为什么数学中“有且仅有”不可以说成“仅有”？
在数学中，“有且仅有”和“仅有”虽然听起来有些相似，但它们在逻辑上有着本质的区别，不能互换使用。理解这种区别的关键在于认识到“有且仅有”包含了两层含义，而“仅有”只包含其中一层。
为了详细说明，我们先来分解一下这两个词语的含义：
1. “仅有”（Only / Merely）
“仅有”表达的是一种独占性或排他性。当你说“A仅有B”时，它的核心意思是：
没有其他选项： 意味着除了A之外，没有其他事物是B。或者说，在某个条件下，只有A具备某种性质，而其他任何事物都不具备。
可能不存在： “仅有”并不保证B的存在。它只说明如果B存在，那么它一定是A。
举例说明“仅有”：
“在这个盒子里，仅有一个苹果。” 这句话的意思是：如果盒子里有苹果，那么它一定是这一个苹果（不存在另一个苹果）。但这句话并不排除盒子是空的，也就是没有苹果的可能性。
“在这次比赛中，仅有他一人获得了金牌。” 这句话的意思是：所有获得金牌的人，都只有他一个。但这句话并不排除他没有获得金牌的可能性（比如他没参加比赛，或者他只获得了银牌）。
2. “有且仅有”（If and Only If / Iff / Precisely）
“有且仅有”是一个更强的逻辑连接词，它包含了两个相互独立的判断，并且这两个判断是等价的。当你说“A有且仅有B”时，它的含义是：
“有”（If B, then A） 必要条件： 如果B成立，那么A一定成立。也就是说，B是A的必要条件。没有B就不能有A。
“仅有”（If A, then B） 充分条件： 如果A成立，那么B一定成立。也就是说，A是B的充分条件。有了A就一定有B。
这两个条件合在一起，意味着 A 和 B 是完全等价的，它们总是同时发生或同时不发生。
举例说明“有且仅有”：
数学定理中的应用： “一个整数n是偶数，有且仅有n可以被2整除。”
“有”（If n is divisible by 2, then n is even）： 如果一个整数能被2整除，那么它一定是偶数。 (这是我们知道的)
“仅有”（If n is even, then n is divisible by 2）： 如果一个整数是偶数，那么它一定能被2整除。(这也是我们知道的)
这两句话合在一起，就完整地定义了偶数的概念。
更生活化的例子： “你被允许参加派对，有且仅有你年满18岁。”
“有”（If you are 18 or older, then you are allowed to attend）： 如果你年满18岁，你就可以参加派对。
“仅有”（If you are allowed to attend, then you are 18 or older）： 如果你被允许参加派对，那么你一定年满18岁。
这表明年满18岁是参加派对的唯一且必须的条件。
为什么“有且仅有”不能说成“仅有”？
现在我们回到核心问题。如果数学陈述中需要表达等价关系（即两个条件同时成立或同时不成立），而我们只使用“仅有”，那么就会丢失一半的逻辑信息，导致陈述不完整或错误。
让我们用上面的例子来说明：
1. 陈述：“一个整数n是偶数，仅有n可以被2整除。”
这句陈述仅仅表达了：“如果n能被2整除，那么n一定是偶数。” （“If n is divisible by 2, then n is even.”）
但是，它忽略了：“如果n是偶数，那么n一定能被2整除。” （“If n is even, then n is divisible by 2.”）
换句话说，它没有保证“偶数”这个概念的完整定义。它只说了“能被2整除的数都是偶数”，但这并不能排除存在其他类型的偶数（在我们的认知中是不存在的，但在逻辑上，如果不加上那层含义，就可能存在）。
2. 陈述：“你被允许参加派对，仅有你年满18岁。”
这句话只意味着：“如果一个人年满18岁，那么他就可以参加派对。” （“If you are 18 or older, then you are allowed to attend.”）
