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问题

一元微分理论中，为什么 d(dy/dx)/dx=d^2y/(dx)^2 ？

回答
在微积分的世界里，我们常常会遇到形形色色的符号和运算，其中“d”这个小小的字母扮演着至关重要的角色，它代表着“微分”。今天，我们就来深入探究一下，为什么在微积分理论中，我们会看到这样的表达：d(dy/dx)/dx 等价于 d²y/dx²。这背后究竟隐藏着怎样的逻辑和数学思想呢？

要理解这一点，我们首先得对微分这个概念有清晰的认识。

微分是什么？

简单来说，微分是一种描述函数局部变化率的工具。如果我们有一个函数 $y = f(x)$，它描述了 $y$ 如何随着 $x$ 的变化而变化。那么，$dy/dx$（或者写作 $f'(x)$）就是这个函数在某一点的“瞬时变化率”。它告诉我们，当 $x$ 发生一个极其微小的变化时，$y$ 会如何变化。

想象一下你开车，速度表显示的就是你当前位置相对于时间的瞬时变化率。这个速度表上的数字，就是对你位置函数进行微分的结果。

第一次微分：dy/dx 的诞生

我们先来看 $dy/dx$。这个符号本身就包含了两次概念：
1. $y$ 的微分，$dy$: 这代表着函数 $y$ 的一个极其微小的变化量。它和自变量 $x$ 的变化量 $dx$ 是相辅相成的。
2. 除以 $dx$: 这表示我们关注的是“单位 $dx$”所带来的 $y$ 的变化量。通过除以 $dx$，我们将变化量“标准化”了，使得我们可以客观地比较不同点上的变化趋势。

所以，$dy/dx$ 描述的是 $y$ 相对于 $x$ 的变化速度。

第二次微分：d(dy/dx)/dx 的诞生

现在，我们来看 $d(dy/dx)/dx$ 这个表达式。这里面有几个关键点：

$dy/dx$ 本身也是一个函数: 记住，$dy/dx$ 并不是一个固定不变的常数（除非 $y$ 是一个线性函数）。对于大多数函数来说，$dy/dx$ 的值会随着 $x$ 的改变而改变。也就是说，$dy/dx$ 本身可以看作是另一个新的函数，我们姑且称之为 $g(x) = dy/dx$。
对 $dy/dx$ 进行微分: 当我们写下 $d(dy/dx)$ 时，我们实际上是在对 函数 $dy/dx$ 进行微分。这意味着我们正在关注 变化率本身的变化。就像我们关注速度的变化（加速度）一样，我们现在关注的是“变化率的变化”。
再次除以 $dx$: 和第一次微分一样，我们再次除以 $dx$，是为了测量 变化率的变化量 在单位 $dx$ 上的表现。

所以，$d(dy/dx)/dx$ 就是在描述 函数 $dy/dx$ 的变化率，也就是 y 相对于 x 的变化率的变化。

为什么它们是等价的？—— 链式法则的延伸

微积分的许多美妙之处在于其内在的连贯性和一致性。这种等价性并非偶然，而是遵循着数学逻辑的必然结果。

让我们从定义出发，将 $g(x) = dy/dx$ 视为一个新函数。那么，根据微分的定义，函数 $g(x)$ 的微分是 $dg$，而其相对于 $x$ 的变化率是 $dg/dx$。

将 $g(x) = dy/dx$ 代入：
$dg/dx = d(dy/dx)/dx$

现在，我们来看看 $d^2y/dx^2$ 这个记号是如何产生的。
通常，$d^2y$ 是 $d(dy)$ 的一种简洁写法，它表示对 $dy$ 再次进行微分操作。而 $dx^2$ 则是 $dx cdot dx$ 的一种约定写法，表示两次独立的微分操作，但我们通常在概念上理解为对自变量的两次独立“细分”。

所以，$d^2y/dx^2$ 的字面意思就是将微分操作应用于 $y$ 两次，然后再将其与自变量 $x$ 的两次微分操作联系起来。

更正式地说，我们可以这样理解：
1. 我们定义了一个过程：取一个函数，计算它的导数。
2. 我们又定义了一个新的函数：这个新函数的表达式就是第一个函数求导的结果。
3. 我们再次对这个新函数应用导数计算的过程。

例如，如果 $y = x^3$，那么：
第一次微分：$dy/dx = d(x^3)/dx = 3x^2$。
现在，我们有了一个新的函数 $g(x) = 3x^2$。
第二次微分：我们要求的是 $d(g(x))/dx$，也就是 $d(3x^2)/dx$。
计算这个导数：$d(3x^2)/dx = 6x$。

