为什么数学上一些显而易见的事情数学家们也要编个定理出来？
咱们不妨一层一层地剥开来看，为什么数学家们会这样做。
一、 逻辑的严谨性：这是数学的基石
想象一下建造一座摩天大楼。即便你有坚实的土地基础，你也不能随随便便就开始堆砌钢筋水泥。你需要详细的建筑图纸，明确每一块砖的摆放位置，每一个梁的承重能力，每一个连接处的强度。数学也是如此。
“显而易见”的背后是定义和公理： 你觉得“1+1=2”很显而易见，是因为你从小就已经在生活中接触和理解了“1”和“2”的含义，也理解了“加法”的操作。但在数学的严谨世界里，这些“基本概念”必须被精确地定义。比如，什么是“1”？什么是“+”？什么是“2”？在集合论里，“1”可以被定义为一个包含一个元素的集合的基数，而“2”是包含两个元素的集合的基数。“+”操作，则是集合并集基数的一种运算规则。这些定义本身就建立在一系列更基础的公理之上。
避免“想当然”的陷阱： 人类的直觉和经验在很多情况下非常有用，但在抽象的数学领域，直觉有时也会失效。历史上，有些看似“显而易见”的数学断言，在经过深入研究后，发现并非如此，或者其普适性受到限制。通过定理证明，数学家们就是在不断地清除这种“想当然”的陷阱，确保每一推论都经得起最严格的审视。
传递可靠性： 定理的证明过程，就像是一条清晰的逻辑链条，它从一组公认的、不可再分的初始条件（公理）出发，通过一系列合乎逻辑的推理步骤，最终得出结论。这个过程的每一步都必须是可验证的。一旦证明过程被接受，这个结论（定理）就具有了普遍的可靠性，可以被其他数学家在后续的研究中直接引用，而无需重新证明。
二、 结构与关系的揭示：洞察数学的内在美
数学不仅仅是计算，更是研究数、量、形、结构以及它们之间关系的科学。定理的价值在于，它能揭示这些关系并非孤立存在的，而是相互关联、构成了一个宏大而有序的体系。
连接零散的知识点： 很多时候，一些“显而易见”的结论可能是我们零散掌握的几个数学事实。一个定理就像一座桥梁，将这些零散的知识点连接起来，揭示它们之间的内在联系。例如，欧几里得的几何学中，关于三角形内角和等于180度的结论，看似寻常，但欧几里得通过一系列公理和命题的推导，建立了一个严密的几何体系，将各种平面图形的性质联系起来。
揭示普适规律： 有些在特定情境下“显而易见”的规律，通过定理的抽象和推广，可以揭示出更普遍、更深层的数学规律。例如，我们知道在整数范围内，偶数加偶数等于偶数。但这只是一个特例。更普遍的定理可以描述不同数的加法运算在不同数系（如实数、复数）下的性质，揭示了加法运算在数学结构中的统一性和普适性。
数学的“大厦”效应： 数学研究就像是在搭建一座宏伟的大厦。公理是地基，定理是每一层楼的结构单元，而我们最终的目标是构建一个完整、坚固、逻辑自洽的数学大厦。每个定理的建立，都是在大厦中添加一块重要的构件，使整个结构更加完善和清晰。
三、 思想的拓展与新领域的开辟：探索未知的疆域
数学的魅力还在于它的创造性和探索性。定理不仅仅是对已知事实的确认，更是孕育新思想、开辟新方向的强大工具。
从“为什么”到“怎么样”： 当我们问为什么“1+1=2”时，我们是在探究其“为什么”的根源。而当数学家们建立了关于数集的公理系统后，他们就可以基于这些公理，去探索更复杂的操作，去定义新的数学对象，去研究这些新对象之间的关系，从而开辟新的数学分支。例如，对数的公理化研究催生了抽象代数，使得我们能够研究更广泛的代数结构，如群、环、域等。
形式化与抽象化： 定理的证明过程，迫使我们不断地将具象的思维转化为抽象的符号和逻辑推理。这个形式化的过程，本身就是一种深刻的认知训练。通过抽象化，我们可以将某个问题的解决方案推广到更广泛的领域，发现隐藏在不同问题背后的共同数学结构。
启发新的问题： 一个定理的证明过程，往往会触及到一些我们之前没有考虑过的数学性质或关系。这些新的发现，又会激发数学家们提出新的问题，形成新的研究方向。例如，费马大定理在被证明之前，许多数学家尝试了各种方法，这些尝试本身就极大地推动了数论的发展。而怀尔斯最终的证明，则依赖于大量近代数学的工具，进一步巩固和发展了这些工具。
四、 案例说明：从“显而易见”到定理
举几个例子，或许更能说明问题：
毕达哥拉斯定理（勾股定理）： “直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。” 这个定理在许多具体的例子中（比如345的直角三角形），看起来非常直观。但欧几里得在《几何原本》中，给出了一个极其严谨的几何证明，它依赖于对“平行线”、“面积”等概念的公理化定义以及一系列逻辑推理。这个证明不仅验证了结论的正确性，更展示了平面几何的逻辑力量。
