数学家（数学专业）都是怎么搞研究的?

作为一个数学研究者，我的工作可以说是既严谨又充满创造性，它不像许多人想象的那样，只是埋头于黑板和数字。事实上，它是一场持续不断的探索、思考和交流的过程。下面我试着把我的研究经历，尽可能详细地讲清楚，并且保证这绝对是来自一个真实的研究者之口。

1. 灵感的火花：从何而来？

数学研究的起点往往不是一个突然闪现的“ Eureka！”时刻，更多的是一种“痒痒”的感觉，一种对现有知识的不满足，或者对某个数学对象的好奇。这些“痒痒”可能来自：

阅读文献，发现未解之谜：我会花大量时间阅读最新的研究论文、经典的数学著作，甚至是自己课题领域的“前沿”报告。在阅读过程中，经常会遇到一些“留有遗憾”的地方：作者可能提出了一个问题，但没有给出完整的解答；或者作者的研究结果可以进一步推广，但他们没有去做；甚至有时候，我会觉得作者的证明思路可以更简洁、更优雅。这些未解之谜，就像摆在我面前的一块块璞玉，激发着我去深入挖掘。
课堂讲授或学术报告中的启发：有时候，在听老师讲课，或者参加学术会议时，一个不经意的提问、一个老师的随口一说、甚至是一个他人在报告中展示的图表，都可能像一颗石子投进我的思想湖泊，激起层层涟漪，引发新的思考。
数学问题的类比和推广：我可能会遇到某个在特定领域（比如图论）很重要的结论，然后会想：这个结论是否也能推广到其他领域（比如拓扑学）？或者，我是否能把已知的某个定理，用一种全新的、更普适的语言来表述？这种从具体到抽象，从特殊到一般的思考，是数学研究的常见路径。
解决实际问题的驱动（虽然不是主流）：虽然很多纯粹数学研究者并不直接解决实际问题，但有些数学分支（如应用数学、统计学）的研究就源自工程、金融、生物等领域的挑战。这些问题会被抽象成数学模型，然后数学家们去研究这个模型的性质、求解方法等等。

2. 问题的确立与分解：找准方向，拆解巨石

一旦产生了一个模糊的研究方向或想法，接下来就要把它变成一个具体、可操作的数学问题。

精确定义：我需要将模糊的想法转化为严谨的数学语言。这包括定义清楚我所研究的对象（是什么？它的性质是什么？）、我想要解决的问题（目标是什么？）、以及我有哪些工具和假设。比如，我可能想研究“某种特殊图的染色问题”，那么我需要精确定义这种图的结构，什么是“染色”，什么算“一个好的染色”，以及目标是什么——比如找到最小染色数。
文献调研的深化：在确立问题后，我会进行更深入的文献调研，看看其他人是否已经解决了这个问题，或者有没有非常接近的研究。如果已经有人解决了，那么我的研究价值就打了折扣。如果有人做了类似的工作，那么我会参考他们的思路、方法和技术，看看如何在此基础上进行改进或拓展。
分解问题：通常，一个研究问题都比较复杂。我会尝试将其分解成若干个更小、更容易处理的子问题。解决这些子问题，最终就能汇聚成整个问题的答案。这就好比攀登一座高山，你需要一步一步地规划路线，攻克每一个难关。

3. 研究方法的实践：思考、计算、证明

这是整个研究过程的核心，也是最耗费精力和脑力的地方。

猜想与直觉：很多时候，在解决问题之前，我会基于已有的知识和对数学对象的理解，提出一些初步的猜想。这些猜想可能来自于对简单例子进行计算、画图、或者通过一些非正式的推理。猜想是研究的“灯塔”，它为我指明了前进的方向。
计算与举例：对于许多问题，尤其是涉及到具体数学对象的，我会通过大量的计算和构造例子来加深理解，检验猜想。比如，在研究某种数列的性质时，我会计算前几十项，观察它们的规律；在研究某种代数结构时，我会构造小的例子来体会其操作。
证明：这是数学研究的灵魂。一旦有了猜想，我就要努力去寻找严格的数学证明。证明的过程是一个高度逻辑推理的过程，需要：
运用已有的数学工具：这可能包括定理、引理、定义、公理、以及各种证明技巧（反证法、数学归纳法、构造性证明等）。
创造新的证明技巧：有时候，现有的工具不足以解决问题，就需要我根据问题的特点，创造出新的证明方法或引入新的概念。
反复思考与修正：证明的过程往往不是一帆风顺的。我可能会提出一个证明思路，然后发现其中存在逻辑漏洞，或者这个思路只适用于特定情况。这时就需要我退回去，重新思考，修正思路，甚至完全改变证明的方向。这个过程可能会花费我数周甚至数月的时间。
形式化与严谨性：最终的证明必须是无可挑剔的严谨。每一个推导步骤都必须有充分的理由，每一个结论都必须是逻辑必然的。
反例的寻找：有时候，一个猜想可能看起来很合理，但实际上是错误的。这时，我的任务就是去寻找反例，即找到一个例子，它满足猜想的前提条件，但却不满足猜想的结论。找到反例，意味着猜想被证伪，我需要重新思考。

