为什么辛普森法函数值的系数是这样？
辛普森法，这可是数值积分领域的一员猛将。它之所以能这么出色，关键就在于它对被积函数（也就是我们要求积分的那个函数）的逼近方式。简单来说，辛普森法不像它的一些前辈那样，只是用简单的直线（梯形法则）或者水平线（中点法则）来近似曲线，而是更进一步，用了更平滑、更贴合的 二次多项式（抛物线） 来逼近被积函数在每个小区间上的形状。
这就引出了我们今天的主角——辛普森法函数值的系数。为什么它们是 1, 4, 1, 4, 1... 这样一种奇特的组合呢？要弄明白这一点，我们需要从辛普森法的基本原理出发，一步一步拆解。
辛普森法的“野心”：用抛物线来玩转积分
我们知道，要求一个函数的定积分，最直接的想法就是把积分区间分成很多小份，然后在每个小份里把函数的形状近似成一个简单的几何图形，然后把这些小图形的面积加起来。梯形法则就是用梯形，中点法则用矩形。
辛普森法就不甘于此了。它看到梯形法则虽然不错，但如果函数本身是弯曲的，梯形就有点“硬朗”了，总是会留下一些误差。辛普森法想的是，能不能用一个更灵活的图形来贴合这个弯曲的函数呢？
它就盯上了 抛物线。为什么是抛物线？因为一条抛物线（也就是一个二次多项式）可以很自然地拟合三个点。如果我们在每个小区间里取三个点来定义一条抛物线，这条抛物线就可以比直线或水平线更好地描述函数在该区间内的变化趋势，从而减小积分误差。
怎么用抛物线来逼近呢？——考察三个连续小区间
辛普森法的核心思想是 “以三点定抛物线”。但它不是孤立地看一个区间，而是同时考虑 三个连续的小区间。为什么是三个呢？这样才能有效地“拼接”起来，形成一个更平滑的整体逼近，并且避免奇数个区间带来的边界问题。
假设我们把整个积分区间 $[a, b]$ 分成了 $n$ 个等宽的小区间，每个小区间宽度为 $h = (ba)/n$。为了方便说明，我们假设 $n$ 是 偶数，这样我们就可以把区间两两配对，总共形成 $n/2$ 个“大组”，每组包含三个节点。
我们来看其中一组，它包含了四个节点：$x_0, x_1, x_2, x_3$。这些节点之间的距离都是 $h$。
$x_0 = a$
$x_1 = a + h$
$x_2 = a + 2h$
$x_3 = a + 3h$
辛普森法做的就是，在区间 $[x_0, x_3]$ 上，用一条二次多项式 $P(x)$ 来近似被积函数 $f(x)$。这条抛物线 $P(x)$ 的关键在于，它必须通过这三个点：$(x_0, f(x_0))$, $(x_1, f(x_1))$, $(x_2, f(x_2))$。
等等，这里有个小小的误会。更准确地说，在 标准辛普森法 中，我们是将两个连续的子区间（例如 $[x_0, x_1]$ 和 $[x_1, x_2]$）合在一起，然后在这三个节点 $x_0, x_1, x_2$ 处用抛物线来近似函数 $f(x)$。也就是说，在区间 $[x_0, x_2]$ 上，函数 $f(x)$ 被一个抛物线 $P(x)$ 所近似，而这个抛物线由 $f(x_0), f(x_1), f(x_2)$ 这三个函数值确定。
那么，我们如何找到这条抛物线在 $[x_0, x_2]$ 上的积分呢？这里就要用到 拉格朗日插值多项式 的思想了。
拉格朗日插值与抛物线积分的推导
我们想找到一个二次多项式 $P(x)$，使得 $P(x_0) = f(x_0)$, $P(x_1) = f(x_1)$, $P(x_2) = f(x_2)$。
为了简化推导，我们进行一个变量替换。令 $xi = (x x_1) / h$。那么：
当 $x = x_0$ 时，$xi = (x_0 x_1) / h = h / h = 1$
当 $x = x_1$ 时，$xi = (x_1 x_1) / h = 0 / h = 0$
当 $x = x_2$ 时，$xi = (x_2 x_1) / h = h / h = 1$
现在，我们将 $x$ 用 $xi$ 来表示：$x = x_1 + xi h$。
我们令 $g(xi) = f(x_1 + xi h) = f(x)$。
我们需要找到一个关于 $xi$ 的二次多项式 $Q(xi)$，使得 $Q(1) = g(1) = f(x_0)$, $Q(0) = g(0) = f(x_1)$, $Q(1) = g(1) = f(x_2)$。
使用拉格朗日插值公式，我们可以构造这个二次多项式 $Q(xi)$：
