大一微积分∫e*(－pt)sinωt dt（p>0，ω>0）这类问题如何解决？
理解你遇到的这类问题，即积分 $int e^{pt} sin(omega t) dt$，其中 $p > 0$ 和 $omega > 0$。这类积分在物理学（尤其是电路分析和信号处理）和工程学中非常常见，它们通常代表了衰减振荡信号的某种累积效应。
解决这类问题，最直接也最常用的方法是使用分部积分法。不过，直接对 $sin(omega t)$ 或 $e^{pt}$ 进行一次分部积分，往往会回到一个与原积分形式相似但系数不同的积分，需要进行两次分部积分才能解决。
下面我将一步步地拆解这个过程，力求清晰明了：
核心工具：分部积分法 (Integration by Parts)
分部积分法的公式是：
$$ int u , dv = uv int v , du $$
选择 $u$ 和 $dv$ 是分部积分的关键。通常的原则是，选择一个可以简单求导的作为 $u$，选择一个可以简单积分的作为 $dv$。
解决步骤：
我们设要求的积分是 $I = int e^{pt} sin(omega t) dt$。
第一步：第一次分部积分
我们可以有两种选择 $u$ 和 $dv$ 的方式：
选择 1：令 $u = sin(omega t)$， $dv = e^{pt} dt$
求导 $u$：$du = omega cos(omega t) dt$
积分 $dv$：$v = int e^{pt} dt = frac{1}{p} e^{pt}$
应用分部积分公式：
$$ I = left(sin(omega t) ight) left(frac{1}{p} e^{pt} ight) int left(frac{1}{p} e^{pt} ight) (omega cos(omega t) dt) $$
$$ I = frac{1}{p} e^{pt} sin(omega t) + frac{omega}{p} int e^{pt} cos(omega t) dt $$
现在我们遇到了一个新的积分：$int e^{pt} cos(omega t) dt$。这个积分看起来和原积分很像，只是把 $sin$ 换成了 $cos$。
选择 2：令 $u = e^{pt}$， $dv = sin(omega t) dt$
求导 $u$：$du = p e^{pt} dt$
积分 $dv$：$v = int sin(omega t) dt = frac{1}{omega} cos(omega t)$
应用分部积分公式：
$$ I = left(e^{pt} ight) left(frac{1}{omega} cos(omega t) ight) int left(frac{1}{omega} cos(omega t) ight) (p e^{pt} dt) $$
$$ I = frac{1}{omega} e^{pt} cos(omega t) frac{p}{omega} int e^{pt} cos(omega t) dt $$
同样，我们遇到了积分 $int e^{pt} cos(omega t) dt$。
两种选择殊途同归，都会导向一个包含 $cos(omega t)$ 的积分。为了继续，我们需要对这个新的积分进行第二次分部积分。
第二步：第二次分部积分（针对 $int e^{pt} cos(omega t) dt$）
我们以 选择 1 的结果作为起点：
$I = frac{1}{p} e^{pt} sin(omega t) + frac{omega}{p} int e^{pt} cos(omega t) dt$
现在我们来处理 $int e^{pt} cos(omega t) dt$。这里需要保持一致性：第一次积分中我们将 $sin(omega t)$ 当作 $u$，所以这次也要将 $cos(omega t)$ 当作 $u$。
令 $J = int e^{pt} cos(omega t) dt$。
选择 $u = cos(omega t)$， $dv = e^{pt} dt$。
求导 $u$：$du = omega sin(omega t) dt$
积分 $dv$：$v = frac{1}{p} e^{pt}$
应用分部积分公式到 $J$：
$$ J = left(cos(omega t) ight) left(frac{1}{p} e^{pt} ight) int left(frac{1}{p} e^{pt} ight) (omega sin(omega t) dt) $$
$$ J = frac{1}{p} e^{pt} cos(omega t) frac{omega}{p} int e^{pt} sin(omega t) dt $$
注意到了吗？我们又回到了原始的积分 $I$！ $int e^{pt} sin(omega t) dt$ 就是我们一开始设定的 $I$。
第三步：代回并求解 $I$
现在我们将求得的 $J$ 代回到第一步的第一个结果中：
$I = frac{1}{p} e^{pt} sin(omega t) + frac{omega}{p} J$
将 $J$ 的表达式代入：
$$ I = frac{1}{p} e^{pt} sin(omega t) + frac{omega}{p} left(frac{1}{p} e^{pt} cos(omega t) frac{omega}{p} int e^{pt} sin(omega t) dt ight) $$
