如何评价数学家黎曼的成就与历史地位？

穿越时空的思想巨匠：如何评价黎曼的成就与历史地位？

提起数学界的巨匠，约翰·冯·诺依曼、高斯、欧拉这些名字自然会跃然纸上。但如果我们深入到现代数学的根基，有一位名字或许不如前几位那样家喻户晓，然而其思想的深度和广度，却如同基石一般，支撑起我们今日所理解的几何、物理乃至宇宙的图景。他就是波恩哈德·黎曼（Bernhard Riemann）。

评价黎曼的成就，绝不是简单地罗列他提出的几个定理或猜想。他的贡献，更像是点燃了数学思想的一簇簇烈火，照亮了此前未曾想象的领域，并且至今仍在熊熊燃烧，激励着无数后人去探索。

黎曼的“几何革命”：重新定义我们对空间的理解

黎曼最令人惊叹的成就，莫过于他对于黎曼几何的开创性工作。在此之前，欧几里得几何统治了世界两千多年，我们所熟知的平面和直线，构成了我们对“空间”的全部想象。然而，在19世纪中叶，非欧几何的出现（特别是洛巴切夫斯基和波兰约的成果）如同一声惊雷，打破了欧几里得几何的绝对权威。

黎曼敏锐地抓住了这个契机，并且将其提升到了一个全新的哲学高度。他并没有局限于非欧几何的特定模型，而是提出了一个普遍的、可微分的几何框架。他的核心思想是，我们可以通过度量张量（metric tensor）来描述空间中的距离和角度。这个张量，可以根据位置的不同而变化，从而允许我们描述弯曲的、不规则的空间。

想象一下，我们过去只能用尺子和圆规在平坦的纸面上测量，而黎曼则给了我们一把可以随意扭曲、变形的尺子，并且能够精确地知道在任何一点上，这把尺子的“度量”是如何变化的。

这有多么重要？

数学的抽象与统一：黎曼几何将几何从具体的形状和图形中解放出来，上升到一种关于“距离”和“曲率”的抽象语言。他用微分几何的工具，将局部性质（曲率）与整体性质联系起来，为后来的微分拓扑和微分几何奠定了基础。
对物理学的革命性影响：黎曼几何的出现，为爱因斯坦的广义相对论提供了数学武器。爱因斯坦正是利用黎曼几何描述了引力场，认为引力不是一种“力”，而是由质量和能量造成的时空弯曲。我们今天所理解的宇宙，其运行的根本法则，很大程度上是建立在黎曼几何的框架之上的。没有黎曼，爱因斯坦的伟业将难以想象。

黎曼函数与数论的深邃之谜：黎曼猜想的诞生

如果说黎曼几何让他在数学史上占有一席之地，那么他对数论的贡献，则将他推向了更加神秘和充满挑战的巅峰。他转向了最基础的数字，探寻素数分布的规律。

黎曼在其著名的、也是唯一一篇关于数论的论文《论小于给定数的素数个数》中，引入了黎曼 Zeta 函数 $zeta(s) = sum_{n=1}^infty frac{1}{n^s}$，这是一个极其简洁却又蕴含无穷奥秘的函数。通过对这个函数的深入研究，他揭示了素数分布与复数域上的零点之间存在着惊人的联系。

他发现，Zeta 函数的“非平凡零点”（即不等于负偶数的那些零点）都位于复平面上一个特定的区域：实部等于 1/2 的直线上。这个猜想，就是举世闻名的黎曼猜想。

为什么这个猜想如此重要？

素数分布的钥匙：素数是构建所有整数的基本砖块，但它们的分布却异常混乱，看似随机。黎曼猜想一旦被证明，将为我们提供一个极其精确的公式来描述素数的分布情况，就像是一张藏宝图，指引着素数海洋中的隐藏规律。
连接数学的桥梁：黎曼猜想的证明，不仅会解决数论中的一个核心问题，还会对数学的其他领域产生深远的影响，例如解析数论、代数几何，甚至统计物理和量子力学。许多重要的数学定理的证明都依赖于黎曼猜想的成立。
数学界的“珠穆朗玛峰”：黎曼猜想自提出以来，一百多年来无数顶尖数学家前仆后继，却都未能将其征服。它成为了数学界最著名、最困难的未解难题之一，挑战着人类智慧的极限。