然而，它没有说明：“如果一个人被允许参加派对，那么他一定年满18岁。” （“If you are allowed to attend, then you are 18 or older.”）
因此，可能存在其他获准参加派对的条件，例如：即使未满18岁，但如果你是主办方的孩子，你也可以参加。这样，“年满18岁”就只是一个充分条件（有了它就能参加），但不是一个必要条件（没有它就不一定不能参加）。这与“有且仅有”的含义相悖。
总结核心区别：
“仅有” 关注的是排除其他可能。当条件A成立时，它排除了其他任何事物也具备同样属性的可能性。它通常描述的是一种唯一性或非多重性。
“有且仅有” 关注的是充要关系。它表明条件A的成立等价于条件B的成立。A是B的充分条件，B也是A的充分条件。它们是同一枚硬币的两个面，同时出现或同时消失。
在数学证明和定义中，“有且仅有”至关重要，因为它确保了概念的精确定义和推理的严谨性。一个数学命题如果声称“有且仅有”，就必须证明两个方向的推理都成立。如果只证明了一个方向（例如只用“仅有”），那么这个证明就是不完整的。
所以，在数学语言中，词语的精确性是至关重要的，“有且仅有”表达的是比“仅有”更强大、更精确的逻辑关系，两者绝对不可混淆。
为了详细说明，我们先来分解一下这两个词语的含义：
1. “仅有”（Only / Merely）
“仅有”表达的是一种独占性或排他性。当你说“A仅有B”时，它的核心意思是：
没有其他选项： 意味着除了A之外，没有其他事物是B。或者说，在某个条件下，只有A具备某种性质，而其他任何事物都不具备。
可能不存在： “仅有”并不保证B的存在。它只说明如果B存在，那么它一定是A。
举例说明“仅有”：
“在这个盒子里，仅有一个苹果。” 这句话的意思是：如果盒子里有苹果，那么它一定是这一个苹果（不存在另一个苹果）。但这句话并不排除盒子是空的，也就是没有苹果的可能性。
“在这次比赛中，仅有他一人获得了金牌。” 这句话的意思是：所有获得金牌的人，都只有他一个。但这句话并不排除他没有获得金牌的可能性（比如他没参加比赛，或者他只获得了银牌）。
2. “有且仅有”（If and Only If / Iff / Precisely）
“有且仅有”是一个更强的逻辑连接词，它包含了两个相互独立的判断，并且这两个判断是等价的。当你说“A有且仅有B”时，它的含义是：
“有”（If B, then A） 必要条件： 如果B成立，那么A一定成立。也就是说，B是A的必要条件。没有B就不能有A。
“仅有”（If A, then B） 充分条件： 如果A成立，那么B一定成立。也就是说，A是B的充分条件。有了A就一定有B。
这两个条件合在一起，意味着 A 和 B 是完全等价的，它们总是同时发生或同时不发生。
举例说明“有且仅有”：
数学定理中的应用： “一个整数n是偶数，有且仅有n可以被2整除。”
“有”（If n is divisible by 2, then n is even）： 如果一个整数能被2整除，那么它一定是偶数。 (这是我们知道的)
“仅有”（If n is even, then n is divisible by 2）： 如果一个整数是偶数，那么它一定能被2整除。(这也是我们知道的)
这两句话合在一起，就完整地定义了偶数的概念。
更生活化的例子： “你被允许参加派对，有且仅有你年满18岁。”
“有”（If you are 18 or older, then you are allowed to attend）： 如果你年满18岁，你就可以参加派对。
“仅有”（If you are allowed to attend, then you are 18 or older）： 如果你被允许参加派对，那么你一定年满18岁。
这表明年满18岁是参加派对的唯一且必须的条件。
为什么“有且仅有”不能说成“仅有”？
现在我们回到核心问题。如果数学陈述中需要表达等价关系（即两个条件同时成立或同时不成立），而我们只使用“仅有”，那么就会丢失一半的逻辑信息，导致陈述不完整或错误。
让我们用上面的例子来说明：
1. 陈述：“一个整数n是偶数，仅有n可以被2整除。”
这句陈述仅仅表达了：“如果n能被2整除，那么n一定是偶数。” （“If n is divisible by 2, then n is even.”）
