怎样理解微分流形中的 Frobenius 定理？
要深入理解微分流形中的 Frobenius 定理，我们得先抛开那些过于抽象的定义，从一个更直观、更具象的视角切入。想象一下，我们生活在一个弯弯曲曲的纸张上，这张纸就是我们的“流形”。在这张纸上，我们有一些“方向”，这些方向并不是随处可变的，而是以某种规律性聚集在一起。Frobenius 定理说的，其实就是能不能在这些方向的指引下，在这张纸上“画出”一条条平行的直线，或者说“切”出一片片的“平面”，而且这些直线或平面还能保持它们之间的“平行”关系。
我们先从最简单的场景说起。
从向量场出发：方向的集合
在理解微分流形之前，我们先回到更熟悉的欧式空间 $mathbb{R}^n$ 。在 $mathbb{R}^n$ 里，一个向量场 $X$ 就像是在空间中的每一点都指定了一个向量，告诉我们这个点往哪个方向“走”一步。如果有一组这样的向量场 $X_1, X_2, dots, X_k$，它们在每一点都给出了一组 $k$ 个向量，这些向量就定义了一个在那个点的“方向空间”。
想象一下，在 $mathbb{R}^3$ 里，如果我们有一组向量场，它们总是指向同一个平面上的方向，那么我们就说这个方向集合是“可积”的，因为它对应着一个平面的方向。我们可以沿着这些方向“推进”，最终得到一条条直线，这些直线就是这个方向集合的“积分曲线”。
Frobenius 定理的直观理解：可积性与“平整”
Frobenius 定理的核心在于“可积性”。它告诉我们，如果我们有一个分布（也就是一系列向量场在每一点定义的一个子空间），这个分布是可积的，那么它就能生成一系列“平坦”的子流形。这里的“平坦”是相对于流形本身的弯曲而言的。
举个例子：
在 $mathbb{R}^3$ 中：
如果我们有一个分布，在每一点都指定了一个切平面。如果这个分布是可积的，那么我们就能在 $mathbb{R}^3$ 中找到一系列平面，这些平面上的每一个切向量都恰好属于我们指定的分布。你可以想象成在 $mathbb{R}^3$ 中切出了一叠叠的纸片，每一张纸片都是一个平面，而且这些纸片的方向是互相平行的，就好像我们只是在 $mathbb{R}^3$ 中“压平”了一个方向集合。
如果我们有一个分布，在每一点都指定了一个切线方向（也就是一个向量场）。如果这个分布是可积的，那么我们就能找到一系列直线，每条直线都沿着这个向量场“生长”出来。这些直线就像是沿着向量场的方向“画”出来的轨迹。
关键在于“平整”的子流形。 如果分布不可积，那么沿着这些方向“推进”得到的曲线或曲面就会开始“打结”，或者说它们之间的“平行”关系会被破坏。
Frobenius 定理的正式表述（但用更自然的语言）
在微分流形 $M$ 上，我们有一个可微分布 $mathcal{D}$，它在 $M$ 的每一点 $p$ 上定义了一个向量子空间 $T_pM$ 的子空间 $mathcal{D}_p$。假设这个分布的维度是 $k$，也就是说 $dim(mathcal{D}_p) = k$ 对所有 $p in M$ 都成立。
Frobenius 定理说的就是：
如果这个分布 $mathcal{D}$ 是可积的，那么存在一组通过流形 $M$ 的特殊的 $k$ 维子流形（我们称之为积分子流形），使得在这些子流形中的每一点，该子流形的切空间恰好就是分布 $mathcal{D}_p$。
换句话说，如果一个方向集合“足够平整”，那么它就能“拼凑”出一些“平坦”的“小世界”，在这些小世界里，一切方向都沿着给定的方向集。
何为“可积性”？
这是 Frobenius 定理的核心，也是最容易让人觉得抽象的地方。在 $mathbb{R}^n$ 里，我们可以用一个简单的判别法：如果一组向量场 $X_1, dots, X_k$ 生成了一个分布，那么这个分布是可积的，当且仅当这组向量场的李括号都落在该分布中。
