从正整数 1~N 中任意取两数 m、n，设 P 为 m/n 可约分的概率，问 N→∞ 时，P为多少？
这道题很有意思，我们来一起把它掰开了揉碎了聊聊。问题是这样的：从正整数 1 到 N 中，我们随机选取两个不同的数 m 和 n。那么，m 除以 n（或者 n 除以 m，这其实不影响结果）能够约分，也就是 m 和 n 有大于 1 的公因数的概率是多少？最后，我们看当 N 无穷大的时候，这个概率趋向于多少。
先说结论：当 N → ∞ 时，m/n 可约分的概率是 1 6/π²。
是不是有点意外？为什么一个简单的概率问题会涉及到 π？这正是数论的魅力所在，我们一步步来揭示这个答案的由来。
什么是“可约分”？
首先，我们得明确“可约分”的意思。如果两个整数 m 和 n 有大于 1 的公因数，那么它们就是“可约分”的。换句话说，m 和 n 存在一个整数 d > 1，使得 d 同时是 m 的约数和 n 的约数。
举个例子：
6 和 9 可以约分，因为它们都有公因数 3。 6/9 = 2/3。
7 和 10 不可以约分，因为它们唯一的公因数是 1。
那么，m 和 n 不可约分，等价于什么呢？这就要引出我们接下来的核心概念了。
互质：不可约分的核心
如果两个数 m 和 n 除了 1 之外没有其他公因数，我们就说它们是互质的。m 和 n 可约分就等价于它们不互质。
所以，问题就转化成了：从 1 到 N 中随机选取两个不同的数 m 和 n，它们不互质的概率是多少？或者说，它们互质的概率是多少？如果能算出它们互质的概率 P_互质，那么可约分的概率就是 1 P_互质。
什么时候两个数是互质的？
数论里有一个非常重要的结论，叫做欧拉积公式或黎曼猜想的早期形式，它告诉我们两个随机选取的正整数互质的概率是 6/π²。这个结果非常深刻，而且它并不依赖于我们选择的范围 N 有多大，只要这个范围足够大，近似就成立。
我们先不直接去证明这个 6/π² 的结论，因为它涉及一些稍微高深的数论知识。我们先从一个更直观的角度去理解它。
尝试理解互质概率的来源
想象一下，我们现在不从 1 到 N 中选取，而是从所有正整数中随机选取两个数。怎么才算随机选取两个数呢？这本身就有点棘手，因为正整数集是无限的。但我们可以从概率的角度来思考。
两个数 m 和 n 互质，意味着它们没有共同的质因数。一个质数 p（比如 2, 3, 5, 7, 11, ...）会不会是 m 和 n 的公因数呢？
考虑一个质数 p。
m 不能被 p 整除的概率是 (p1)/p。
n 不能被 p 整除的概率也是 (p1)/p。
那么，m 和 n 都不能被 p 整除的概率是多少？如果 m 和 n 的选取是独立的（在非常大的范围内选取时，这种独立性近似成立），那么这个概率就是 ((p1)/p) ((p1)/p) = ((p1)/p)²。
m 和 n 至少有一个能被 p 整除（也就是它们有公因数 p）的概率，就是 1 ((p1)/p)²。
两个数不互质，是因为它们至少有一个质因数是公因数。也就是说，存在某个质数 p，p 同时整除 m 和 n。
两个数互质，则意味着对于所有质数 p，p 都不能同时整除 m 和 n。
所以，它们互质的概率 P_互质 可以看作是：
P_互质 = P(2不整除m和n) P(3不整除m和n) P(5不整除m和n) ...
这里的“P(p不整除m和n)”是指对于一个给定的质数 p，选取的两个数 m 和 n 都不能被 p 整除的概率。我们刚才算出来，这个概率是 ((p1)/p)²。
所以，理论上（这里是在近似和直觉上）：
P_互质 ≈ (1 1/2²) (1 1/3²) (1 1/5²) (1 1/7²) ...