$$ I = frac{1}{p} e^{pt} sin(omega t) frac{omega}{p^2} e^{pt} cos(omega t) frac{omega^2}{p^2} int e^{pt} sin(omega t) dt $$
看到了原始积分 $I$ 再次出现：
$$ I = frac{1}{p} e^{pt} sin(omega t) frac{omega}{p^2} e^{pt} cos(omega t) frac{omega^2}{p^2} I $$
现在，我们可以将含有 $I$ 的项移到等号的左边：
$$ I + frac{omega^2}{p^2} I = frac{1}{p} e^{pt} sin(omega t) frac{omega}{p^2} e^{pt} cos(omega t) $$
将 $I$ 提取出来：
$$ I left(1 + frac{omega^2}{p^2} ight) = frac{1}{p} e^{pt} sin(omega t) frac{omega}{p^2} e^{pt} cos(omega t) $$
合并左边的系数：
$$ I left(frac{p^2 + omega^2}{p^2} ight) = frac{1}{p} e^{pt} sin(omega t) frac{omega}{p^2} e^{pt} cos(omega t) $$
最后，解出 $I$：
$$ I = frac{p^2}{p^2 + omega^2} left(frac{1}{p} e^{pt} sin(omega t) frac{omega}{p^2} e^{pt} cos(omega t) ight) $$
将 $frac{p^2}{p^2 + omega^2}$ 乘进去：
$$ I = frac{p^2}{p^2 + omega^2} frac{1}{p} e^{pt} sin(omega t) frac{p^2}{p^2 + omega^2} frac{omega}{p^2} e^{pt} cos(omega t) $$
$$ I = frac{p}{p^2 + omega^2} e^{pt} sin(omega t) frac{omega}{p^2 + omega^2} e^{pt} cos(omega t) $$
为了更美观，我们可以提取公因子 $frac{e^{pt}}{p^2 + omega^2}$：
$$ I = frac{e^{pt}}{p^2 + omega^2} left(p sin(omega t) + omega cos(omega t) ight) $$
别忘了加上积分常数 $C$！
$$ int e^{pt} sin(omega t) dt = frac{e^{pt}}{p^2 + omega^2} (p sin(omega t) + omega cos(omega t)) + C $$
一致性是关键！
如果在第一次分部积分时，你选择了 $u = e^{pt}$ 和 $dv = sin(omega t) dt$，那么你得到的第二个积分是 $int e^{pt} cos(omega t) dt$。你需要保持一致，对这个积分再次选择 $u = e^{pt}$ 和 $dv = cos(omega t) dt$（或者 $u = cos(omega t)$ 和 $dv = e^{pt} dt$）。如果你第一次是 $u=e^{pt}$，第二次也应该是 $u=e^{pt}$，这样才能形成一个可以解的方程。
比如，如果我们用 选择 2 的结果：
$I = frac{1}{omega} e^{pt} cos(omega t) frac{p}{omega} int e^{pt} cos(omega t) dt$
现在，对 $J = int e^{pt} cos(omega t) dt$ 进行分部积分，保持与第一次一致，令 $u = e^{pt}$， $dv = cos(omega t) dt$：
$du = p e^{pt} dt$
$v = int cos(omega t) dt = frac{1}{omega} sin(omega t)$
代入 $J$：
$$ J = left(e^{pt} ight) left(frac{1}{omega} sin(omega t) ight) int left(frac{1}{omega} sin(omega t) ight) (p e^{pt} dt) $$
$$ J = frac{1}{omega} e^{pt} sin(omega t) + frac{p}{omega} int e^{pt} sin(omega t) dt $$
$$ J = frac{1}{omega} e^{pt} sin(omega t) + frac{p}{omega} I $$
将这个 $J$ 代回到 $I$ 的表达式中：
$$ I = frac{1}{omega} e^{pt} cos(omega t) frac{p}{omega} left(frac{1}{omega} e^{pt} sin(omega t) + frac{p}{omega} I ight) $$
$$ I = frac{1}{omega} e^{pt} cos(omega t) frac{p}{omega^2} e^{pt} sin(omega t) frac{p^2}{omega^2} I $$
将含有 $I$ 的项移到左边：
