古希腊的数学家是用什么样的数字运算的，以及如何运算的？

谈起古希腊的数学家，你脑海中可能会浮现出欧几里得、阿基米德、毕达哥拉斯这些如雷贯耳的名字。他们留下的几何学体系至今仍是基础，但要了解他们的数学运算，得先从他们的“计数系统”和“运算方式”说起，这与我们现代的十进制和阿拉伯数字可大不一样。

一、古希腊的计数系统：字母的魔力

古希腊人使用的数字系统，叫做“爱奥尼亚数字系统”（Ionic numeral system），也常被称为“希腊字母数字”。这个系统的特点是用希腊字母来代表数字。具体来说：

基本单位：希腊字母表中的前九个字母分别代表1到9。
α (alpha) = 1
β (beta) = 2
γ (gamma) = 3
δ (delta) = 4
ε (epsilon) = 5
ϛ (stigma, 后来被丢弃并由⑹代替) = 6
ζ (zeta) = 7
η (eta) = 8
θ (theta) = 9
十位数：接下来的九个字母代表10到90。
ι (iota) = 10
κ (kappa) = 20
λ (lambda) = 30
μ (mu) = 40
ν (nu) = 50
ξ (xi) = 60
ο (omicron) = 70
π (pi) = 80
ϟ (qoppa, 后来被丢弃并由ↂ代替) = 90
百位数：再下来的九个字母代表100到900。
ρ (rho) = 100
σ (sigma) = 200
τ (tau) = 300
υ (upsilon) = 400
φ (phi) = 500
χ (chi) = 600
ψ (psi) = 700
ω (omega) = 800
ϡ (sampi, 一个较晚出现的符号) = 900

举例来说：

要表示 123，古希腊人会写成 ρ κ γ (rho kappa gamma)，意思是 100 + 20 + 3。
要表示 547，就是 φ μ ζ (phi mu zeta)，意思是 500 + 40 + 7。

为了区分字母和数字，当字母被用作数字时，通常会在字母上方加上一个 “ apice符” （keraia，希腊语“角”的意思），比如 ρ̇ κ̇ γ̇ 表示 123。有时为了避免与单词混淆，还会用一个特殊的符号来标记数字的开头，或者使用更复杂的组合方式。

一些特别之处：

缺零的概念：这个系统没有“零”这个概念。如果一个位置是零，就直接跳过。例如，表示205，他们会写成 β ε (beta epsilon)，即 200 + 5。这在早期确实会带来一些歧义，但随着数学的发展，上下文和约定会帮助人们理解。
没有位置值概念：这点和我们现在的十进制数字系统截然不同。我们写 123，‘1’代表100，‘2’代表20，‘3’代表3。但希腊字母数字是“加法”的，字母的值是多少就直接相加，跟字母的顺序关系不大（尽管通常是按照从大到小的顺序排列）。
大数的表示：对于更大的数字，比如超过1000的，他们也有办法表示。一种方法是重复使用符号，但更常见的是用一个特殊的符号（通常是一个加了撇号的 M，类似于 M̸ 或 ↂ）来表示一万。比如，两万就是两个这样的符号。

二、古希腊的数字运算：纸笔之间的智慧

有了这样的数字系统，古希腊数学家是如何进行运算的呢？他们的运算方式更多地是基于几何学和算术的逻辑推演，而不是我们今天这样依赖于算法和熟练的技巧。

1. 加法和减法：

概念理解：加法是结合，减法是移除。他们对这些概念的理解很直观。
操作方式：
物理操作：在没有算盘（算盘在古希腊还不普及）的情况下，他们可能会利用沙盘（aba k or abax，一块有槽的板，用于计算）或者小石头（calculi，也是算盘“abacus”一词的词源）。他们在沙盘上划出代表数字的符号，然后通过移动、合并（加法）或移除（减法）石头来完成运算。想象一下用石头堆积成字母形状，然后把石头移到一起或者拿走一部分。
书写运算：如果是书写，他们会按照字母数字的规则直接相加或相减。例如，要计算 123 + 45：
123 = ρ κ γ (100 + 20 + 3)
45 = μ ε (40 + 5)
相加：(100 + 40) + (20 + 5) + 3 = 140 + 25 + 3 = 170 + 3 = 173
写出来就是：ρ ο γ (rho omicron gamma)
对于进位，比如 7 + 8 = 15，他们会写成 ι ε (iota epsilon)，直接用代表10的字母和代表5的字母组合。

