数学家们用不等式做什么？
1. 描绘现实世界的“边界”与“限制”：
现实世界充满了各种限制和边界。比如，你不可能在一天之内完成一个月的工作量；你的银行账户余额不会无限增长；飞机的载客量是有限的。不等式完美地捕捉了这些“不可能”或“达不到”的情况，或者说，它们定义了“可能”的范围。
物理学中： 光速是信息传播的上限（速度 $v le c$），能量是守恒的（系统总能量保持不变，虽然可以转化为不同形式）。甚至在量子力学中，海森堡不确定性原理（$Delta x Delta p ge hbar/2$）就是用不等式来描述粒子动量和位置之间内在的限制。
工程学中： 桥梁的设计需要考虑荷载上限（桥梁承受的重量 $W le W_{max}$），建筑物的材料强度也有一个极限。工程师们用不等式来确保结构的安全性和稳定性。
经济学中： 资源是有限的（生产某种商品所需的资源总量 $R le R_{available}$），利润的增长也受到市场需求和成本的制约。经济学家利用不等式来优化资源配置，预测市场趋势。
2. 建立严谨的逻辑推理链条：
数学研究的本质之一就是严谨。不等式是构建严谨证明不可或缺的工具。通过一系列逻辑推导和不等式变换，数学家们可以从已知条件出发，一步步证明复杂的数学定理。
证明存在性与唯一性： 很多时候，我们需要证明某个数学对象（比如方程的解）是存在的，并且只存在一个。不等式经常被用来缩小搜索范围，排除其他可能性，从而证明唯一性。例如，通过不等式估计，可以证明一个方程在某个区间内只有一个实根。
比较大小与近似： 不等式使得数学家们能够比较不同数量的大小关系。比如，在分析函数的增长速度时，我们会用不等式来比较两个函数的渐进行为。这在微积分和分析学中尤为重要，例如证明一个级数收敛或发散，往往需要将其与已知收敛或发散的级数进行比较。
优化问题： 在最优化问题中，我们通常要找到使某个函数达到最大值或最小值的点。不等式可以用来界定可行域（满足所有限制条件的值的集合），然后通过分析不等式的性质来寻找最优解。
3. 探索数学对象的“行为”与“特性”：
不等式不仅描述了静态的限制，更能揭示数学对象的动态行为和内在特性。
函数分析： 对于函数 $f(x)$，我们经常使用不等式来描述它的性质。例如，判断函数是单调递增（$f(x_2) > f(x_1)$ for $x_2 > x_1$）还是单调递减，或者它在一个区间内的取值范围（$a le f(x) le b$）。
序列收敛： 在序列的极限分析中，我们常常用到不等式。例如，要证明一个序列 $a_n$ 收敛到 $L$，通常需要证明对于任意小的正数 $epsilon$，存在一个正整数 $N$，使得当 $n > N$ 时，$|a_n L| < epsilon$。这里的 $epsilon$ 和 $N$ 的选取就涉及到不等式。
几何学中的不等式： 三角形的两边之和大于第三边（$a + b > c$），这是三角形不等式，是几何学中最基本也是最强大的不等式之一，它定义了构成三角形的可能性。还有面积、周长等几何量之间的不等关系，也构成了几何学的重要分支。
4. 作为算法和计算的指导：
在计算机科学和数值分析领域，不等式同样扮演着关键角色。
算法复杂度分析： 衡量一个算法运行效率时，我们使用大O符号（$O(n^2)$、$O(log n)$ 等）。这些实际上就是一种渐进行程上的上界（或下界）描述，也就是不等式的一种应用，它告诉我们随着输入规模的增长，算法的运行时间增长得有多快。
数值稳定性： 在进行数值计算时，误差累积是一个重要的问题。数学家们会用不等式来分析和控制计算过程中的误差，确保数值结果的稳定性。
逼近与近似： 许多复杂的数学问题无法得到精确解，这时就需要用不等式来给出近似解的范围或误差界限。
举个例子：我们如何用不等式来“认识”一个函数？
假设我们遇到了一个函数 $f(x) = x^2 2x + 3$。数学家们会用不等式来探索它：
最小值： 我们可以通过配方法，将其写成 $f(x) = (x1)^2 + 2$。由于 $(x1)^2 ge 0$ 对于所有实数 $x$ 都成立，所以 $f(x) = (x1)^2 + 2 ge 0 + 2 = 2$。这就告诉我们，函数 $f(x)$ 的最小值是 2，且在 $x=1$ 时取到。我们通过不等式确定了函数值的下界。
增长趋势： 如果我们想知道当 $x > 1$ 时，函数值是否会增大，可以比较 $f(x_2)$ 和 $f(x_1)$。令 $x_2 > x_1 > 1$。则 $x_2 1 > x_1 1 > 0$。因此 $(x_2 1)^2 > (x_1 1)^2$，进而 $f(x_2) = (x_21)^2 + 2 > (x_11)^2 + 2 = f(x_1)$。这表明在 $x > 1$ 的区间上，函数是单调递增的。
简而言之，不等式是数学家们的“语言”，他们用它来：
界定可能性： 告诉我们什么可能发生，什么不可能发生。
建立联系： 揭示不同数学对象之间的关系，例如大小、增长速度等。
进行推理： 构建严谨的数学证明，支撑定理的建立。
指导计算： 确保数值方法的准确性和稳定性。
理解世界： 将抽象的数学概念与物理、工程、经济等现实世界的规律联系起来。
没有不等式，数学将失色许多，许多深刻的洞察和严谨的结论将无从谈起。它们是数学家们探索未知、构建体系、解决问题的“隐形手臂”。
网友意见