黎曼的“积分”革命：更广阔的积分概念

除了上述两项划时代的成就，黎曼在数学分析领域也有着不可磨灭的贡献。他引入了黎曼积分的概念，将积分的定义从“面积”的直观理解，提升到了一个更为严格和普遍的分析框架。

在他之前，积分主要依赖于牛顿莱布尼茨的方法，但其严格性存在一些问题。黎曼积分通过将积分区间进行分割，并定义了上和与下和，为函数积分的可能性提供了一个严谨的判定标准。这使得许多不连续的函数也能被积分，极大地扩展了积分的应用范围。

黎曼的个人风格与局限

黎曼的数学思想如同奔涌的河流，他善于从直观的几何概念出发，然后将其转化为抽象而强大的代数工具。他的论文往往简洁而深刻，信息量极大，但也因此给后人留下了巨大的解读和发展空间。

然而，黎曼的生命却是短暂而悲怆的。他生于贫困，身体羸弱，长期饱受肺结核的折磨，英年早逝，年仅39岁。他的许多思想，在他生命的最后几年才逐渐成型，并主要以学术报告和少数论文的形式流传于世。如果他能有更长的生命，或许数学的面貌会因此更加不同。

黎曼的历史地位：一位不容忽视的奠基者

如何评价黎曼的历史地位？

现代数学的奠基者之一：黎曼的工作，尤其是黎曼几何，直接催生了微分几何和微分拓扑，并成为广义相对论的数学基础。他的黎曼 Zeta 函数和黎曼猜想，则深刻影响了现代数论的发展。可以说，没有黎曼，我们今天所理解的许多数学和物理领域将不复存在。
思想的引领者：黎曼的思维方式，即从直观的几何概念出发，通过代数和分析的工具进行抽象和推广，成为了现代数学研究的重要范式。他敢于挑战传统，开辟新领域，其探索精神至今仍激励着数学家们。
连接数学与物理的桥梁：黎曼的工作是数学与物理学之间紧密联系的一个绝佳例证。他的几何思想直接被爱因斯坦应用到物理学中，展示了数学的抽象力量如何能够深刻地揭示自然界的奥秘。
对后世的影响深远而持久：黎曼留下的许多猜想和未竟事业，仍然是当前数学研究的前沿。他提出的问题，其深度和广度，足以支撑起一代又一代数学家的探索。

总而言之，波恩哈德·黎曼是一位思想极其深刻、贡献极其辉煌的数学家。他的成就不只在于提出了几个定理，更在于他为数学开辟了新的视野，提供了新的工具，并预示了未来研究的方向。他就像一位在数学星空中划过的彗星，虽然短暂，却留下了耀眼的光芒，至今仍照耀着我们前行的道路。评价黎曼，就是在评价现代数学和物理学发展的核心脉络，这位穿越时空的思想巨匠，其历史地位毋庸置疑，且将继续在数学的殿堂中闪耀。

网友意见

从微积分开始，黎曼的名字零星会冒出来：黎曼函数（这个函数真的不一般，性质很奇特）、黎曼积分、黎曼-勒贝格引理……这个时候还是不显山不露水。

能了解到黎曼数学品味的课程，首先是复变函数。解析函数性质有多好就不多说了，各种巧妙的玩意，哪一个都让人流连忘返。复变函数本身就蕴藏了很多拓扑的精神，那是数学中最好玩的东西。而且解析函数又有着真实的物理背景——调和函数，数物两开花。光是这一个领域就够后面的数学家挖掘的了。

再往后，学习黎曼几何，你就知道和广义相对论的关系有多亲密。那个时候的数学家就已经明白了度量的本质，思考空间曲率。你说他一点也没有怀疑我们空间是否真的是平坦的吗？我反正是不信。只是大佬有一肚子话不愿意讲，怕惊了世人。