2. 乘法：

概念：乘法被理解为重复的加法。a × b 就是将 a 加 b 次，或者将 b 加 a 次。
操作方式：
几何解释：乘法常常与面积联系起来。例如，计算 12 × 15，可以看作是构建一个 12 × 15 的矩形，然后分割计算其面积。将边长12分割成10和2，将边长15分割成10和5，那么总面积就是 10×10 + 10×5 + 2×10 + 2×5。
书写运算（早期）：早期可能更多地是进行重复加法，这对于大数来说会非常繁琐。
更有效的方法：随着数学的发展，也出现了一些更系统化的乘法方法，类似我们今天的竖式乘法，但依然是基于字母数字的组合。例如，计算 12 × 34：
12 = ι β (10 + 2)
34 = λ δ (30 + 4)
结果是 (10+2) × (30+4) = 10×30 + 10×4 + 2×30 + 2×4 = 300 + 40 + 60 + 8 = 408
写出来是：δ π η (delta pi eta)

3. 除法：

概念：除法被理解为分堆或求包含数。
操作方式：
几何解释：除法与分割图形有关。例如，求 100 ÷ 4，可以看作是将一个边长为10的正方形分割成4个小正方形，每个小正方形的边长是多少。
书写运算：类似于乘法，除法也是一个相对复杂的过程，常常涉及试商、减法等步骤。古希腊数学家倾向于将除法分解为一系列更简单的步骤。
“均分”的概念：他们会尝试将一个数（被除数）“均分”给另一个数（除数），直到分完为止。例如，将 25 除以 3。他们会尝试每次从25中减去3，看看能减多少次，最后剩余多少。

4. 分数运算：

概念：古希腊数学家对分数的概念是存在的，但表达方式与我们不同。他们通常将分数表示为“某数之几”，比如“五分之三”会说成“三的五分之一”。
操作方式：分数运算，特别是加法和乘法，也需要找到公分母，这在字母数字系统中进行会更加复杂。他们的几何学著作中常常会涉及比例和分割，间接体现了对分数的处理。

5. 几何与算术的结合：

最值得强调的是，古希腊数学家并不是孤立地进行数字运算，他们的许多运算都与几何图形和比例密切相关。

毕达哥拉斯学派：他们认为“万物皆数”，数字具有神秘的属性，并且可以通过几何图形来解释和验证。例如，他们研究数形关系，通过点阵图来理解平方数（如 1, 4, 9, 16…）。
欧几里得的《几何原本》：这部巨著虽然以几何为主，但其中蕴含了大量的代数思想和运算方法。例如，欧几里得在书中证明了勾股定理，并给出了“求作”某些长度的方法，这些都涉及到对数字（长度）的运算和转换。他通过几何的“长度”来表示数字，然后通过构造图形来实现运算，比如：
加法：在一条线上截取代表两个长度的线段，然后连接起来。
乘法：通过构造相似三角形来求两个线段的乘积所代表的线段长度。
除法：同样通过相似三角形来求线段长度的商。
平方根：通过几何构造来求平方根的长度，例如求 2 的平方根，就是在边长为 1 的正方形上构造对角线。

总结一下古希腊数学家的运算特点：

非位置值系统：运算的思维方式与我们不同，没有类似现代十进制的“进位”概念，而是直接对字母代表的数值进行加减。
几何化思维：很多抽象的数字运算是通过具体的几何图形和长度来理解和实现的。他们善于将代数问题转化为几何问题来解决。
逻辑推演和构造：他们的数学更注重逻辑的严谨性和过程的展示，而非追求速度和效率。很多运算都需要通过精巧的几何构造来完成。
符号的局限性：字母数字系统在表示大数和进行复杂运算时，确实存在不便之处。随着数学的发展，对更高效的数字表示和运算方式的需求也逐渐出现。

