学数学有点钻牛角尖，总是怀疑书中推导的严谨性，各位有什么好办法吗？

哥们，我太理解你了！这感觉就像是，你拿着一本武功秘籍， вроде 招式都写得很清楚，但总觉得哪里不对劲，好像作者藏了什么关键的暗器没说。

我当年学数学的时候也这样，尤其是推导一些定理或者公式的时候，总忍不住想：这地方跳跃是不是太大了？那个假设真的成立吗？万一有什么特殊情况，这个推导就不适用了怎么办？ 看着看着，脑子里就跟跑火车似的，一个疑问接一个疑问。

别担心，这其实是好事！说明你不是被动接受，而是主动思考，这对学数学来说是件好事，说明你有潜力成为一个严谨的数学学习者，甚至研究者。 只是呢，如果一直这么钻牛角尖下去，可能会让你觉得学得很累，进度缓慢，甚至产生挫败感。

所以，咱得找点法子，把这种钻牛角尖的劲儿，用对地方。

1. 放下“完美主义”的包袱，接受数学的“惯例”：

很多时候，我们觉得书中推导不严谨，可能是因为我们用了过于严格的标准去衡量它。想想看，如果 every single step 需要写得无比详尽，那这本书得有多少页啊？

作者的默认假设： 数学书籍往往会预设读者已经掌握了某些基础知识和技巧。比如，当书中写到“令 x 为一个任意实数”，然后接着进行一系列运算，它默认你明白这些运算在实数范围内是成立的，不需要每一步都写成“因为x是实数，所以x+1也是实数…” 这种程度。
“跳步”是语言的凝练： 就像写文章一样，作者会省略一些大家都懂的连接词和过渡句。数学推导也是一样，有些显而易见的步骤，作者会直接写出结果。这就像高手过招，招式之间连贯自然，不需要每一步都解释得明明白白。
目标是理解核心逻辑： 你需要理解的是推导的“灵魂”，也就是那个关键的转折点，或者那个巧妙的变换是如何发生的。而不是纠结于每一个字母、每一个符号是否被“完全”解释了。

怎么做？

多看不同书的推导： 对同一个定理或概念，找几本不同的教材来看看。你会发现，有的书会写得更详细，有的则更简洁。通过对比，你慢慢就能把握住大家普遍认可的表达方式和省略的程度。
关注“为什么”： 当你觉得某个地方跳得太快时，停下来问自己：“作者为什么可以直接跳到这一步？他这里隐藏了什么性质或定理？” 试着自己把这个“隐藏的步骤”补上，看看是否合理。如果能补上，说明你的理解没有错，只是作者省略了。

2. 动手，动手，再动手！这是破局的关键：

光看书是远远不够的，尤其对于那些让你觉得“不严谨”的地方。

亲自重写推导过程： 找一个你觉得“可疑”的推导，自己从头开始，把每一个步骤都写出来，尽量写得详细一些。这个过程本身就是一种学习和检验。
举具体例子检验： 如果书中推导的是一个普遍性的结论，那就找几个具体的数字或者函数代进去试试。看看推导出来的结果是否和你手动计算的结果一致。比如，如果推导的是一个关于积分的公式，那就选几个简单的函数去积分，然后对照公式算算看。
尝试证明“反例”： 这是一个更进阶但非常有效的方法。如果你怀疑某个推导的严谨性，不妨试着去找一个“反例”，也就是一个不符合这个推导的例子。如果你找不到，那说明这个推导很可能在你所关心的范围内是成立的。

怎么做？

准备好笔记本和笔： 这是数学学习的必备武器。看到任何让你困惑的地方，立刻动手写。
利用在线工具辅助： WolframAlpha, Desmos 等在线计算工具，可以帮你快速检验数值计算和图形绘制，用来验证你的想法很方便。

