如何构造一个数学例子来证明零知识证明可行？
好的，我们来构建一个经典的零知识证明例子：“ Ali Baba 的洞穴问题”。这个例子非常直观且易于理解，能够很好地展示零知识证明的核心思想：证明者（Peggy）能够证明她知道某个秘密信息，但对验证者（Victor）来说，除了知道 Peggy 知道这个秘密之外，Victor 无法获得任何关于这个秘密本身的更多信息。
问题设定：Ali Baba 的洞穴
想象一下，有一个圆形的洞穴，它只有一个入口。在这个入口的后面，洞穴被分成了两条路径，A 和 B。这两条路径的尽头连接着一个隐藏的门，这个门需要一个特殊的“咒语”（秘密词语）才能打开。
洞穴结构： 只有一个入口，进去后分成路径 A 和路径 B。路径 A 和路径 B 在一个点汇合，而那个汇合点通往一个隐藏的门。只有知道咒语的人才能打开这个门。
证明者 (Peggy): Peggy 声称她知道打开隐藏门所需的“咒语”。
验证者 (Victor): Victor 想验证 Peggy 是否真的知道咒语，但他自己并不知道咒语是什么，也不想知道。
零知识证明的目标：
Peggy 需要向 Victor 证明她知道咒语，但在这个过程中，Victor 永远不能从 Peggy 的行为中推断出咒语本身。
证明过程（协议）：
为了进行这个证明，我们需要引入一些随机性和可重复性。
1. Peggy 准备：
Peggy 知道秘密咒语。
Peggy 进入洞穴，并选择其中一条路径（例如，路径 A）走进去，直到隐藏的门附近。她不会让 Victor 看到她选择了哪条路。
2. Victor 的挑战：
Victor 站在洞穴入口处，他看不到 Peggy 在里面做了什么。
Victor 大声喊出他希望 Peggy 从哪条路径出来（例如，“Peggy，从路径 B 出来！”）。
3. Peggy 的响应：
如果 Peggy 知道咒语： 无论 Victor 指定她从路径 A 还是路径 B 出来，Peggy 都能够做到。
如果 Peggy 最初选择路径 A，并且 Victor 要求她从路径 A 出来，她直接走出来即可。
如果 Peggy 最初选择路径 A，但 Victor 要求她从路径 B 出来，她需要走到两条路径的汇合点，使用咒语打开隐藏的门，然后通过另一条路径（路径 B）走出来。
如果 Peggy 不知道咒语： Peggy 只能随机选择一条路径进去。
如果她选择路径 A，并且 Victor 要求她从路径 B 出来，她就无法做到。她必须在洞穴入口处就得听从 Victor 的指示，而无法真正地走到隐藏的门并绕行。她只能从她进去的同一条路径（路径 A）出来。
证明的有效性分析：
正确性 (Correctness): 如果 Peggy 真的知道咒语，她可以成功地应对 Victor 的任何一次挑战。
完整性 (Completeness): 如果 Peggy 知道咒语，她总是能通过证明。
零知识性 (ZeroKnowledge): 这是关键！即使 Peggy 成功地完成了这个过程，Victor 也只知道 Peggy 能够从他指定的路径出来。Victor 不知道 Peggy 在洞穴里到底走了哪条路，也不知道她是否使用了咒语。
想象一下，如果 Peggy 不知道咒语，她只是随机走进去。那么她有 50% 的几率猜对了 Victor 下一次会让她出来的路径。如果 Victor 只是让她重复一次，Peggy 凭运气可能也会通过。
但是，如果 Victor 重复这个过程很多次（例如，20 次），并且每次都随机指定 Peggy 从哪条路径出来。
如果 Peggy 知道咒语，她每次都能成功。
如果 Peggy 不知道咒语，她每次猜对的概率是 1/2。连续猜对 20 次的概率是 $(1/2)^{20}$，这是一个非常小的数字（大约一百万分之一）。如果 Peggy 在 20 次测试中都成功了，Victor 可以非常确信 Peggy 知道咒语。
更重要的是，Victor 无法从这些成功中推断出咒语。 Peggy 总是可以声称她“碰巧”进入了正确的路径，或者她“碰巧”猜对了 Victor 的要求。Victor 无法区分 Peggy 是真的知道咒语并使用了它来绕行，还是她仅仅是运气好。
这个例子如何展示零知识证明的关键属性：
1. 完整性 (Completeness): 如果证明者（Peggy）诚实地遵循协议并且知道秘密（咒语），那么验证者（Victor）总是会被说服。
2. 可靠性 (Soundness): 如果证明者（Peggy）不诚实（不知道秘密），那么她被说服验证者（Victor）的概率会非常低。通过多次重复，这个概率可以降到几乎为零。
3. 零知识性 (ZeroKnowledge): 验证者（Victor）除了知道证明者（Peggy）知道秘密之外，不学习到任何关于秘密本身的额外信息。Victor 无法复现 Peggy 的能力，也无法推断出秘密。
为什么这个例子是“零知识”的？
