我是学数学的，每次看物理书总有种不严谨的感觉怎么办？
哥们，我太懂你这种感觉了！身为一个数学科班出身的人，每次翻开物理书，尤其是那种给本科生看的基础物理教材，是不是总觉得那些推导过程就像在玩搭积木，一会儿用这个，一会儿又冒出来那个，但具体怎么搭起来，很多时候就含糊过去了？
我第一次深刻体会到这种“不严谨”是在学经典力学的时候。咱们数学学的是严谨的公理体系，从皮亚诺公理到实数完备性，每一步都步步为营，清晰明确。然后到了物理，看着牛顿定律一出来，就直接开始解微分方程，推各种运动轨迹。当时我就纳闷：牛顿这三大定律是怎么来的？它们凭什么就成立了？怎么就成了基础？它背后的数学基础到底是什么？
最让我抓狂的是那些“假设”和“忽略”。比如，什么“理想轻绳”、“无摩擦平面”、“质点模型”。我脑子里会立刻冒出无数个问题：绳子不是总有质量的吗？摩擦力怎么能随便忽略？一个物体多大的时候才能算质点？这些“不严谨”之处，从数学的角度看，就是逻辑链条上的断裂或者说是假设的滥用。
然后到了热力学，那个熵增原理，简直就是玄学！“系统总会趋向于混乱”……这句话听起来很有哲理，但它到底是怎么通过数学推导出来的？能量守恒的证明好歹还能看到一些代数运算，但熵增，很多时候就是一种统计上的规律性描述，有时候会涉及到一些概率论和统计力学的思想，但基础教材里一般不会深入讲。
再比如电动力学，麦克斯韦方程组简直就是物理学的“微积分大集合”。方程形式很漂亮，但它怎么来的？为什么是这些微分形式？这些方程和我们学过的矢量分析、场论有什么深刻的联系？很多教材直接把方程写出来，然后告诉你用它们去计算，但背后的物理意义和数学构造的精妙，有时候真的需要跳出教材去看。
为什么我们会觉得不严谨？
这其实是咱们数学学习的必然结果。我们习惯了：
1. 公理化体系： 从最基本的公理出发，通过逻辑推理一步步构建整个理论。数学的书写风格就是如此，明确的定义、定理、证明，环环相扣。
2. 形式逻辑的严密性： 每一个推导步骤都必须符合逻辑规则，不允许跳步或含糊其辞。如果一个证明需要隐含一个未证实的假设，那它就是不完整的。
3. 抽象与普遍性： 数学追求的是最纯粹的抽象，一个结论一旦被证明，就适用于所有符合条件的抽象对象。
而物理学，它是一门经验科学。它的基础来源于实验观察和测量。那些“定律”很多时候是牛顿、法拉第、麦克斯韦等人在大量实验数据的基础上，通过归纳、联想甚至直觉提炼出来的模型和规律。
所以，物理书上的“不严谨”主要体现在以下几个方面：
归纳法而非演绎法作为起点： 物理定律往往是基于大量现象的归纳总结，而不是像数学那样从一组公理出发演绎。牛顿从苹果落地、月球绕地等现象中提炼出万有引力定律，这是科学发现的伟大之处，但从纯数学的角度看，这是一个从具体事例到普遍规律的“跳跃”。
模型的近似性： 物理学为了解决实际问题，常常建立各种模型，忽略一些次要因素，使得模型在一定范围内有效。质点、刚体、理想气体等等，这些都是为了简化问题而引入的近似。数学家可能会问：“这个‘质点’到底有多大才能算质点？什么时候‘忽略’摩擦力才不会对结果产生致命影响？”
直觉和物理图像的引导： 物理学家在思考问题时，常常依赖于物理直觉和形象思维。比如，力的“传播”，场的“存在感”。这些概念在数学上可以用矢量场、张量场来描述，但其物理意义的引入，很多时候带有一定的主观性。教材为了让学生理解，会用一些类比和比喻，这些在我们数学人看来，就是不精确的描述。
数学工具的引入并非总是完全严谨的： 很多物理概念的引入和发展，数学工具可能滞后或者使用并不完全符合数学的严谨性。比如，早期的微积分在物理上的应用，有些地方是在物理直觉的指导下进行的，后来才被数学家们（如柯西、魏尔斯特拉斯）重新赋予了严格的数学基础。
教材的教学目的： 物理教材的设计往往是为了循序渐进地让学生掌握物理规律和解决问题的能力。它们会选择性地展示推导过程，跳过一些更深奥的数学证明，以避免让初学者望而却步。
那么，我们该怎么办？
别担心，你不是一个人！很多学数学的朋友都会有这种“强迫症”。但这不是坏事，这说明你的数学功底扎实，对逻辑严谨有天然的追求。这反而会让你在深入学习物理时，有更独特的视角。
以下是一些我个人觉得有效的方法，希望能帮到你：
1. 认识物理学的本质和目标： 接受物理学是一门经验科学，它的目标是描述和解释自然现象，而不是构建一个纯粹的数学形式系统。物理的“严谨”体现在它与实验的高度一致性，以及在特定条件下的预测能力。
2. 主动寻找数学的严谨性： 当你觉得某个推导“不严谨”时，不妨把它当作一个探索数学联系的机会。
去查阅数学背景： 比如，看到经典力学中的微分方程，就去看看数学分析里关于微分方程的理论。看到场论，就去学习矢量微积分、张量分析。