$Q(xi) = f(x_0) frac{(xi 0)(xi 1)}{(1 0)(1 1)} + f(x_1) frac{(xi (1))(xi 1)}{(0 (1))(0 1)} + f(x_2) frac{(xi (1))(xi 0)}{(1 (1))(1 0)}$
化简一下各个系数项：
第一项：$f(x_0) frac{xi(xi 1)}{(1)(2)} = f(x_0) frac{xi^2 xi}{2}$
第二项：$f(x_1) frac{(xi + 1)(xi 1)}{(1)(1)} = f(x_1) frac{xi^2 1}{1} = f(x_1)(xi^2 1)$
第三项：$f(x_2) frac{(xi + 1)xi}{(2)(1)} = f(x_2) frac{xi^2 + xi}{2}$
所以，$Q(xi) = frac{1}{2} f(x_0) (xi^2 xi) f(x_1)(xi^2 1) + frac{1}{2} f(x_2) (xi^2 + xi)$
现在我们要计算的是在 $[x_0, x_2]$ 上的积分，对应的 $xi$ 的范围是 $[1, 1]$。
$int_{x_0}^{x_2} f(x) dx = int_{1}^{1} f(x_1 + xi h) cdot h dxi = h int_{1}^{1} g(xi) dxi$
我们用 $Q(xi)$ 来近似 $g(xi)$：
$h int_{1}^{1} Q(xi) dxi = h int_{1}^{1} left[ frac{1}{2} f(x_0) (xi^2 xi) f(x_1)(xi^2 1) + frac{1}{2} f(x_2) (xi^2 + xi) ight] dxi$
现在我们来计算积分：
$int_{1}^{1} (xi^2 xi) dxi = left[ frac{xi^3}{3} frac{xi^2}{2} ight]_{1}^{1} = (frac{1}{3} frac{1}{2}) (frac{1}{3} frac{1}{2}) = frac{1}{3} frac{1}{2} + frac{1}{3} + frac{1}{2} = frac{2}{3}$
$int_{1}^{1} (xi^2 1) dxi = left[ frac{xi^3}{3} xi ight]_{1}^{1} = (frac{1}{3} 1) (frac{1}{3} (1)) = frac{1}{3} 1 + frac{1}{3} 1 = frac{2}{3} 2 = frac{4}{3}$
$int_{1}^{1} (xi^2 + xi) dxi = left[ frac{xi^3}{3} + frac{xi^2}{2} ight]_{1}^{1} = (frac{1}{3} + frac{1}{2}) (frac{1}{3} + frac{1}{2}) = frac{1}{3} + frac{1}{2} + frac{1}{3} frac{1}{2} = frac{2}{3}$
将这些结果代回积分表达式：
$h left[ frac{1}{2} f(x_0) (frac{2}{3}) f(x_1) (frac{4}{3}) + frac{1}{2} f(x_2) (frac{2}{3}) ight]$
$= h left[ frac{1}{3} f(x_0) + frac{4}{3} f(x_1) + frac{1}{3} f(x_2) ight]$
$= frac{h}{3} [f(x_0) + 4f(x_1) + f(x_2)]$
Bingo！我们看到了熟悉的系数：1, 4, 1。这是辛普森法在 两个连续小区间（覆盖三个节点）上的积分贡献。
辛普森法的“叠加”与最终系数
辛普森法将整个积分区间 $[a, b]$ 分成 $n$ 个小区间（$n$ 为偶数），也就是 $n/2$ 个“组”，每组包含两个子区间。
第一个组：覆盖 $[x_0, x_2]$，积分贡献为 $frac{h}{3} [f(x_0) + 4f(x_1) + f(x_2)]$
第二个组：覆盖 $[x_2, x_4]$，积分贡献为 $frac{h}{3} [f(x_2) + 4f(x_3) + f(x_4)]$
第三个组：覆盖 $[x_4, x_6]$，积分贡献为 $frac{h}{3} [f(x_4) + 4f(x_5) + f(x_6)]$
...