可以说，古希腊数学家以他们独特的字母数字系统为基础，将抽象的数学概念与生动的几何图形巧妙地结合起来，发展出了一套独具匠心却又充满智慧的运算方式。虽然不如我们现在的阿拉伯数字系统直观和高效，但正是这种探索精神和逻辑推理的强大力量，为后世的数学发展奠定了坚实的基础。

网友意见

主要是acrophonic和alphabetic两种数字系统

1. Acrophonic numerals

Acrophonic numerals直译是“首字母数字”，因为起源于阿提卡地区，也被称为阿提卡数字（下文就称作阿提卡数字好了）。顾名思义，这种主要是来自希腊单词的首字母。其中一条竖线表示1，右边竖线少半截的Π（πέντ的首字母）表示5，Δ（δέκα）表示10，Η (ἕκατον) 表示100， Χ (χίλιοι) 代表1000，Μ (μύριοι) 表示10000。50、500和5000则是由5的符号和前一个数位的名称拼接而成，比如50就是那个右边少半截的Π和Δ拼在一起，组成

一共三种写法

500是和H拼在一起，组成

5000是和X拼在一起，组成

50000也是遵循同样的规则

这种数字的书写规则和后来的罗马数字基本完全相同，比如4999写作：

值得注意的是，阿提卡系统绝不是希腊地区“标准”的数字系统。当时希腊各地区用的字母多少都有点差别，由首字母产生的数字自然也不尽相同。比如彼奥提亚（Boeotia）地区的数字就是这样的：

阿提卡系统的普及是一个缓慢并且非强制的过程，与雅典帝国的扩张以及希腊化时期文化精英对阿提卡方言的推崇有关，这里限于篇幅就不展开了。

2. Alphabetic numerals

alphabetic numerals直译是“字母数字“，就是把27个希腊字母按顺序排列，前九个代表1～9，中间九个代表10～90，最后九个代表100～900。

千位数字通过在原先的字母前面加个撇（撇可上可下）或者强送气符（“”）表示，也有些写法会把撇和字母合在一起。比如1000可以写作Ά

或者

或者Ἁ

或者

一万并不是写作Ί，而是借用阿提卡数字中的M表示。两万写作ΒΜ，MB或者把B写在M上面。

更大的数字似乎就没有通用的规范了，不同地域、时代的作者采用了很多种不同的写法

比如前三世纪的天文学家，Aristarchus of Samos，作品中的71755875写作：

公元前后的数学家Heron用分音符（就是头上两个点）区分万位以上的数字，在他的Geometrica中18592写作：

（17.33）

公元三世纪的Diophantus则会把万位以上的数字写在M右边，之后用一个圆点和万位以下的数字隔开。他的1507984写作：

（IV.28）

在实际书写中，有时也会用到由此衍生出的草体（cursive writing）数字。这种数字采用小写字母，数字上面添一条横线来和其他单词区分。

3. 运算

或许是因为字母数字比较简洁（比如前文例举的4999，字母数字只用4个字母就能表示，阿提卡数字则需要19个字母），迄今发现的文献中的运算基本全都是采用字母数字。所以咱们先说字母数字，阿提卡数字更多是用在日常生活中与问题关联不大，我会放在文末另讲。

古希腊人在进行乘法运算的时候会用到乘法表，比如下面这份乘法表的残片（P.Mich.inv. 6944）：

能整除的除法可以靠反向使用乘法表来解决，比如要计算八除以四，就去乘法表上找结果为八的项，看到二四得八自然就知道八除以四等于二。

对于不能整除的除法，就要用到分数的形式来表示了。历史上出现过很多种表示分数的方式，其中最常见的写法是在数字头上加一撇（“´”）来表示几分之一，比如草体数字的十八分之一写作“ίή”。不过有一个特例，β头上加一撇表示三分之二，二分之一由一条锐角形状的折线表示。

