如何构造一个初值，使得这个数列是发散的?
当然，没问题。我们来聊聊怎么构造一个数列，让它像脱缰的野马一样，永远没有止境地增长，或者无限地振荡下去，也就是“发散”。
什么是发散数列？
在开始构造之前，我们先得对“发散”有个清晰的概念。一个数列如果不是收敛的，那它就是发散的。
收敛数列 就像一条笔直的道路，无论你走多远，都会越来越靠近一个固定的终点。用数学话说，就是当项数 n 趋向无穷大时，数列的项 $a_n$ 会无限接近一个确定的数值 L。
发散数列 则是那些不靠近任何一个固定数值的数列。它们可能：
无穷大（正或负）： 数列的项越来越大，大到超出任何一个你能想到的数。比如：1, 2, 3, 4, 5, ...
振荡发散： 数列的项在几个值之间来回跳跃，但跳跃的幅度（或者说趋向的范围）越来越大，或者根本没有一个确定的范围。比如：1, 1, 1, 1, 1, 1, ... （这个例子虽然范围固定，但也不是收敛到单个值，所以也算发散）。更典型的振荡发散可能是：1, 2, 3, 4, 5, 6, ...
构造发散数列的思路和方法
我们要做的，就是给数列一个“不靠谱”的初始设定，或者让它的变化规则本身就带有“失控”的基因。
方法一：基于“越来越大”的思路——让每一项都比前一项多一点
这是最直观的发散方式。如果每一项都比前一项增加一个正数，并且这个增加的量不趋于零，那么数列肯定会一直增长下去。
具体构造：
我们设定数列的通项公式（也就是描述第 n 项长什么样子的公式）。
例子 1：最简单的算术增长
通项公式： $a_n = n$
数列： 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...
怎么看出来是发散的？
每一项都比前一项大 1。这个“增加量”始终是 1，从来不减少，所以数列一定会无限地往上长。
当 n 变得非常非常大时，$a_n$ 也变得非常非常大，超出任何预设的界限。
如何构造这个初始值和规则？
我们可以设置第一个数 $a_1 = 1$。
然后定义一个递推关系：$a_{n+1} = a_n + 1$。
这样，从 1 开始，每次都加 1，自然就得到了 1, 2, 3, ...
例子 2：增长速度更快一些
通项公式： $a_n = 2n$ 或 $a_n = n^2$
数列：
2, 4, 6, 8, 10, ... （每次增加 2）
1, 4, 9, 16, 25, ... （增加量越来越大）
怎么看出来是发散的？
对于 $a_n = 2n$，增长量始终是 2。
对于 $a_n = n^2$，增长量是 $(n+1)^2 n^2 = 2n + 1$。这个增长量本身也在随着 n 的增大而增大。
如何构造？
对于 $a_n = 2n$，设置 $a_1 = 2$，递推关系 $a_{n+1} = a_n + 2$。
对于 $a_n = n^2$，设置 $a_1 = 1$，递推关系 $a_{n+1} = a_n + (2n+1)$。
关键点： 只要数列的增长量（即后一项减去前一项的差值）不趋近于零，这个数列就是发散的。即使增长量很小，比如 $a_n = sqrt{n}$，增长量是 $sqrt{n+1} sqrt{n} = frac{1}{sqrt{n+1} + sqrt{n}}$，这个值虽然趋近于零，但增长的“势头”还在，所以 $sqrt{n}$ 也是发散的。
方法二：基于“越来越小”但有界限的振荡——让项在正负之间跳跃，但跳跃范围越来越大
如果数列的项在正数和负数之间来回跳，但每一次跳跃的“幅度”都在变大，它也无法收敛到一个固定的值。
具体构造：
例子 3：交错增长
通项公式： $a_n = (1)^{n+1} cdot n$
数列： 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...