最后一个组：覆盖 $[x_{n2}, x_n]$，积分贡献为 $frac{h}{3} [f(x_{n2}) + 4f(x_{n1}) + f(x_n)]$
现在，我们将所有这些贡献加起来，就得到了整个区间 $[a, b]$ 的近似积分值：
$int_a^b f(x) dx approx frac{h}{3} [f(x_0) + 4f(x_1) + f(x_2)] + frac{h}{3} [f(x_2) + 4f(x_3) + f(x_4)] + frac{h}{3} [f(x_4) + 4f(x_5) + f(x_6)] + dots + frac{h}{3} [f(x_{n2}) + 4f(x_{n1}) + f(x_n)]$
把 $frac{h}{3}$ 提出来，并合并同类项：
$frac{h}{3} [f(x_0) + 4f(x_1) + (f(x_2) + f(x_2)) + 4f(x_3) + (f(x_4) + f(x_4)) + 4f(x_5) + dots + (f(x_{n2}) + f(x_{n2})) + 4f(x_{n1}) + f(x_n)]$
注意，中间节点的系数是如何累加的：
$f(x_0)$ 只出现在第一个组的开头，系数为 1。
$f(x_1)$ 只出现在第一个组的中间，系数为 4。
$f(x_2)$ 出现在第一个组的结尾，也出现在第二个组的开头，所以系数是 $1 + 1 = 2$。
$f(x_3)$ 只出现在第二个组的中间，系数为 4。
$f(x_4)$ 出现在第二个组的结尾，也出现在第三个组的开头，所以系数是 $1 + 1 = 2$。
以此类推，我们会发现一个规律：
首项 $f(x_0)$ 的系数是 1。
末项 $f(x_n)$ 的系数是 1。
所有 奇数下标 的内部节点 ($f(x_1), f(x_3), f(x_5), dots, f(x_{n1})$) 的系数是 4。
所有 偶数下标 的内部节点 ($f(x_2), f(x_4), dots, f(x_{n2})$) 的系数是 2。
所以，辛普森法的完整公式看起来是这样的：
$int_a^b f(x) dx approx frac{h}{3} [f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + 4f(x_3) + 2f(x_4) + dots + 2f(x_{n2}) + 4f(x_{n1}) + f(x_n)]$
这个公式里的系数 1, 4, 2, 4, 2, ..., 2, 4, 1 就是辛普森法的系数了！
那为什么有时候会看到 1, 4, 1, 4, 1 的写法呢？
你可能会问，上面推导出来的系数是 1, 4, 2, 4, 2, ...，为什么很多地方介绍辛普森法时，会简化成 1, 4, 1, 4, 1 的形式呢？
这里的原因是，有时为了方便记忆和表述，人们会 分组来看。辛普森法的基本单元是处理 三个节点（两个小区间） 的情况，其系数就是 1, 4, 1。然后把这些基本单元依次叠加起来。
当我们将区间 $[x_0, x_2]$ 的积分记为 $S_1 = frac{h}{3} (f(x_0) + 4f(x_1) + f(x_2))$，
将区间 $[x_2, x_4]$ 的积分记为 $S_2 = frac{h}{3} (f(x_2) + 4f(x_3) + f(x_4))$，
等等。
如果我们将这相邻两个基本单元（即 $[x_0, x_4]$ 这四个节点）的积分加起来，会是什么样子？
$S_1 + S_2 = frac{h}{3} (f(x_0) + 4f(x_1) + f(x_2)) + frac{h}{3} (f(x_2) + 4f(x_3) + f(x_4))$
$= frac{h}{3} (f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + 4f(x_3) + f(x_4))$
你看，在两个基本单元拼接的地方（也就是 $f(x_2)$ 这个节点），它的系数是 2。
而每个基本单元内部的节点（$f(x_1)$ 和 $f(x_3)$），系数依然是 4。首尾节点（$f(x_0)$ 和 $f(x_4)$）的系数是 1。
所以，当我们连续考虑一组 两个相邻的基本单元 时，系数就变成了 1, 4, 2, 4, 1。
如果你将这种 两个单元一组 的模式继续叠加下去，那么：
第一个单元的开头 $f(x_0)$ 是 1。
第一个单元内部的 $f(x_1)$ 是 4。
第一个单元的结尾 $f(x_2)$ 和第二个单元的开头 $f(x_2)$ 相加是 2。
第二个单元内部的 $f(x_3)$ 是 4。
第二个单元的结尾 $f(x_4)$ 和第三个单元的开头 $f(x_4)$ 相加是 2。
以此类推，直到最后一个单元的末尾节点。
因此，最严谨的系数序列是 1, 4, 2, 4, 2, ..., 2, 4, 1。
至于为什么有时会看到 1, 4, 1, 4, 1 的简化写法，这通常是指辛普森法的基本规则：
每三个节点构成一个抛物线拟合的单元。
