数学家面对复杂的数学算式时，还能把它和直观的概念联系在一起吗？
从抽象到具象：可视化的力量
我们先从最直观的“可视化”说起。对于很多数学概念，尤其是初等数学和中等数学，都有相应的几何解释。比如，微积分的核心——导数，可以形象地理解为曲线在某一点的斜率，是瞬时变化的速度。积分，则是曲线下的面积。即使是更抽象的代数运算，有时也能找到几何上的对应。例如，多项式的根可以与坐标系中多项式图像与x轴的交点联系起来。
当算式变得复杂时，这种可视化往往需要更巧妙的技巧。它可能不再是简单的二维图形，而是高维度的几何空间、抽象的拓扑结构，甚至是动态的系统演化。数学家会运用各种工具来“看”懂这些算式：
几何化解释： 即使算式本身没有直接的几何意义，数学家也可能通过构造辅助对象、引入几何模型来理解其内涵。例如，在群论中，抽象的群运算可以对应到对称群的操作，对称性的理解就是一种直观的联系。
动态可视化： 对于涉及变量变化的算式，数学家会想象变量如何移动，算式的值如何随之变化，从而形成一种动态的、过程性的理解。这可以借助计算机图形学来辅助，但很多时候，这种“动态”是在脑海中完成的。
结构与对称性： 很多复杂算式背后隐藏着深刻的结构和对称性。数学家会试图剥离表面的复杂性，抓住这些核心的结构特征。比如，一个看似庞杂的矩阵运算，可能隐藏着某种特定的对称性，而理解这种对称性，就能大大简化其计算和理解。
内在的联系：不仅仅是符号的堆砌
数学的强大之处在于其内在的逻辑一致性和联系性。复杂的算式往往是许多基本概念经过一系列严谨推理和运算后形成的“结果”。数学家并非孤立地看待每一个符号，而是将它们置于一个更大的框架中。
概念的“地图”： 好的数学家脑海中有一个庞大的“概念地图”。当他们看到一个算式时，会将其定位在地图的哪个区域，它与哪些已知概念相连，它解决了什么问题，又引出了什么新的问题。这种联系是建立在对基础理论的深刻理解之上的。
“感觉”和“直觉”： 经验丰富的数学家会对某些类型的算式产生一种“直觉”。这种直觉并非无源之水，而是长期接触大量数学问题、建立起大量模式识别能力后形成的“肌肉记忆”。他们可能会“感觉”到某个算式“不对劲”，或者“有希望”，即使一时无法给出严谨的证明。
类比与类比推理： 数学家善于在不同的数学领域之间进行类比。一个在某个领域看起来难以理解的算式，在另一个领域可能有类似的、更直观的表达方式。通过类比，他们可以借用已有的直观理解来帮助分析新的问题。
从“解题”到“理解”：超越机械运算
数学家面对复杂算式，目标往往不是简单地“解出来”，而是“理解”它。这种理解包含：
算式的意义： 这个算式到底在说什么？它描述的是什么现象、什么关系？
算式的来源： 它是如何推导出来的？每一步的逻辑是什么？
算式的应用： 它能用来解决什么问题？在哪些领域有价值？
算式的本质： 它最核心的数学思想是什么？有没有更简洁、更普适的表达方式？
为了达到这种理解，数学家会进行各种“实验”：
特例分析： 他们会选择一些简单的、特殊的数值代入算式，观察结果，尝试从中找到规律。
参数分析： 改变算式中的某个参数，观察整个算式如何变化，从中理解参数对结果的影响。
重构算式： 尝试用不同的方法、不同的数学语言来表达同一个算式，寻找更清晰、更直观的视角。
挑战与境界
当然，并非所有的数学算式都能轻易地找到直观的对应。在数学研究的最前沿，许多概念极其抽象，甚至超出了我们日常经验的范畴。对于这些问题，数学家更多地依赖于逻辑的严谨性和结构的优雅性。但即使在这种情况下，他们的思维也并非完全脱离“直观”，而是将“直观”的概念延伸到更广阔、更抽象的数学世界。
比如，弦理论中的费曼图，虽然看起来是复杂的图示，但它包含了物理量的传递、相互作用等直观的物理意义。在抽象代数中，群的表示论将抽象的群结构映射到具体的向量空间中，使得对抽象群的理解可以通过对线性变换的理解来完成。
总而言之，数学家面对复杂算式时，他们的能力在于能够穿透符号的迷雾，看到其背后所蕴含的意义、结构、联系和规律。这种能力是深厚的理论功底、丰富的实践经验、敏锐的逻辑思维以及跨越不同数学领域的想象力共同作用的结果。它是一种从具体到抽象，再从抽象回归“理解”的艺术。