4. 交流与反馈：与同行“切磋”

数学研究并非孤立的个人行为，与他人的交流至关重要。

与导师/合作者讨论：我的导师（如果我是学生）或合作者是我最主要的讨论对象。我们会定期见面，交流研究进展，讨论遇到的困难，互相审阅对方的思路和证明。一个“旁观者清”的视角，往往能发现我忽略的逻辑漏洞或者提供新的解决问题的角度。
参加学术会议和研讨会：在学术会议上，我会听取别人的报告，了解最新的研究动态，同时也会有机会向同行展示自己的研究成果，并接受提问和反馈。有时候，一场报告的提问环节，就能给我带来极大的启发。
撰写预印本和论文：当我积累了一定的成果，我就会将我的研究成果写成论文。在投稿给学术期刊之前，我通常会将论文发布在预印本网站（如arXiv.org）上，这样可以让更广泛的数学界了解我的工作，并可能收到来自其他研究者的反馈和建议。
同行评审：论文提交给期刊后，会经过同行评审。评审人会仔细审阅我的论文，提出修改意见。这个过程虽然有时会让人感到压力，但它是保证研究质量的关键环节。

5. 写作与发表：整理成果，贡献知识

当我的研究工作有了明确的、被充分证明的结论后，就需要将它们整理成一篇清晰、严谨的学术论文。

结构化写作：论文通常包含引言（介绍背景、问题和主要结果）、相关工作（回顾前人研究）、主要结果（详细陈述定理和证明）、结论和展望（总结工作并提出未来研究方向）等部分。
注重表达的清晰和准确：数学论文对语言的要求非常高。每一个定义、每一个定理、每一个证明步骤都必须表达得准确无误，逻辑清晰。
反复修改：写作过程是一个反复打磨的过程。我会不断修改措辞，调整结构，确保论文的易读性和严谨性。

6. 持续学习与迭代：永无止境的探索

数学研究是一个不断学习和迭代的过程。即使完成了一项研究，也意味着一个新的起点。

跟进新的研究：我会继续关注我的研究领域内的最新进展，看看我完成的工作是否能被他人进一步推广或应用。
新的好奇与探索：随着知识的积累，我的好奇心会被激发，可能会开始新的研究方向。

总而言之，数学研究并非一蹴而就，它是一个需要极大的耐心、毅力、创造力和逻辑思维的漫长过程。它充满了挑战，但当一个困扰许久的问题终于被解决，当一个精妙的证明被构建出来时，那种成就感是无与伦比的。这是一种智力上的探险，一种对未知世界的深入探索。

网友意见

我总感觉这个问题是没办法说清楚的，就好比你没办法和一个没下过水的人说清楚怎么样在大江大河的避开漩涡激流游到彼岸一样。

阅读已有的论文当然是一个方法，但是就像我之前一个回答里说的：klam：在你的专业里，有哪些常识书本上没有？

能写下来的，都是数学研究的成果，而不是研究方法和思维过程，更不用说写下来的证明过程，基本上都是经过完善，打磨，修改过后的了。
这是可以写下来的数学，就好比猎人带回来的已经宰杀过的鹿肉，商店里卖的脱了皮的谷物一样。
我可以写下来what，但是没办下写下来how和why。

数学研究是一个探索未知的过程，即使大多数的结果都会参考已有的结论，但是里边的核心还是需要自己去探索解决的。看已经写好的论文当然可以知道哪条路走得通，但是那是因为已经有人沿着那条路走了一遍了。那么在具体面对未知的问题的时候，怎么样能知道哪条路可以走得通，需要怎么样来确定沿哪个方向前进，前进的过程中会遇到什么样的gap和obstacle，怎么样克服或者绕过去。这一切一切就像陈老爷子说的：