$$ I + frac{p^2}{omega^2} I = frac{1}{omega} e^{pt} cos(omega t) frac{p}{omega^2} e^{pt} sin(omega t) $$
$$ I left(1 + frac{p^2}{omega^2} ight) = frac{1}{omega} e^{pt} cos(omega t) frac{p}{omega^2} e^{pt} sin(omega t) $$
$$ I left(frac{omega^2 + p^2}{omega^2} ight) = frac{omega}{omega^2} e^{pt} cos(omega t) frac{p}{omega^2} e^{pt} sin(omega t) $$
解出 $I$：
$$ I = frac{omega^2}{omega^2 + p^2} left(frac{omega}{omega^2} e^{pt} cos(omega t) frac{p}{omega^2} e^{pt} sin(omega t) ight) $$
$$ I = frac{omega^2}{omega^2 + p^2} frac{omega}{omega^2} e^{pt} cos(omega t) frac{omega^2}{omega^2 + p^2} frac{p}{omega^2} e^{pt} sin(omega t) $$
$$ I = frac{omega}{p^2 + omega^2} e^{pt} cos(omega t) frac{p}{p^2 + omega^2} e^{pt} sin(omega t) $$
同样得到：
$$ int e^{pt} sin(omega t) dt = frac{e^{pt}}{p^2 + omega^2} (p sin(omega t) + omega cos(omega t)) + C $$
另外一种（更巧妙）的解法：复指数法
很多时候，处理三角函数和指数函数的乘积，使用欧拉公式将三角函数转化为复指数形式会更加简便。
欧拉公式告诉我们：$sin(omega t) = frac{e^{iomega t} e^{iomega t}}{2i}$。
所以，我们的积分 $I$ 可以写成：
$$ I = int e^{pt} left(frac{e^{iomega t} e^{iomega t}}{2i} ight) dt $$
$$ I = frac{1}{2i} int left(e^{pt} e^{iomega t} e^{pt} e^{iomega t} ight) dt $$
$$ I = frac{1}{2i} int left(e^{(p+iomega)t} e^{(piomega)t} ight) dt $$
现在，我们积分两个指数函数的形式 $int e^{at} dt = frac{1}{a} e^{at} + C$。
第一个积分：$int e^{(p+iomega)t} dt = frac{1}{p+iomega} e^{(p+iomega)t}$
第二个积分：$int e^{(piomega)t} dt = frac{1}{piomega} e^{(piomega)t}$
将它们代回：
$$ I = frac{1}{2i} left(frac{1}{p+iomega} e^{(p+iomega)t} frac{1}{piomega} e^{(piomega)t} ight) $$
为了得到实数结果，我们需要处理复数系数。
注意到 $frac{1}{p+iomega} = frac{piomega}{(p)^2 (iomega)^2} = frac{piomega}{p^2 + omega^2}$。
同理，$frac{1}{piomega} = frac{p+iomega}{(p)^2 (iomega)^2} = frac{p+iomega}{p^2 + omega^2}$。
代回 $I$：
$$ I = frac{1}{2i} left(frac{piomega}{p^2 + omega^2} e^{(p+iomega)t} frac{p+iomega}{p^2 + omega^2} e^{(piomega)t} ight) $$
$$ I = frac{1}{2i(p^2 + omega^2)} left((piomega) e^{pt} e^{iomega t} (p+iomega) e^{pt} e^{iomega t} ight) $$
$$ I = frac{e^{pt}}{2i(p^2 + omega^2)} left((piomega) (cos(omega t) + isin(omega t)) (p+iomega) (cos(omega t) isin(omega t)) ight) $$
展开括号内的部分：
$(piomega)(cos(omega t) + isin(omega t)) = pcos(omega t) ipsin(omega t) iomegacos(omega t) + omegasin(omega t)$
$(p+iomega)(cos(omega t) isin(omega t)) = pcos(omega t) +ipsin(omega t) +iomegacos(omega t) + omegasin(omega t)$
相减：