李括号 $[X, Y]$ 的几何意义是什么？
想象一下，我们有两个向量场 $X$ 和 $Y$。
1. 从一个点 $p$ 出发，沿着 $X$ 方向“走”一小步，到达 $p_1$。
2. 从 $p_1$ 出发，沿着 $Y$ 方向“走”一小步，到达 $q_1$。
3. 现在，回到起点 $p$，沿着 $Y$ 方向“走”一小步，到达 $p_2$。
4. 从 $p_2$ 出发，沿着 $X$ 方向“走”一小步，到达 $q_2$。
如果 $X$ 和 $Y$ 所在的分布是可积的（也就是说它们指向的方向“是平行的”），那么 $q_1$ 和 $q_2$ 应该非常接近，它们之间唯一的差别就取决于这个方向集合的“弯曲”程度。李括号 $[X, Y]$ 的值就衡量了这种“不平整”或“弯曲”的程度。
如果 $[X, Y] = 0$，这意味着沿着 $X$ 再 $Y$ 和沿着 $Y$ 再 $X$ 的路径最后到达的点是完全一样的。这时，这两个向量场“是平行的”，它们可以很好地“拼凑”出平面的结构。
在 Frobenius 定理的框架下，如果我们要判断一个 $k$ 维分布是否可积，我们需要考虑所有生成这个分布的向量场，以及它们之间的李括号。如果所有的李括号（包括向量场和它们之间的李括号）都还能被分布内的向量场线性组合表示出来，那么这个分布就是可积的。
用更数学化的语言，如果 $mathcal{D}$ 是一个由向量场 $mathcal{D}^infty(M)$ 组成的子模（或者说在一个交换环上的模），那么 $mathcal{D}$ 是可积的当且仅当对于任何在 $mathcal{D}$ 中的向量场 $X, Y in mathcal{D}$，它们的李括号 $[X, Y]$ 也属于 $mathcal{D}$。
微分流形上的复杂性
在一般的微分流形上，情况会更微妙一些。我们不能直接说“平坦的子流形”，因为流形本身可能是弯曲的。这里的“积分子流形”是指流形 $M$ 的一个子集 $S$，使得 $S$ 本身也是一个微分流形，并且对于 $S$ 中的每一点 $p$， $S$ 的切空间 $T_pS$ 正好就是分布 $mathcal{D}_p$。
想象一下，你在一个气球表面（流形）上，手里拿着一根小棍子（向量场），你想在气球表面画一条直线。如果你的小棍子方向总是指向“平直”的方向，那么你就能画出一条直线。如果小棍子方向开始“拐弯抹角”，你就可能画出一条曲线。
Frobenius 定理告诉我们，如果流形上存在一个“平整”的方向集合，那么我们就能在这个流形上“切”出一些“平滑的切片”，这些切片本身就是“平坦”的子流形。
为什么 Frobenius 定理很重要？
1. 结构的理解： 它帮助我们理解微分流形上向量场集合的内在结构。如果一个分布是可积的，它就拥有了“规律性”，允许我们对其进行“积分”，从而得到更高级的几何结构（子流形）。
2. 方程的解： 在求解微分方程组时，尤其是在研究微分方程的整体解的存在性方面，Frobenius 定理起着至关重要的作用。一个线性微分方程组的解空间是否“平整”地构成一个子流形，就取决于其系数矩阵所定义的分布是否可积。
3. 几何建模： 在物理学和工程学中，我们经常需要模拟物体的运动或状态。如果这些运动或状态的变化规律可以用一个可积分布来描述，那么我们就能找到这些运动的“轨迹”或“均衡状态”，即积分子流形。例如，在研究流体动力学或控制理论时，积分子流形可以代表系统的“相空间”中的稳定流或不可达区域。
类比与总结
不妨再用一个不太严谨但或许更形象的比喻：
想象你正在一整片森林里探索。你手里有一张地图，地图上标示了许多小路（向量场）。
分布： 地图上的一组小路集合，它们在森林的每一点都指示了一个或几个方向。
