
有时候，这可能是一种委婉的表达方式。作者并非真的认为这个步骤是 trivial 的，而是他想通过这种说法，避免过度冗长地解释一个他认为读者应该能够理解的细节。他可能希望读者能自己去思考，去连接前面已经建立的概念。这是一种对读者智力的尊重，也避免让文章显得过于啰嗦。可以理解为，作者在说：“我这里跳过了一些步骤，但我相信你能够理解其逻辑，如果你停下来想一想。”当然，这种“礼貌性”的后果就是，如果你的功底还不够，你就会发现自己“不难发现”不了什么。
第三种可能性：这是一种“试探性”的表述
尤其是在研究的初期阶段，或者是在探索一些前沿问题的过程中，作者可能自己也对某个结论的得出感到一丝不确定，或者认为其推导过程还有待进一步的完善和验证。但为了继续推进整体的论证，他可能会选择用“不难发现”、“显然有”这样的词语来暂时“盖过”这个环节。这就像是建筑工人搭好一个脚手架，先让结构站起来，然后才慢慢去细致打磨和加固。对于这种说法，如果读者足够敏锐，可能会从中嗅到一丝潜在的研究机会，去深入挖掘这个“显然”背后的真正困难和细节。
第四种可能性：作者只是单纯的“省略了细节”
这是最常见的情况，尤其是在教科书或学术论文中。作者需要在有限的篇幅内传达大量的信息。如果每一个细节都事无巨细地展开，那么一本薄薄的书可能会变成鸿篇巨制，一篇论文也会变得难以阅读。因此，作者会选择省略一些“标准”的或者“技术性”的推导步骤，而直接给出结果。这些被省略的步骤可能涉及基础的代数运算、微积分的常规技巧、线性代数的基本性质等等。对于掌握了这些基础知识的读者来说，这些“省略”是完全可以接受的，甚至是高效的。但对于初学者来说，这些省略的细节就成了理解的障碍。
那么，我们应该如何“评价”这些语言呢？
首先，要认识到其“背景”的重要性。
作者的身份、作品的类型、以及你自己的数学水平，是评价这些话语的关键。
如果你是初学者，或者正在学习一个新的数学分支： 遇到这些词汇时，你需要保持警惕，并意识到自己可能需要花费额外的时间和精力去“填补”这些空白。不要因此气馁，这恰恰是你学习和进步的机会。这时候，“不难发现”的背后，可能隐藏着你需要掌握的定义、定理和基本运算。
如果你已经具备了一定的数学基础，并且在某个领域有一定经验： 你可以尝试去理解作者的意图。他是想让你直接运用某个已知的结论，还是真的认为这个推导过程是显而易见的？尝试自己去走一遍这个“显然”的推导，你会发现很多东西。
如果你是在阅读某位“怪才”数学家的著作： 那么这些词汇可能真的只是他们的“个人风格”而已，你可能需要找到一种与他们思维模式相契合的方式来阅读。
其次，要培养一种“主动性”的学习态度。
面对这些“神秘”的省略，最好的方法就是主动去“发现”。
不要害怕“打断”阅读的流畅性： 遇到“不难发现”的时候，停下来，拿出一张纸，尝试自己去推导一遍。如果推导过程中遇到了困难，就回到前面相关的章节、教材或者基础知识点，把缺失的环节补上。
寻求“补充材料”： 有时候，一本优秀的教科书或者参考书，会提供更详细的推导过程。或者，你可以查找一些专门讲解该领域入门的资料，它们通常会更耐心。
与他人交流： 如果可能，与你的同学、老师或者同事讨论这些“显然”的步骤。集体的智慧往往能更快地解开谜团。
再者，要理解这些表述背后隐藏的“数学之美”。
虽然这些词语有时会带来困扰，但它们也象征着数学的内在逻辑和简洁之美。
它们体现了数学的“提炼性”： 数学追求的是用最精炼的语言和最简洁的逻辑来表达最深刻的思想。这些省略，正是数学家们将复杂问题提炼成核心要素的一种方式。