这个单元内的系数是 1, 4, 1。
然后将所有这样的单元的积分贡献相加。
当人们这样描述时，往往是强调了 基本单元的结构，而没有明确指出 节点在叠加过程中系数累加 的细节。但请注意，在实际应用公式时，1, 4, 2, 4, 2, ..., 2, 4, 1 这个完整序列才是正确的。
如果你想用一个更简洁的方式来记忆，可以这样想：
1. 首尾项 的系数总是 1。
2. 中间的内部节点，交替出现系数 4 和 2。具体来说，奇数下标的节点（第一组的第一个内部节点 $x_1$，第二组的第一个内部节点 $x_3$ 等等）系数是 4。偶数下标的节点（第一组的第二个内部节点 $x_2$，第二组的第二个内部节点 $x_4$ 等等）系数是 2。
核心在于：辛普森法利用二次多项式来逼近函数，而这个二次多项式的积分在特定节点上的贡献（经过变换和累加）就形成了这个有规律的系数序列。这个序列的出现，是抛物线积分特性的自然结果。
这就引出了我们今天的主角——辛普森法函数值的系数。为什么它们是 1, 4, 1, 4, 1... 这样一种奇特的组合呢？要弄明白这一点，我们需要从辛普森法的基本原理出发，一步一步拆解。
辛普森法的“野心”：用抛物线来玩转积分
我们知道，要求一个函数的定积分，最直接的想法就是把积分区间分成很多小份，然后在每个小份里把函数的形状近似成一个简单的几何图形，然后把这些小图形的面积加起来。梯形法则就是用梯形，中点法则用矩形。
辛普森法就不甘于此了。它看到梯形法则虽然不错，但如果函数本身是弯曲的，梯形就有点“硬朗”了，总是会留下一些误差。辛普森法想的是，能不能用一个更灵活的图形来贴合这个弯曲的函数呢？
它就盯上了 抛物线。为什么是抛物线？因为一条抛物线（也就是一个二次多项式）可以很自然地拟合三个点。如果我们在每个小区间里取三个点来定义一条抛物线，这条抛物线就可以比直线或水平线更好地描述函数在该区间内的变化趋势，从而减小积分误差。
怎么用抛物线来逼近呢？——考察三个连续小区间
辛普森法的核心思想是 “以三点定抛物线”。但它不是孤立地看一个区间，而是同时考虑 三个连续的小区间。为什么是三个呢？这样才能有效地“拼接”起来，形成一个更平滑的整体逼近，并且避免奇数个区间带来的边界问题。
假设我们把整个积分区间 $[a, b]$ 分成了 $n$ 个等宽的小区间，每个小区间宽度为 $h = (ba)/n$。为了方便说明，我们假设 $n$ 是 偶数，这样我们就可以把区间两两配对，总共形成 $n/2$ 个“大组”，每组包含三个节点。
我们来看其中一组，它包含了四个节点：$x_0, x_1, x_2, x_3$。这些节点之间的距离都是 $h$。
$x_0 = a$
$x_1 = a + h$
$x_2 = a + 2h$
$x_3 = a + 3h$
辛普森法做的就是，在区间 $[x_0, x_3]$ 上，用一条二次多项式 $P(x)$ 来近似被积函数 $f(x)$。这条抛物线 $P(x)$ 的关键在于，它必须通过这三个点：$(x_0, f(x_0))$, $(x_1, f(x_1))$, $(x_2, f(x_2))$。
等等，这里有个小小的误会。更准确地说，在 标准辛普森法 中，我们是将两个连续的子区间（例如 $[x_0, x_1]$ 和 $[x_1, x_2]$）合在一起，然后在这三个节点 $x_0, x_1, x_2$ 处用抛物线来近似函数 $f(x)$。也就是说，在区间 $[x_0, x_2]$ 上，函数 $f(x)$ 被一个抛物线 $P(x)$ 所近似，而这个抛物线由 $f(x_0), f(x_1), f(x_2)$ 这三个函数值确定。
那么，我们如何找到这条抛物线在 $[x_0, x_2]$ 上的积分呢？这里就要用到 拉格朗日插值多项式 的思想了。
拉格朗日插值与抛物线积分的推导
我们想找到一个二次多项式 $P(x)$，使得 $P(x_0) = f(x_0)$, $P(x_1) = f(x_1)$, $P(x_2) = f(x_2)$。
为了简化推导，我们进行一个变量替换。令 $xi = (x x_1) / h$。那么：
当 $x = x_0$ 时，$xi = (x_0 x_1) / h = h / h = 1$
当 $x = x_1$ 时，$xi = (x_1 x_1) / h = 0 / h = 0$
当 $x = x_2$ 时，$xi = (x_2 x_1) / h = h / h = 1$
现在，我们将 $x$ 用 $xi$ 来表示：$x = x_1 + xi h$。
我们令 $g(xi) = f(x_1 + xi h) = f(x)$。
我们需要找到一个关于 $xi$ 的二次多项式 $Q(xi)$，使得 $Q(1) = g(1) = f(x_0)$, $Q(0) = g(0) = f(x_1)$, $Q(1) = g(1) = f(x_2)$。
使用拉格朗日插值公式，我们可以构造这个二次多项式 $Q(xi)$：
$Q(xi) = f(x_0) frac{(xi 0)(xi 1)}{(1 0)(1 1)} + f(x_1) frac{(xi (1))(xi 1)}{(0 (1))(0 1)} + f(x_2) frac{(xi (1))(xi 0)}{(1 (1))(1 0)}$