设想 Victor 可以向他的朋友 Alice 描述整个过程。Alice 也站在洞穴入口处（或者 Victor 可以把整个过程的日志给 Alice 看）。
Alice 听到 Victor 说：“Peggy 进去了，然后我让她从 B 出来，她就从 B 出来了。”
Alice 无法从这个描述中知道 Peggy 是如何做到的。Peggy 可能知道咒语，然后从 A 进去，通过门到 B 出来。也可能 Peggy 没输入咒语，只是碰巧从 B 进去，然后 Victor 恰好让她从 B 出来。
Alice 无法区分这两种可能性。
总结：
Ali Baba 的洞穴问题是一个极好的零知识证明的例子，因为它：
形象生动： 易于理解洞穴、秘密和证明的过程。
强调随机性： Victor 的挑战是随机的，这是零知识证明的核心组成部分。
展示了重复性的重要性： 即使 Peggy 能够通过一次测试，多次测试才能建立足够的信任。
清晰地展示了“零知识”的含义： Victor 验证了 Peggy 的能力，但没有获得关于能力来源（咒语）的任何线索。
在实际的密码学中，零知识证明更加复杂，利用了数学上的哈希函数、承诺方案和多项式等工具来构建，但 Ali Baba 的洞穴问题抓住了其最根本的精神和运作方式。
问题设定：Ali Baba 的洞穴
想象一下，有一个圆形的洞穴，它只有一个入口。在这个入口的后面，洞穴被分成了两条路径，A 和 B。这两条路径的尽头连接着一个隐藏的门，这个门需要一个特殊的“咒语”（秘密词语）才能打开。
洞穴结构： 只有一个入口，进去后分成路径 A 和路径 B。路径 A 和路径 B 在一个点汇合，而那个汇合点通往一个隐藏的门。只有知道咒语的人才能打开这个门。
证明者 (Peggy): Peggy 声称她知道打开隐藏门所需的“咒语”。
验证者 (Victor): Victor 想验证 Peggy 是否真的知道咒语，但他自己并不知道咒语是什么，也不想知道。
零知识证明的目标：
Peggy 需要向 Victor 证明她知道咒语，但在这个过程中，Victor 永远不能从 Peggy 的行为中推断出咒语本身。
证明过程（协议）：
为了进行这个证明，我们需要引入一些随机性和可重复性。
1. Peggy 准备：
Peggy 知道秘密咒语。
Peggy 进入洞穴，并选择其中一条路径（例如，路径 A）走进去，直到隐藏的门附近。她不会让 Victor 看到她选择了哪条路。
2. Victor 的挑战：
Victor 站在洞穴入口处，他看不到 Peggy 在里面做了什么。
Victor 大声喊出他希望 Peggy 从哪条路径出来（例如，“Peggy，从路径 B 出来！”）。
3. Peggy 的响应：
如果 Peggy 知道咒语： 无论 Victor 指定她从路径 A 还是路径 B 出来，Peggy 都能够做到。
如果 Peggy 最初选择路径 A，并且 Victor 要求她从路径 A 出来，她直接走出来即可。
如果 Peggy 最初选择路径 A，但 Victor 要求她从路径 B 出来，她需要走到两条路径的汇合点，使用咒语打开隐藏的门，然后通过另一条路径（路径 B）走出来。
如果 Peggy 不知道咒语： Peggy 只能随机选择一条路径进去。
如果她选择路径 A，并且 Victor 要求她从路径 B 出来，她就无法做到。她必须在洞穴入口处就得听从 Victor 的指示，而无法真正地走到隐藏的门并绕行。她只能从她进去的同一条路径（路径 A）出来。
证明的有效性分析：
正确性 (Correctness): 如果 Peggy 真的知道咒语，她可以成功地应对 Victor 的任何一次挑战。
完整性 (Completeness): 如果 Peggy 知道咒语，她总是能通过证明。
零知识性 (ZeroKnowledge): 这是关键！即使 Peggy 成功地完成了这个过程，Victor 也只知道 Peggy 能够从他指定的路径出来。Victor 不知道 Peggy 在洞穴里到底走了哪条路，也不知道她是否使用了咒语。
想象一下，如果 Peggy 不知道咒语，她只是随机走进去。那么她有 50% 的几率猜对了 Victor 下一次会让她出来的路径。如果 Victor 只是让她重复一次，Peggy 凭运气可能也会通过。
但是，如果 Victor 重复这个过程很多次（例如，20 次），并且每次都随机指定 Peggy 从哪条路径出来。
如果 Peggy 知道咒语，她每次都能成功。
如果 Peggy 不知道咒语，她每次猜对的概率是 1/2。连续猜对 20 次的概率是 $(1/2)^{20}$，这是一个非常小的数字（大约一百万分之一）。如果 Peggy 在 20 次测试中都成功了，Victor 可以非常确信 Peggy 知道咒语。
更重要的是，Victor 无法从这些成功中推断出咒语。 Peggy 总是可以声称她“碰巧”进入了正确的路径，或者她“碰巧”猜对了 Victor 的要求。Victor 无法区分 Peggy 是真的知道咒语并使用了它来绕行，还是她仅仅是运气好。