希腊人沿袭了埃及人看待分数的方式，在他们眼中所有分子不为一的分数都是以若干个“几分之一”连加的形式表示。比如7/4在他们眼中就相当于1 1/2 1/4的连加，计算7/4的平方相当于计算（1+1/2+1/4）*（1+1/2+1/4），他们需要先算出其中每一项的乘积之后再加和。

当时的数学家为了应对这类需求制作了大量的分数表（出土量显著高于乘法表），其中最完整的是P.Mich.inv. 621

太长了。。咱们只读其中的红框部分吧

原文：

翻译：

第九

1的1/9 1/9

[6000的]1/9 666又2/3

2的[1/9] 1/6 1/18

3的[1/9] 1/3

4的[1/9] 1/3 1/9

5的[1/9] 1/2 1/18

6的[1/9] 2/3

（注：第三行中省略6000是这类表格的习惯写法，6000是德拉克马和塔兰同之间的换算比率）

继续往后读还能看到20～90、100～900、1000～9000以及10000的“1/9”

所以说古希腊人计算分数的方法其实是相当麻烦的，而且缺少负数、虚数这类概念，或许这也是在今天的眼光看来，希腊数学家的成就更多集中在几何（特别是尺规作图）领域的原因。

*其他回答中有提到一些看起来更简便的书写分数的方法，但如果仔细审视这些书写的前后文，它们其实更多是一种“尚未解决的除法过程的简写”（“abbreviations of unresolved descriptions of divisions“）。关于这个问题建议看一下Fowler, D. (2003). The mathematics of plato's academy: A new reconstruction. Oxford: Clarendon Press. 这本书的7.3-4，其中给出了十分有说服力的论证。

*还有一点值得注意的是某个回答中提到的六十进位系统（Sexagesimal fractions）。这是一种基于圆的弦长形成的系统，其中的所有数字都能换算成现代观念中的角度，比如

相当于，比起分数其实更像是一种六十进制的小数。

而且这种表达方式可能较晚时间才被引进希腊世界。目前发现的最早记录应该是地理学家Ptolemy的Almagest，来自公元二世纪。

最后出于公平说一下阿提卡数字的应用吧，这个和题目本身关联不大，各位有兴趣就看看

阿提卡数字虽然在数学家圈子里被弃如敝屣，但也有自己独特的优势。其中最主要的一点表现在计数方面，字母数字每次+1都得擦掉重写，阿提卡系统却可以HHHH...ΔΔΔΔ...IIII...这样一直写下去。

比如下面这个刻在陶瓶上的计数

很多草纸书卷会用到阿提卡数字来标明verse数量，比如有一卷Herculaneum出土草纸的卷首写着ΕΠΙΚΟϒΡΟϒ | ΠΕΡΙ | ΦϒΣΕΩΣ | ΙΕ ἀριθ .. ΧΧΧΗΗ。其中IE是字母数字，表示第15卷，后面的XXXHH则是阿提卡数字标明的小节数量，一共3200个小节。有点类似于咱们现在有些书用汉字数字来标明章节，用阿拉伯数字作页码。

另一个优势是阿提卡数字学起来比较容易（用字母数字需要掌握19个字母才能识读100以内的数字，阿提卡数字只用5个），因此阿提卡数字通常会结合另一种同样来自首字母的货币单位系统，被用在陶瓶这类日常用品的标价上

这个打不出来的符号太多了，我直接截书里的图各位凑活着看吧= =图中的talent(s)和τάλαντον就是塔兰同，drachma(e)和δραχμή是德拉克马，mina(s)和μνᾶ是米纳。截图来自Heath, T. L. (1921). A History of greek mathematics. Oxford: O.U.P.

