古希腊的数学家是用什么样的数字运算的，以及如何运算的？

主要是acrophonic和alphabetic两种数字系统

1. Acrophonic numerals

Acrophonic numerals直译是“首字母数字”，因为起源于阿提卡地区，也被称为阿提卡数字（下文就称作阿提卡数字好了）。顾名思义，这种主要是来自希腊单词的首字母。其中一条竖线表示1，右边竖线少半截的Π（πέντ的首字母）表示5，Δ（δέκα）表示10，Η (ἕκατον) 表示100， Χ (χίλιοι) 代表1000，Μ (μύριοι) 表示10000。50、500和5000则是由5的符号和前一个数位的名称拼接而成，比如50就是那个右边少半截的Π和Δ拼在一起，组成

一共三种写法

500是和H拼在一起，组成

5000是和X拼在一起，组成

50000也是遵循同样的规则

这种数字的书写规则和后来的罗马数字基本完全相同，比如4999写作：

值得注意的是，阿提卡系统绝不是希腊地区“标准”的数字系统。当时希腊各地区用的字母多少都有点差别，由首字母产生的数字自然也不尽相同。比如彼奥提亚（Boeotia）地区的数字就是这样的：

阿提卡系统的普及是一个缓慢并且非强制的过程，与雅典帝国的扩张以及希腊化时期文化精英对阿提卡方言的推崇有关，这里限于篇幅就不展开了。

2. Alphabetic numerals

alphabetic numerals直译是“字母数字“，就是把27个希腊字母按顺序排列，前九个代表1～9，中间九个代表10～90，最后九个代表100～900。

千位数字通过在原先的字母前面加个撇（撇可上可下）或者强送气符（“”）表示，也有些写法会把撇和字母合在一起。比如1000可以写作Ά

或者

或者Ἁ

或者

一万并不是写作Ί，而是借用阿提卡数字中的M表示。两万写作ΒΜ，MB或者把B写在M上面。

更大的数字似乎就没有通用的规范了，不同地域、时代的作者采用了很多种不同的写法

比如前三世纪的天文学家，Aristarchus of Samos，作品中的71755875写作：

公元前后的数学家Heron用分音符（就是头上两个点）区分万位以上的数字，在他的Geometrica中18592写作：

（17.33）

公元三世纪的Diophantus则会把万位以上的数字写在M右边，之后用一个圆点和万位以下的数字隔开。他的1507984写作：

（IV.28）

在实际书写中，有时也会用到由此衍生出的草体（cursive writing）数字。这种数字采用小写字母，数字上面添一条横线来和其他单词区分。

3. 运算

或许是因为字母数字比较简洁（比如前文例举的4999，字母数字只用4个字母就能表示，阿提卡数字则需要19个字母），迄今发现的文献中的运算基本全都是采用字母数字。所以咱们先说字母数字，阿提卡数字更多是用在日常生活中与问题关联不大，我会放在文末另讲。

古希腊人在进行乘法运算的时候会用到乘法表，比如下面这份乘法表的残片（P.Mich.inv. 6944）：

能整除的除法可以靠反向使用乘法表来解决，比如要计算八除以四，就去乘法表上找结果为八的项，看到二四得八自然就知道八除以四等于二。

对于不能整除的除法，就要用到分数的形式来表示了。历史上出现过很多种表示分数的方式，其中最常见的写法是在数字头上加一撇（“´”）来表示几分之一，比如草体数字的十八分之一写作“ίή”。不过有一个特例，β头上加一撇表示三分之二，二分之一由一条锐角形状的折线表示。

希腊人沿袭了埃及人看待分数的方式，在他们眼中所有分子不为一的分数都是以若干个“几分之一”连加的形式表示。比如7/4在他们眼中就相当于1 1/2 1/4的连加，计算7/4的平方相当于计算（1+1/2+1/4）*（1+1/2+1/4），他们需要先算出其中每一项的乘积之后再加和。

当时的数学家为了应对这类需求制作了大量的分数表（出土量显著高于乘法表），其中最完整的是P.Mich.inv. 621

太长了。。咱们只读其中的红框部分吧

原文：

翻译：

（注：第三行中省略6000是这类表格的习惯写法，6000是德拉克马和塔兰同之间的换算比率）

继续往后读还能看到20～90、100～900、1000～9000以及10000的“1/9”

所以说古希腊人计算分数的方法其实是相当麻烦的，而且缺少负数、虚数这类概念，或许这也是在今天的眼光看来，希腊数学家的成就更多集中在几何（特别是尺规作图）领域的原因。

*其他回答中有提到一些看起来更简便的书写分数的方法，但如果仔细审视这些书写的前后文，它们其实更多是一种“尚未解决的除法过程的简写”（“abbreviations of unresolved descriptions of divisions“）。关于这个问题建议看一下Fowler, D. (2003). The mathematics of plato's academy: A new reconstruction. Oxford: Clarendon Press. 这本书的7.3-4，其中给出了十分有说服力的论证。

*还有一点值得注意的是某个回答中提到的六十进位系统（Sexagesimal fractions）。这是一种基于圆的弦长形成的系统，其中的所有数字都能换算成现代观念中的角度，比如

相当于 ，比起分数其实更像是一种六十进制的小数。

而且这种表达方式可能较晚时间才被引进希腊世界。目前发现的最早记录应该是地理学家Ptolemy的Almagest，来自公元二世纪。

最后出于公平说一下阿提卡数字的应用吧，这个和题目本身关联不大，各位有兴趣就看看

阿提卡数字虽然在数学家圈子里被弃如敝屣，但也有自己独特的优势。其中最主要的一点表现在计数方面，字母数字每次+1都得擦掉重写，阿提卡系统却可以HHHH...ΔΔΔΔ...IIII...这样一直写下去。