实数完备性： 我们都知道，数轴上的点和实数是一一对应的。看起来理所当然，不是吗？但要严格证明这一点，却需要引入“戴德金分割”或者“柯西序列”等概念。这些概念的引入，是为了确保没有“空隙”的存在，让数轴上的每一个点都能被一个实数精确地对应。如果没有这些严谨的证明，我们对实数的理解就会是模糊的，很多分析学中的重要定理（如微积分中的介值定理）就无法得到严格的证明。
群论中的一些基本性质： 比如，在一个群里，如果ab = ac，那么b=c。这看起来跟普通的乘法一样，很自然。但在群论的抽象框架里，这种“消去律”并不是一个可以随意假设的性质。它需要从群的定义（结合律、存在单位元、存在逆元）出发，通过逻辑推理才能证明得到。正是这种对抽象结构性质的严谨界定，才使得群论能够广泛应用于物理学、密码学等众多领域。
总结一下：
数学家们“编”定理，并非是为了给“显而易见”的事情增加“难度”或者制造“神秘感”。恰恰相反，这是他们维护数学这门科学纯粹性、严谨性、普适性和探索性的根本方式。
他们通过定理证明：
1. 确保逻辑的绝对可靠，避免任何模糊和想当然。
2. 揭示数学概念和命题之间深刻的结构性联系，构建完整的知识体系。
3. 将具体的、看似有限的数学事实，升华为具有普遍意义的数学原理，为更广泛的应用和深入的研究奠定基础。
4. 不断挑战和拓展人类的认知边界，开启新的数学领域。
所以，下次你看到一个数学定理，不妨想想它背后的“显而易见”，然后体会一下数学家们如何一步步地将这份“显而易见”打磨成坚不可摧的真理，并用它来探索更广阔的数学天地。这其中蕴含的智慧和逻辑之美，远比最初的“显而易见”要深刻得多。
网友意见
你真的确定它显然吗2333
拿你说的零点存在性定理举个例子好了， （是一个很简单的函数）
但我们限制一下定义域，
这样一来 ， ，但是它并没有零点，因为实数域里的零点 在有理数域里取不到，但它真的是一个连续函数，
，这个连续函数的定义式在有理数域里也是成立的
你肯定会觉得这是耍赖，有理数上有一些“洞”所以强行构造一个零点不是有理数的反例——但为什么实数域 不怕这样的反例呢？ 和 之间的区别在究竟在哪里呢？
你认为这些定理显然但这是很不显然的，在历史上对实数的研究花了很大的一番功夫——甚至在复数被广泛运用的年代，实数还是没有被严格定义，要想知道这个是被怎么解决的，可以参考任何一本数学分析教材（笑）
这里我要介绍一个术语叫『概念工程学』（conceptual engineering）。
搭建一个概念体系和盖楼造汽车是一样的，也是一种工程，只要每个部件有统一标准，不管谁造出来都能拼成一个整体。
数学工作者努力地把『显而易见』的事情翻译成严谨的数学语言，就是在让这些概念标准化。这样有利于分工合作，让更多人参与数学工作。数学就是人类最早最大的开源项目。不管你是小学生还是数学家，不管你懂不懂其他部分，只要你前提满足，推理正确，就能保证结论正确，用的舒心，用的放心。你提出一个标准化的新定理，别人也能帮你验证，防止你一条路走到黑。
如果不标准化，就会出现『你以为你懂了，实际上你不懂』、『你确实懂了，但是其他人不懂』、『你和他都以为自己懂了，吵得不可开交又没人说理』之类的糟糕情况。结果就是学术成果难推广，学术活动难入门，慢慢就死掉了，参考中国古代数学发展。
所以现在的数分教育挺偏颇的。
你看见数学家"编"定理证明了你觉得显而易见的结论。
但是，你不知道数学家构造出了很多例子反驳了更多你觉得"显而易见"的结论。
课堂上教师反例讲得太少了，等你多学习一些反例，你就知道普通人的"直觉"多不靠谱。
比如，你觉得介值定理显而易见，那么反过来呢？如果一个函数，对于它的任意两点f(a),f(b))和这两点函数值之间任意一个值d都存在 (a,b)之间的c使得f(c)=d。请问这个函数连续吗？
一个不为常数的周期函数，是不是一定存在最小正周期呢？
一个图形，它面积是有限的，那么它的周长一定也是有限的，对吗？
中值定理对于（可微）复值函数是否成立呢？
一个函数在某个点可导并且导数为正，那么在这个点附近，这个函数是否一定单调呢？
一个函数处处可导，能不能保证它至少在某个点附近可以单调呢？
假设一个连续函数，它在有理点可微，在无理点不可微，它存在吗？
上面还只是涉及到单调、可导这些特别简单的概念，等复杂一点反例更多。
这些显而易见的定理基本都在分析里。分析因为涉及无穷，经常出现一些意想不到的问题。微积分刚诞生的一两百年里，数学家也不写这些定理，结果就被一个叫伯克利的大主教批判，伯克利说，这个无穷小量，既然能做分母，就肯定不是零，但是求导求到最后，却让他又等于零了，这不是自相矛盾吗？为了补上这类逻辑漏洞，分析才逐渐发展成这样的。
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