化简一下各个系数项：
第一项：$f(x_0) frac{xi(xi 1)}{(1)(2)} = f(x_0) frac{xi^2 xi}{2}$
第二项：$f(x_1) frac{(xi + 1)(xi 1)}{(1)(1)} = f(x_1) frac{xi^2 1}{1} = f(x_1)(xi^2 1)$
第三项：$f(x_2) frac{(xi + 1)xi}{(2)(1)} = f(x_2) frac{xi^2 + xi}{2}$
所以，$Q(xi) = frac{1}{2} f(x_0) (xi^2 xi) f(x_1)(xi^2 1) + frac{1}{2} f(x_2) (xi^2 + xi)$
现在我们要计算的是在 $[x_0, x_2]$ 上的积分，对应的 $xi$ 的范围是 $[1, 1]$。
$int_{x_0}^{x_2} f(x) dx = int_{1}^{1} f(x_1 + xi h) cdot h dxi = h int_{1}^{1} g(xi) dxi$
我们用 $Q(xi)$ 来近似 $g(xi)$：
$h int_{1}^{1} Q(xi) dxi = h int_{1}^{1} left[ frac{1}{2} f(x_0) (xi^2 xi) f(x_1)(xi^2 1) + frac{1}{2} f(x_2) (xi^2 + xi) ight] dxi$
现在我们来计算积分：
$int_{1}^{1} (xi^2 xi) dxi = left[ frac{xi^3}{3} frac{xi^2}{2} ight]_{1}^{1} = (frac{1}{3} frac{1}{2}) (frac{1}{3} frac{1}{2}) = frac{1}{3} frac{1}{2} + frac{1}{3} + frac{1}{2} = frac{2}{3}$
$int_{1}^{1} (xi^2 1) dxi = left[ frac{xi^3}{3} xi ight]_{1}^{1} = (frac{1}{3} 1) (frac{1}{3} (1)) = frac{1}{3} 1 + frac{1}{3} 1 = frac{2}{3} 2 = frac{4}{3}$
$int_{1}^{1} (xi^2 + xi) dxi = left[ frac{xi^3}{3} + frac{xi^2}{2} ight]_{1}^{1} = (frac{1}{3} + frac{1}{2}) (frac{1}{3} + frac{1}{2}) = frac{1}{3} + frac{1}{2} + frac{1}{3} frac{1}{2} = frac{2}{3}$
将这些结果代回积分表达式：
$h left[ frac{1}{2} f(x_0) (frac{2}{3}) f(x_1) (frac{4}{3}) + frac{1}{2} f(x_2) (frac{2}{3}) ight]$
$= h left[ frac{1}{3} f(x_0) + frac{4}{3} f(x_1) + frac{1}{3} f(x_2) ight]$
$= frac{h}{3} [f(x_0) + 4f(x_1) + f(x_2)]$
Bingo！我们看到了熟悉的系数：1, 4, 1。这是辛普森法在 两个连续小区间（覆盖三个节点）上的积分贡献。
辛普森法的“叠加”与最终系数
辛普森法将整个积分区间 $[a, b]$ 分成 $n$ 个小区间（$n$ 为偶数），也就是 $n/2$ 个“组”，每组包含两个子区间。
第一个组：覆盖 $[x_0, x_2]$，积分贡献为 $frac{h}{3} [f(x_0) + 4f(x_1) + f(x_2)]$
第二个组：覆盖 $[x_2, x_4]$，积分贡献为 $frac{h}{3} [f(x_2) + 4f(x_3) + f(x_4)]$
第三个组：覆盖 $[x_4, x_6]$，积分贡献为 $frac{h}{3} [f(x_4) + 4f(x_5) + f(x_6)]$
...
最后一个组：覆盖 $[x_{n2}, x_n]$，积分贡献为 $frac{h}{3} [f(x_{n2}) + 4f(x_{n1}) + f(x_n)]$
现在，我们将所有这些贡献加起来，就得到了整个区间 $[a, b]$ 的近似积分值：
$int_a^b f(x) dx approx frac{h}{3} [f(x_0) + 4f(x_1) + f(x_2)] + frac{h}{3} [f(x_2) + 4f(x_3) + f(x_4)] + frac{h}{3} [f(x_4) + 4f(x_5) + f(x_6)] + dots + frac{h}{3} [f(x_{n2}) + 4f(x_{n1}) + f(x_n)]$
把 $frac{h}{3}$ 提出来，并合并同类项：