比如下面这个刻在陶瓶上的计数

很多草纸书卷会用到阿提卡数字来标明verse数量，比如有一卷Herculaneum出土草纸的卷首写着ΕΠΙΚΟϒΡΟϒ | ΠΕΡΙ | ΦϒΣΕΩΣ | ΙΕ ἀριθ .. ΧΧΧΗΗ。其中IE是字母数字，表示第15卷，后面的XXXHH则是阿提卡数字标明的小节数量，一共3200个小节。有点类似于咱们现在有些书用汉字数字来标明章节，用阿拉伯数字作页码。

另一个优势是阿提卡数字学起来比较容易（用字母数字需要掌握19个字母才能识读100以内的数字，阿提卡数字只用5个），因此阿提卡数字通常会结合另一种同样来自首字母的货币单位系统，被用在陶瓶这类日常用品的标价上

这个打不出来的符号太多了，我直接截书里的图各位凑活着看吧= =图中的talent(s)和τάλαντον就是塔兰同，drachma(e)和δραχμή是德拉克马，mina(s)和μνᾶ是米纳。截图来自Heath, T. L. (1921). A History of greek mathematics. Oxford: O.U.P.

这种“首字母数字&货币系统”大量出现在454～95ΒC之间的陶瓶上

比如下图这个刻在瓶底的标价

如果想看更多例子可以看一下Lang, M. (1956). Numerical Notation on Greek Vases.Hesperia: The Journal of the American School of Classical Studies at Athens,25(1), 1–24.文中收录了103例带有阿提卡数字的陶片。更多例子可以看Johnston, A. W. (1974). Trademarks on Greek Vases. Greece & Rome, 21(2), 138–152.

简单谈谈古希腊的数字符号系统。

古希腊人使用两套书写系统表示数字，一种是所谓的「阿提卡系统」，又叫「赫罗狄安系统」，因二世纪的语法学家赫罗狄安（Αἴλιος Ἡρωδιανός）曾对其撰文介绍。另一种是 @极殊兵W 提到的「爱奥尼亚系统」，又因其可能最早出现于米利都而被称为「米利都系统」。不过他给的那个转换器提供的是现代希腊语的数字转写结果，虽然是建立于爱奥尼亚系统之上，但与古代用法还是存在差异。

阿提卡系统成型于古风时代，但最早的证据来自前五世纪的雅典，属于比较典型的截头表音（acrophonic）系统，因此以字母Δ开头的10（δέκα）记作Δ，以字母Η开头的100（ἑκατόν）记作Η，以字母Χ开头的1,000（χίλιοι）记作Χ，以字母Μ开头的10,000（μύριοι）记作Μ，以此类推。这一规则存在两个例外，一个是数字1到9，另一个是作为中介数的 ：

• 1使用一竖（Ι）表示，2-9分别记作II、III、IIII、Π、ΠI、ΠII、ΠIII、ΠIIII
• 数字5（πέντε）截头记作Π（其实更准确的应该是U+10143， ，字母Π的旧体）， 记作 （U+10144；顾名思义， ）， 记作 （U+10145；顾名思义， ）， 记作 （U+10146；顾名思义， ）， 记作 （U+10147；顾名思义， ）

举例：数字114514可记作ΔIΜΧΧΧΧ ΔIIII（阿提卡系统内没有比Μ更大的基数；古代日常使用中也很少碰到这么大的数字）

需要注意的是这一系统从未被标准化，因此在各地都存在不同变体；Unicode中收录的符号基本是以阿提卡体为原型的。另外以上这五个符号在特定用途下亦存在变体，例如计钱款数量与货品称重时会加上字母Τ或Σ，分别代表货币单位塔兰同/τάλαντον与质量单位斯塔特/στατήρ。

爱奥尼亚系统成型更晚，一般认为在前五至前三世纪间。与前者相比，首先是多了三个古典希腊字母表内已经不存在的字母：表示6的ϛ（注意和ς不是一个字母），表示90的ϟ，和表示900的ϡ，以弥补使用只有24个字母的希腊字母表代表27个数字（9个「一」，9个「十」与9个「百」）时的不足。书写大于999的数字，则在代表1-9的数字符号前加一点以表示「千」，因此6,000写作͵ϛ；书写大于9999的数字时，可以在代表1-9的数字符号上加二点以表示「万」，因此30,000可写作γ̈，或者可以使用表「万」的基数M，在M顶上添加序数，例如表示30,000可在M上添一个γ。注意到后一种计数法和阿波罗尼奥斯用来记大数的方式类似，例如360,000,000,000可以记作：

阿基米德在《数沙者》（Ψαμμίτης）里提出过一个专门用来表示大数的八进位系统，第一阶为1到 ，第二阶到 ，以此类推，直到第 阶为止记为第一周期，之后为第二周期，直至第 周期。但这个系统未被阿基米德以外的任何人所采用。

古希腊人表示分数时的记法与现代没有多少差异，可以参考前面答主的。一些作者会选择口述分数而不使用符号，例如 可以文字写作τρία πέμπτα。另外天文学家有专门一套沿用自巴比伦人的六十进位系统：一度（μοῖραι）为60分（λεπτά），一分为60秒（δεύτερα ἑξηκοστά），等等；这一系统内还存有一个表示零的符号： ，一般认为是「无」（οὐδέν）的缩写。