寻找进阶教材或参考书： 很多物理学分支都有“数学方法”类的书籍，或者一些更深入的、以数学为导向的物理学著作。例如，朗道的《理论物理学教程》就是以其数学的严谨性和深刻性而闻名。
关注“物理意义”与“数学形式”的统一： 努力去理解数学公式背后代表的物理图像，同时也要思考数学结构本身所蕴含的规律。比如，了解对称性在物理定律中的重要作用（诺特定理）。
3. 区分“模型”与“现实”： 物理学中的模型是为了近似描述现实而存在的。当你看到“质点”、“理想绳”时，你要明白，这些是为了解决某个特定问题而建立的简化模型。在更复杂的场景下，这些近似就不再适用，需要更精细的模型。数学家追求的是绝对的真理，而物理学家是在接近真理的道路上，不断改进模型。
4. 理解“可操作性”： 物理学很多时候也讲究“可操作性”。比如，一个理论能不能通过实验来验证？一个计算能不能在有限时间内完成？有时候，一个稍微不那么“数学严谨”但非常有效的模型，比一个理论上完美但无法计算的模型更有价值。
5. 将“不严谨”视为学习的动力： 把它看作是让你去挖掘更深层次知识的契机。每次你感到不适，就去翻阅相关的数学书籍，去理解物理学家们是如何“创造性地”运用数学工具的。这会让你在数学和物理之间建立更深刻的联系。
6. 阅读物理学史： 了解物理定律是如何一步步建立起来的，可以帮助你理解为什么会出现现在的形式。很多定律是在数学工具发展之后，才被赋予了更严谨的数学描述。
7. 拥抱“不确定性”和“概率”： 量子力学和统计力学是物理学中数学“不严谨”感可能更强的地方，因为它们大量运用概率和统计的语言。理解这些领域的精髓，需要你对概率论、线性代数（尤其是在量子力学中表示态和算符）、傅里叶分析等有更深的掌握。
简单来说，你的感受是非常正常的，而且是优势所在。不要因此而放弃物理，而是把它当作你探索更深层知识的“引子”。把物理书当成一个充满未解之谜的宝藏，用你的数学功底去“破解”它们，去发掘那些隐藏在“不严谨”表象之下的数学之美。每次你成功地将一个物理概念用更严谨的数学语言描述出来，都会有一种巨大的成就感，相信我！
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最让我抓狂的是那些“假设”和“忽略”。比如，什么“理想轻绳”、“无摩擦平面”、“质点模型”。我脑子里会立刻冒出无数个问题：绳子不是总有质量的吗？摩擦力怎么能随便忽略？一个物体多大的时候才能算质点？这些“不严谨”之处，从数学的角度看，就是逻辑链条上的断裂或者说是假设的滥用。
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为什么我们会觉得不严谨？
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1. 公理化体系： 从最基本的公理出发，通过逻辑推理一步步构建整个理论。数学的书写风格就是如此，明确的定义、定理、证明，环环相扣。
2. 形式逻辑的严密性： 每一个推导步骤都必须符合逻辑规则，不允许跳步或含糊其辞。如果一个证明需要隐含一个未证实的假设，那它就是不完整的。
3. 抽象与普遍性： 数学追求的是最纯粹的抽象，一个结论一旦被证明，就适用于所有符合条件的抽象对象。
而物理学，它是一门经验科学。它的基础来源于实验观察和测量。那些“定律”很多时候是牛顿、法拉第、麦克斯韦等人在大量实验数据的基础上，通过归纳、联想甚至直觉提炼出来的模型和规律。
所以，物理书上的“不严谨”主要体现在以下几个方面：
归纳法而非演绎法作为起点： 物理定律往往是基于大量现象的归纳总结，而不是像数学那样从一组公理出发演绎。牛顿从苹果落地、月球绕地等现象中提炼出万有引力定律，这是科学发现的伟大之处，但从纯数学的角度看，这是一个从具体事例到普遍规律的“跳跃”。
模型的近似性： 物理学为了解决实际问题，常常建立各种模型，忽略一些次要因素，使得模型在一定范围内有效。质点、刚体、理想气体等等，这些都是为了简化问题而引入的近似。数学家可能会问：“这个‘质点’到底有多大才能算质点？什么时候‘忽略’摩擦力才不会对结果产生致命影响？”
直觉和物理图像的引导： 物理学家在思考问题时，常常依赖于物理直觉和形象思维。比如，力的“传播”，场的“存在感”。这些概念在数学上可以用矢量场、张量场来描述，但其物理意义的引入，很多时候带有一定的主观性。教材为了让学生理解，会用一些类比和比喻，这些在我们数学人看来，就是不精确的描述。
