如何评价「泛函、映射、算子、变换都是函数，是搞数学的人骗普通人的把戏」这一说法？实际情况如何？
首先，我们得回到最基本的概念——函数。
在最常见，也是我们最先接触到的定义里，函数就像是一个“黑箱”。你往里面扔一个数（自变量），它经过一番加工，吐出来另一个数（因变量）。比如，f(x) = 2x + 1，你扔进去3，它吐出来7。这是我们中学数学里最熟悉的函数。更严谨一点说，函数是两个集合之间的一种对应关系，要求定义域里的每一个元素，都恰好对应到值域里的一个元素。
好的，现在我们有了这个基础，再来看其他几个概念：
1. 映射 (Mapping)
映射，严格来说，就是数学家们对函数这个概念更广阔、更普遍的称呼。在集合论里，当我们在讨论集合之间的对应关系时，我们更倾向于使用“映射”。
为什么不用“函数”？ 当我们处理的集合不仅仅是实数集或整数集，而是任意的集合（比如向量、点集、甚至函数本身）时，用“映射”这个词可以更清晰地表明我们正在进行集合之间的对应，而不局限于数值的输入输出。
实际情况： 在数学的很多分支，比如拓扑学、几何学，我们研究的是空间之间的对应关系，比如一个空间的点如何对应到另一个空间的点，甚至一个图形如何“变形”到另一个图形。这时候，“映射”比“函数”更能体现这种“连接”的本质。例如，一个连续映射，就是描述一个拓扑空间如何“连续地”变成另一个拓扑空间。这当然不是普通意义上的“输入一个数吐出一个数”。
2. 泛函 (Functional)
泛函这个词，听起来就带点“高大上”了。它的核心思想是：函数的函数。
具体是什么？ 想象一下，我们之前说的函数是接收“数字”作为输入，输出“数字”。而泛函呢，它的输入不再是单个数字，而是一个函数！它接收一个函数作为“原材料”，经过一番运算，最终输出一个“数字”。
例子： 考虑一个积分，比如 ∫₀¹ f(x) dx。这里，f(x) 就是一个函数。我们对 f(x) 进行积分，得到的结果是一个确定的数值（比如 ∫₀¹ x² dx = 1/3）。那么，这个积分操作本身，就是一个泛函。它接收函数 f(x) 作为输入，输出一个数值。
为什么不用“函数”？ 如果还用“函数”来称呼它，就容易混淆。我们说 F 是一个泛函，表示 F: {函数空间} → {实数集}。这和我们熟悉的 f: {实数集} → {实数集} 是不同类型的对应关系。所以，用“泛函”来区分，非常有必要。这在变分法、量子力学等领域至关重要。
3. 算子 (Operator)
算子，可以说是泛函的“升级版”，或者说在更广阔的范畴里，是对“变换”的一种泛称。
核心特点： 算子通常指的是作用在向量空间（或者更一般的数学结构，如函数空间）上的“变换”。它接收一个向量（或函数），经过“运算”后，输出另一个向量（或函数）。
和函数的区别：
如果函数是集合A到集合B的映射，算子就是从一个函数空间到另一个函数空间（或同一个函数空间）的映射。比如，求导就是一个算子。它接收一个函数 f(x)，输出它的导函数 f'(x)。
算子强调的是一种“运算”或“作用”。它不是简单地把一个输入映射到一个输出，而是“改变”或“处理”这个输入。
例子：
在量子力学中，能量算符、动量算符都是作用在波函数（即函数）上的算符。它们的作用是提取波函数的某些物理信息。
在线性代数中，矩阵可以看作是将一个向量映射到另一个向量的线性算子。
为什么不用“函数”或“映射”？ 算子通常具有特定的结构性质，比如线性算子必须满足叠加性和齐次性 (T(ax+by) = aT(x) + bT(y))。这些性质是“函数”和“映射”这两个词本身不一定包含的。用“算子”可以更精确地描述这种具有特定数学结构和运算规则的变换。
4. 变换 (Transformation)
变换这个词相对来说更宽泛一些，它通常指的是一个数学对象如何被改变或“转换”成另一个数学对象。
与算子关系： 在很多情况下，算子可以被看作是一种特殊的变换，尤其是那些在线性代数和泛函分析中讨论的。但变换这个词更强调“改变状态”的过程。
例子：
几何变换：比如旋转、平移、缩放，它们将一个点集（比如一个图形）变换成另一个点集。
拉普拉斯变换、傅里叶变换：这些都是将一个函数变换到另一个函数空间中的“工具”，用于简化分析。
为什么不用“函数”？ 变换更侧重于“过程”和“结果的改变”，而不仅仅是输入与输出的对应。比如旋转一个图形，我们关注的是图形如何“转动”了，而不是简单地说“这个点对应那个点”。
那么，“搞数学的人骗普通人的把戏”的说法错在哪里？
1. 概念的精确性与抽象化是数学的基石，不是欺骗。 数学之所以强大，能够描述如此广泛的现象，正是因为它有精确的定义和抽象的工具。就像物理学家需要用量子力学来描述微观世界，而不是只用牛顿力学一样，数学家也需要更精细的工具来处理更复杂的问题。
2. 区分是为了更清晰的交流和研究。 如果所有这些都用“函数”来称呼，那么在讨论一个作用在函数上的运算时，我们就会说“一个处理函数的函数”，这显然非常拗口，而且容易引起混淆。使用不同的术语，是数学家们为了更准确、更有效率地沟通和构建理论。
3. 它们描述的是不同的数学对象和关系。
函数：最基础的，集合到集合的对应。
映射：更普遍的集合到集合的对应，不限于数值。
泛函：函数到数值的对应。