有数学经验和远见的人，能在大海航行下，达到新的重要的领域。

而所谓的『经验』和『远见』，才是做数学研究最需要的东西。偏偏这些都是非常私人的体验，基本上没办法说清楚。

所以貌似只能回答说：数学研究就是阅读别人的论文以及和别人讨论，然后思考，同时用纸和笔计算，最后得出结果，写成论文。但是这真的是一个完全废话的描述。

在新加坡的这五年---学术篇

每次提到数学这个词，大家能够想到的就是初等代数，平面几何，组合运算，微积分，线性代数，概率论等方向。但在整个数学领域（Earth of Math）上，还有很多更有意思的领域和研究方向，包括数论，几何，拓扑，分形几何，分析，概率统计，博弈论，代数等诸多方向，每一个方向都有很多优秀的数学家在从事相关研究。

当年在数学系的时候，所研究的方向是分形几何（Fractal Geometry）和复动力系统（Complex Dynamics），位于 Earth of Math 的左侧，称之为分形湖泊（Fractal Lakes）。所谓分形，其实是一个粗糙或者零碎的集合形状，可以分成多个部分，且每个部分放大之后与整体有某种相似性，即具有自相似性的性质。而动力系统则是基于某种固定的规则，描述一个空间内的所有点随时间的变化情况，例如钟摆的晃动，水的流动，湖泊里面鱼类的数量。备注：动力系统并不是指汽车的动力系统和发动机引擎，这两者毫无关系。

而复动力系统则是动力系统中的一个分支，研究的是有理函数的迭代性质。所谓函数的迭代，指的是针对有理函数 f(z)，考察其定义域的点 z 的 n 次复合，得到，进一步可以研究的极限。

针对不同的定义域，函数的迭代有着完全不同的研究方法。当时的研究方向是复动力系统（Complex Dynamical Systems）。复动力系统理论的研究始于 1920 年，当时是由数学家 Fatou 和 Julia 研究的，因此复动力系统中的两个重要的集合就是以 Fatou 和 Julia 来命名的，分别称之为 Fatou set 和 Julia Set。随着计算机技术的演进，在上世纪八十年代这些集合可以通过计算机进行可视化，分形几何和复动力系统理论开始蓬勃发展起来。在与双曲几何、分形几何、现代分析学和混沌学等学科发展相互促进的同时，围绕双曲猜想以及 Mandelbrot 集合的研究工作，成为当今复动力系统的研究热点。

举点例子，函数（当）的 Julia 集合的动图如下：

Julia 集合的可视化 https://www.zhihu.com/video/1232253340853587968

当然，科研的时候可不是做一点可视化就算完成任务了，还是需要按部就班的学习各种数学知识和技能。

之前在学校研究动力系统的时候，收集过一些书籍，在此列举给大家，希望对初学者有一定的帮助。One Dimensional Real and Complex Dynamics（实与复动力系统）需要学习的资料如下：

基础书籍：

复分析基础：本科生课程。学习数学知识自然需要循序渐进，除了必要的数学分析，高等代数之外，分析学则是动力系统所必备的知识之一。既然是复动力系统，那肯定就要集中于研究复分析，因此本科的复分析则是复动力系统的必修课之一。

(1) Complex Analysis, 3rd Edition, Lars V. Ahlfors

(2) Complex Analysis, Elias M. Stein

进阶复分析：研究生课程

到了研究生阶段，其实也不足以直接上手搞科研，需要进一步地学习黎曼曲面，拟共形映射等专业书籍，才能够为复动力系统的学习打下基础。

(1) Lectures on Riemann Surfaces (GTM 81), Otto Forster

(2) Lectures on Quasiconformal Mappings, Lars V. Ahlfors

实分析基础：本科生课程

研究动力系统，实分析也是其基础知识之一，无论是通过学习 Stein 还是 Rudin 的教材，都是为了进一步地了解基础知识。

(1) Real Analysis and Complex Analysis, Rudin

(2) Real Analysis, Elias M. Stein

专业书籍：

实动力系统：

(1) One Dimensional Dynamics, Welington de Melo & Sebastian VanStrien

这本书难度较大，上手的时候不建议直接看这本书。

(2) Mathematical Tools for One-Dimensional Dynamics (Cambridge Studies in

Advanced Mathematics), Edson de Faria / Welington de Melo

复动力系统：

(3) Dynamics in One Complex Variable, John Milnor；Milnor 的教材总是写的清晰明确，容易上手，推荐初学者可以读这本书。

(4) Complex Dynamics, Lennart Carleson；Carleson 的教材偏向于分析学，读起来其实也有点难度，还是读 Milnor 的教材相对容易。

(5) Complex Dynamics and Renormalization, Curtis T. McMullen；McMullen 的书适合当做查阅，也不太适合从头到尾读下去。