$frac{h}{3} [f(x_0) + 4f(x_1) + (f(x_2) + f(x_2)) + 4f(x_3) + (f(x_4) + f(x_4)) + 4f(x_5) + dots + (f(x_{n2}) + f(x_{n2})) + 4f(x_{n1}) + f(x_n)]$
注意，中间节点的系数是如何累加的：
$f(x_0)$ 只出现在第一个组的开头，系数为 1。
$f(x_1)$ 只出现在第一个组的中间，系数为 4。
$f(x_2)$ 出现在第一个组的结尾，也出现在第二个组的开头，所以系数是 $1 + 1 = 2$。
$f(x_3)$ 只出现在第二个组的中间，系数为 4。
$f(x_4)$ 出现在第二个组的结尾，也出现在第三个组的开头，所以系数是 $1 + 1 = 2$。
以此类推，我们会发现一个规律：
首项 $f(x_0)$ 的系数是 1。
末项 $f(x_n)$ 的系数是 1。
所有 奇数下标 的内部节点 ($f(x_1), f(x_3), f(x_5), dots, f(x_{n1})$) 的系数是 4。
所有 偶数下标 的内部节点 ($f(x_2), f(x_4), dots, f(x_{n2})$) 的系数是 2。
所以，辛普森法的完整公式看起来是这样的：
$int_a^b f(x) dx approx frac{h}{3} [f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + 4f(x_3) + 2f(x_4) + dots + 2f(x_{n2}) + 4f(x_{n1}) + f(x_n)]$
这个公式里的系数 1, 4, 2, 4, 2, ..., 2, 4, 1 就是辛普森法的系数了！
那为什么有时候会看到 1, 4, 1, 4, 1 的写法呢？
你可能会问，上面推导出来的系数是 1, 4, 2, 4, 2, ...，为什么很多地方介绍辛普森法时，会简化成 1, 4, 1, 4, 1 的形式呢？
这里的原因是，有时为了方便记忆和表述，人们会 分组来看。辛普森法的基本单元是处理 三个节点（两个小区间） 的情况，其系数就是 1, 4, 1。然后把这些基本单元依次叠加起来。
当我们将区间 $[x_0, x_2]$ 的积分记为 $S_1 = frac{h}{3} (f(x_0) + 4f(x_1) + f(x_2))$，
将区间 $[x_2, x_4]$ 的积分记为 $S_2 = frac{h}{3} (f(x_2) + 4f(x_3) + f(x_4))$，
等等。
如果我们将这相邻两个基本单元（即 $[x_0, x_4]$ 这四个节点）的积分加起来，会是什么样子？
$S_1 + S_2 = frac{h}{3} (f(x_0) + 4f(x_1) + f(x_2)) + frac{h}{3} (f(x_2) + 4f(x_3) + f(x_4))$
$= frac{h}{3} (f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + 4f(x_3) + f(x_4))$
你看，在两个基本单元拼接的地方（也就是 $f(x_2)$ 这个节点），它的系数是 2。
而每个基本单元内部的节点（$f(x_1)$ 和 $f(x_3)$），系数依然是 4。首尾节点（$f(x_0)$ 和 $f(x_4)$）的系数是 1。
所以，当我们连续考虑一组 两个相邻的基本单元 时，系数就变成了 1, 4, 2, 4, 1。
如果你将这种 两个单元一组 的模式继续叠加下去，那么：
第一个单元的开头 $f(x_0)$ 是 1。
第一个单元内部的 $f(x_1)$ 是 4。
第一个单元的结尾 $f(x_2)$ 和第二个单元的开头 $f(x_2)$ 相加是 2。
第二个单元内部的 $f(x_3)$ 是 4。
第二个单元的结尾 $f(x_4)$ 和第三个单元的开头 $f(x_4)$ 相加是 2。
以此类推，直到最后一个单元的末尾节点。
因此，最严谨的系数序列是 1, 4, 2, 4, 2, ..., 2, 4, 1。
至于为什么有时会看到 1, 4, 1, 4, 1 的简化写法，这通常是指辛普森法的基本规则：
每三个节点构成一个抛物线拟合的单元。
这个单元内的系数是 1, 4, 1。
然后将所有这样的单元的积分贡献相加。
当人们这样描述时，往往是强调了 基本单元的结构，而没有明确指出 节点在叠加过程中系数累加 的细节。但请注意，在实际应用公式时，1, 4, 2, 4, 2, ..., 2, 4, 1 这个完整序列才是正确的。
如果你想用一个更简洁的方式来记忆，可以这样想：
1. 首尾项 的系数总是 1。
2. 中间的内部节点，交替出现系数 4 和 2。具体来说，奇数下标的节点（第一组的第一个内部节点 $x_1$，第二组的第一个内部节点 $x_3$ 等等）系数是 4。偶数下标的节点（第一组的第二个内部节点 $x_2$，第二组的第二个内部节点 $x_4$ 等等）系数是 2。
核心在于：辛普森法利用二次多项式来逼近函数，而这个二次多项式的积分在特定节点上的贡献（经过变换和累加）就形成了这个有规律的系数序列。这个序列的出现，是抛物线积分特性的自然结果。
