数学家 Elias M. Stein 逝世，如何总结他的工作？

数学家 Elias M. Stein：一位分析学巨擘的辉煌一生与不朽贡献

数学界传来令人悲伤的消息，2023年4月23日，享有盛誉的数学家 Elias M. Stein 逝世，享年93岁。Stein 教授是20世纪后半叶和21世纪初数学分析领域最重要的奠基人和引领者之一，他的工作对调和分析、偏微分方程、非线性分析以及更广泛的数学领域产生了深远的影响。他的逝世不仅是数学界的巨大损失，也标志着一个时代的结束。

要详细总结 Elias M. Stein 的工作，我们需要深入了解他所处的时代背景、他所开创的研究方向、他的核心思想和方法，以及他对后世数学家产生的巨大启迪。

时代背景与学术渊源：在分析学的黄金时代闪耀

Elias M. Stein 出生于1931年，他的学术生涯恰逢数学分析蓬勃发展的黄金时代。20世纪初，数学分析经历了由傅立叶分析、实变函数论等奠定的坚实基础，而到了Stein的时代，分析学家的目光开始转向更复杂、更具挑战性的问题。对奇异积分算子、傅立叶乘子、巴拿赫空间理论、概率论与分析的交叉等领域的研究日新月异，为Stein的创新提供了 fertile ground。

Stein 毕业于芝加哥大学，并在那里获得了博士学位，他的博士导师是著名的分析学家 Charles Fefferman。在这样的学术环境中，Stein 受到了一流的数学训练和启发，为他日后的开创性工作奠定了坚实的基础。他职业生涯的大部分时间都在普林斯顿大学度过，这所大学汇聚了众多顶尖数学家，也为他的研究提供了优越的学术环境和合作机会。

核心贡献：调和分析的“新古典主义”与现代分析的基石

Stein 的工作以其深刻的洞察力、精妙的技巧和广泛的应用而闻名。他的贡献可以从以下几个核心方面进行总结：

1. 奇异积分算子及其应用：现代分析的基石

Stein 最为重要的贡献之一是对奇异积分算子（Singular Integral Operators）的研究。这类算子在偏微分方程、傅立叶分析、几何分析等领域扮演着核心角色。经典的例子如柯西积分或惠特尼积分，它们在定义上包含不连续的点，使得直接处理变得困难。

Stein 在这方面的开创性工作，尤其是在他与Charles Fefferman合作的“CalderónZygmund Theory”的进一步发展和推广上，功不可没。CalderónZygmund 理论提供了一套系统的方法来理解和控制这类算子的有界性，特别是在各种 $L^p$ 空间上的性质。Stein 在此基础上，通过引入原子分解（Atomic Decomposition）和辛原子（LittlewoodPaley Theory）等概念，极大地扩展了该理论的适用范围和应用深度。

原子分解：Stein 发展了更精细的原子分解理论，将函数空间（如 Hardy 空间 $H^p$ 和 तिच्या的对偶空间 BMO）分解为简单的“原子”（小的、具有特定性质的函数）的线性组合。这使得对算子的性质的分析更加深入，能够处理更广泛的函数空间。
辛原子理论（LittlewoodPaley Theory）：Stein 将 LittlewoodPaley 的思想推广到了更广泛的函数空间，利用不同的尺度上的算子来刻画函数的性质。这为分析函数的平滑性、振荡性和奇异性提供了强大的工具。

这些工具不仅在理论上取得了突破，更在解决实际问题中发挥了巨大作用。例如，它们是理解偏微分方程（PDEs）解的存在性、唯一性和光滑性的关键。特别是对于一些经典的、以 PDE 为核心的数学问题，如拉普拉斯方程、热方程等，Stein 的理论提供了更为普适的分析框架。

2. 傅立叶乘子及其研究：跨越尺度与频率的分析

傅立叶乘子（Fourier Multipliers）是另一类在分析学中至关重要的算子，它们作用于函数的傅立叶变换上。Stein 在此领域的研究同样具有开创性，特别是他对多维傅立叶乘子的性质进行了深入研究。

他提出了“Stein插值定理”，这是对 RieszThorin 插值定理的深刻推广，允许在更一般的参数下刻画乘子的有界性。这个定理在理解乘子的性质和设计新的乘子方面起到了关键作用。

此外，Stein 还关注了“多尺度分析”，即如何从不同尺度（频率）上理解函数的行为。他发展了“平方函数算子”和“重叠算子”等工具，用于捕捉函数的局部性质和整体性质之间的联系。这些工具在分析“振荡积分”和“黎曼积分”等重要数学对象时发挥了核心作用。