可积性： 这些小路是否“平整”。如果沿着一条小路走到一个岔路口，然后沿着另一条小路走，最后再回到原先那条小路上的某个点，你会发现，如果这些小路足够“平整”（可积），那么你到达的那个点和直接沿着原先小路走会非常接近。简单来说，就是不同方向的“选择”不会导致结果的“打结”。
积分子流形： Frobenius 定理说，如果这些小路是“平整”的，那么你就可以沿着这些小路，找到一条条“直线般的路径”，或者说一片片“开阔的林间空地”。这些林间空地就是积分子流形，它们自身也构成了一个微型的“平面世界”，在这个世界里，所有的路径都严格地遵循地图上的指示。
所以， Frobenius 定理就是在说，一个向量场构成的“方向集合”，如果它在局部上是“平滑的”或者说“不打结的”，那么它就能构成一些可以被“展开”成“平坦”的子流形。这个“平坦”是相对于流形本身可能存在的弯曲而言的，就像在弯曲的气球表面上，我们仍然能找到一些“平直”的切线方向，并沿着它们“切出”一些看起来像“小平面”的区域。
理解这个定理的关键在于把握“可积性”的含义，它本质上是对一组向量场在“组合”时是否会产生“不平整”行为的一种数学刻画。一旦这种“不平整”不存在，我们就能在流形上“制造”出一些“平整的结构”。
我们先从最简单的场景说起。
从向量场出发：方向的集合
在理解微分流形之前，我们先回到更熟悉的欧式空间 $mathbb{R}^n$ 。在 $mathbb{R}^n$ 里，一个向量场 $X$ 就像是在空间中的每一点都指定了一个向量，告诉我们这个点往哪个方向“走”一步。如果有一组这样的向量场 $X_1, X_2, dots, X_k$，它们在每一点都给出了一组 $k$ 个向量，这些向量就定义了一个在那个点的“方向空间”。
想象一下，在 $mathbb{R}^3$ 里，如果我们有一组向量场，它们总是指向同一个平面上的方向，那么我们就说这个方向集合是“可积”的，因为它对应着一个平面的方向。我们可以沿着这些方向“推进”，最终得到一条条直线，这些直线就是这个方向集合的“积分曲线”。
Frobenius 定理的直观理解：可积性与“平整”
Frobenius 定理的核心在于“可积性”。它告诉我们，如果我们有一个分布（也就是一系列向量场在每一点定义的一个子空间），这个分布是可积的，那么它就能生成一系列“平坦”的子流形。这里的“平坦”是相对于流形本身的弯曲而言的。
举个例子：
在 $mathbb{R}^3$ 中：
如果我们有一个分布，在每一点都指定了一个切平面。如果这个分布是可积的，那么我们就能在 $mathbb{R}^3$ 中找到一系列平面，这些平面上的每一个切向量都恰好属于我们指定的分布。你可以想象成在 $mathbb{R}^3$ 中切出了一叠叠的纸片，每一张纸片都是一个平面，而且这些纸片的方向是互相平行的，就好像我们只是在 $mathbb{R}^3$ 中“压平”了一个方向集合。
如果我们有一个分布，在每一点都指定了一个切线方向（也就是一个向量场）。如果这个分布是可积的，那么我们就能找到一系列直线，每条直线都沿着这个向量场“生长”出来。这些直线就像是沿着向量场的方向“画”出来的轨迹。
关键在于“平整”的子流形。 如果分布不可积，那么沿着这些方向“推进”得到的曲线或曲面就会开始“打结”，或者说它们之间的“平行”关系会被破坏。
Frobenius 定理的正式表述（但用更自然的语言）
在微分流形 $M$ 上，我们有一个可微分布 $mathcal{D}$，它在 $M$ 的每一点 $p$ 上定义了一个向量子空间 $T_pM$ 的子空间 $mathcal{D}_p$。假设这个分布的维度是 $k$，也就是说 $dim(mathcal{D}_p) = k$ 对所有 $p in M$ 都成立。
Frobenius 定理说的就是：