(6) Renormalization and 3-Manifolds Which Fiber over the Circle, Curtis T. McMullen

(7) Iteration of rational functions (GTM 132), Alan F. Beardon

遍历论：

(8) An Introduction to Ergodic Theory (GTM 79), Walters Peter

学术会议

除了日常的科研之外，博士生时不时地可以去参加一下学术会议，不仅可以去参加本方向的学术会议，也可以去参加其它方向的学术会议，只要有一份邀请函即可。

如果是在 NUS 的 IMS（Institute for Mathematical Sciences）举办的学术会议，一般来说只要是在校的研究生都是可以参加的。记得当时参加的第一个学术会议是关于 PDE 的，标题叫做 Hyperbolic Conservation Laws and Kinetic Equations：Theory, Computation, and Applications（1 November – 19 December 2010）。笔者去听这个系列讲座是因为在 2010 年选择了一门 PDE 的研究生课程，而这个讲座则是作为课程的一部分。

笔者参与的另外一个学术会议则是关于动力系统的，标题叫做 Workshop on Non-uniformly Hyperbolic and Neural One-dimensional Dynamics（23 – 27 April 2012），主要是关于非一致双曲动力系统方向的研讨会。笔者记得当时所修的课程应该只有概率论（Probability II）一门课，因此上课的任务不算很重。参会的时间恰好是学期快结束的时候，科研的任务也不算特别繁重。因此，积极参与各种学术会议也算是科研的其中一部分，一来通过参会可以了解当前的学术研究情况，二来可以认识学术界的各种人士，也算是扩大学术交流圈子的好机会。

既然是学术会议，那自然就有各种各样的 Presentations，学术会议的第一天通常是需要有 IMS 的领导来致辞的，表示学术会议正式开始。每天的学术会议都需要有个 chair 来组织，一天的学术会议基本上是从早到晚，大约从早上 9:30 开始，到下午 4:40 结束。而每个学者汇报时间大约是 50 mins 左右。

这次的学术会议是关于动力系统方向的，那师兄们自然是需要上台做报告的。当时上场的师兄包括大师兄和二师兄，至于三师兄和我则暂时没有成果可以汇报。两位师兄在 IMS 的报告厅里面做了十分精彩的成果展示，会议之后也有不少同行来与师兄们讨论问题。

一般来说，每次研讨会的开始和结束都需要有一个仪式，除了 IMS 的领导致辞表示会议开始之外，在茶歇时间（Coffee Break）期间是可以四处走动的，并且在第一次茶歇的时候，全体参会人员都会在 IMS 附近拍照留念，预祝本次研讨会成功举办。

论文

读到博士自然需要研究一下相应的课题，例如下面这种就是数学系博士生所研究的课题。

Question. 是否存在 l>=4 的偶数和复数 c 使得 f(z)=z^{l}+c 的 Julia 集合 J(f) 是正测度？

针对这个课题，数学系的博士生需要翻阅历史上的相关书籍和论文，阅读其相关论文才能够得到前沿技术和进展。当年花时间阅读的论文主要是几篇 Annals 上面的文章，参考资料也是这几篇文章，不过每一篇文章至少都是 40 页左右，基本上看一篇文章需要花几个月的时间。

1. Combinatorics, geometry and attractors of quasi-quadratic maps，Pages 345-404 from Volume 140 (1994), Issue 2 by Mikhail Lyubich

2.Wild Cantor attractors exist，Pages 97-130 from Volume 143 (1996), Issue 1 by Hendrik Bruin, Gerhard Keller, Tomasz Nowicki, Sebastian van Strien

3.Quadratic Julia sets with positive area，Pages 673-746 from Volume 176 (2012), Issue 2 by Xavier Buff, Arnaud Chéritat

4.Polynomial maps with a Julia set of positive measure，Nowicki, Tomasz, and Sebastian van Strien，arXiv preprint math/9402215(1994).

备注：第 4 篇文章 Polynomial maps with a Julia set of positive measure 里面有错误，通过其证明是无法得到最终结论的，因此是否存在正测度的 Julia 集合一直是未知的。直到 2012 年的第 3 篇文章出来，才算证明了二次多项式存在正测度的 Julia 集合。但是对于高次多项式，是否存在正测度的 Julia 集合则是完全未知的。

在拿到论文和课题之后，那就开始需要研究了。草稿纸也算了一张又一张，论文也打印了一份又一份，科研之路哪有一帆风顺的，基本上都是历经曲折，才能够达到毕业的彼岸。毕业的时候写了一篇文章《科研这条路》，以此来纪念读博五年的生涯。

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