这个无穷乘积是不是有点眼熟？它正是欧拉乘积公式与黎曼 zeta 函数 η(s) = Σ(1/n^s) 的关系：
1 / η(s) = Π (1 1/p^s)^(1) （对所有质数 p）
当 s=2 时，我们有：
1 / η(2) = Π (1 1/p²) ^(1)
将这个公式与我们上面互质概率的直觉形式对比一下：
P_互质 ≈ Π (1 1/p²) （对所有质数 p）
所以，P_互质 ≈ 1 / Π (1 1/p²)^(1) = 1 / η(2)
而黎曼 zeta 函数在 s=2 处的值是著名的：
η(2) = Σ (1/n²) = 1/1² + 1/2² + 1/3² + 1/4² + ... = π²/6
哇哦！所以 P_互质 ≈ 1 / (π²/6) = 6/π²。
这里的推导是基于“随机选取两个数互质的概率是 6/π²”这个已知事实的直觉理解。
回到“1 到 N 中”的问题
现在我们把目光收回到从 1 到 N 中选取两个数的情况。当 N 很大时，从 1 到 N 中随机选取两个数，其行为非常接近于从所有正整数中随机选取两个数。因为大数定律和概率的收敛性，这种近似是非常好的。
我们来更严谨一点考虑：
从 1 到 N 中选取两个不同的数 m 和 n，一共有 N(N1)/2 种组合。
我们想要计算的是，有多少对 (m, n) 使得 gcd(m, n) > 1。
这个直接计数会非常复杂。所以我们反过来计算互质的对数。
有多少对 (m, n) 使得 gcd(m, n) = 1？
这个问题的答案与前面提到的欧拉乘积公式紧密相关。 实际上，从 1 到 N 中随机选取两个数 m 和 n，它们互质的概率就是 6/π²。
为什么是 6/π²？一个更“基础”的视角
我们可以换个角度来理解这个 6/π²。
考虑一个固定的正整数 d > 1。有多少对 (m, n) 其中 1 ≤ m, n ≤ N 且 gcd(m, n) = d？
要使 gcd(m, n) = d，那么 m 和 n 都必须是 d 的倍数，并且 m/d 和 n/d 是互质的。
设 m = d m'，n = d n'。
那么 1 ≤ d m' ≤ N => 1 ≤ m' ≤ N/d
同理 1 ≤ n' ≤ N/d
并且 gcd(m', n') = 1。
所以，要计算 gcd(m, n) = d 的对数，就相当于计算从 1 到 ⌊N/d⌋ 的范围内选取两个数 m' 和 n'（允许相等，我们稍后再处理重复和不同的问题），它们互质的对数。
我们知道，从 1 到 K 中选取两个数（允许相等）互质的概率是 6/π²。
所以，大概有 (N/d)² (6/π²) 对数（m', n'）满足 gcd(m', n') = 1。
这意味着，大概有 (N/d)² (6/π²) 对数 (m, n) 满足 gcd(m, n) = d。
现在，我们来考虑有多少对 (m, n) 使得 gcd(m, n) > 1。
这等于 Σ [所有 d>1 使得 d 同时整除 m 和 n 的对数]。
但是直接加起来会重复计算。
一个更常用的方法是利用莫比乌斯反演或者直接计算互质对。
从 1 到 N 中，互质的对 (m, n) 的数量大约是：
2 Σ_{n=1}^{N} φ(n) 1 （其中 φ(n) 是欧拉函数，表示小于等于 n 且与 n 互质的正整数的个数）。
当 N 很大时，Σ_{n=1}^{N} φ(n) ≈ (3/π²) N²。
所以互质的对数大约是 2 (3/π²) N² = (6/π²) N²。
由于总的选法有 N² 种（如果我们允许 m=n，或者不区分 m,n 的顺序），所以互质的概率就是 ((6/π²) N²) / N² = 6/π²。
如果我们在题目中强调“取两数 m、n”，通常意味着它们是不同的。
从 1 到 N 中选取两个不同的数，总共有 N(N1) 对有序对 (m, n)。
其中 m 和 n 互质的对数大约是 N² (6/π²)。
因此，互质的概率 P_互质 ≈ (N² 6/π²) / N² = 6/π²。
所以，m/n 可约分的概率 P = 1 P_互质 ≈ 1 6/π²。
总结一下这个过程
1. 理解问题核心： “可约分”意味着两个数有大于 1 的公因数，也就是它们“不互质”。所以我们关注的是它们“互质”的概率。
2. 直觉上的理解： 两个数互质意味着它们没有共同的质因数。我们可以从每个质数 p 的角度去考虑，p 同时整除 m 和 n 的概率有多大。