不是数学家。依我愚见，不等式不是目的，而是手段。当精确计算难以进行的时候，那么在某种程度上进行估计就是可以代替“等式”的手段，用以研究研究对象的性质。当然也有一些类似于高中数学的“凑某种结构”的情形，不过这种就比较技巧了。还有的是：不等式本身不是目的，而是一种刻画数学对象结构的方法。
下面举一些例子我觉得比较能作为"proof of concept"，下文将隐去技术细节与严谨定义，尽可能只展示“能证明我上述观点的部分”，以免繁复的细节喧宾夺主。
第一个例子比较“计算机”。近似算法、随机算法。
不妨假设有某个算法 依据输入 来执行某项任务。如果要精确求解，那肯定是比较困难的。但是如果允许一定的误差，那事情就简单多了。例如 ，用 对于 进行近似。如果只能精确求解那估计很困难，但是如果允许一定的误差来近似，那事情就容易很多。事实上许多NP难的问题，你用一些近似算法或随机算法都可以将其松弛为P问题，例如半定规划(Semi-definite programming, SDP)，可以该算法对NP难的MAX-CUT问题给出 0.87 近似，这在理论计算机领域是十分知名的。那么你这个算法究竟近似得效果如何？这当然需要通过不等式来衡量。依然是以SDP为例，它的很多近似结论可以由Grothendieck不等式导出。
如果以高中生比较熟悉的不等式为例，可以举这样一个例子：给定随机变量序列 满足 是独立同分布的Bernoulli随机变量(即 )，那么 的分布满足什么性质呢？这就可以如下考虑其尾重概率：
由马尔科夫不等式，得到 ，可以通过一些方法证明分子的上界，而后优化 ，最终得到 称为Hoeffding不等式。这样我们就可以给出一些算法的精度究竟如何。
我们看到：在这个过程中，对于高中生来说更容易见到的马尔科夫不等式（其实似乎也不容易见到），其实是作为工具来导出我们想要的数学对象的性质的，其本身并不是目的。只是最终数学对象(该算法)的性质(近似精度)是可以被不等式表达的(事实上也没有办法用等式)，于是我们用这些不等式来作为工具得到最终的结果。
当然也有不等式本身就是目的 的情形，比如上述Hoeffding不等式也可以推广到非独立同分布的鞅情形，称为Azuma不等式，可以研究一类不等式最紧可以到什么地步？常数能是多少？这就比较类似于高中竞赛那种不等式放缩了，也是很有技巧的（当然不是竞赛的那种技巧）。再比如Sobolev嵌入的系数，在某些情形下似乎是有用的？（然而我并没有见过具体的使用这个系数的……）
计算机的例子比较应用，下面举纯数学的例子。
在巴拿赫空间理论中有一个伟大的理论称为Rademacher Type理论，它是用不等式定义的概念。巴拿赫空间是一种“元素具有长度概念”的空间（且满足其他性质，对于高中生只需要知道这种空间中的元素具有“长度”这一属性即可，元素 的长度记作 ）。那么可以定义Rademacher Type：
若对于某些 ，存在常数 使得对于巴拿赫空间 中的任意向量组成的有限集合 成立有：
则使得上式成立的最小 记作 就称为巴拿赫空间 的Rademacher Type。其中 是独立同分布的Bernoulli随机变量。
在这个例子中，不等式是作为定义数学概念的工具，更深一层的：为什么要给一个巴拿赫空间提出一个“指标”？事实上是用不等式来使得某种不等式关系能够成立，这种不等式关系反映了数学研究对象(巴拿赫空间)的基本性质，用这个不等式，就可以“用数学表达式来刻画”这种性质，用来进行该巴拿赫空间的其他性质的研究。
以上是不等式的作用（应该是不全面的）。回到题主所说的几个具体的不等式。
切比雪夫不等式的本质是概率测度尾重与矩(范数)的关系，事实上在概率中基本上都是用尾重来做的，因为只要谈“尾重”(测度)，那就有随机性；而谈矩(数学期望/范数)，那就是确定的，我们还是更愿意谈论尾重，毕竟可以通过尾重，用马尔科夫/切比雪夫导出矩的性质（也就是说讨论尾重就暗含了矩的性质）。该不等式主要还是作为工具使用比较多。例如次高斯分布，是一类概率分布满足
的分布，其中 ，其任意 阶矩都满足 ，其中 表示是不等式成立，但并不关注前面具体的系数是多少(该系数与 相关)。这个性质就是由切比雪夫导出的。
柯西不等式是赫尔德不等式的特例，这在高中竞赛中很常见了，略去不表。
琴生不等式的本质是凸函数的刻画。凸性是一种很基础的性质。集合 若满足对于任意的 以及 且 有 则称 是凸集。例如在欧几里得空间上，凸集就是“没有坑”的几何体，比如球体、方体等。事实上凸集总可以由半空间的交得到(允许无穷多个半空间)。凸集这种数学对象的性质十分美好——你看，任意在凸体上连个线段，这个线段总是依然落在这个凸体内部，而不至于担心走着走着掉出去（比如你在球体中间掏个洞，这就不是凸体了，就很丑；比如你把像年画上娃娃的脸一样圆润饱满的玉石磕了个豁儿，那岂不是很丑？所以滴滴饱满的凸体还是性质好一些的）。有了数学对象，自然要考虑数学对象之间的变换，我们研究性质足够好的变换，什么叫性质好？这就引出了凸函数，而琴生不等式
正是用来刻画这种性质较好的变换的。这类似于我上面举的巴拿赫空间的Rademacher Type中不等式的用途，似乎如果使用琴生不等式来证明上面的观点更容易被高中生接收欸（但是我上面都打了一堆了懒得删）。
希望对于高中生有所帮助。如有typo或者gap请轻拍。上文中的英文皆是不知道怎么翻译。
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