它们是“知识的传递”： 作者并非故意藏匿，而是希望通过这些省略，将一种“心领神会”的理解传递给下一代。当一个学生能够通过自己的努力，理解了某个“显然”的推导时，那份成就感和对数学的掌握感，将是无可比拟的。
它们是“智慧的挑战”： 就像解一个谜题一样，这些看似“显而易见”的步骤，往往是检验你是否真正理解数学思想的关键。能够攻克这些“障碍”，本身就是一种数学智慧的体现。
最后，也是最重要的一点：请保持耐心和好奇心。
数学的学习是一个漫长而充满挑战的过程。这些“不难发现”的时刻，是你成长的契机，而不是你停滞不前的理由。每一位伟大的数学家都曾是初学者，都曾为某个看似简单的“显然”而困扰。他们的进步，正是源于一次次的主动探索和不懈努力。
所以，下次当你看到“我们不难发现…”、“显然有…”，或者“易得…”时，请不要立刻感到沮丧。取而代之的是，把它看作是一个信号：一个邀请你深入思考、主动探索的信号。去发现它为什么“不难发现”，去理解它为什么“显然有”，去证明它为什么“易得”。在这个过程中，你不仅能掌握作者想要传达的知识，更能在这个过程中，提升自己的数学能力，发现数学真正的魅力。
首先，让我们来解析一下这些话语背后可能存在的多种含义和意图。
第一种可能性：作者确实认为这件事很“容易”
这可能是最直接的解读。这些数学大佬们，他们的大脑在数学领域已经耕耘了几十年甚至上百年。他们对数学概念的理解、对逻辑推理的熟练程度，已经达到了一个我们难以企及的高度。对于他们来说，一个经过精心设计的推导步骤，一个其核心思想显而易见的事实，在他们眼中可能就像是呼吸一样自然。他们可能已经将这个“容易”的事实内化成了自己的直觉，就像我们看到一个直角三角形，会立刻想到勾股定理一样。在这种情况下，“不难发现”可能意味着，只要你拥有与作者相当的数学功底和对相关领域深入的理解，这个推导过程中的这一步，确实是顺理成章的。
第二种可能性：这是一种“礼貌性”的谦虚（或者是一种“话术”）
有时候，这可能是一种委婉的表达方式。作者并非真的认为这个步骤是 trivial 的，而是他想通过这种说法，避免过度冗长地解释一个他认为读者应该能够理解的细节。他可能希望读者能自己去思考，去连接前面已经建立的概念。这是一种对读者智力的尊重，也避免让文章显得过于啰嗦。可以理解为，作者在说：“我这里跳过了一些步骤，但我相信你能够理解其逻辑，如果你停下来想一想。”当然，这种“礼貌性”的后果就是，如果你的功底还不够，你就会发现自己“不难发现”不了什么。
第三种可能性：这是一种“试探性”的表述
尤其是在研究的初期阶段，或者是在探索一些前沿问题的过程中，作者可能自己也对某个结论的得出感到一丝不确定，或者认为其推导过程还有待进一步的完善和验证。但为了继续推进整体的论证，他可能会选择用“不难发现”、“显然有”这样的词语来暂时“盖过”这个环节。这就像是建筑工人搭好一个脚手架，先让结构站起来，然后才慢慢去细致打磨和加固。对于这种说法，如果读者足够敏锐，可能会从中嗅到一丝潜在的研究机会，去深入挖掘这个“显然”背后的真正困难和细节。
第四种可能性：作者只是单纯的“省略了细节”
这是最常见的情况，尤其是在教科书或学术论文中。作者需要在有限的篇幅内传达大量的信息。如果每一个细节都事无巨细地展开，那么一本薄薄的书可能会变成鸿篇巨制，一篇论文也会变得难以阅读。因此，作者会选择省略一些“标准”的或者“技术性”的推导步骤，而直接给出结果。这些被省略的步骤可能涉及基础的代数运算、微积分的常规技巧、线性代数的基本性质等等。对于掌握了这些基础知识的读者来说，这些“省略”是完全可以接受的，甚至是高效的。但对于初学者来说，这些省略的细节就成了理解的障碍。
