怎样理解混乱度？为什么熵可以表示混乱度？
什么是混乱度？
“混乱度”这个词在日常生活中我们并不陌生，它通常意味着一种无序、杂乱、不可预测的状态。比如一个堆满了各种物品的房间，或者一场没有明确规则的争斗，都可以被认为是“混乱的”。
在物理学和信息科学中，“混乱度”是一个更精确的概念，它涉及到的是状态的数量和可能性。理解混乱度，我们可以从以下几个方面入手：
1. 微观状态的可能性 (Microstate Possibilities)
想象一下你有一个系统，这个系统由很多小粒子组成，比如一盒气体。这些粒子之间会不断地移动、碰撞，彼此的位置和速度都在不断变化。
微观状态 (Microstate): 描述一个系统在某一时刻所有组成部分的具体状态。对于气体来说，微观状态就是指每一个气体分子的位置和动量（速度）。
宏观状态 (Macrostate): 描述一个系统的整体性质，这些性质是我们能够直接观察和测量到的。比如气体的体积、温度、压力。
混乱度与微观状态的数量密切相关。 如果一个宏观状态对应着非常非常多的微观状态，那么这个宏观状态就是混乱的。为什么这么说呢？
打个比方，假设你有一副扑克牌，正常洗好牌后，每一张牌的位置都是随机的，这就是一个高度混乱的状态，对应着无数种可能的牌序。而如果你把扑克牌按照花色和点数排好，这就是一个高度有序的状态，只有一种（或极少数几种）可能的排列方式。
一个系统越有可能处于各种不同的微观状态，我们就说它越混乱。就像一个孩子玩积木，堆得整整齐齐只有一种可能，但如果他把积木扔得到处都是，那就有无数种散乱的堆法。
2. 不确定性和不可预测性 (Uncertainty and Unpredictability)
混乱度也与我们对系统状态的不确定性和不可预测性有关。
有序系统: 你可以相对容易地预测它的未来状态。比如，如果你知道一个台球在桌上的位置和速度，你可以大致预测它接下来会滚向哪里。
混乱系统: 即使你知道系统的初始宏观状态，也很难准确预测它的未来微观状态。比如，你很难预测你房间里每一粒灰尘在下一秒钟会飘到哪里。
这种不确定性正是来源于系统内部存在大量的可能性，微小的初始差异也可能导致巨大的结果差异（蝴蝶效应），使得长期预测变得极其困难。
3. 信息量 (Information Content)
从信息论的角度来看，混乱度也与一个系统所包含的信息量有关。
有序系统: 所包含的信息量相对较少。比如，一个已经排序好的列表，你只需要知道它是一个排序好的列表，就很少需要再多的信息来描述它。
混乱系统: 所包含的信息量非常大。一个完全随机的序列，你需要知道每一位数字才能完全描述它。
反过来说，当我们说一个系统是混乱的，就意味着我们需要更多的信息来准确地描述它的具体状态。
为什么熵（Entropy）可以表示混乱度？
现在我们来看看为什么“熵”这个物理量能够如此有效地量化“混乱度”。
熵（Entropy）最初是由德国物理学家鲁道夫·克劳修斯在19世纪提出的，用于描述热力学系统的状态。后来，美国物理学家约西亚·威拉德·吉布斯将熵的概念推广到更广泛的统计力学领域，而信息论之父克劳德·香农则将熵的概念引入信息论，用于量化信息的不确定性。
从统计力学的角度理解熵
在统计力学中，熵的定义与微观状态的数量直接相关。其中最经典、最简洁的定义来自玻尔兹曼 (Ludwig Boltzmann)：
$$S = k_B ln Omega$$
让我们分解一下这个公式的含义：
S: 代表系统的熵 (Entropy)。
$k_B$: 是玻尔兹曼常数，一个非常小的物理常数，它的存在是为了将物理单位统一起来，并连接了微观世界的统计量和宏观世界的物理量。你可以理解它为一个“比例因子”。
$ln$: 是自然对数。对数的作用是处理非常大的数字（这里是微观状态的数量），让数字变得更容易管理，并且在数学上非常方便。
$Omega$ (Omega): 代表系统在给定宏观状态下所对应的微观状态的总数 (Number of Microstates)。
这个公式告诉我们：
1. 熵与微观状态的数量成正比： $Omega$ 越大，$ln Omega$ 也越大，因此 $S$ 也越大。这意味着一个系统拥有的微观状态越多，它的熵就越高，它就越混乱。
2. 对数处理提供了对数增长的映射： 即使微观状态的数量是以指数级增长的，熵也以一种更“温和”的方式增长。例如，如果微观状态的数量翻倍，熵只会增加一个固定的量（$k_B ln 2$）。