数学工具的引入并非总是完全严谨的： 很多物理概念的引入和发展，数学工具可能滞后或者使用并不完全符合数学的严谨性。比如，早期的微积分在物理上的应用，有些地方是在物理直觉的指导下进行的，后来才被数学家们（如柯西、魏尔斯特拉斯）重新赋予了严格的数学基础。
教材的教学目的： 物理教材的设计往往是为了循序渐进地让学生掌握物理规律和解决问题的能力。它们会选择性地展示推导过程，跳过一些更深奥的数学证明，以避免让初学者望而却步。
那么，我们该怎么办？
别担心，你不是一个人！很多学数学的朋友都会有这种“强迫症”。但这不是坏事，这说明你的数学功底扎实，对逻辑严谨有天然的追求。这反而会让你在深入学习物理时，有更独特的视角。
以下是一些我个人觉得有效的方法，希望能帮到你：
1. 认识物理学的本质和目标： 接受物理学是一门经验科学，它的目标是描述和解释自然现象，而不是构建一个纯粹的数学形式系统。物理的“严谨”体现在它与实验的高度一致性，以及在特定条件下的预测能力。
2. 主动寻找数学的严谨性： 当你觉得某个推导“不严谨”时，不妨把它当作一个探索数学联系的机会。
去查阅数学背景： 比如，看到经典力学中的微分方程，就去看看数学分析里关于微分方程的理论。看到场论，就去学习矢量微积分、张量分析。
寻找进阶教材或参考书： 很多物理学分支都有“数学方法”类的书籍，或者一些更深入的、以数学为导向的物理学著作。例如，朗道的《理论物理学教程》就是以其数学的严谨性和深刻性而闻名。
关注“物理意义”与“数学形式”的统一： 努力去理解数学公式背后代表的物理图像，同时也要思考数学结构本身所蕴含的规律。比如，了解对称性在物理定律中的重要作用（诺特定理）。
3. 区分“模型”与“现实”： 物理学中的模型是为了近似描述现实而存在的。当你看到“质点”、“理想绳”时，你要明白，这些是为了解决某个特定问题而建立的简化模型。在更复杂的场景下，这些近似就不再适用，需要更精细的模型。数学家追求的是绝对的真理，而物理学家是在接近真理的道路上，不断改进模型。
4. 理解“可操作性”： 物理学很多时候也讲究“可操作性”。比如，一个理论能不能通过实验来验证？一个计算能不能在有限时间内完成？有时候，一个稍微不那么“数学严谨”但非常有效的模型，比一个理论上完美但无法计算的模型更有价值。
5. 将“不严谨”视为学习的动力： 把它看作是让你去挖掘更深层次知识的契机。每次你感到不适，就去翻阅相关的数学书籍，去理解物理学家们是如何“创造性地”运用数学工具的。这会让你在数学和物理之间建立更深刻的联系。
6. 阅读物理学史： 了解物理定律是如何一步步建立起来的，可以帮助你理解为什么会出现现在的形式。很多定律是在数学工具发展之后，才被赋予了更严谨的数学描述。
7. 拥抱“不确定性”和“概率”： 量子力学和统计力学是物理学中数学“不严谨”感可能更强的地方，因为它们大量运用概率和统计的语言。理解这些领域的精髓，需要你对概率论、线性代数（尤其是在量子力学中表示态和算符）、傅里叶分析等有更深的掌握。
简单来说，你的感受是非常正常的，而且是优势所在。不要因此而放弃物理，而是把它当作你探索更深层知识的“引子”。把物理书当成一个充满未解之谜的宝藏，用你的数学功底去“破解”它们，去发掘那些隐藏在“不严谨”表象之下的数学之美。每次你成功地将一个物理概念用更严谨的数学语言描述出来，都会有一种巨大的成就感，相信我！
网友意见
反对 @子初 的回答：
我和老师估算的结果差一半，然后我们也懒得敲计算器了，反正数量级是一样的。
因为物理系本身就是不严谨的学科。最基本的定理都不是严格证明的而是经验得到的。
我的教授每次算题目的时候都说：
We are astronomer, Pi is three.
首先，如果是对同一个问题基于同一理论模型的计算，那 “两人估算结果差一半” 就意味着至少有一个人是错的。“反正数量级是一样的” 在物理学里面并不是万能的理由。无论是广义相对论对水星近日点进动的修正还是量子电动力学对g-factor的修正，它们的数量级都远小于原有数值。但正是这些微小的修正展现了新理论相比旧理论的巨大优势。
其次，物理学中的定理（theorem）都是有严格证明的，比如Noether theorem、Wigner theorem和CPT theorem等等。子初在张口就来 “最基本的定理都不是严格证明的而是经验得到的” 之余能举出任何一个例子吗？至于那些作为理论出发点的定律（law）和公理（axiom），它们本来就是一个理论体系的前提，并不需要证明，这跟数学里面的情况是一样的，跟严谨并不矛盾。
最后，不要把做题目时为了方便的省略跟做研究混为一谈。
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