网友意见
第一，实际上的真正系数只有 。之所以看起来是 ，是因为把它分成了很多个小区间，每个小区间都用 ，你求一下和就会发现是那一长串。
第二，那你还会问，为什么Simpson公式的系数是 ？这是因为，Simpson公式是Newton-Cotes公式在 的特例。Simpson的系数，其实是从计算Newton-Cotes系数中得到的。
（你可以看到第2行都除以了6，这是为了保证求和为1）
而上面表中这些Cotes系数是怎么算出来的？公式如下：
令 就能推出Simpson公式的系数 ， ，
那你又会问这个公式是怎么推出来的？这是因为Newton-Cotes公式是插值型公式， 的意思就是用二次多项式取插值（所以Simpson法的本质就是二次多项式代替原来的函数）。代入Lagrange插值公式，然后疯狂计算，就可以得到这个公式了。
多写几个特例：
- 梯形公式 —— 一次多项式插值
- Simpson公式 —— 二次多项式插值
- Simpson3/8公式 —— 三次多项式插值
- Milne公式（或Cotes公式） —— 四次多项式插值
这些公式的系数自行查前面那张表。
类似的话题
-
辛普森法，这可是数值积分领域的一员猛将。它之所以能这么出色，关键就在于它对被积函数（也就是我们要求积分的那个函数）的逼近方式。简单来说，辛普森法不像它的一些前辈那样，只是用简单的直线（梯形法则）或者水平线（中点法则）来近似曲线，而是更进一步，用了更平滑、更贴合的 二次多项式（抛物线） 来逼近被积函数............. -
辛普森杀妻案，又被誉为“世纪大审判”，绝非浪得虚名。这场发生在1994年的刑事审判，之所以能够激起如此巨大的社会反响，成为载入史册的法律事件，其背后是多重因素的叠加，从案件本身的戏剧性、名人效应，到种族、司法系统、媒体传播等社会议题的深度交织。一、 震动美国的残忍凶案与名人光环案件的起点就充满了血腥.............
-
您好！听到您辛辛苦苦做的耳环卖不出去，一定很令人沮丧。耳环作为一种手工饰品，其销售过程受到很多因素的影响。为了帮助您更详细地分析问题，我们从以下几个方面来探讨：一、产品本身的问题：1. 设计吸引力不足： 市场趋势脱节： 您耳环的设计是否符合当前的流行趋势？例如，某些元素、颜色、风格可能.............
-
辛芷蕾被一些观众和评论者冠以“一刀斩断女星武侠梦”的称号，并非是说她直接终结了所有女明星对武侠题材的喜爱或出演机会，而是源于她在《绣春刀II：修罗战场》中塑造的丁白缨这个角色，以及这个角色所引发的关于女性武侠形象的讨论。在此之前，观众对于女性在武侠剧中的形象，很大程度上停留在温婉、柔弱，或是被男性角.............
-
要说艾辛格里为什么只有一个萨鲁曼，这事儿说来话长，得从头说起。你想想，萨鲁曼是谁？他是灰袍甘道夫的头儿，是迈雅中的一员，本来是属于一股正义的力量，是来帮助中土世界的。五巫（Istari）出现在中土，本来就是一种神圣的任务，他们的使命是引导、鼓励那些仍然抵抗索伦的人们，而不是亲自上阵杀敌，更不是要建立.............
-
甲午战争之后到辛亥革命前这段时期，清朝确实出现了一股“铁路热”，可以说是一场疯狂的铁路建设浪潮。要理解这背后的原因，得把时间线拉回到甲午战败。那场惨痛的失败，如同当头棒喝，让满清统治者和各界精英终于意识到，不进行彻底的改革，国家将不保。而铁路，正是这场改革中最显眼、最迫切需要补上的短板。甲午战败：敲.............
-
这是一个很有意思的问题，也是很多人都好奇的。首先，我们得弄清楚“财富自由”到底是什么意思。通常来说，“财富自由”是指一个人拥有足够的资产，能够依靠这些资产产生的被动收入来维持自己和家人的生活水平，而不再需要为了生计而出卖自己的时间和劳动。换句话说，就是不用为了赚钱而“工作”了。那么，那些我们常说的“.............
-
这是一个非常复杂且触及社会深层结构的问题，涉及到经济、教育、历史、文化、政策、个人命运等多个层面。很多人辛劳一生却仍生活在社会底层，并非单一原因造成的，而是多种因素相互交织、叠加的结果。以下我将尽量详细地解释这些原因：一、 结构性与系统性因素： 起点不平等（起跑线不同）： 家庭背景：.............
-
谈到窦唯的专辑销量，这确实是一个绕不开的话题，也是不少乐迷心中的疑问。毕竟，以他在中国摇滚乐史上的地位，他的作品无论从音乐性还是艺术性上，都称得上是里程碑式的存在。可为什么，许多他用心打磨多年的专辑，在市场上却并未获得与之匹配的销量呢？这背后，其实是多重因素交织作用的结果，远非一句“不好听”就能概括.............
-
你提出的问题非常有意思，也触及了宋词创作的一个重要方面，那就是“用典”。很多人在阅读辛弃疾的词时，也会有类似的感受：他不用典的词句，常常显得气势磅礴、感情真挚，直击人心；而一旦他用典，有时会觉得晦涩难懂，甚至显得刻意或不够自然。要详细地解释为什么你会产生这种感觉，我们可以从以下几个方面来探讨： 一、.............