举例说明：
想象你有两个盒子，里面各有10个粒子。
盒子 A (有序): 所有10个粒子都紧挨着聚集在盒子的左边。在这种情况下，粒子的位置非常确定，微观状态的数量非常少，$Omega_A$ 很小。因此，盒子A的熵 $S_A$ 较低，代表它比较有序。
盒子 B (混乱): 10个粒子均匀地散布在整个盒子里。粒子可以出现在盒子的任何位置，并且彼此之间的相对位置有无数种可能性。此时，微观状态的数量非常多，$Omega_B$ 很大。因此，盒子B的熵 $S_B$ 较高，代表它比较混乱。
热力学第二定律与熵：
热力学第二定律指出，一个孤立系统的总熵永远不会减少，只会增加或保持不变。这意味着自然倾向于从有序状态向无序状态发展。
例如，如果你把一滴墨水滴入清水中，墨水会扩散开来，最终均匀地分布在水中。这个过程是从一个相对有序的状态（墨水集中在一处）向一个更加混乱的状态（墨水均匀分散）发展，其熵也随之增加。这个过程是不可逆的，你几乎不可能再让分散的墨水重新聚集起来。
从信息论的角度理解熵
香农将熵的概念引入信息论，用于衡量信息的不确定性或平均信息量。
对于一个随机变量 $X$，它有 $n$ 个可能的状态 $x_1, x_2, ..., x_n$，且每个状态发生的概率分别为 $p(x_1), p(x_2), ..., p(x_n)$。那么，该随机变量的熵（信息熵）定义为：
$$H(X) = sum_{i=1}^n p(x_i) log_b p(x_i)$$
其中：
$H(X)$: 代表随机变量 $X$ 的熵。
$p(x_i)$: 是状态 $x_i$ 发生的概率。
$log_b$: 是以 $b$ 为底的对数。在信息论中，通常使用以2为底的对数（$log_2$），其单位是比特（bit），表示平均需要多少比特的信息来编码一个事件。有时也用自然对数（$ln$），单位是奈特（nat）。
这个公式的含义是：
1. 概率越小的事件，信息量越大： 如果一个事件发生的概率很低，那么当它发生时，我们获得的“意外信息”就越多，其信息量就越大。
2. 熵是信息量的期望值： 熵代表的是所有可能事件信息量的加权平均。
熵与混乱度的关系（信息论视角）：
低熵: 如果一个随机变量的熵很低，意味着它的大部分概率集中在少数几个状态上，或者所有状态的概率都很平均且接近。这意味着我们对结果的预测性很强，不确定性小，信息量少。因此，它是有序的。
例如，一个只有“是”和“否”两个结果的硬币，如果它是一个被操纵过的“假硬币”，每次抛掷的结果总是“是”，那么它的熵是0。你知道结果，没有不确定性，信息量为0。
高熵: 如果一个随机变量的熵很高，意味着所有可能的状态发生的概率都很接近，或者概率分布非常分散。这意味着我们对结果的预测性很差，不确定性大，信息量多。因此，它是混乱的。
例如，一个公平的硬币，抛掷出现“是”或“否”的概率都是0.5。其熵是1比特。我们无法确定下一次抛掷的结果。
如果一个有100种可能结果的均匀分布的彩票，其熵会非常高，因为我们几乎无法预测中奖号码，信息不确定性最大。
总结信息熵与混乱度的联系：
信息熵量化了我们对一个系统（或随机过程）状态的无知程度。当一个系统越混乱，它的可能状态越多，或者这些状态发生的概率分布越平均，我们就越不知道它具体会处于哪种状态，也就越需要更多的信息来描述它。因此，熵的高低直接反映了这种不确定性和“混乱程度”。
总结
混乱度是一个描述系统无序、杂乱、不可预测程度的概念，与系统可能存在的微观状态数量、状态的不确定性以及所需信息量有关。
熵是一个数学量，它通过量化微观状态的数量（统计力学）或信息的不确定性（信息论）来精确地反映和度量混乱度。
玻尔兹曼公式 ($S = k_B ln Omega$) 表明，熵与系统微观状态的数量呈对数正比关系，微观状态越多，熵越大，系统越混乱。
信息熵 ($H(X) = sum p(x_i) log p(x_i)$) 表明，熵与信息的不确定性呈正比，不确定性越大，熵越大，系统越混乱。
可以说，熵是物理学和信息论中用来衡量“混乱度”的最普遍、最强大的工具。它不仅解释了为什么热力学过程倾向于变得更混乱，也为我们理解信息和计算的本质提供了深刻的洞见。
网友意见
下面这个答案里我将浅显地讨论一下什么是混乱度，怎样定量表示它，为什么熵可以表示混乱度，为什么熵要取对数，为什么熵可以表示为dQ/T，为什么系统的总熵随时间永远不减小。