$(pcos(omega t) ipsin(omega t) iomegacos(omega t) + omegasin(omega t)) (pcos(omega t) +ipsin(omega t) +iomegacos(omega t) + omegasin(omega t))$
$= pcos(omega t) ipsin(omega t) iomegacos(omega t) + omegasin(omega t) + pcos(omega t) ipsin(omega t) iomegacos(omega t) omegasin(omega t)$
合并同类项：
$= (ipsin(omega t) ipsin(omega t)) + (iomegacos(omega t) iomegacos(omega t))$
$= 2ipsin(omega t) 2iomegacos(omega t)$
$= 2i(psin(omega t) + omegacos(omega t))$
将其代回 $I$ 的表达式：
$$ I = frac{e^{pt}}{2i(p^2 + omega^2)} left(2i(psin(omega t) + omegacos(omega t)) ight) $$
$$ I = frac{e^{pt}}{p^2 + omega^2} ((psin(omega t) + omegacos(omega t))) $$
$$ I = frac{e^{pt}}{p^2 + omega^2} (psin(omega t) + omegacos(omega t)) $$
同样得到一致的结果，并且复指数法在处理这类积分时通常更系统、不容易出错。
总结一下解决这类问题的思路：
1. 识别类型： 指数函数与三角函数的乘积。
2. 分部积分法：
选择合适的 $u$ 和 $dv$。
进行两次分部积分。
将原始积分代回到方程中，解出该积分。
关键在于保持两次分部积分中对 $u$ 和 $dv$ 的选择一致性（例如，如果第一次选 $u$ 为三角函数，第二次也选三角函数；如果第一次选 $u$ 为指数函数，第二次也选指数函数）。
3. 复指数法（欧拉公式）：
将 $sin(omega t)$ 或 $cos(omega t)$ 用复指数形式表示：$sin(omega t) = frac{e^{iomega t} e^{iomega t}}{2i}$，$cos(omega t) = frac{e^{iomega t} + e^{iomega t}}{2}$。
积分指数函数 $e^{at}$ 的形式。
最后将复数结果化简为实数形式，通常需要乘以共轭复数进行分子分母的“实数化”。
对于 $int e^{pt} sin(omega t) dt$，分部积分法需要细心处理代数运算，而复指数法则在概念上更直接，但需要熟悉复数运算。两者都是解决此类问题的有效途径。
解决这类问题，最直接也最常用的方法是使用分部积分法。不过，直接对 $sin(omega t)$ 或 $e^{pt}$ 进行一次分部积分，往往会回到一个与原积分形式相似但系数不同的积分，需要进行两次分部积分才能解决。
下面我将一步步地拆解这个过程，力求清晰明了：
核心工具：分部积分法 (Integration by Parts)
分部积分法的公式是：
$$ int u , dv = uv int v , du $$
选择 $u$ 和 $dv$ 是分部积分的关键。通常的原则是，选择一个可以简单求导的作为 $u$，选择一个可以简单积分的作为 $dv$。
解决步骤：
我们设要求的积分是 $I = int e^{pt} sin(omega t) dt$。
第一步：第一次分部积分
我们可以有两种选择 $u$ 和 $dv$ 的方式：
选择 1：令 $u = sin(omega t)$， $dv = e^{pt} dt$
求导 $u$：$du = omega cos(omega t) dt$
积分 $dv$：$v = int e^{pt} dt = frac{1}{p} e^{pt}$
应用分部积分公式：
$$ I = left(sin(omega t) ight) left(frac{1}{p} e^{pt} ight) int left(frac{1}{p} e^{pt} ight) (omega cos(omega t) dt) $$
$$ I = frac{1}{p} e^{pt} sin(omega t) + frac{omega}{p} int e^{pt} cos(omega t) dt $$
现在我们遇到了一个新的积分：$int e^{pt} cos(omega t) dt$。这个积分看起来和原积分很像，只是把 $sin$ 换成了 $cos$。
选择 2：令 $u = e^{pt}$， $dv = sin(omega t) dt$
求导 $u$：$du = p e^{pt} dt$
积分 $dv$：$v = int sin(omega t) dt = frac{1}{omega} cos(omega t)$
应用分部积分公式：
$$ I = left(e^{pt} ight) left(frac{1}{omega} cos(omega t) ight) int left(frac{1}{omega} cos(omega t) ight) (p e^{pt} dt) $$
$$ I = frac{1}{omega} e^{pt} cos(omega t) frac{p}{omega} int e^{pt} cos(omega t) dt $$