但是，它忽略了：“如果n是偶数，那么n一定能被2整除。” （“If n is even, then n is divisible by 2.”）
换句话说，它没有保证“偶数”这个概念的完整定义。它只说了“能被2整除的数都是偶数”，但这并不能排除存在其他类型的偶数（在我们的认知中是不存在的，但在逻辑上，如果不加上那层含义，就可能存在）。
2. 陈述：“你被允许参加派对，仅有你年满18岁。”
这句话只意味着：“如果一个人年满18岁，那么他就可以参加派对。” （“If you are 18 or older, then you are allowed to attend.”）
然而，它没有说明：“如果一个人被允许参加派对，那么他一定年满18岁。” （“If you are allowed to attend, then you are 18 or older.”）
因此，可能存在其他获准参加派对的条件，例如：即使未满18岁，但如果你是主办方的孩子，你也可以参加。这样，“年满18岁”就只是一个充分条件（有了它就能参加），但不是一个必要条件（没有它就不一定不能参加）。这与“有且仅有”的含义相悖。
总结核心区别：
“仅有” 关注的是排除其他可能。当条件A成立时，它排除了其他任何事物也具备同样属性的可能性。它通常描述的是一种唯一性或非多重性。
“有且仅有” 关注的是充要关系。它表明条件A的成立等价于条件B的成立。A是B的充分条件，B也是A的充分条件。它们是同一枚硬币的两个面，同时出现或同时消失。
在数学证明和定义中，“有且仅有”至关重要，因为它确保了概念的精确定义和推理的严谨性。一个数学命题如果声称“有且仅有”，就必须证明两个方向的推理都成立。如果只证明了一个方向（例如只用“仅有”），那么这个证明就是不完整的。
所以，在数学语言中，词语的精确性是至关重要的，“有且仅有”表达的是比“仅有”更强大、更精确的逻辑关系，两者绝对不可混淆。
网友意见
我认为从汉语层面讲是没问题的，不过这已经是数学专用术语了，大家都会默默遵守吧。
第一个“有”，强调的是存在性；“仅有”强调的是唯一性。这样表达的好处逻辑上比较分明，事实上在数学实际的证明中，也会自然地将证明分为两部分。
唯一性成立的前提是：如果存在，那么唯一。很有可能出现这种情况，你证明了唯一性，但是却根本不存在。所以两者是一种递进的关系。
我觉得更好的表达是：有且唯一。这样与“有且仅有”相比不会显得语义上重复。
这只是我个人的看法。“有且唯一”涵盖的面没有“有且仅有”的面更宽，评论区有网友提出了这个问题。都学过语法，灵活运用吧！我说的不见得就是金科玉律，各位太看得起我了。如果仔细看过我写的回答，我还是比较建议使用数学规范语言。
现代数学毕竟是西方的产物，所以在西化的过程中，出现一些西式的表达也很正常。其实这个问题不仅关于数学，相信题主也看到了其中蕴含的语言学问题。
我们在平时生活中使用汉语，说“有且仅有”，就会感觉很怪。一般会说，“只有”，“仅有”，“唯有”……后者更书面化。这类词汇的特点是：
程度副词+有
其实汉语本来是高度浓缩的，“有”已经表明存在性，前面的副词修饰了“有”的程度——唯一性。这里的唯一性既有“只有一个”也包含“只有一种情形”的含义，这个按照上下文可以消解歧义。
古汉语的语素（表意的基本单位）是字，但现代汉语越来越倚重词汇（一定程度上受了外语的影响，当然也包括汉语自身的演变），本来一个字就可以表明含义，但是似乎觉得不太够，所以会再增加一个字来强调语义（从信息论的角度提高冗余也是为了增加信息传递的准确率），比如：
明亮/亮，增加/加，缓慢/慢……
所以我们出于语感，认为“仅有”就够了，的确如此，但是英语语法却将汉语的表达冗余化。所以才会出现这样的表达：
有（存在）且 仅有（唯一）
从古汉语的角度（或者以汉字为语义单位），的确有语义重复的现象。但是数学家完全不关心这个问题，这如果放在其他学科，比如文学翻译可能就会被嘲笑了。
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