慢慢读完相信你对身边的世界的理解一定会加深一丢丢的^。^~ 图侵删。
另外：私人转载请署名，商务用途转载请联系支付稿费。
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1.首先，什么是混乱度？
我们来看一个简单的例子，下面是三幅程序生成的点图，每幅图里有1000个随机点，点可以重合。大家觉得哪个要更乱？
显然，按照直观感受，混乱度上c>b>a。理由很简单啊，c完全是乱选的点，b虽然竖向有点乱，好歹排成线了。a的话，点行列都对整了，最整齐了。
也就是说：C里的点在0~1的二维平面可以任意取值，b里的点在20根线上可以任意取值，A里的点就只能取在x，y坐标都能被0.05整除的地方。
这白话背后隐藏着一个系统的“整齐”这个抽象概念背后的原理，那就是：
限制一个系统能够取到的状态。
2.那么怎么定量描述一个系统的“混乱程度”呢？
没错，物理学家发明出了 状态数 这么一个神奇的玩意。
简单得说，就是一个随机系统所可能取到的状态总数。
然后我们就可以定义：状态数越多的系统，混乱度越高
如何准确理解 系统的状态数 ？再举一个例子，假设有下面两个系统：
1. 随机抛出的两个色子
2. 随机抛出的两个色子，如果结果不同就重新抛
不难算出系统1有个状态，而系统2禁止了30种两个筛子有不同取值的状态，所以只有种状态。因此，系统2的混乱度是比系统1小的。
3.为什么系统状态数多直观上会给人更混乱的感觉??
对于混乱的直观感受的本质在于：当我们看到一个系统时，我们会本能地猜测这个系统可能的限制条件。例如我们看到一团乱麻时，绝不会本能地想到 “哇，这里每一根线一定都是精心安排过的”。当我们看到 整理好的一列水瓶时，也不会下意识地觉得：“死国以，随便乱摆居然碰巧这么整齐~”
另外，对称性高的系统也能给人整齐的感觉，而对称性一定程度上也是限制系统的状态（比如镜面对称就限制境内和境外状态必须相同。）
举两个生活中的例子：
整理好的房间比东西乱摆的房间看上去整齐，是因为整理好的房间系统不能够取到“袜子出现在任意位置”，或者“被子以任意形态摆放”，这样的状态。
左边的书比右边整齐，因为左边的书系统不能取到没有对齐的任何状态。而右边书的朝向和重心的位置是可以任意调整的。
4.主观感受到的混乱与客观的混乱的联系是什么？
主观感受到的混乱通常是片面的，因为我们在一个时间只能观察某个系统的一种状态。而单从一个状态是无法准确判定系统的混乱程度的。
比如说有两组三个一组的色子，投掷之后分别出现下面两组数：
1 1 1 2 3 5
哪一个更混乱？直觉上来说当然是右侧这一组。
但是如果我告诉你，左侧的三个色子其实是随机碰巧掷出来的，而右边的系统限定条件是“如果三个数里没有五点就重新扔” 呢？
所以，要客观地考察一个系统的混乱程度，必须研究这个系统的客观的限定条件是什么，也就是这个系统的状态数有多少，而不是研究其中的某一个状态。对于某一个状态是否混乱的直觉感受很有可能是错误的。
这个“一个系统可以取的所有状态的集合”，在统计热力学中被称为系综。
5. 说了这么多，熵呢？为什么熵可以表示混乱度？
不急不急，这就来了。
要理解一个抽象概念不妨先从定义下手，熵在统计热力学中的数学表达式为：
其中：
函数：如果一个数等于, 那么。是一个叫自然常数的神奇的数
：k是一个常数，叫做玻尔兹曼常数，表示能量与温度的关系，你可以不用理他
：不多说了吧，就是状态数。不过名字不一样，他叫微观状态数。
简单地说，微观状态就是把空间按照一定的大小划分成小格子，每一个格子内算一个状态。粒子的动量取值范围也可以看成空间，划成小格子，每一个格子内也算作一个状态。某个自由粒子的状态数就是它能在空间中取到的状态数乘以它在动量空间中能够取到的状态数。
总之，熵是一个随系统状态数W增加的函数。
6.为什么熵要对状态数取对数？
取对数的原因很简单，我们希望“熵”这个值成为一个广延量。
换句话说就是，如果两个系统合并为一个系统，我们希望总系统的熵是两个系统的熵的简单和。
再来看色子：
一个色子的状态数为
两个色子的系统，状态数为
显然是没法直接相加的，但是如果我们选择作为“色子熵”的话，则：
一个色子系统的熵
两个色子系统的熵
这样就满足了相加条件。
7.怎样理解熵在热学中的定义：?