这个例子如何展示零知识证明的关键属性：
1. 完整性 (Completeness): 如果证明者（Peggy）诚实地遵循协议并且知道秘密（咒语），那么验证者（Victor）总是会被说服。
2. 可靠性 (Soundness): 如果证明者（Peggy）不诚实（不知道秘密），那么她被说服验证者（Victor）的概率会非常低。通过多次重复，这个概率可以降到几乎为零。
3. 零知识性 (ZeroKnowledge): 验证者（Victor）除了知道证明者（Peggy）知道秘密之外，不学习到任何关于秘密本身的额外信息。Victor 无法复现 Peggy 的能力，也无法推断出秘密。
为什么这个例子是“零知识”的？
设想 Victor 可以向他的朋友 Alice 描述整个过程。Alice 也站在洞穴入口处（或者 Victor 可以把整个过程的日志给 Alice 看）。
Alice 听到 Victor 说：“Peggy 进去了，然后我让她从 B 出来，她就从 B 出来了。”
Alice 无法从这个描述中知道 Peggy 是如何做到的。Peggy 可能知道咒语，然后从 A 进去，通过门到 B 出来。也可能 Peggy 没输入咒语，只是碰巧从 B 进去，然后 Victor 恰好让她从 B 出来。
Alice 无法区分这两种可能性。
总结：
Ali Baba 的洞穴问题是一个极好的零知识证明的例子，因为它：
形象生动： 易于理解洞穴、秘密和证明的过程。
强调随机性： Victor 的挑战是随机的，这是零知识证明的核心组成部分。
展示了重复性的重要性： 即使 Peggy 能够通过一次测试，多次测试才能建立足够的信任。
清晰地展示了“零知识”的含义： Victor 验证了 Peggy 的能力，但没有获得关于能力来源（咒语）的任何线索。
在实际的密码学中，零知识证明更加复杂，利用了数学上的哈希函数、承诺方案和多项式等工具来构建，但 Ali Baba 的洞穴问题抓住了其最根本的精神和运作方式。
网友意见
1. 概念
零知识证明 zero-knowledge proofs，简写为 ZKPs，最初由 S.Goldwasser、S.Micali 及 C.Rackoff 在 1985 年的论文《互动证明系统的知识复杂性》提出，指的是证明者能够在不向验证者提供任何有用信息的情况下，使验证者相信某个论断是正确的。
2. 基于同态隐藏的零知识证明实现
用数学语言描述零知识证明的过程：
已知两个数 和 ，需要在不泄漏这两个数的前提下，证明 。（注：这只是零知识证明的一种场景）
要实现这一点，需要引入一个同态隐藏函数 ，该函数满足一下3个条件：
（1）知道 的值，无法反推 的值；
（2）如果 ，那么 ；
（3）根据 和 ，可以算出 ，比如： g
使用同态隐藏函数，则零知识证明过程为：
证明者把 和 告诉验证者，验证者算出 ，然后判断是否等于 。也就是说，把验证 转化成了验证 。
根据同态隐藏函数的3个条件，以上证明过程显然是成立的。
3. 同态隐藏的实现
3.1 数据基础
3.1.1 模 加法
模 加法，就是加完之后对 取模。比如（ ）：
| x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| (x+1)|mod 7 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 0 |
集合 称为有限群。集合中元素的个数，称为有限群的阶。
3.1.2 模 乘法
模 乘法，就是相乘之再对 取模。比如（ ）：
| x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| (x*2)|mod 7 | 0 | 2 | 4 | 6 | 1 | 3 | 5 |
使集合 中每个元素对自身不对地做模 乘法，则有：
观察元素3和5，可以发现集合中每个元素都可以被生成出来。这种群称为循环群，元素3和5称为一个生成元。实际上，所有素数阶的有限群都是循环群。
3.2 函数构建
生成元 ，取，则 。
以下验证满足前面的3个条件：
（1）由于生成的元素是乱的，所以无法根据 反推出 。（在实际应用中，p通常是一个大素数，比如 量级的数，以目前计算机的计算能力，是没有办法算出完整的表的，术语叫离散对数难题）；
（2）如果 ，那么 。这条是满足的，因为生成元的作用就是生成集合中的每一个元素，从表中的数据也可以看出来；
（3）根据 和 可以算出 。根据指数运算法则： 。
3.3 扩展
实际上，基于同态隐藏的ZKPs，不仅仅支持加法，也支持所有的“线性组合”，比如 ：
【参考】
[1]稀土掘金 - 什么叫同态隐藏
—— 更多内容，请访问专栏：【隐私计算】
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