3. 几何分析与非线性分析的桥梁

Stein 的工作并不仅仅局限于传统的调和分析，他还巧妙地将分析工具应用于几何分析和非线性分析领域。

几何分析：Stein 利用他的分析工具研究黎曼流形上的微分算子，例如拉普拉斯贝尔特拉米算子等。他研究了这些算子在不同度量下的性质，以及它们与流形的几何结构之间的关系。这为理解流形上的函数和概率分布提供了新的视角。
非线性分析：Stein 还对一些非线性方程进行了分析，特别是在概率论与分析的交叉领域。他将他发展的分析工具应用于随机过程的性质研究，例如布朗运动的路径性质，以及马尔可夫过程的渐进行为。他的工作为理解随机现象提供了一种严谨的数学框架。

4. “Stein方法”：一种普适性的分析范式

Elias M. Stein 的工作并非仅仅停留在解决具体问题，他更重要的贡献在于建立了一种普适性的分析范式，后来被业界称为“Stein方法”。这种方法强调：

对算子性质的深入理解：不仅仅是证明有界性，更要理解算子是如何作用于函数的，它如何改变函数的平滑性、振荡性、局部性质等。
精妙的技巧和构造：Stein 善于运用精妙的数学构造和技巧，例如“热核分解”、“平方函数”等，来分析算子。
跨越函数空间的桥梁：他能够通过插值、对偶等方法，将分析结果从一个函数空间推广到另一个函数空间，极大地拓展了理论的应用范围。
与不同领域的联系：Stein 的工作始终贯穿着将分析工具应用于其他数学分支的理念，促进了数学内部的融合。

他的著作，尤其是“Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions”和“Harmonic Analysis: Real Variable Methods, Orthogonality and Oscillatory Integrals”，被认为是分析学领域不可多得的经典教材和参考书。这些著作不仅传授了深刻的数学思想，也塑造了无数数学家的研究思路。

影响与遗产：一位真正的巨匠

Elias M. Stein 的工作对后世数学家产生了不可估量的影响。他不仅是一位杰出的研究者，更是一位卓越的导师和合作者。他培养了众多优秀的数学家，将他的思想和方法传承下去。

学术界的广泛认可：Stein 曾获得众多国际顶级数学奖项，包括沃尔夫奖（Wolf Prize）和阿贝尔奖（Abel Prize），这是对他在数学领域卓越贡献的最高肯定。
启发后代研究：他的研究成果成为了现代分析学研究的基石，为后来的研究者打开了新的研究方向，例如在卡尔德龙齐格蒙德型算子、多维分析、非线性PDEs、概率论与统计学等领域。
数学教育的贡献：他撰写的经典著作不仅为专业人士提供了宝贵的学习资源，也为数学教育做出了巨大贡献。

Elias M. Stein 的逝世标志着一个时代的终结，但他的思想、他的方法、他的贡献将永载数学史册。他以其非凡的智慧和不懈的努力，为我们留下了宝贵的数学财富，激励着一代又一代的数学家继续探索数学的奥秘。我们可以说，Elias M. Stein 是现代数学分析领域的一位“常青树”和“灯塔”，他的名字将永远与分析学的辉煌联系在一起。

网友意见

谢邀来答。

得知这个消息之后，我在朋友圈里面转发了Princeton 的讣告，配上了这样一段话，

“是永远读不对的名字，是永远借不到的书，是每次作业都要引用的文献，是留在草稿箱里面的求书的邮件，是读书读到天明的酣畅，是岁末年初悠扬不绝的钟声。”

对于每个工作在harmonic analysis 这个领域的人来说，E.M.Stein 注定是一个绕不过去的名字。一是因为他本人的学术突破，二是因为他本人或与其他合作者合著的书籍，三则是因为他培养的学生。

就我本人的观点而言，这三者在他的贡献中占据同等比重。不同于其他答者，我个人的回答可能具备较强的主观性。对Stein 工作的总结也更多是从我个人的角度和经历出发，而且我并不主张一个回答包罗万象或者几近完美，因为工作总结本身就是一件很难做到“包罗万象”的事情，所以我对自己一向宽容，不必求全责备，希望读者也能抱有同样的心态对待这个回答。如有谬误，欢迎指出；如有见解，欢迎讨论。

首先说个必要也不必要的事情，Stein 不是按照英语方式拼读的，这是一个德语单词，意思是stone，应该读作[ʃtain].

Academic progress

Princeton, Dean of the Faculty 上面关于E.M.Stein 有这样一句评价，

Mathematics may be divided into analysis, geometry and algebra. Eli is a towering figure in analysis.

这句话虽有溢美之嫌，但大体上还是属实的。（By the way, 我一直觉得这篇评价是Stein的学生Fefferman写的，大家有空可以观赏一下，比较到位准确）

Claim 我曾经花过一些时间甄别以下各理论中Eli 的工作和别人的工作，但我发现对于如今融合式的表达而言，这一做法无疑是使我的工作量成倍增加，而且我本人并没有进入科学史工作的愿望，所以以下各结论中，可能会有一些工作不完全归功于Eli ，希望大家在评论区对这样的现象予以指出，我将及时修正。

G.H.Hardy 曾经说过这样一句话，

All analysts spend half their time hunting through the literature for inequalities which they want to use and cannot prove.