首先由问题4，我们知道一个稳定系统的熵就是子系统熵的和。所以一团气体的总熵也就是每一个分子的熵的和。
如图，A系统是体积固定为为V、温度为的气体系统，我们考虑其中的一个气体分子。因为气体是由许多个相同的单个分子组成的，所以整个系统的熵和这个粒子的熵成正比。
接下来，我们将考察这个粒子能够取到的状态数量，考虑它向外传热的过程，最后给出传热和熵的关系。
是不是很激动！！来来我们开搞。
注意：以下讨论略去所有的常数，全部以粗略的正比的形式给出。
首先考虑空间对应的状态数。由于我们把空间划成小格，所以状态数和空间尺寸成正比：
我们的气体体积是固定的，所以就可以忽略掉这部分状态数的变化。
然后考虑动量的状态数，我们都知道动量有三个指向，如果把动量也看成三个维度的话，那么状态数应该和 “动量空间” 的大小成正比，也就是平均动量的三次方成正比。(也就是在三维世界里，”空间“ 体积与 ”长度“ 的三次方成正比)：
然而又因为温度正比于平均动能，平均动能又和平均动量的二次方成正比关系，所以嘛：
系统的熵需要对状态数取对数，因为对数的运算规则，所以：
高潮来了！我们考虑气体系统向外界传热，它的温度变化了非常小的。我们请出偏导数来描述熵的变化！
由于当足够小时,
考虑表示熵的变化的第二项，带入熵的对数表达式就可以得到：
也就是
又因为显然温度的变化量与传热成正比，所以上面的式子就变成了传说中的：
可以看出对数系统有不可多得的优越性，W与T的函数关系只要在幂函数的范围内都可以得到同样的结果，所以熵与热量传递的关系和空间维度没有关系！
8.为什么一个系统的内部过程会倾向于使熵增加？
试想你生活的屋子，如果你平时不注意收拾，用过的东西以很随意的姿态任意摆放。要不了多久屋子就会变得一团糟。并且这样的趋势也不太可能被逆转。
所以熵增加的本质其实是：系统内部自然发生的随机过程打破了原有的状态限制，让系统内部的元素可以取的状态多了起来。
在屋子变乱这个例子里，人的使用和随意摆放就打破了原有的物品的摆放限制，比如你的闹钟本来固定呆在床头柜上，你用过以后满屋子随便扔，那这个闹钟就可以出现在桌子椅子窗台地板的各种地方了。这样被乱扔的东西多了，屋子也就变乱了。
9.为什么常说熵增加是时间单向流动性的本质？
这样的过程，往深刻了说，就是时间流动的本质。
时间向前流动的过程中，系统中会发生大量这样的随机过程。
其中一部分随机过程不会打破原来的状态限制，比如说本身已经是随机的数列，你又随机交换了其中两个数，这样的随机过程并没有什么卵用。
但是有一部分随机过程会打破状态限制，例如本来是按次序摆好的书，你拿出来又随便放回去，或者把一个杯子打碎。引入了随机过程这个捣蛋鬼之后，熵就增加了。
point是，在时间前进的过程中，没有任何随机过程可以为系统添加限制条件。并且宇宙在微观层面几乎只存在附加了某些限制条件的随机过程。（除了生命体这个耗能量维持自身状态数的大bug）
你可以在宏观层面收拾房子，但是你的身体正在发生猛烈的化学反应。肌肉细胞拆了一个又一个葡萄糖、脂肪、ATP，产生了大量的混乱度才供给你了足够能量，让你叠个被子。
换句话说，只要宇宙微观上的随机过程永不停歇，那么总有一些随机过程会打破原来对状态的限制，状态数的增加会永远无休止的进行下去，永远永远不会回头。
--------------------------- 回答读者问题的分界线，下面的内容就比较难懂了= = -----------------------------