而按照 $d^2y/dx^2$ 的记法，我们实际上是将 $dy/dx$ (也就是 $3x^2$) 再进行一次微分：
$d^2y/dx^2 = d(dy/dx)/dx = d(3x^2)/dx = 6x$。

两者结果一致。

为什么使用 $d^2y/dx^2$ 这样的记法？

这种记法非常简洁和有力，它浓缩了两次微分的概念。它告诉我们：

$d^2y$: 表示 y 的二阶微分。这是指，先对 $y$ 进行一次微分得到 $dy$，然后再对这个 $dy$ 进行微分操作。它捕捉了函数变化率的变化。
$dx^2$: 表示 x 的二阶微分。在许多情况下，特别是当 $dx$ 被视为一个独立的“小量”时，这是对 $dx$ 自身进行两次独立“测量”或“细分”的记号。但在理解导数时，更重要的是理解它表示对自变量的两次独立微分操作。当我们将 $dy/dx$ 看作一个整体时，整个表达式 $d(dy/dx)/dx$ 表示的是 以 $x$ 为变量 对 $dy/dx$ 这个函数 进行微分。而 $d^2y/dx^2$ 正是这种操作的缩写，它将两次微分操作和自变量的联系清晰地表达出来。

总结

所以，$d(dy/dx)/dx = d^2y/dx^2$ 的根本原因在于：

1. 导数是函数: $dy/dx$ 本身就是一个函数，可以进行再次微分。
2. 数学记号的约定: $d^2y/dx^2$ 是对“对 $y$ 的导数再进行微分”这个过程的一种简洁、标准的数学记号。它明确地表示了对原始函数 $y$ 进行两次微分操作，并且这两次操作都是相对于自变量 $x$ 进行的。

这个概念是理解高阶导数的基础，而高阶导数在物理学（如加速度、加加速度）、工程学以及更高级的数学分析中都有着广泛而重要的应用。它帮助我们更深入地理解函数行为的复杂性和动态性。

网友意见

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诚心请教

这是什么原理？是谁邀我的？

不过不管是谁，总之谢谢邀请。

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说回正题（其实上面那些才是正题）

要知道，发明微积分其实并不是一件特别难的事情，很多人都在几乎同时做过，而且各自使用了各种各样的符号。而且基本上各种符号都被沿用至今。比如说

Leibniz's notation

（不过现在谁要是把三阶导数写成左边那个样子那纯粹找虐）

Lagrange's notation

for the first derivative, for the second derivative, for the third derivative.

（但是……悲催的是……some authors continue by employing Roman numerals such as for the fourth derivative of f……也是够难看的）

Euler's notation

for the first derivative, for the second derivative, and for the nth derivative, for any positive integer n.

（在方程里面很喜欢把求导写成这样，因为看起来像个算子似的）

Newton's notation

，
（物理里面最喜欢这样子了……）


（以上全部引自

Notation for differentiation

）

所以，为什么会把二阶导数写成，其实就是莱布尼兹的记号，也就是，如果把求导看成一个算子，那么这个算子作用两次就应当是，于是不妨记成，也就是.

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好了说到这里其实已经回答完了，但多说两句个人看法。我们接着上面的历史讲，当大家都只是发明微积分的时候，要知道连极限还没有出现呢，所有的定义都是不严格的。严格定义极限和微积分是要到很久以后了，也就是所谓的第二次数学危机，这段历史相信大家都知道。对于学物理的人而言呢（我也加入一下黑物理的大军吧），什么东西描述一下就好了。但是数学不一样，严格的定义是数学的一部分，甚至说，这正是数学的魅力所在。

就拿这个问题下的答案来举例吧。比如说

@余翔

同志的答案，那是一个标准的定义，所有的东西都是清晰的，虽然可能不是那么好用，甚至有的答主还有些抵触，但是定义就是这样。

再比如说，

x的变化量△x趋于无穷小时，则记作微元dx——引自百度百科

当你看到这句话的时候，一定要清楚地认识到这句话是不严格的。什么叫“趋于无穷小”？那不就是0吗？别四处看是就是不是就不是……

回来看题主的问题。当你的目的是理解导数的时候，各种各样的话都是可以听也可以看的。但是当你在写一个证明的时候，所有概念，记号，必须都要有定义。写每一步，都要相应地问自己：是什么？是哪个空间到哪个空间的映射？又是什么？和是按照怎么样的除法定义能相除的？

当然，事实上，上面这些问题都是没有必要回答的，因为这只是记号，是在微积分还没有被严格定义的时候数学家所使用的记号。题主所谓的“证明”也是没有意义的。

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btw如果题主以后三生有幸学了如下概念：微分形式，外微分，Grassmann代数，切空间，切映射，切丛，对偶丛。那么相信会有更深刻的理解的。

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