算子：函数空间到函数空间的映射（通常有特殊性质）。
变换：一种改变数学对象的“过程”。
这就像我们说“车”、“卡车”、“货车”、“公交车”都是“交通工具”，但我们不能说后面几个词是“骗人”的把戏。它们只是对不同类型的交通工具进行了更精细的分类和描述，以便我们在需要的时候能够精确地指代。
总结一下实际情况：
“泛函、映射、算子、变换”都不是凭空捏造的“骗术”，而是数学家为了更精确地描述和研究更复杂、更抽象的数学对象和关系而发展出来的概念。
它们在各自的领域（集合论、分析学、代数学、几何学、物理学等）都有着极其重要的作用，是数学理论构建不可或缺的组成部分。
这些概念的出现，并非是为了“欺骗”，而是为了提升数学的表达能力和逻辑严谨性，让数学能够触及更深层次的数学结构和现实世界的规律。
所以，下次听到这种说法，不妨和他们解释一下，这并非“骗局”，而是数学自身发展的必然，是为了更清晰、更准确地探索宇宙的奥秘。用更专业的语言描述更复杂的现象，这是科学进步的标志，而不是故弄玄虚。
网友意见
这些词汇的本质的确没有什么太大的区别，但是你知道数学并不是一个人编纂的，而是很多人一起各自发展一点数学理论，然后组合起来成为数学的大杂烩。
「映射」是数学里的一个基本概念，和「映射」并列的是「函数」，它们描述的东西是完全一样的，不过映射是一个更为抽象的概念，而函数源于实数函数，表达的是给它一个输入值它会返回一个输出值的概念，所以感觉上用映射这个词会显得“高端”一点。映射是mapping，函数是function.
「算子」、「变换」一般是分析学的词汇，它们表达的意思其实和映射也是一样的。在分析学里比较强调“空间”的概念，所以有别于集合论里一般化的映射，算子和变换更体现元素在两个空间之间转换。另外算子源于一些真正的计算，量子力学我不熟悉就不举例子了，比如说数学里的求导算子，它在发明之初只是一种“计算”而已，并没有被看作映射，所以可能后来在把它视为光滑函数空间上的映射时使用了算子这样的描述。至于变换，比如傅里叶变换，隐隐约约有将时域变为频域这样的一个含义，所以大概因为这个叫做变换。在现代数学的角度上算子和变换是同一回事情。在特定情况下变换会被称作「表现」，这时一般有一类标准的空间，而一个表现就是把任意空间的元素变换为标准空间的元素。
「泛函」是一个不同的词汇，泛函特指向量到标量域的映射。一个向量空间(vector space/linear space/module)由一个标量空间和向量空间构成，标量和向量定义有乘法，也就是说标量乘以向量是向量。例如实数（标量）与复数（向量）构成一个向量空间，复数（标量）与复变连续函数（向量）构成一个向量空间，组合方式有很多。一般情况下所说的泛函指的是线性泛函（就像算子和变换大部分时候也是线性的），比如将连续函数 映射为 ，或者将复数 映射为实部 ，不过从广义上只要定义域是向量空间，值域是标量就行。
搞数学的人也都是普通人，没必要神话，没必要，真的。愿风神忽悠你(๑> <๑）
先说结论：这几个本质上都是映射无误，但是有着各自用途，故而有了不同的说法。函数是从数到数的映射，泛函是从函数到数的映射，算子是从映射到映射的映射。而变换则更强调两个空间内元素相互的映射关系。
题主说的也不是没有道理，这几个本质上都是映射的不同说法，T：A →B。但是映射跟映射也会有一定的区别，随着应用场景不同而不同。
就像是，我们在机器学习领域当中叫训练集和测试集，在计量里面就叫样本内和样本外。于谦的父亲在这一幕里面被称作王老爷子，在下一幕里面就被叫于予玉，于小千，但是本质上都是一个人，不同说法。
苹果是水果，香蕉也是水果，蛇果也是水果，菠萝是水果，凤梨也是水果，但是这几个名词是骗人的把戏吗？并不是。
那么为什么要区分这几个不同的说法，我们讲，函数是数集之间的映射，A跟B都是数集，这个很好理解。
但是如果某一天，我们想要研究从数集R到另一个数集R的所有函数（注意是研究函数）有什么性质，那么我们应该研究的空间里面的元素是什么？函数。那么这个映射我们应该怎么称呼？泛函。lp，C［a，b］，Lp都是函数空间，里面的元素是函数。泛函又是什么到什么的映射？从函数到数的映射。这个时候我们就应该接触过banach空间和范数了。
假如，我们给定A是三维直角坐标系下面的向量空间，给定B是球坐标系下的向量空间，如果A和B同构，A里面的元素跟B里面的元素能不能做对应？可以，从a到b，从b到a都是可以的那么这个对应映射怎么称呼？变换。傅立叶变换就是频域和谱域的变换，将A空间的元素和B空间的元素之间建立联系。像物理里面的洛伦兹变换，也是不同参考系下的元素之间的映射关系。
算子其实也很好理解，举个直观的例子，ABC是三个三维的方阵，其中C＝AB。能够将向量x（x1，x2，x3）进行线性变换，这个时候我们就可以把ABC看成是三个线性变换函数，由于交换律被满足，Cx＝（AB）x＝A（Bx），那么，我们能不能把B看成从A到C的映射，可以。那么怎么称呼？把从映射到映射的映射称之为算子。我们之后就可以研究算子群的性质了，比如紧性，比如零元，比如左伴随之类的性质，也正是这样，我们才能做矩阵的LU分解。
以上
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