网友意见
先来看一个大家都很熟悉的冷笑话：
小明对爸爸说：“爸爸我好冷啊”爸爸说：“站到墙角就不冷了”小明不明白，问：“为什么啊” 爸爸说：“因为墙角有九十度啊”。
题主你看到这个冷笑话的时候是什么感觉，在看到“小明”这个名字的时候会有“为什么不是小红”这样直观的感知吗？在看到“因为墙角有九十度啊”的时候会有什么感觉，是因为这个冷笑话太烂大街了所以什么感觉都没有，还是说会用什么特别的语文阅读理解的角度去看待它？
我觉得只要是正常人都不会这么蛋疼没错吧？这就是一个冷笑话而已，一眼看过去都花不了一秒钟。最多就是好笑，不好笑，看过，烂大街了这样几个评价罢了。
同样的道理，我们在做数学的时候遇到的“算式”都是有它的意义的。没人会闲的蛋疼搞一堆乱七八糟的式子一个一个算着玩。又不是初学的时候，要通过大量练习掌握基本的运算过程。
之所以做数学的时候会涉及一些看着很复杂的式子，是因为我们要通过运算，得出我们想要的结果。从这个角度来说，所有的式子都是和直观的概念紧密联系在一起的。因为只有当一个式子能够反映出具体的有意义的数学含义的时候，它才是有价值的。就比如 @Yuhang Liu 的回答里提到的Atiyah-Singer index formula
看到这个式子的时候，我们自然的会想到“解析指标等于拓扑指标”这样一个“直观的”概念。因为这个式子说的就是这么一件事。
至于题主一开始说的那个能不能想到dx的具体含义，能不能与“计算无限个矩形面积的概念”联系在一起。同样的道理，回到一开始的那个冷笑话。题主你看到这个冷笑话的时候，会思考小明的“明”字左边那个“日”是什么意思么？是不是还考虑这是个象形字，表示了太阳的形状？当然不会了。所以同样的道理嘛。
谢邀，“机械化”是什么东东？
严格地说，不同的数学家面对不同的数学“难题”的思考方式是不一样的。哪有什么世界大同的思维方法，这不是扯淡吗？很多时候，面对具体问题，“数学思维“的好坏往往体现在直觉上。拿早上有人私密我的一个问题举例子吧，他问了这样的一个问题：
这个问题我没见过，或者说我忘记我见过。我的思考过程是这样的，我看见式子 直接想到了 ，
这是任何学过常微分方程的人的直觉，然后我自然想到了补充一个 ,于是不难发现
，
然后考虑积分问题，就有了 。到这里，我实际大概花了20秒到30秒的时间。 然后在脑子里面算了算如果 熟悉特殊函数的肯定知道这种函数不奇怪。,那么 大概是多少，于是直觉告诉我 。然后我用笔在ipad上验证了一下，这就搞定了。具体如下：
中间的一个算式是这样估计的
因此，1/e确实是下确界。
这个题目其实一点都不难，我展现这个过程就是说明“解决数学问题很多时候真的和“直观”、“现实”没有半毛钱关系，相信我，我也压根没去想什么积分的定义，什么 是什么。这里用不上。很多数学问题，你不会做只是因为你不够勤快，不够熟悉而已。真的不需要什么“数学思维”，不需要上纲上线。真的难题才需要“特别”的想法。很多初学者认为我会“可视化”微分和积分我就无敌了，侃侃而谈，其实吧，很多时候，可视不可视意义不大，不会的问题还是不会。微积分就是这样不讲道理的。当然了，我也不觉得微积分中每个问题都有价值，比如上面那个问题就挺傻的，没啥价值。
和@Yuhang Liu说的一样，数学家真正考虑的问题不是题主的那种具体算式，那基本没啥价值，它们思考的往往是一个真正非常复杂的问题，从条件到结果都是数学家自己构思出来的，解决它们没有一定之法，一定之规。有时候一个“灵感”就能巧妙的解决一些猜想，当然了，现在这种情况越来越少了，一般需要构造和建立复杂庞大的体系来解决一个真的问题。就算是不是什么“猜想”，你为了解决一个题目也需要很长的逻辑链条和各种不同的知识，其中的复杂不是什么简单的“数学思维”一句话能概括的。
PS: 尽量别拿类似上面那个例子中的问题私密咨询我了，老老实实邀请就好。这个钱不值得花。
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