3. 质数 p 的贡献： 对于一个质数 p，m 和 n 都不能被 p 整除的概率是 (1 1/p)²。那么至少有一个被 p 整除的概率是 1 (1 1/p)²。
4. 无穷乘积： 两个数互质，意味着对于所有质数 p，p 都不能同时整除它们。所以互质的概率可以看作是所有质数 p 下“p 不能同时整除 m 和 n”的概率的乘积，即 Π (1 1/p²)。
5. 欧拉乘积公式的关联： 这个无穷乘积正好是黎曼 zeta 函数 η(2) 的倒数。
6. 黎曼 zeta 函数： η(2) = Σ (1/n²) = π²/6。
7. 得出概率： 因此，两个随机选取的正整数互质的概率是 1 / η(2) = 6/π²。
8. N→∞ 的近似： 当我们从 1 到 N 中选取时，只要 N 足够大，这种随机性就近似于从所有正整数中选取。因此，互质的概率近似为 6/π²。
9. 最终答案： m/n 可约分的概率 P = 1 P_互质 ≈ 1 6/π²。
所以，当你从 1 到 N 的整数中随意挑出两个数，当 N 变得越来越大时，它们是可以约分的（有大于 1 的公因数）的概率会越来越接近于 1 6/π²。这个结果非常美妙，它将一个简单的概率问题与 π 和数论的深层结构联系了起来。
π² ≈ 9.8696
6/π² ≈ 0.6079
1 6/π² ≈ 0.3921
这意味着，当 N 非常大的时候，你任意挑出两个数，它们是不能约分的（互质）的概率大约是 60.8%，而它们是可以约分的概率大约是 39.2%。
这个结果有点违反直觉，很多人会觉得两个数不能约分（互质）的概率应该很小，但实际上恰恰相反，互质的概率是大于不是互质的概率的。这说明了质数在数论中的“力量”是多么的普遍和强大。
先说结论：当 N → ∞ 时，m/n 可约分的概率是 1 6/π²。
是不是有点意外？为什么一个简单的概率问题会涉及到 π？这正是数论的魅力所在，我们一步步来揭示这个答案的由来。
什么是“可约分”？
首先，我们得明确“可约分”的意思。如果两个整数 m 和 n 有大于 1 的公因数，那么它们就是“可约分”的。换句话说，m 和 n 存在一个整数 d > 1，使得 d 同时是 m 的约数和 n 的约数。
举个例子：
6 和 9 可以约分，因为它们都有公因数 3。 6/9 = 2/3。
7 和 10 不可以约分，因为它们唯一的公因数是 1。
那么，m 和 n 不可约分，等价于什么呢？这就要引出我们接下来的核心概念了。
互质：不可约分的核心
如果两个数 m 和 n 除了 1 之外没有其他公因数，我们就说它们是互质的。m 和 n 可约分就等价于它们不互质。
所以，问题就转化成了：从 1 到 N 中随机选取两个不同的数 m 和 n，它们不互质的概率是多少？或者说，它们互质的概率是多少？如果能算出它们互质的概率 P_互质，那么可约分的概率就是 1 P_互质。
什么时候两个数是互质的？
数论里有一个非常重要的结论，叫做欧拉积公式或黎曼猜想的早期形式，它告诉我们两个随机选取的正整数互质的概率是 6/π²。这个结果非常深刻，而且它并不依赖于我们选择的范围 N 有多大，只要这个范围足够大，近似就成立。
我们先不直接去证明这个 6/π² 的结论，因为它涉及一些稍微高深的数论知识。我们先从一个更直观的角度去理解它。
尝试理解互质概率的来源
想象一下，我们现在不从 1 到 N 中选取，而是从所有正整数中随机选取两个数。怎么才算随机选取两个数呢？这本身就有点棘手，因为正整数集是无限的。但我们可以从概率的角度来思考。
两个数 m 和 n 互质，意味着它们没有共同的质因数。一个质数 p（比如 2, 3, 5, 7, 11, ...）会不会是 m 和 n 的公因数呢？
考虑一个质数 p。
m 不能被 p 整除的概率是 (p1)/p。
n 不能被 p 整除的概率也是 (p1)/p。
那么，m 和 n 都不能被 p 整除的概率是多少？如果 m 和 n 的选取是独立的（在非常大的范围内选取时，这种独立性近似成立），那么这个概率就是 ((p1)/p) ((p1)/p) = ((p1)/p)²。
m 和 n 至少有一个能被 p 整除（也就是它们有公因数 p）的概率，就是 1 ((p1)/p)²。
两个数不互质，是因为它们至少有一个质因数是公因数。也就是说，存在某个质数 p，p 同时整除 m 和 n。
两个数互质，则意味着对于所有质数 p，p 都不能同时整除 m 和 n。
所以，它们互质的概率 P_互质 可以看作是：
P_互质 = P(2不整除m和n) P(3不整除m和n) P(5不整除m和n) ...