然后才是世人所知的黎曼猜想。大佬的论文常常是如履平地，波澜不惊，可能几句话就是一个大问题，但是他似乎一点也不在意，一顿操作哗哗哗，提出黎曼猜想戛然而止，事了拂衣去：你们接着算吧。

数学家们：喵喵喵？？？

黎曼还有为数不多的几篇论文，有关于物理等方面，我也不是很懂，就不多说了。以前买了他的文集，也没太仔细看，但是只要你顺着他的思路算一算，你就知道他的算力有多深，别人是一步一个台阶，他直接梯云纵原地起飞……

但是能了解到黎曼有多厉害，本身就要付出相应的努力。普通的数学爱好者只能人云亦云，对于大众能知道黎曼猜想也是不容易的事了。

普通人能理解的厉害，那已经是佼佼者了；天才都理解不了的厉害，那就是——

黎曼就连天才短命都完美符合，这一点让人太唏嘘了……大概是泄露天机太多了。

让我特别感动的是黎曼的演算纸，密密麻麻，但是字体娟秀，纹丝不乱，空间规划达到极致。因为黎曼晚年比较贫困，就连草稿纸都是省着用的。想到这里，就觉得杨振宁的那首诗特别感人：

天衣岂无缝，匠心剪接成。浑然归一体，广邃妙绝伦。
造化爱几何，四力纤维能。千古寸心事，欧高黎嘉陈。

千古寸心事啊……

（天衣岂无缝，匠心剪接成。学过流形的都会会心一笑吧……）

TL;DR：黎曼发表的数论论文为数论研究注入了新的活力，他使用的方法在接下来的100多年里被各种数学家进行研究和推广，发展出了解析数论。

虽然黎曼仅仅发表了一篇关于数论的文章，但这篇论文里的很多内容经过研究与推广发展成了解析数论（顺便借此机会推销一下我的私货哈哈哈）：

这里采用的是H. M. Edwards的英译版

截图中出现的恒等式被称为欧拉乘积公式（Euler product）[1]。而这个公式现在已推广至任意完全积性函数（strictly multiplicative function）。若f为完全积性函数则对于合适的均有：

其中当f为Dirichlet特征^[2]时我们就得到了L函数：

在研究等差数列的素数分布问题时它将产生巨大帮助^[3]。当然L函数本身也出圈了，在代数数论等领域中也在发光。好的，我们继续往下看：

这里提到的就是zeta函数的解析延拓了。笔者去年3月初次接触Gamma函数的时候写过这种方法的推导。

红框内圈住的部分简单明了地概括了解析延拓后的zeta函数在全平面的各种性质，还说明了zeta函数在自变量为负偶数时均为零。如今这些零点被称为平凡零点（trivial zeros）。但负偶数并不是zeta函数唯一的零点形式，所以黎曼进而去研究zeta函数的非平凡零点（nontrivial zeros）了：

截图中，黎曼通过引入xi函数对zeta进行了另一种解析延拓（推导细节看这里^[4]）。从这个解析延拓中，我们可以发现zeta函数的非平凡零点关于临界线对称^[4]。再利用Schwarz反演原理可知zeta函数的零点也关于实数轴对称。

黎曼论文里的xi函数和我们现在使用的xi函数还是有些区别。用表示论文里的xi函数，则有：

在上图的尾部，黎曼还给出了用于研究非平凡零点分布的黎曼零点计数公式。虽然论文里对其进行的解释只有一段

但从中我们已经可以窥见现代复分析中的幅角原理（Argument principle）了。这个零点计数公式直到1910年代Backlund才严谨地证明了它。推导过程展开也够一篇写一篇知乎文章了：