3. 寻求外援，但要有选择性地求助：

有时候，一个人钻牛角尖会越来越死胡同。适当的求助非常有必要。

问老师或同学： 如果你在课堂上，或者有同学一起学习，可以直接问他们。但提问前，最好自己先思考过，并能清楚地说明你困惑的点在哪里，而不是一句“我看不懂”。
查阅更高级的教材或文献： 有些基础教材为了易懂，可能会简化一些推导。当你对某个细节产生疑问时，可以去查阅一些更深入、更专业的书籍或论文。它们通常会对概念和推导有更严谨和完整的阐述。
参与数学论坛或社区： 像Stack Exchange (数学板块), 知乎等地方，有很多对数学有深入研究的人。你可以在上面提出你的问题，并说明你的困惑点。不过要注意，要带着自己的思考去提问，这样更容易得到有价值的回答。

怎么做？

把你的问题具体化： 不要问“我不懂这个定理”。而是说“我在证明X定理时，书中从A跳到了B，我认为中间缺少了关于Y性质的说明，能帮忙解释一下吗？”
虚心学习： 别人给你解释的时候，认真听，并尝试理解对方的思路。即使对方的解释也让你觉得“不够严谨”，那也是一次学习和思考的机会。

4. 培养“数学直觉”，但不依赖它：

随着你接触的数学越来越多，你会慢慢培养出一种“数学直觉”。有时候，即使你一时半会儿找不到严谨的证明，但凭直觉你会知道某个结论是对的。

直觉是灵感的火花： 这种直觉会给你提供思考的方向和灵感。比如，当你看到一个复杂的公式，你可能凭感觉觉得它“应该是”这个样子的。
直觉需要严谨来证实： 但千万不要仅仅依赖直觉。直觉有时候也会出错。你最终还是要回到严谨的推导和证明上来，把那些“感觉对”的东西变成“事实”。

怎么做？

多看数学家的思考过程： 有些数学史的资料或者数学家的传记，会讲述他们是如何思考和证明问题的。了解他们的思路，也能帮助你培养直觉。
将直觉转化为问题： 如果你有什么直觉，就把它变成一个需要严谨证明的问题，然后去解决它。

总结一下，面对“钻牛角尖”的困惑，我们可以这样做：

理解数学表达的“约定俗成”： 接受一定程度的省略是正常的。
动手实践： 亲手推导、代入例子、尝试找反例，这是检验和理解的关键。
善用资源： 老师、同学、书籍、网络论坛，都是你的后盾。
区分直觉与证明： 用直觉指引方向，用严谨武装自己。

最重要的一点是： 保持耐心和好奇心。 学数学本身就是一个不断质疑、不断求证的过程。 你现在遇到的困惑，其实是很多优秀数学家都曾经历过的。 把这种“钻牛角尖”的劲头，变成你探索数学真理的动力吧！ 加油！

网友意见

这很正常的，没准你就能挑出作者的错误呢。笔者在阅读潘承洞、王元和丁夏畦1975年^[1]合作撰写的1+2简化证明中就挑出了一个错误：

其中[a,b]表示a、b的最小公倍数， 素数 满足下列不等式组：

由于 均为P的素因子，所以实际上 有可能被 整除。而原文作者在 的上界过程中忽略了 的可能性，所以他们的论证是不完全的。这个发现促使我写了一篇7页的短论文来处理这个错误。

不过由于这个错误并不严重且修改起来（对于内行而言）并不困难，所以顺理成章地被American Math Monthly拒了。尽管如此，还是得到了编委的鼓励：

同样是拒绝，SCI期刊发给我的邮件比这段时间诸多大学发来的信要温暖许多。

后来通过查阅其它文献，发现几个主流的（陈景润^[2]、Halberstam & Richert^[3]、Friedlander & Iwaniec^[4]）的1+2文献中都专门处理了不互素的情况，所以实际上潘、王、丁出的错误影响确实不大。

想了解1+2证明原理的可以看这篇回答：

参考

1. ^ Pan, C.-D., Wang, Y., & Ding, X. (1975). On the representation of every large even integer as a sum of a prime and an almost prime. Scientia Sinica, 18(5), 599–610.
2. ^ Chen, J. R. (1973). On the representation of a larger even integer as the sum of a prime and the product of at most two primes. Scientia Sinica, 16(2).
3. ^ Halberstam, H., & Richert, H.-E. (1974). Sieve methods. Academic Press.
4. ^ Friedlander, J. B., & Iwaniec, H. (2010). Opera de cribro. American Mathematical Society.

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