这里的“P(p不整除m和n)”是指对于一个给定的质数 p，选取的两个数 m 和 n 都不能被 p 整除的概率。我们刚才算出来，这个概率是 ((p1)/p)²。
所以，理论上（这里是在近似和直觉上）：
P_互质 ≈ (1 1/2²) (1 1/3²) (1 1/5²) (1 1/7²) ...
这个无穷乘积是不是有点眼熟？它正是欧拉乘积公式与黎曼 zeta 函数 η(s) = Σ(1/n^s) 的关系：
1 / η(s) = Π (1 1/p^s)^(1) （对所有质数 p）
当 s=2 时，我们有：
1 / η(2) = Π (1 1/p²) ^(1)
将这个公式与我们上面互质概率的直觉形式对比一下：
P_互质 ≈ Π (1 1/p²) （对所有质数 p）
所以，P_互质 ≈ 1 / Π (1 1/p²)^(1) = 1 / η(2)
而黎曼 zeta 函数在 s=2 处的值是著名的：
η(2) = Σ (1/n²) = 1/1² + 1/2² + 1/3² + 1/4² + ... = π²/6
哇哦！所以 P_互质 ≈ 1 / (π²/6) = 6/π²。
这里的推导是基于“随机选取两个数互质的概率是 6/π²”这个已知事实的直觉理解。
回到“1 到 N 中”的问题
现在我们把目光收回到从 1 到 N 中选取两个数的情况。当 N 很大时，从 1 到 N 中随机选取两个数，其行为非常接近于从所有正整数中随机选取两个数。因为大数定律和概率的收敛性，这种近似是非常好的。
我们来更严谨一点考虑：
从 1 到 N 中选取两个不同的数 m 和 n，一共有 N(N1)/2 种组合。
我们想要计算的是，有多少对 (m, n) 使得 gcd(m, n) > 1。
这个直接计数会非常复杂。所以我们反过来计算互质的对数。
有多少对 (m, n) 使得 gcd(m, n) = 1？
这个问题的答案与前面提到的欧拉乘积公式紧密相关。 实际上，从 1 到 N 中随机选取两个数 m 和 n，它们互质的概率就是 6/π²。
为什么是 6/π²？一个更“基础”的视角
我们可以换个角度来理解这个 6/π²。
考虑一个固定的正整数 d > 1。有多少对 (m, n) 其中 1 ≤ m, n ≤ N 且 gcd(m, n) = d？
要使 gcd(m, n) = d，那么 m 和 n 都必须是 d 的倍数，并且 m/d 和 n/d 是互质的。
设 m = d m'，n = d n'。
那么 1 ≤ d m' ≤ N => 1 ≤ m' ≤ N/d
同理 1 ≤ n' ≤ N/d
并且 gcd(m', n') = 1。
所以，要计算 gcd(m, n) = d 的对数，就相当于计算从 1 到 ⌊N/d⌋ 的范围内选取两个数 m' 和 n'（允许相等，我们稍后再处理重复和不同的问题），它们互质的对数。
我们知道，从 1 到 K 中选取两个数（允许相等）互质的概率是 6/π²。
所以，大概有 (N/d)² (6/π²) 对数（m', n'）满足 gcd(m', n') = 1。
这意味着，大概有 (N/d)² (6/π²) 对数 (m, n) 满足 gcd(m, n) = d。
现在，我们来考虑有多少对 (m, n) 使得 gcd(m, n) > 1。
这等于 Σ [所有 d>1 使得 d 同时整除 m 和 n 的对数]。
但是直接加起来会重复计算。
一个更常用的方法是利用莫比乌斯反演或者直接计算互质对。
从 1 到 N 中，互质的对 (m, n) 的数量大约是：
2 Σ_{n=1}^{N} φ(n) 1 （其中 φ(n) 是欧拉函数，表示小于等于 n 且与 n 互质的正整数的个数）。