论文里并没有给出近似公式的误差，但经过严谨推导可以得到：

现在我们继续读论文：在接下来的文段中，黎曼提出了他的著名猜想：

就在这里，黎曼猜测zeta函数的非平凡零点都落在临界线上。然而黎曼本人认为这个猜想对他本文的主要研究影响不大所以就没继续研究下去。。。但这一简略描述并没有让这个猜想石沉大海，反而让大家产生了关注。

如同论文标题，黎曼的这篇论文主要还是在研究数论问题。现在我们就来看看他怎样将zeta函数与数论联系起来！

这里的f其实就是素数计数函数π(x)：

而大F就是黎曼素数计数函数∏(x)：

然后论文里得到了这样的结论：

更具体的解释请移步：

通过适当的Fourier分析，黎曼将刚才的积分公式进行反演，得到：

后来数学家们把这样的骚操作进行了推广，得到Perron公式：

严谨推导请移步^[5]。而这个公式也是分析数论函数增长速度的得力助手，从中我们可以对素数定理的误差进行分析：

当然黎曼不打算研究的局部性质，反而正面A了上去：

用现代的符号来书写，以上公式就是黎曼主公式（Riemann's main formula）：

黎曼论文中的推导有严重跳步，而为了严谨证明这个公式。以von Mangoldt、Hadamard为代表的数学家们发展了整函数理论，从而得到了xi函数关于非平凡零点的乘积公式：

^[6]

虽然黎曼在论文中直接对xi函数求对数进行推导，但为了不失严谨性von Mangoldt不得不采用一种曲折的路线。首先利用Perron公式已经上面的乘积公式，他证明了：

对两侧关于r做从0到正无穷的积分后才得到了主公式。这部分的推导也相当的精彩，整理在这里了：

接下来通过莫比乌斯反演，黎曼从∏(x)中还原出了π(x)：

很明显论文中有明显的跳步，用现代的语言来讲。利用级数的莫比乌斯反演^[1]，可得：

由于最小的素数为2，所以我们的求和只需要进行到。根据黎曼主公式，我们猜出估计并代入，就得到了截图中的近似式。近似程度非常之精确：

而这个近似公式就是黎曼这篇论文得到的结果。

后记

由于目前作为高二生还有很多学业任务在身，对数论方面的视野仍然有限。这里对黎曼论文的分析还是比较表面，但光是这些内容已经能体现出黎曼非凡的成就了。

笔者从去年6月起开始了解黎曼猜想。虽然笔者并不指望解决这一猜想，但是在研究的过程中也有不少的收获。在接触这一猜想前笔者一度把自己的视野限制在了数学分析本身，但开始学习后发现其实数论也是一个有意思的领域。因此我高二大部分的数学学习精力都放在了解析数论上，也开始在知乎上长期连载《读懂黎曼猜想》系列。在这里，我可以看到很多数学分析概念的灵活应用。所以在研究zeta函数的同时笔者顺路学习了一致收敛、最大模原理、Jensen公式、Schwarz引理、Borel-Caratheodory引理等数学分析的经典概念。没想到我大部分的数分知识是以这种拿来主义的方法学会的（笑。

从19年自学完AP微积分BC课程后，我就开始探索高阶数学的海洋。而由于精力有限，所以我都是以BFS的方法扫过这些知识。先后对机器学习、神经网络、Fourier分析、分数阶微积分、变分法等概念进行了非常表面的探索。这也说服我数学是广阔的，而在窥见全貌前就开始深挖是不明智的。因此，我接下来打算逐渐把精力从分析往代数转变。毕竟解析数论也只是现代数论研究的一个板块，还有代数数论等着探索呢！

参考

^^a^b读懂黎曼猜想（2）——Mellin变换、素数计数函数、与欧拉乘积 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/151753864
^当数论遇上分析（4）——群上特征及其性质 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/271246927
^当数论遇上分析（5）——Dirichlet定理 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/296275397
^^a^b读懂黎曼猜想（3）——平凡零点、非平凡零点与黎曼猜想 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/159602913
^带余项的Perron公式 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/355438064
^《读懂黎曼猜想》支线（3）——零点的无穷乘积 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/308367955

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