那么，我们应该如何“评价”这些语言呢？
首先，要认识到其“背景”的重要性。
作者的身份、作品的类型、以及你自己的数学水平，是评价这些话语的关键。
如果你是初学者，或者正在学习一个新的数学分支： 遇到这些词汇时，你需要保持警惕，并意识到自己可能需要花费额外的时间和精力去“填补”这些空白。不要因此气馁，这恰恰是你学习和进步的机会。这时候，“不难发现”的背后，可能隐藏着你需要掌握的定义、定理和基本运算。
如果你已经具备了一定的数学基础，并且在某个领域有一定经验： 你可以尝试去理解作者的意图。他是想让你直接运用某个已知的结论，还是真的认为这个推导过程是显而易见的？尝试自己去走一遍这个“显然”的推导，你会发现很多东西。
如果你是在阅读某位“怪才”数学家的著作： 那么这些词汇可能真的只是他们的“个人风格”而已，你可能需要找到一种与他们思维模式相契合的方式来阅读。
其次，要培养一种“主动性”的学习态度。
面对这些“神秘”的省略，最好的方法就是主动去“发现”。
不要害怕“打断”阅读的流畅性： 遇到“不难发现”的时候，停下来，拿出一张纸，尝试自己去推导一遍。如果推导过程中遇到了困难，就回到前面相关的章节、教材或者基础知识点，把缺失的环节补上。
寻求“补充材料”： 有时候，一本优秀的教科书或者参考书，会提供更详细的推导过程。或者，你可以查找一些专门讲解该领域入门的资料，它们通常会更耐心。
与他人交流： 如果可能，与你的同学、老师或者同事讨论这些“显然”的步骤。集体的智慧往往能更快地解开谜团。
再者，要理解这些表述背后隐藏的“数学之美”。
虽然这些词语有时会带来困扰，但它们也象征着数学的内在逻辑和简洁之美。
它们体现了数学的“提炼性”： 数学追求的是用最精炼的语言和最简洁的逻辑来表达最深刻的思想。这些省略，正是数学家们将复杂问题提炼成核心要素的一种方式。
它们是“知识的传递”： 作者并非故意藏匿，而是希望通过这些省略，将一种“心领神会”的理解传递给下一代。当一个学生能够通过自己的努力，理解了某个“显然”的推导时，那份成就感和对数学的掌握感，将是无可比拟的。
它们是“智慧的挑战”： 就像解一个谜题一样，这些看似“显而易见”的步骤，往往是检验你是否真正理解数学思想的关键。能够攻克这些“障碍”，本身就是一种数学智慧的体现。
最后，也是最重要的一点：请保持耐心和好奇心。
数学的学习是一个漫长而充满挑战的过程。这些“不难发现”的时刻，是你成长的契机，而不是你停滞不前的理由。每一位伟大的数学家都曾是初学者，都曾为某个看似简单的“显然”而困扰。他们的进步，正是源于一次次的主动探索和不懈努力。
所以，下次当你看到“我们不难发现…”、“显然有…”，或者“易得…”时，请不要立刻感到沮丧。取而代之的是，把它看作是一个信号：一个邀请你深入思考、主动探索的信号。去发现它为什么“不难发现”，去理解它为什么“显然有”，去证明它为什么“易得”。在这个过程中，你不仅能掌握作者想要传达的知识，更能在这个过程中，提升自己的数学能力，发现数学真正的魅力。
网友意见
其实有些时候写“不难发现”“显然…”“易得…”是为了 节 省 空 间
如果把每一步都写清楚
那数学书得多厚啊……所有教材都变成板砖了(ﾉ_ _)ﾉ
孩子们都看不下去了…
所以数学需要适当有一些“显然”和“易得”~
虽然有的“易得”能写两三页纸（捂脸）
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