如果这个分布 $mathcal{D}$ 是可积的，那么存在一组通过流形 $M$ 的特殊的 $k$ 维子流形（我们称之为积分子流形），使得在这些子流形中的每一点，该子流形的切空间恰好就是分布 $mathcal{D}_p$。
换句话说，如果一个方向集合“足够平整”，那么它就能“拼凑”出一些“平坦”的“小世界”，在这些小世界里，一切方向都沿着给定的方向集。
何为“可积性”？
这是 Frobenius 定理的核心，也是最容易让人觉得抽象的地方。在 $mathbb{R}^n$ 里，我们可以用一个简单的判别法：如果一组向量场 $X_1, dots, X_k$ 生成了一个分布，那么这个分布是可积的，当且仅当这组向量场的李括号都落在该分布中。
李括号 $[X, Y]$ 的几何意义是什么？
想象一下，我们有两个向量场 $X$ 和 $Y$。
1. 从一个点 $p$ 出发，沿着 $X$ 方向“走”一小步，到达 $p_1$。
2. 从 $p_1$ 出发，沿着 $Y$ 方向“走”一小步，到达 $q_1$。
3. 现在，回到起点 $p$，沿着 $Y$ 方向“走”一小步，到达 $p_2$。
4. 从 $p_2$ 出发，沿着 $X$ 方向“走”一小步，到达 $q_2$。
如果 $X$ 和 $Y$ 所在的分布是可积的（也就是说它们指向的方向“是平行的”），那么 $q_1$ 和 $q_2$ 应该非常接近，它们之间唯一的差别就取决于这个方向集合的“弯曲”程度。李括号 $[X, Y]$ 的值就衡量了这种“不平整”或“弯曲”的程度。
如果 $[X, Y] = 0$，这意味着沿着 $X$ 再 $Y$ 和沿着 $Y$ 再 $X$ 的路径最后到达的点是完全一样的。这时，这两个向量场“是平行的”，它们可以很好地“拼凑”出平面的结构。
在 Frobenius 定理的框架下，如果我们要判断一个 $k$ 维分布是否可积，我们需要考虑所有生成这个分布的向量场，以及它们之间的李括号。如果所有的李括号（包括向量场和它们之间的李括号）都还能被分布内的向量场线性组合表示出来，那么这个分布就是可积的。
用更数学化的语言，如果 $mathcal{D}$ 是一个由向量场 $mathcal{D}^infty(M)$ 组成的子模（或者说在一个交换环上的模），那么 $mathcal{D}$ 是可积的当且仅当对于任何在 $mathcal{D}$ 中的向量场 $X, Y in mathcal{D}$，它们的李括号 $[X, Y]$ 也属于 $mathcal{D}$。
微分流形上的复杂性
在一般的微分流形上，情况会更微妙一些。我们不能直接说“平坦的子流形”，因为流形本身可能是弯曲的。这里的“积分子流形”是指流形 $M$ 的一个子集 $S$，使得 $S$ 本身也是一个微分流形，并且对于 $S$ 中的每一点 $p$， $S$ 的切空间 $T_pS$ 正好就是分布 $mathcal{D}_p$。
想象一下，你在一个气球表面（流形）上，手里拿着一根小棍子（向量场），你想在气球表面画一条直线。如果你的小棍子方向总是指向“平直”的方向，那么你就能画出一条直线。如果小棍子方向开始“拐弯抹角”，你就可能画出一条曲线。
Frobenius 定理告诉我们，如果流形上存在一个“平整”的方向集合，那么我们就能在这个流形上“切”出一些“平滑的切片”，这些切片本身就是“平坦”的子流形。
为什么 Frobenius 定理很重要？
1. 结构的理解： 它帮助我们理解微分流形上向量场集合的内在结构。如果一个分布是可积的，它就拥有了“规律性”，允许我们对其进行“积分”，从而得到更高级的几何结构（子流形）。
2. 方程的解： 在求解微分方程组时，尤其是在研究微分方程的整体解的存在性方面，Frobenius 定理起着至关重要的作用。一个线性微分方程组的解空间是否“平整”地构成一个子流形，就取决于其系数矩阵所定义的分布是否可积。