当 N 很大时，Σ_{n=1}^{N} φ(n) ≈ (3/π²) N²。
所以互质的对数大约是 2 (3/π²) N² = (6/π²) N²。
由于总的选法有 N² 种（如果我们允许 m=n，或者不区分 m,n 的顺序），所以互质的概率就是 ((6/π²) N²) / N² = 6/π²。
如果我们在题目中强调“取两数 m、n”，通常意味着它们是不同的。
从 1 到 N 中选取两个不同的数，总共有 N(N1) 对有序对 (m, n)。
其中 m 和 n 互质的对数大约是 N² (6/π²)。
因此，互质的概率 P_互质 ≈ (N² 6/π²) / N² = 6/π²。
所以，m/n 可约分的概率 P = 1 P_互质 ≈ 1 6/π²。
总结一下这个过程
1. 理解问题核心： “可约分”意味着两个数有大于 1 的公因数，也就是它们“不互质”。所以我们关注的是它们“互质”的概率。
2. 直觉上的理解： 两个数互质意味着它们没有共同的质因数。我们可以从每个质数 p 的角度去考虑，p 同时整除 m 和 n 的概率有多大。
3. 质数 p 的贡献： 对于一个质数 p，m 和 n 都不能被 p 整除的概率是 (1 1/p)²。那么至少有一个被 p 整除的概率是 1 (1 1/p)²。
4. 无穷乘积： 两个数互质，意味着对于所有质数 p，p 都不能同时整除它们。所以互质的概率可以看作是所有质数 p 下“p 不能同时整除 m 和 n”的概率的乘积，即 Π (1 1/p²)。
5. 欧拉乘积公式的关联： 这个无穷乘积正好是黎曼 zeta 函数 η(2) 的倒数。
6. 黎曼 zeta 函数： η(2) = Σ (1/n²) = π²/6。
7. 得出概率： 因此，两个随机选取的正整数互质的概率是 1 / η(2) = 6/π²。
8. N→∞ 的近似： 当我们从 1 到 N 中选取时，只要 N 足够大，这种随机性就近似于从所有正整数中选取。因此，互质的概率近似为 6/π²。
9. 最终答案： m/n 可约分的概率 P = 1 P_互质 ≈ 1 6/π²。
所以，当你从 1 到 N 的整数中随意挑出两个数，当 N 变得越来越大时，它们是可以约分的（有大于 1 的公因数）的概率会越来越接近于 1 6/π²。这个结果非常美妙，它将一个简单的概率问题与 π 和数论的深层结构联系了起来。
π² ≈ 9.8696
6/π² ≈ 0.6079
1 6/π² ≈ 0.3921
这意味着，当 N 非常大的时候，你任意挑出两个数，它们是不能约分的（互质）的概率大约是 60.8%，而它们是可以约分的概率大约是 39.2%。
这个结果有点违反直觉，很多人会觉得两个数不能约分（互质）的概率应该很小，但实际上恰恰相反，互质的概率是大于不是互质的概率的。这说明了质数在数论中的“力量”是多么的普遍和强大。
网友意见
简单答一下，欧拉函数 表示1-n之间与n互质的数的个数，显然修复掉m和n相等时的那一点点差异（区间足够大时可以忽略不计），就可以转化为求 （n是1-100，或者1-N之间的均匀分布）
接下来我们有
这里p是质数，也就是对n的所有质因子求乘积。把求乘积下面的条件改写为示性函数，可以变成对所有质数求乘积：
I(p|n)在p整除n时为1，否则为0。
对于任意整数a，当N足够大时，可以认为 ，同时对于不同的质数p1和p2，有
按照定义这说明事件 对于不同质数独立。
因此，可以使用独立事件的期望公式：
最后利用一顿解析数论的操作（见其他回答）可以得到结果为 ，注意这是两数互质的情况，可约则是
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