同样，我们遇到了积分 $int e^{pt} cos(omega t) dt$。
两种选择殊途同归，都会导向一个包含 $cos(omega t)$ 的积分。为了继续，我们需要对这个新的积分进行第二次分部积分。
第二步：第二次分部积分（针对 $int e^{pt} cos(omega t) dt$）
我们以 选择 1 的结果作为起点：
$I = frac{1}{p} e^{pt} sin(omega t) + frac{omega}{p} int e^{pt} cos(omega t) dt$
现在我们来处理 $int e^{pt} cos(omega t) dt$。这里需要保持一致性：第一次积分中我们将 $sin(omega t)$ 当作 $u$，所以这次也要将 $cos(omega t)$ 当作 $u$。
令 $J = int e^{pt} cos(omega t) dt$。
选择 $u = cos(omega t)$， $dv = e^{pt} dt$。
求导 $u$：$du = omega sin(omega t) dt$
积分 $dv$：$v = frac{1}{p} e^{pt}$
应用分部积分公式到 $J$：
$$ J = left(cos(omega t) ight) left(frac{1}{p} e^{pt} ight) int left(frac{1}{p} e^{pt} ight) (omega sin(omega t) dt) $$
$$ J = frac{1}{p} e^{pt} cos(omega t) frac{omega}{p} int e^{pt} sin(omega t) dt $$
注意到了吗？我们又回到了原始的积分 $I$！ $int e^{pt} sin(omega t) dt$ 就是我们一开始设定的 $I$。
第三步：代回并求解 $I$
现在我们将求得的 $J$ 代回到第一步的第一个结果中：
$I = frac{1}{p} e^{pt} sin(omega t) + frac{omega}{p} J$
将 $J$ 的表达式代入：
$$ I = frac{1}{p} e^{pt} sin(omega t) + frac{omega}{p} left(frac{1}{p} e^{pt} cos(omega t) frac{omega}{p} int e^{pt} sin(omega t) dt ight) $$
$$ I = frac{1}{p} e^{pt} sin(omega t) frac{omega}{p^2} e^{pt} cos(omega t) frac{omega^2}{p^2} int e^{pt} sin(omega t) dt $$
看到了原始积分 $I$ 再次出现：
$$ I = frac{1}{p} e^{pt} sin(omega t) frac{omega}{p^2} e^{pt} cos(omega t) frac{omega^2}{p^2} I $$
现在，我们可以将含有 $I$ 的项移到等号的左边：
$$ I + frac{omega^2}{p^2} I = frac{1}{p} e^{pt} sin(omega t) frac{omega}{p^2} e^{pt} cos(omega t) $$
将 $I$ 提取出来：
$$ I left(1 + frac{omega^2}{p^2} ight) = frac{1}{p} e^{pt} sin(omega t) frac{omega}{p^2} e^{pt} cos(omega t) $$
合并左边的系数：
$$ I left(frac{p^2 + omega^2}{p^2} ight) = frac{1}{p} e^{pt} sin(omega t) frac{omega}{p^2} e^{pt} cos(omega t) $$
最后，解出 $I$：
$$ I = frac{p^2}{p^2 + omega^2} left(frac{1}{p} e^{pt} sin(omega t) frac{omega}{p^2} e^{pt} cos(omega t) ight) $$
将 $frac{p^2}{p^2 + omega^2}$ 乘进去：
$$ I = frac{p^2}{p^2 + omega^2} frac{1}{p} e^{pt} sin(omega t) frac{p^2}{p^2 + omega^2} frac{omega}{p^2} e^{pt} cos(omega t) $$
$$ I = frac{p}{p^2 + omega^2} e^{pt} sin(omega t) frac{omega}{p^2 + omega^2} e^{pt} cos(omega t) $$
为了更美观，我们可以提取公因子 $frac{e^{pt}}{p^2 + omega^2}$：
$$ I = frac{e^{pt}}{p^2 + omega^2} left(p sin(omega t) + omega cos(omega t) ight) $$
别忘了加上积分常数 $C$！
$$ int e^{pt} sin(omega t) dt = frac{e^{pt}}{p^2 + omega^2} (p sin(omega t) + omega cos(omega t)) + C $$
一致性是关键！