3. 几何建模： 在物理学和工程学中，我们经常需要模拟物体的运动或状态。如果这些运动或状态的变化规律可以用一个可积分布来描述，那么我们就能找到这些运动的“轨迹”或“均衡状态”，即积分子流形。例如，在研究流体动力学或控制理论时，积分子流形可以代表系统的“相空间”中的稳定流或不可达区域。
类比与总结
不妨再用一个不太严谨但或许更形象的比喻：
想象你正在一整片森林里探索。你手里有一张地图，地图上标示了许多小路（向量场）。
分布： 地图上的一组小路集合，它们在森林的每一点都指示了一个或几个方向。
可积性： 这些小路是否“平整”。如果沿着一条小路走到一个岔路口，然后沿着另一条小路走，最后再回到原先那条小路上的某个点，你会发现，如果这些小路足够“平整”（可积），那么你到达的那个点和直接沿着原先小路走会非常接近。简单来说，就是不同方向的“选择”不会导致结果的“打结”。
积分子流形： Frobenius 定理说，如果这些小路是“平整”的，那么你就可以沿着这些小路，找到一条条“直线般的路径”，或者说一片片“开阔的林间空地”。这些林间空地就是积分子流形，它们自身也构成了一个微型的“平面世界”，在这个世界里，所有的路径都严格地遵循地图上的指示。
所以， Frobenius 定理就是在说，一个向量场构成的“方向集合”，如果它在局部上是“平滑的”或者说“不打结的”，那么它就能构成一些可以被“展开”成“平坦”的子流形。这个“平坦”是相对于流形本身可能存在的弯曲而言的，就像在弯曲的气球表面上，我们仍然能找到一些“平直”的切线方向，并沿着它们“切出”一些看起来像“小平面”的区域。
理解这个定理的关键在于把握“可积性”的含义，它本质上是对一组向量场在“组合”时是否会产生“不平整”行为的一种数学刻画。一旦这种“不平整”不存在，我们就能在流形上“制造”出一些“平整的结构”。
网友意见
1.流形上的向量场与流
2.向量场的Poisson括号积
3.Frobenius定理
1.1 流形上的向量场与流
将 中向量场的概念推广到一般流形上。流形上向量场的一个既直观又具有物理意义的例子就是地球表面大气与海洋流体运动的速度场, 它是二维球面上的一个向量场. 当物体的运动发生在流形上时, 其轨道是在流形上, 但是速度场却定义在切空间中. 一个单物体在流形上运动时, 其速度向量只能处在运动轨道的切空间中, 而无法在流形每一点的切空间上都存在. 然而在一个流形上运动的流体却不同, 它的速度向量是定义在流形上每一点的切空间中. 同样, 一个物体和运动的电荷在它们的周围分别会产生引力场和电磁场, 它们都是向量场. 抽象地说, 如果一个 维流形 中每一点 都对应于一个切向量 ,那么所有点的切向量可以看作是定义在 上的一个向量值函数 ,该函数 就称为 上的一个向量场. 下面给出 可微向量场定义.
定义 1.12 令 是一个 维 流形 是 上的一个向量场. 对于 上的两个 坐标系 可表示为
这里 为 在坐标系中 方向的分量, 它是 的函数. 如果对每一个 上的 坐标系 ,其分量 在 上都是 函数,
则 称为 上的一个 向量场. 令 是流形 上的一个 向量场, 是一条过的曲线, .我们知道 是曲线在点 的切向量. 如果 在每一点 的切向量都等于 在 点的值, 即
(1.3.1)
则 称为向量场 过 点的一条轨道. 等式 (1.3.1) 在局部坐标系中是一个常微分方程. 事实上, 在坐标系 中, 由 (1.1.5) 有
因此 (1.3.1) 可表达为
(1.3.2)
当 时, 由常微分方程存在与唯一性定理, 对每一点 方程 (1.3.2) 都存在唯一解 .这就意味着过每一点 在 上 的 向量场都有一条唯一轨道 的所有轨道集合
称为 在 上的流. 例如, 图 1.26 给出的是一 个作旋浴运动的流体速度场流的拓扑结构, 这种结构在现实生活中经常被观察到.