信息熵与热力学的熵关系是什么样的？
有人提到信息熵就是负熵，实际上并不是这样的！！
信息熵的定义是，其中是系统处在第个状态的概率。
（注意P表示概率，而概率都是小于1的，所以求出来的实际上是正值正值正值）
注意到前面的负号，把负号换到对数里面，整个式子其实可以写成：
也就是对于所有可能状态求平均值。
假设这个系统每个状态取到的概率都相同，那么某个态出现的概率是状态数的倒数。
比如骰子有6个状态，那么每个状态出现的概率就是。
所以信息熵就可以写为，和热力学熵只是底数的区别。这里把e换成2是因为可以和信息里的bit相对应，信息熵的大小可以估算系统所有状态大概可以用多少个bit长度的二进制数列来一一对应。
也就是状态数用二进制数来表示时，这个二进制数的位数。
当系统每个状态的概率都一样时信息熵实际上是取到了最大值。这时系统所含信息量最大。
反之，当概率集中在一个状态时，信息熵最小，所含信息量也最少。
怎样理解两团气体放在一起，熵为两团气体的和？明明每一个气体分子可以取的空间都加倍了。
假设这两团气体分别只有一个分子，把隔板抽开之后，两个分子的运动空间分别加倍。所以理论上合并后总状态数应该变成原来的两倍。
但是我们考虑两个粒子的全同性。所以把两个粒子交换之后整个系统并没有任何变化，所以总状态数必须除以2.这就回到了原来的总状态数。
N个粒子同理，可以自己思考一下
怎样理解连续空间的状态数？ @傅亦辰
热统教材里有一个我非常不喜欢的粗暴的强行解释方法：
按照量子力学的不确定性，粒子的空间和动量不确定度之积必须大于一个值：
所以把动量和空间分量分别看成一个空间的两个维度，那么“面积”小于
范围内的空间就可以看成不可区分的一个状态。
但是我觉得把这个量子力学的概念强加在经典统计热力学中简直就是强行扯淡
实际上这里划分状态格子的大小并不需要一个具体的值。这个h值只要足够小，让状态数足够大，让斯特林公式可以用，对于经典热力学的理论结果就不会有任何影响。在纯经典的热力学里，状态数更多的是一种方便大家进行计算和理解的东西。
你如果喜欢，完全可以用概率密度函数重建经典统计热力学（然而并没有什么卵用）。
怎样才能更好地理解随机过程使熵不可逆转地增加？
考虑两个相互接触但是还没有相互融合的，除了温度完全相同的气体团A和B。
有温度关系
这时候
里面的每个气体分子可以取到的状态数是大于
里面的每个分子的。
但是当来自B的一个分子与A中一个分子发生随机碰撞的一瞬间之后，平均而言来自A气团的分子会丧失能量，导致状态数减小，而来自B气团的分子会得到能量，破除了之前在自己气体内部运动时的状态范围限制，状态数增加。
因为能量守恒，所以失去的能量与得到的能量是相同的。所以熵的变化分别是：
,
总的熵变化为：
因为
，所以上面这个式子大于0，也就是减少的状态数没有增加的多，所以总的来说系统状态数还是增加的。
注意上面论述中的“粒子”这个概念，上面的两个粒子碰撞之后可以取的状态数的改变，其实可以理解为“A粒子所有可能的状态与B粒子所有可能的状态碰撞之后，可以得到的新的所有可能状态的数量比碰撞之前要多”。
～这个“一个系统可以取的所有状态的集合”，在热力学中被称为系综。
我觉得再写下去就可以写教材了(。・`ω´・)
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