怎么看出来是发散的？
数列的项在正负之间交替出现。
当 n 增大时，项的绝对值 $|a_n| = n$ 也越来越大。
虽然项本身在正负之间摆动，但它不会靠近任何一个确定的数值（比如不会一直停留在 1 或 1 附近）。当 n 非常大时，项会变得非常大（无论是正的还是负的）。
如何构造？
我们可以设置 $a_1 = 1$。
然后递推关系可以设为：
如果 $a_n$ 是正的，下一项就是 $(a_n+1)$。
如果 $a_n$ 是负的，下一项就是 $a_n+1$。
更直接地，可以使用通项公式 $a_n = (1)^{n+1} cdot n$ 来直接构造。
例子 4：指数增长的交错
通项公式： $a_n = (2)^n$
数列： 2, 4, 8, 16, 32, 64, ...
怎么看出来是发散的？
项的符号在负、正、负、正之间交替。
项的绝对值 $|a_n| = 2^n$ 是指数级增长的，越来越大。
所以这个数列在正负无穷之间“拉锯”，毫无疑问是发散的。
如何构造？
设置 $a_1 = 2$。
递推关系：$a_{n+1} = 2 cdot a_n$。
关键点： 如果数列项的绝对值趋向于无穷大，但符号在正负之间跳跃，那么它就是发散的。
方法三：根本不给数列一个明确的指向——让它在固定点附近徘徊但不稳定
有时，即使数列的项的绝对值没有无限增大，它也可能因为在多个值之间不确定地跳跃而发散。
具体构造：
例子 5：简单的恒定振荡
通项公式： $a_n = (1)^n$
数列： 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...
怎么看出来是发散的？
数列只在 1 和 1 这两个值之间来回跳。
虽然它的范围是有限的（都在 1 和 1 之间），但它没有“收敛”到一个确定的数值。你永远无法说“当 n 足够大时，$a_n$ 会无限接近某个值”。它总是在这两个值之间摆动。
如何构造？
设置 $a_1 = 1$。
递推关系：$a_{n+1} = a_n$。
例子 6：更复杂的振荡
通项公式： $a_n = cos(npi)$
数列： $cos(pi), cos(2pi), cos(3pi), cos(4pi), ...$ 即 1, 1, 1, 1, ... (和例子 5 一样)
通项公式： $a_n = n 2 lfloor n/2 floor$
数列：
n=1: $1 2lfloor 1/2 floor = 1 20 = 1$
n=2: $2 2lfloor 2/2 floor = 2 21 = 0$
n=3: $3 2lfloor 3/2 floor = 3 21 = 1$
n=4: $4 2lfloor 4/2 floor = 4 22 = 0$
n=5: $5 2lfloor 5/2 floor = 5 22 = 1$
数列： 1, 0, 1, 0, 1, 0, ...
怎么看出来是发散的？
这个数列只在 0 和 1 之间振荡。和例子 5 一样，它没有收敛到一个单一的值。
关键点： 只要数列不能被确定地描述为无限接近某一个数值，即使它的范围是有限的，它也可能是发散的。
总结一下构造发散数列的“心法”：
1. 打破“趋近于零”的增长限制： 让数列项的增长（绝对值）永远不会停歇，或者增长的速度非常快，快到不可能被任何一个固定值“捕获”。
2. 制造“不确定性”的摆动： 让数列在多个值之间跳跃，并且跳跃的范围越来越大，或者根本没有一个稳定的落脚点。
选择哪种方式取决于你想要什么样的“发散”效果。想要爆炸式增长就用方法一；想要在正负之间疯狂跳跃就用方法二；想要温和但永不停止的抖动就用方法三。
希望这些解释和例子能让你对如何构造发散数列有了更清晰的认识。自己动手尝试一下，用不同的初始值和变化规则，你会发现数列的世界很有意思！
什么是发散数列？
在开始构造之前，我们先得对“发散”有个清晰的概念。一个数列如果不是收敛的，那它就是发散的。
收敛数列 就像一条笔直的道路，无论你走多远，都会越来越靠近一个固定的终点。用数学话说，就是当项数 n 趋向无穷大时，数列的项 $a_n$ 会无限接近一个确定的数值 L。
发散数列 则是那些不靠近任何一个固定数值的数列。它们可能：
无穷大（正或负）： 数列的项越来越大，大到超出任何一个你能想到的数。比如：1, 2, 3, 4, 5, ...