1.2 向量场的Poisson括号积
在引入 Frobenius 定理之前, 先介绍流形上向量场 Poisson 括号积的代数运算
概念及其几何意义. 令 是一个 维光滑流形, 为 的一个局部坐标系. 上的任两个
光滑向量场 和 在局部坐标系下可表示为
定义 和 的 Poisson 括号积为
(1.3.3)
这里, Poisson 括号积 (1.3.3) 是在局部坐标系中定义的. 由张量分析的知识可以证 明用局部坐标表达的 Poisson 括号积(1.3.3) 实际定义了 上的一个全局向量场. 对于不熟悉张量分析的同学来说就只需接受这一事实即可.
这里需要解释一下, 从局部坐标系定义的向量场在一般情况下不能形成一个全局场. 具体地说, 令 是 维流形 的一个坐标系覆盖, 和 是 上两个向量场, 它们在每个坐标系 表达为
由 和 在 中可诱导出无穷多个局部向量场. 例如
就是 中一个向量场. 但是 不能拼成 上的一个全局向量场. 也就是说, 在 上不存在一个向量场使得它在每个坐标系 中的表达式与 相等. 然而由(1.3.3)定义的所有局部向量场却拼为 上一个全局场, 称为 Poisson 括号积. 张量分析的理论为局部场形成全局场提供了基本判据. 下面分析 Poisson 括号积的几何意义. (1.3.3) 式可写成如下形式:
(1.3.4)
其中 为梯度算子
而 为
(1.3.5)
在向量分析中我们知道, 算子 代表沿着 方向的方向导数. 因此 表示向量场 沿 方向的方向导数. 用更为明确的方式来说明就是: 令 为 的 一条轨道, 则
因此 代表向量场 沿着 的轨道线 的变化率. 这样, Poisson 括号积 (1.3.3) 的几何意义就是 沿着 的轨道曲线变化率与 沿着 的轨道变化率之差.最后需要指出,在许多场合, 特别是在微分几何中一个 上的向量场 就 是采用 (1.3.5) 式来定义的. 此时 相当于局部坐标系中的基底, 代表该基底下的系数. 采用 (1.3.5) 定义向量场的优点在于将向量场算子化了, 它起到方向导数作用, 从而增加了它的数学功能. 另一方面, 从张量分析
的角度看, 是一阶反变张量,而 是一阶协变张量 (即传统意义下的向量场),因而 是一个标量算子. 它作用在一个向量场 上, 即
仍是一个向量场. 这就很容易理解为什么 Poisson 括号积(1.3.3)是一个全局向量场, 因为在这种定义下 .
1.3 Frobenius定理
我们知道, 对 上给定的一个向量场 ,过每一点 存在 的一条轨道 ,满足方程
换句话说, 一个 上的非零向量场在 上每一点 的切空间 上确定了一个维子空间 过 点的轨道 是 的一个一维子流形, 并且 上每一点 的切向量都位于 上. 我们沿着这一思路作进一步的推广, 即在 每一点 的切空间 上都给定一个 维子空间 . 现在的问题就是在什么条件下对每一点 都存在一个过 点的 维子流形 , 使得 上每一点 的切空间 与给定的 维子空间 重合:
Frobenius 定理就是对这一问题的解答.
为了严格地陈述 Frobenius 定理, 下面给出几个定义.
定义 1.13 令 是一个 维光滑流形.