如果在第一次分部积分时，你选择了 $u = e^{pt}$ 和 $dv = sin(omega t) dt$，那么你得到的第二个积分是 $int e^{pt} cos(omega t) dt$。你需要保持一致，对这个积分再次选择 $u = e^{pt}$ 和 $dv = cos(omega t) dt$（或者 $u = cos(omega t)$ 和 $dv = e^{pt} dt$）。如果你第一次是 $u=e^{pt}$，第二次也应该是 $u=e^{pt}$，这样才能形成一个可以解的方程。
比如，如果我们用 选择 2 的结果：
$I = frac{1}{omega} e^{pt} cos(omega t) frac{p}{omega} int e^{pt} cos(omega t) dt$
现在，对 $J = int e^{pt} cos(omega t) dt$ 进行分部积分，保持与第一次一致，令 $u = e^{pt}$， $dv = cos(omega t) dt$：
$du = p e^{pt} dt$
$v = int cos(omega t) dt = frac{1}{omega} sin(omega t)$
代入 $J$：
$$ J = left(e^{pt} ight) left(frac{1}{omega} sin(omega t) ight) int left(frac{1}{omega} sin(omega t) ight) (p e^{pt} dt) $$
$$ J = frac{1}{omega} e^{pt} sin(omega t) + frac{p}{omega} int e^{pt} sin(omega t) dt $$
$$ J = frac{1}{omega} e^{pt} sin(omega t) + frac{p}{omega} I $$
将这个 $J$ 代回到 $I$ 的表达式中：
$$ I = frac{1}{omega} e^{pt} cos(omega t) frac{p}{omega} left(frac{1}{omega} e^{pt} sin(omega t) + frac{p}{omega} I ight) $$
$$ I = frac{1}{omega} e^{pt} cos(omega t) frac{p}{omega^2} e^{pt} sin(omega t) frac{p^2}{omega^2} I $$
将含有 $I$ 的项移到左边：
$$ I + frac{p^2}{omega^2} I = frac{1}{omega} e^{pt} cos(omega t) frac{p}{omega^2} e^{pt} sin(omega t) $$
$$ I left(1 + frac{p^2}{omega^2} ight) = frac{1}{omega} e^{pt} cos(omega t) frac{p}{omega^2} e^{pt} sin(omega t) $$
$$ I left(frac{omega^2 + p^2}{omega^2} ight) = frac{omega}{omega^2} e^{pt} cos(omega t) frac{p}{omega^2} e^{pt} sin(omega t) $$
解出 $I$：
$$ I = frac{omega^2}{omega^2 + p^2} left(frac{omega}{omega^2} e^{pt} cos(omega t) frac{p}{omega^2} e^{pt} sin(omega t) ight) $$
$$ I = frac{omega^2}{omega^2 + p^2} frac{omega}{omega^2} e^{pt} cos(omega t) frac{omega^2}{omega^2 + p^2} frac{p}{omega^2} e^{pt} sin(omega t) $$
$$ I = frac{omega}{p^2 + omega^2} e^{pt} cos(omega t) frac{p}{p^2 + omega^2} e^{pt} sin(omega t) $$
同样得到：
$$ int e^{pt} sin(omega t) dt = frac{e^{pt}}{p^2 + omega^2} (p sin(omega t) + omega cos(omega t)) + C $$
另外一种（更巧妙）的解法：复指数法
很多时候，处理三角函数和指数函数的乘积，使用欧拉公式将三角函数转化为复指数形式会更加简便。
欧拉公式告诉我们：$sin(omega t) = frac{e^{iomega t} e^{iomega t}}{2i}$。
所以，我们的积分 $I$ 可以写成：
$$ I = int e^{pt} left(frac{e^{iomega t} e^{iomega t}}{2i} ight) dt $$
$$ I = frac{1}{2i} int left(e^{pt} e^{iomega t} e^{pt} e^{iomega t} ight) dt $$
$$ I = frac{1}{2i} int left(e^{(p+iomega)t} e^{(piomega)t} ight) dt $$
现在，我们积分两个指数函数的形式 $int e^{at} dt = frac{1}{a} e^{at} + C$。