因为一定程度上来说，良好的不等式是一座又一座函数空间转换的桥梁，是一个又一个存在唯一性的基石。一定程度上说，不等式就是分析学最基础的武器。

• Littlewood-Paley Theory

类比于real analysis 中常用的cut-off 函数 ，Fourier domain 上的分解可以通过构造一个bump function， 实现，它满足

（1）在 上为1；在 上 ；

（2） .

进一步，考虑periodic -function情形下，构造Littlewood-Paley projection，

对于non-periodic -function，我们考虑这样的形式，

Remark 事实上，我们需要首先考虑Schwartz function，然后通过Schwartz functions 在中稠密建立起这个等式。

基于这样的工作，Stein 在Littlewood, Paley, Bernstein 等人的工作基础上，考虑了square function，形成了这样一个estimate，

其中， .

Remark 通常，这个证明是通过关于singular integral 的Calderon-Zygmund theory 完成的。

无疑，这个工作的贡献是巨大的，为后续建立Sobolev space 上的product estimate，即考虑 上 ，我们断言，

（1） ；

（2） .

使用上述的Littlewood-Paley projection 就可以规避Leibniz multiple-derivative rule 中类似 此类项的控制。进一步地，Littlewood-Paley projection 还可以和Endpoint(Non-endpoint) Sobolev embedding theorem, Bernstein inequality 结合，一同构成了Sobolev 空间PDE分析的基石。

• Calderon-Zygmund theory

事实上，Stein 另一大部分的工作集中在这个部分的refinement & clarification 上面，包括Stein interpolation theorem, Stein maximal principle, Stein's spherical maximal theorem 等等比较关键的工作。但是这一部分很难通过类似上一部分直白的或说较为friendly 的语言叙述，所以这一部分阅读起来比较困难。

1. Stein (Stein-Fefferman) interpolation theorem

这一定理的来源是Riesz-Thorin interpolation theorem，所以我们首先来介绍一下这个定理。当我们考虑一个linear operator, 从一个 -finite 测度空间 到另一个同类空间 满足，

（1） ；

（2）对于所有的 满足估计：

其中 ，那么我们考虑 空间上的 经 映到 空间上满足这样的估计：

其中 . 事实上，这个定理的证明并不复杂。我们可以通过 space & dual space 建立起等式，

然后通过定义不同 上的定义值，我们可以得到一个entire function,

满足在 时的值为 . 通过Hadamard three-lines theorem, 我们便可以得出这个结论。在这个定理基础上，Stein 将其拓展为一族在 上关于 解析的算子 满足：

成立对于所有的 . 其中 是一个关于 增长速率慢于双重 的常数，那么我们可以建立起估计：

Remark Stein 的学生Fefferman 使用了一种更为本质的观察。他通过观察这样一种形式，

其中 是关于 的解析函数。从而通过条件，可以建立起 的bound，从而通过dual space 和Lindelöf theorem 可以重新建立起Riesz-Thorin interpolation theorem，而这种思考的源泉也是Stein 在他的interpolation theorem 的证明。因此，这个定理也被称为Stein-Fefferman interpolation theorem.

Remark 事实上，上文所述的Hadamard three-lines theorem 也是Lindelöf theorem 的一个推论。

2. Stein maximal principle

考虑一列bounded 算子 ，考虑在 中某些稠密的子类中，如连续的紧支集函数（当然，我们还需要考虑一个合理的空间 ）。我们已经知道 是pointwise a.e. 收敛的，那么，进一步地，一个显然的问题是，当我们考虑所有上的函数时，如何才能做到同样的事情呢？

显然，一个自然的考虑是使用maximal operator，假定， 。等价来说，我们需要对所有的 （或此时我们可以直接使用稠密类）建立起一个不等式，

其中 。这个意义在于，在一定规定的条件下，a.e.收敛等价于maximal operator 的有界性。无疑，Stein 的贡献就是建立起来了这一套不等式。他的结果是：考虑 是一个compact group， 是装备Haar measure 的 的homogeneous space，在 的情况下，再假设 communicating with translations(sorry，这一部分我不知道如何翻译……)，我们上述的不等式就可以得以实现。证明的过程比较长，我就不摆上来了……这是Stein 原文的证明，和我们的表述略有差别。

一个相关的结果是Nikishin–Pisier–Stein factorization theorem. 这个考虑也是比较自然的，既然原始考虑是在同一个 空间进行的，那么，如果考虑结果又会如何呢？这个定理回答了这个问题，事实上，如果保持并假定 ，那么，对于任意 ，都将存在一个测度不大于 的集合 满足，

3. Stein spherical maximal theorem

TBC

• Merry Christmas! 祝大家圣诞快乐！

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