(1) 若对 每一点 的切空间 上都给定一个 维子空间 , 则称 为 上的一个 维分布
(2) 一个 上的 维分布 称为是光滑的, 若对每一点 存在一个邻域 以及 上的 个 向量场 ,使得它们的线性扩张为
一个 上的向量场 称为属于分布 ,记为 ,若对每一点 都有 .
定义 1.14 上的一个光滑分布 称为满足 Frobenius 条件, 如果对任两个向量场 都有 . 上的一个 维子流形 称为是分布 $ 的积分流形, 如果对每一点 都有
下面给出的是 Frobenius 定理.
定理 1.6 令 是 上的一个 维光滑分布, 则对每一点 都存在一个过点 的的积分流形充要条件是 满足 Frobenius 条件. 下面展示定理 1.6 的实质意义, 这些内容也可看作是该定理的一种证明, 虽然在陈述上不是很严格.
首先讨论二维情况. 令 和 是流形 上的两个向量场, 它们在 上张成一个二维分布 ,即对每一点 . 我们可以看到, 过每一点 和 各有一条轨道 和 . 当选定其中一个轨道, 例如 , 则过 上所有点的 轨道集合形成一个二维子流形 ,如图1.27( )所示. 称该流形为按 顺序向量场和 给出的子流形. 同理, 按 顺序, 这两个向量场又给出另一个二维子流形 ,如图1.27( )所示. 在一般情况下, 这两个子流形 和 并不重合. 一个自然问题就是在什么条件下这两个子流形重合? Frobenius 定理 告诉我们, 这两个子流形重合的充要条件是 和 满足条件: , 即
其中 和 为上两个 函数.
对于一般 维情况, 是 上 个向量场, 它们张成一个 维分布 . 对这些向量场的 个下标 可给出许多种不同的排列顺序 .对每一种顺序这些向量场可按下面方式给出一个 维子流形: 过 点 给出一个轨道 , 过 上每一点由 的轨道集合给出一个二维子流形 , 过 上每点 的轨道集合给出一个三维子流形 .依次按顺序 进行下去, 这些向量场给出一个 维子流形 .定理 1.6 说, 所有这些不同顺序给出的 维子流形都重合的充要条件是
为什么会有这样的结论呢？下面就二维情况给予解释. 对于高维情况, 其实质是一样的.
令 和 分别为 和 过点 的轨道, .平面 由 和 所张成
在无穷小尺度下 和 分别过 和 上点的轨道为 和 , 简记为 和 .因此按顺序 和
得到子流形 和 在 点无穷小邻域内可表示为
两个曲面 和 重合的充要条件为：对任给 和 , 两个向量 和 的端点重合, 参见图 1.28 .这意味着
其中 是垂直于平面 的一个向量, 即 , 而 .
因此 与 重合的充要条件为
或等价地
(1.3.6)
另一方面, 由 知, 沿着 轨道的变化率和沿着 轨道的变化率分别为
这样得到
(1.3.7)
由(1.3.6)以及 ,从(1.3.7)可推知两个曲面 和 重合的充要条件为 Poisson 括号积 . 于是在宏观尺度上两个不同顺序得到的曲面重合的充要条件就是对每一点 与 的 Poisson 括号积位于 内:
上述过程不仅从直观上给出分布 的积分流形, 并且也解释了为什么 Frobenius 条件是积分流形存在的充要条件.
马天老师的《流形上的拓扑》一书中还提到了Frobenius定理的其它变形形式，还是建议去阅读一下，这里不赘述。
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雷军的这句话“你不要用战术上的勤奋掩盖战略上的懒惰”是极其精辟且富有洞察力的，它直击了很多个人和组织在发展过程中容易犯的误区。要理解这句话，我们需要将其拆解开来，深入分析其中的含义和背后的逻辑。核心概念拆解： 战术上的勤奋 (Tactical Diligence): 指的是在执行具体、可操作的任.............
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“现金流比利润更重要”这句话，初听起来可能有些反直觉，毕竟我们通常认为利润是衡量企业健康状况和盈利能力的关键指标。然而，从更深层次的经营和生存角度来看，这句话蕴含着至关重要的商业智慧。下面我将从多个维度详细阐述为何现金流比利润更重要：一、 定义与区别：利润 vs. 现金流在深入理解之前，我们先明确这.............