第一个积分：$int e^{(p+iomega)t} dt = frac{1}{p+iomega} e^{(p+iomega)t}$
第二个积分：$int e^{(piomega)t} dt = frac{1}{piomega} e^{(piomega)t}$
将它们代回：
$$ I = frac{1}{2i} left(frac{1}{p+iomega} e^{(p+iomega)t} frac{1}{piomega} e^{(piomega)t} ight) $$
为了得到实数结果，我们需要处理复数系数。
注意到 $frac{1}{p+iomega} = frac{piomega}{(p)^2 (iomega)^2} = frac{piomega}{p^2 + omega^2}$。
同理，$frac{1}{piomega} = frac{p+iomega}{(p)^2 (iomega)^2} = frac{p+iomega}{p^2 + omega^2}$。
代回 $I$：
$$ I = frac{1}{2i} left(frac{piomega}{p^2 + omega^2} e^{(p+iomega)t} frac{p+iomega}{p^2 + omega^2} e^{(piomega)t} ight) $$
$$ I = frac{1}{2i(p^2 + omega^2)} left((piomega) e^{pt} e^{iomega t} (p+iomega) e^{pt} e^{iomega t} ight) $$
$$ I = frac{e^{pt}}{2i(p^2 + omega^2)} left((piomega) (cos(omega t) + isin(omega t)) (p+iomega) (cos(omega t) isin(omega t)) ight) $$
展开括号内的部分：
$(piomega)(cos(omega t) + isin(omega t)) = pcos(omega t) ipsin(omega t) iomegacos(omega t) + omegasin(omega t)$
$(p+iomega)(cos(omega t) isin(omega t)) = pcos(omega t) +ipsin(omega t) +iomegacos(omega t) + omegasin(omega t)$
相减：
$(pcos(omega t) ipsin(omega t) iomegacos(omega t) + omegasin(omega t)) (pcos(omega t) +ipsin(omega t) +iomegacos(omega t) + omegasin(omega t))$
$= pcos(omega t) ipsin(omega t) iomegacos(omega t) + omegasin(omega t) + pcos(omega t) ipsin(omega t) iomegacos(omega t) omegasin(omega t)$
合并同类项：
$= (ipsin(omega t) ipsin(omega t)) + (iomegacos(omega t) iomegacos(omega t))$
$= 2ipsin(omega t) 2iomegacos(omega t)$
$= 2i(psin(omega t) + omegacos(omega t))$
将其代回 $I$ 的表达式：
$$ I = frac{e^{pt}}{2i(p^2 + omega^2)} left(2i(psin(omega t) + omegacos(omega t)) ight) $$
$$ I = frac{e^{pt}}{p^2 + omega^2} ((psin(omega t) + omegacos(omega t))) $$
$$ I = frac{e^{pt}}{p^2 + omega^2} (psin(omega t) + omegacos(omega t)) $$
同样得到一致的结果，并且复指数法在处理这类积分时通常更系统、不容易出错。
总结一下解决这类问题的思路：
1. 识别类型： 指数函数与三角函数的乘积。
2. 分部积分法：
选择合适的 $u$ 和 $dv$。
进行两次分部积分。
将原始积分代回到方程中，解出该积分。
关键在于保持两次分部积分中对 $u$ 和 $dv$ 的选择一致性（例如，如果第一次选 $u$ 为三角函数，第二次也选三角函数；如果第一次选 $u$ 为指数函数，第二次也选指数函数）。
3. 复指数法（欧拉公式）：
将 $sin(omega t)$ 或 $cos(omega t)$ 用复指数形式表示：$sin(omega t) = frac{e^{iomega t} e^{iomega t}}{2i}$，$cos(omega t) = frac{e^{iomega t} + e^{iomega t}}{2}$。
积分指数函数 $e^{at}$ 的形式。
最后将复数结果化简为实数形式，通常需要乘以共轭复数进行分子分母的“实数化”。
对于 $int e^{pt} sin(omega t) dt$，分部积分法需要细心处理代数运算，而复指数法则在概念上更直接，但需要熟悉复数运算。两者都是解决此类问题的有效途径。
网友意见
其中 表示取虚部
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