这种“首字母数字&货币系统”大量出现在454～95ΒC之间的陶瓶上

比如下图这个刻在瓶底的标价

如果想看更多例子可以看一下Lang, M. (1956). Numerical Notation on Greek Vases.Hesperia: The Journal of the American School of Classical Studies at Athens,25(1), 1–24.文中收录了103例带有阿提卡数字的陶片。更多例子可以看Johnston, A. W. (1974). Trademarks on Greek Vases. Greece & Rome, 21(2), 138–152.

简单谈谈古希腊的数字符号系统。

古希腊人使用两套书写系统表示数字，一种是所谓的「阿提卡系统」，又叫「赫罗狄安系统」，因二世纪的语法学家赫罗狄安（Αἴλιος Ἡρωδιανός）曾对其撰文介绍。另一种是 @极殊兵W 提到的「爱奥尼亚系统」，又因其可能最早出现于米利都而被称为「米利都系统」。不过他给的那个转换器提供的是现代希腊语的数字转写结果，虽然是建立于爱奥尼亚系统之上，但与古代用法还是存在差异。

阿提卡系统成型于古风时代，但最早的证据来自前五世纪的雅典，属于比较典型的截头表音（acrophonic）系统，因此以字母Δ开头的10（δέκα）记作Δ，以字母Η开头的100（ἑκατόν）记作Η，以字母Χ开头的1,000（χίλιοι）记作Χ，以字母Μ开头的10,000（μύριοι）记作Μ，以此类推。这一规则存在两个例外，一个是数字1到9，另一个是作为中介数的：

1使用一竖（Ι）表示，2-9分别记作II、III、IIII、Π、ΠI、ΠII、ΠIII、ΠIIII
数字5（πέντε）截头记作Π（其实更准确的应该是U+10143，，字母Π的旧体），记作（U+10144；顾名思义，），记作（U+10145；顾名思义，），记作（U+10146；顾名思义，），记作（U+10147；顾名思义，）

举例：数字114514可记作ΔIΜΧΧΧΧ ΔIIII（阿提卡系统内没有比Μ更大的基数；古代日常使用中也很少碰到这么大的数字）

需要注意的是这一系统从未被标准化，因此在各地都存在不同变体；Unicode中收录的符号基本是以阿提卡体为原型的。另外以上这五个符号在特定用途下亦存在变体，例如计钱款数量与货品称重时会加上字母Τ或Σ，分别代表货币单位塔兰同/τάλαντον与质量单位斯塔特/στατήρ。

爱奥尼亚系统成型更晚，一般认为在前五至前三世纪间。与前者相比，首先是多了三个古典希腊字母表内已经不存在的字母：表示6的ϛ（注意和ς不是一个字母），表示90的ϟ，和表示900的ϡ，以弥补使用只有24个字母的希腊字母表代表27个数字（9个「一」，9个「十」与9个「百」）时的不足。书写大于999的数字，则在代表1-9的数字符号前加一点以表示「千」，因此6,000写作͵ϛ；书写大于9999的数字时，可以在代表1-9的数字符号上加二点以表示「万」，因此30,000可写作γ̈，或者可以使用表「万」的基数M，在M顶上添加序数，例如表示30,000可在M上添一个γ。注意到后一种计数法和阿波罗尼奥斯用来记大数的方式类似，例如360,000,000,000可以记作：

阿基米德在《数沙者》（Ψαμμίτης）里提出过一个专门用来表示大数的八进位系统，第一阶为1到，第二阶到，以此类推，直到第阶为止记为第一周期，之后为第二周期，直至第周期。但这个系统未被阿基米德以外的任何人所采用。

古希腊人表示分数时的记法与现代没有多少差异，可以参考前面答主的。一些作者会选择口述分数而不使用符号，例如可以文字写作τρία πέμπτα。另外天文学家有专门一套沿用自巴比伦人的六十进位系统：一度（μοῖραι）为60分（λεπτά），一分为60秒（δεύτερα ἑξηκοστά），等等；这一系统内还存有一个表示零的符号：，一般认为是「无」（οὐδέν）的缩写。

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