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动作电位的产生机制：一次电信号的生成与传递之旅动作电位（Action Potential）是神经元和肌肉细胞等可兴奋细胞膜上发生的短暂的、快速的电信号，它是信息传递和细胞功能执行的基础。要深入理解动作电位的产生机制，我们需要从细胞膜的结构和离子通道的功能入手，一步步解析这个电信号的生成过程。 一、 .............
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“悄悄问圣僧，女儿美不美” 这句歌词出自我国古典名著《西游记》的改编电视剧《西游记》中的经典曲目《女儿情》。这句歌词之所以如此令人回味无穷，是因为它蕴含着丰富的情感、深刻的心理描写，以及一段动人的故事背景。要理解这句话，我们需要从以下几个方面进行深入剖析：一、 故事背景与情感的铺垫 故事背景： .............
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好的，我们来深入理解一下“混乱度”以及为什么“熵”能够有效地表示它。 什么是混乱度？“混乱度”这个词在日常生活中我们并不陌生，它通常意味着一种无序、杂乱、不可预测的状态。比如一个堆满了各种物品的房间，或者一场没有明确规则的争斗，都可以被认为是“混乱的”。在物理学和信息科学中，“混乱度”是一个更精确的.............
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这句看似简洁却又掷地有声的话，细细品味，道出了人作为一种生物，其生存的根本逻辑。它不是一句空洞的哲理，而是扎根于我们最原始的冲动与最复杂的社会属性之间的精妙平衡。首先，我们来拆解一下“失去人性，失去很多”。“人性”是什么？它不是一个固定的模板，而是一个动态的概念，包含了人类之所以为人的那些特质。最核.............
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这事儿吧，其实挺有意思的，好多人可能觉得是男生不愿意，或者觉得是女生小题大做。但实际情况，我觉得没那么简单，里面门道可多了。咱们一点点捋捋。首先，得看这“大庭广众之下”是哪种场合。要是那种特别正式的场合，比如同学聚会，领导也在，那男生可能就有点顾虑。他会想，这一下系鞋带，是不是显得太亲密了？会不会让.............
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曾国藩的“结硬寨，打呆仗”并非简单的军事策略，而是一种深刻的人生智慧和哲学思想的体现，尤其是在面对困境、挑战和复杂局面时。下面我将从多个维度详细解读其含义和精髓： 核心含义拆解： 1. 结硬寨 (Jiē yìng zhài) “构建坚固的营垒，稳固根基”“结硬寨”的核心是“稳固、基础、防御、耐心”.............
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在知乎上，我们确实会看到一些用户在平台上高举“言论自由”的大旗，但同时又选择关闭自己的评论区，或者对评论进行严格的筛选和限制。这种现象乍一看似乎自相矛盾，但如果我们深入分析，可以从多个维度来理解背后的原因和逻辑。核心矛盾点：首先要明确，这里存在一个表面的矛盾： 提倡言论自由： 这意味着支持他人表.............
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这句话说得挺有意思的，它揭示了一个衡量一个人智慧高低的相当深刻的角度。我试着给你掰开了揉碎了说说，希望能让你觉得有那么点意思。核心点：容纳“截然相反”的观点，而且“无碍于处世”。这可不是说让你见一个爱一个，或者左右摇摆不定，而是说，在看待问题时，你有没有能力跳出自己固有的那个“小圈圈”，去理解、甚至.............
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“宗教让一部分人团结起来，但把人类从根本上分裂了”这句话，触及了宗教在人类社会中作用的两面性。理解这句话，需要我们深入剖析宗教的团结效应和分裂效应是如何同时产生并作用的。第一部分：宗教如何让一部分人团结起来宗教的力量在于它提供了一种共享的叙事、价值体系、仪式和身份认同。这些元素能够将一群人凝聚在一起.............
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