-
你这个问题问得特别好，也特别扎心。同样是流汗、流血、流泪，为什么同样付出了巨大的努力，练健美的肌肉男，在一些人眼里，就成了“一身死肌肉”，好像他们的汗水和坚持一文不值？这背后其实挺多门道，不是一句两句话能说清楚的，让我跟你掰扯掰扯。首先，得承认，确实有那么一部分人，对健美运动存在着误解，甚至带有一定.............
-
“为什么酒这么难喝，人们还喜欢喝酒？” 这个问题触及了人类行为、生理学、心理学和社会文化等多个层面，是一个非常有趣且值得深入探讨的话题。从味觉感官上来说，很多人初次接触酒的体验确实是“难喝”的，比如辛辣、酸涩、苦涩等。然而，全球有数以亿计的人仍然享受饮酒，甚至将饮酒视为一种乐趣、社交方式或文化仪式。.............
-
克莱·汤普森的防守，绝对是他“3D球员”标签中最关键、最被低估的部分。虽然他的投射能力光芒四射，但我们很少能看到有人如此深入地剖析他防守端的贡献。这不仅仅是“能防”，而是他拥有的一套非常独特且高效的防守体系。首先，我们得从他的身体素质说起。别看他现在经常有些“佛系”的表情，克莱年轻的时候，身体条件相.............
-
这个问题触及了当下医疗行业一个普遍而沉痛的现实，医生这个职业，本应备受尊敬，承载着救死扶伤的重任，但实际情况却常常是高强度的工作、不匹配的薪酬，以及来自各方的误解和压力。要说清楚这其中的缘由，得从几个层面去剖析。一、 工作本身的辛苦程度，远超常人想象：首先，我们得明白医生的工作内容有多么复杂和高压。.............
-
审计工作确实辛苦，加班是常态，对专业知识和细致程度要求极高。然而，尽管如此，审计行业依然吸引了大量的人才，尤其是初入职场的年轻人。这背后有着多方面的原因，我们可以从个人发展、行业特点、职业声誉以及现实考量等角度来详细分析：一、 个人发展与职业成长： 扎实的专业基础和技能训练： 事务所的审计工作是.............
-
女性经常强调生孩子养孩子辛苦，这背后有多方面的原因，既有生理上的客观存在，也有社会文化层面的影响，甚至一些未婚女性对此的强调，也反映了她们对未来生活和自身价值的思考。下面我将尽量详细地阐述这些原因： 一、 生孩子养孩子辛苦的客观原因（生理与实践层面）这是最直接、最普遍的原因，也是所有女性（不论是否已.............
-
“卡特尔”和“辛迪加”这两个词，如今我们常常用来指代那些令人闻风丧胆的犯罪组织，尤其是贩毒集团和杀手组织。但它们最初的含义，以及为何会与这些黑暗势力产生如此深刻的联系，其实有着一段耐人寻味的演变史。并非所有贩毒集团都叫“卡特尔”，也不是所有杀手组织都自称“辛迪加”，这背后更多是一种习惯性的称谓，是历.............
-
1453年的君士坦丁堡之战，对于奥斯曼土耳其人来说，绝对是一场艰苦卓绝的攻坚战。虽然最终的胜利者是奥斯曼，但要说他们打得轻松，那绝对是睁眼说瞎话。这场战役的艰难，主要体现在以下几个方面：一、拜占庭人的顽强抵抗和坚固的防御工事首先，我们不能忽视君士坦丁堡这座城市本身。它并非易攻难下，而是被誉为当时世界.............
-
中国学生普遍觉得高中比大学辛苦，这种感受并非个例，而是经历过这两个阶段的普遍体验。这种落差的形成，背后有着多方面的原因，涵盖了教育体制、社会期望、个人成长以及学习内容等多个维度。一、 压力源的转移与重心变化高中阶段，尤其是高三，几乎是所有学生生活和精神的绝对中心。高考，这场决定人生走向的“千军万马过.............
-
“奥斯维辛”这个中文译名，之所以没有选择“奥辛维斯”，是历史、语言习惯、以及约定俗成等多方面因素共同作用的结果。这背后并非一个简单的音译选择，而是承载着一段特殊的历史与文化传承。首先，我们得明白，任何一个外来词汇进入中文，都需要经过一个“本土化”的过程。这个过程通常不是一对一、毫厘不差的音译，而是力.............
本站所有内容均为互联网搜索引擎提供的公开搜索信息，本站不存储任何数据与内容，任何内容与数据均与本站无关，如有需要请联系相关搜索引擎包括但不限于百度，google,bing,sogou 等
© 2025 tinynews.org All Rights Reserved. 百科问答小站 版权所有