振荡发散： 数列的项在几个值之间来回跳跃，但跳跃的幅度（或者说趋向的范围）越来越大，或者根本没有一个确定的范围。比如：1, 1, 1, 1, 1, 1, ... （这个例子虽然范围固定，但也不是收敛到单个值，所以也算发散）。更典型的振荡发散可能是：1, 2, 3, 4, 5, 6, ...
构造发散数列的思路和方法
我们要做的，就是给数列一个“不靠谱”的初始设定，或者让它的变化规则本身就带有“失控”的基因。
方法一：基于“越来越大”的思路——让每一项都比前一项多一点
这是最直观的发散方式。如果每一项都比前一项增加一个正数，并且这个增加的量不趋于零，那么数列肯定会一直增长下去。
具体构造：
我们设定数列的通项公式（也就是描述第 n 项长什么样子的公式）。
例子 1：最简单的算术增长
通项公式： $a_n = n$
数列： 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...
怎么看出来是发散的？
每一项都比前一项大 1。这个“增加量”始终是 1，从来不减少，所以数列一定会无限地往上长。
当 n 变得非常非常大时，$a_n$ 也变得非常非常大，超出任何预设的界限。
如何构造这个初始值和规则？
我们可以设置第一个数 $a_1 = 1$。
然后定义一个递推关系：$a_{n+1} = a_n + 1$。
这样，从 1 开始，每次都加 1，自然就得到了 1, 2, 3, ...
例子 2：增长速度更快一些
通项公式： $a_n = 2n$ 或 $a_n = n^2$
数列：
2, 4, 6, 8, 10, ... （每次增加 2）
1, 4, 9, 16, 25, ... （增加量越来越大）
怎么看出来是发散的？
对于 $a_n = 2n$，增长量始终是 2。
对于 $a_n = n^2$，增长量是 $(n+1)^2 n^2 = 2n + 1$。这个增长量本身也在随着 n 的增大而增大。
如何构造？
对于 $a_n = 2n$，设置 $a_1 = 2$，递推关系 $a_{n+1} = a_n + 2$。
对于 $a_n = n^2$，设置 $a_1 = 1$，递推关系 $a_{n+1} = a_n + (2n+1)$。
关键点： 只要数列的增长量（即后一项减去前一项的差值）不趋近于零，这个数列就是发散的。即使增长量很小，比如 $a_n = sqrt{n}$，增长量是 $sqrt{n+1} sqrt{n} = frac{1}{sqrt{n+1} + sqrt{n}}$，这个值虽然趋近于零，但增长的“势头”还在，所以 $sqrt{n}$ 也是发散的。
方法二：基于“越来越小”但有界限的振荡——让项在正负之间跳跃，但跳跃范围越来越大
如果数列的项在正数和负数之间来回跳，但每一次跳跃的“幅度”都在变大，它也无法收敛到一个固定的值。
具体构造：
例子 3：交错增长
通项公式： $a_n = (1)^{n+1} cdot n$
数列： 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...
怎么看出来是发散的？
数列的项在正负之间交替出现。
当 n 增大时，项的绝对值 $|a_n| = n$ 也越来越大。
虽然项本身在正负之间摆动，但它不会靠近任何一个确定的数值（比如不会一直停留在 1 或 1 附近）。当 n 非常大时，项会变得非常大（无论是正的还是负的）。
如何构造？
我们可以设置 $a_1 = 1$。
然后递推关系可以设为：
如果 $a_n$ 是正的，下一项就是 $(a_n+1)$。
如果 $a_n$ 是负的，下一项就是 $a_n+1$。
更直接地，可以使用通项公式 $a_n = (1)^{n+1} cdot n$ 来直接构造。
例子 4：指数增长的交错
通项公式： $a_n = (2)^n$
数列： 2, 4, 8, 16, 32, 64, ...
怎么看出来是发散的？
项的符号在负、正、负、正之间交替。
项的绝对值 $|a_n| = 2^n$ 是指数级增长的，越来越大。
所以这个数列在正负无穷之间“拉锯”，毫无疑问是发散的。
如何构造？
设置 $a_1 = 2$。
递推关系：$a_{n+1} = 2 cdot a_n$。
关键点： 如果数列项的绝对值趋向于无穷大，但符号在正负之间跳跃，那么它就是发散的。
方法三：根本不给数列一个明确的指向——让它在固定点附近徘徊但不稳定
有时，即使数列的项的绝对值没有无限增大，它也可能因为在多个值之间不确定地跳跃而发散。
具体构造：
例子 5：简单的恒定振荡
通项公式： $a_n = (1)^n$
数列： 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...
怎么看出来是发散的？
数列只在 1 和 1 这两个值之间来回跳。
虽然它的范围是有限的（都在 1 和 1 之间），但它没有“收敛”到一个确定的数值。你永远无法说“当 n 足够大时，$a_n$ 会无限接近某个值”。它总是在这两个值之间摆动。
如何构造？
设置 $a_1 = 1$。
递推关系：$a_{n+1} = a_n$。
例子 6：更复杂的振荡
通项公式： $a_n = cos(npi)$
数列： $cos(pi), cos(2pi), cos(3pi), cos(4pi), ...$ 即 1, 1, 1, 1, ... (和例子 5 一样)
通项公式： $a_n = n 2 lfloor n/2 floor$
数列：
n=1: $1 2lfloor 1/2 floor = 1 20 = 1$
n=2: $2 2lfloor 2/2 floor = 2 21 = 0$
n=3: $3 2lfloor 3/2 floor = 3 21 = 1$
n=4: $4 2lfloor 4/2 floor = 4 22 = 0$
n=5: $5 2lfloor 5/2 floor = 5 22 = 1$
数列： 1, 0, 1, 0, 1, 0, ...
怎么看出来是发散的？
这个数列只在 0 和 1 之间振荡。和例子 5 一样，它没有收敛到一个单一的值。
关键点： 只要数列不能被确定地描述为无限接近某一个数值，即使它的范围是有限的，它也可能是发散的。
总结一下构造发散数列的“心法”：
1. 打破“趋近于零”的增长限制： 让数列项的增长（绝对值）永远不会停歇，或者增长的速度非常快，快到不可能被任何一个固定值“捕获”。
2. 制造“不确定性”的摆动： 让数列在多个值之间跳跃，并且跳跃的范围越来越大，或者根本没有一个稳定的落脚点。
选择哪种方式取决于你想要什么样的“发散”效果。想要爆炸式增长就用方法一；想要在正负之间疯狂跳跃就用方法二；想要温和但永不停止的抖动就用方法三。
希望这些解释和例子能让你对如何构造发散数列有了更清晰的认识。自己动手尝试一下，用不同的初始值和变化规则，你会发现数列的世界很有意思！
网友意见
只考虑 。
我仔细算了一下， 时候，可以找到你需要的发散的复初值的例子。 的时候，没有这样的例子。 ，我还不清楚，计算量有点大。
首先我们把迭代对应的矩阵 写出来，
这里，把 看成是列向量，左乘 ，就得到了 。我们希望在 的时候，验证 的无穷到无穷范数一致有界。为此，我们利用傅里叶分析的方法。令 ，定义 。
则， 是 的 重卷积在 处的取值。所以，利用Fourier逆变换公式，
。
令 。对于 ， 。并且， 。针对 ，我们有如下估计：
引理：假设 ， ，存在 和 ，。
从而， 。（可以用定积分估计，把 想成是被积分变量 ，可以大致化成一个高斯型积分。）
引理的证明：定理的证明就是一串渐近估计，最后转换成高斯积分的Fourier变换。首先，
可以看出来，对于 ，存在 ， 。所以，对于 ，
所以， 记
注意对于 ，由(1)式，
。
所以，
综上，引理得证。
对于 ，注意 ，取 使得 ， 即可。如果你希望 是个实数值的，我还不知道有没有例子。
下面是原回答。
好像 时，你给出的 就可以。
考虑 。则，可以归纳的证明 。而 。所以， ， 且 时，上式严格大于 。必然趋于无穷。通过讨论 ，大致能做到 的情况。接下来比较困难了。
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